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Aufgaben
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Aufgabe W 1

a)
Die Eckpunkte des Vierecks $ABCD$ liegen auf den Parallelen $g$ und $h$.
Die Parallelen haben einen Abstand von $9,0\,\text{cm}$.
Wahlbereich
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(4P)
b)
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(4,5P)
#trapez#viereck#dreieck

Aufgabe W 2:

a)
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(5,5P)
b)
Eine quadratische Pyramide ist zweimal abgebildet. In der linken Abbildung ist das Dreieck $ABS$ markiert und in der rechten das Dreieck $CDS$.
Die Punkte $C$ und $D$ halbieren jeweils die Grundkante.
$\,$
Wahlbereich
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Welche der folgenden Formeln gehört zur Dreiecksfläche $ABS$ und welche zur Dreiecksfläche $CDS$? Begründe deine Entscheidung ohne Verwendung gerundeter Werte.
(1) $\,$ $\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{3e²}{8} &\quad \\[5pt] \end{array}$
(2) $\,$$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{e²}{4}\sqrt{6} &\\[5pt] \end{array}$
(3) $\,$$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{e²}{4}\sqrt{5} &\quad \\[5pt] \end{array}$
(4,5P)
#pyramide#dreieck

Aufgabe W 3:

a)
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(5,5P)
b)
Eine Parabel $p_1$ hat die Gleichung $y=\dfrac{1}{4}x²+c$ und geht durch den Punkt $R\,(4\mid0)$.
Eine nach unten geöffnete Normalparabel $p_2$ hat die Gleichung $y=-x²+1$.
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ von $p_1$ und $p_2$.
Die Scheitelpunkte $S_1$ und $S_2$ sowie die Schnittpunkte $P$ und $Q$ der beiden Parabeln bilden das Viereck $S_1PS_2Q$.
Mia behauptet: „Das Viereck $S_1PS_2Q$ hat zwei rechte Winkel.“
Hat Mia Recht? Begründe deine Antwort durch Rechnung.
(4,5P)
#geradengleichung#schnittpunkt#rechterwinkel#parabel

Aufgabe W 4:

a)
Bei einer Wohltätigkeitsveranstaltung werden zwei Glücksräder eingesetzt.
$\,$
Wahlbereich
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$\,$
Gewinnplan
ErgebnisseGewinn
zwei gleiche Ziffern3,00 €
Zahl größer als 405,00€
restliche Möglichkeitenkein Gewinn
Einsatz 2,00 €
$\,$
Wäre dies vorteilhaft? Begründe durch Rechnung oder Argumentation.
(5,5P)
b)
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(4,5P)
#erwartungswert#wurfparabel#wahrscheinlichkeit#parabel
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Tipps
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Aufgabe W 1:

a)
$\blacktriangleright$  Trapez-Umfang berechnen
Du sollst mit Hilfe der bereits angegeben Werte die restlichen, fehlenden Seitenlängen zur Berechnung des Trapezumfangs $\text{ABCD}$ berechnen. Für den Trapezumfang musst du die Strecken $\overline{AD}$, $\overline{DC}$, $\overline{BC}$ und $\overline{AB}$ zusammenaddieren. Die Strecke $\overline{AD}$ hast du bereits gegeben. Die restlichen drei Strecken musst du nun also noch berechnen. Zeichne dir dazu zunächst ein, welche Werte du bereits kennst. „Rot“ sind die noch zu berechnen Längen. Die „grünen“ Strecken-/Winkelangaben kennst du bereits, und „blau“ sind schließlich die Strecken und Winkel, die du als Zwischenschritt berechnen musst, damit du auf die roten Längenangaben kommst.
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Abb. 1: Übersicht der bekannten und unbekannten Strecken und Winkel
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Abb. 1: Übersicht der bekannten und unbekannten Strecken und Winkel
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Abb. 2: Strecke $\overline{BC}$
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Abb. 2: Strecke $\overline{BC}$
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Abb. 3: Strecke $\overline{AB}$ (=$\overline{AC}$)
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Abb. 3: Strecke $\overline{AB}$ (=$\overline{AC}$)
3. Schritt: Berechnung Strecke $\overline{A'D}$
Du musst zunächst den Winkel $\alpha_1$ berechnen, bevor du die Strecke $\overline{A'D}$ berechnen kannst:
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Abb. 4: Strecke $\overline{A'D}$
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Abb. 4 : Strecke $\overline{A'D}$
4. Schritt: Strecke $\overline{B'C}$ $(=\overline{BE})$ berechnen
Du musst zunächst den Winkel $\beta_2$ berechnen, damit du die Strecke $\overline{B'C}$ $(=\overline{BE})$ mit diesem Winkel und dem Sinus berechnen kannst:
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Abb. 5: Strecke $\overline{B'C}$ (=$\overline{BE}$)
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Abb. 5 : Strecke $\overline{B'C}$ (=$\overline{BE}$)
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Abb. 6: Strecke $\overline{CD}$
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Abb. 6: Strecke $\overline{CD}$
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Abb. 7: Trapez-Umfang $\overline{ABCD}$
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Abb. 7: Trapez-Umfang $\overline{ABCD}$
b)
$\blacktriangleright$  Trapezflächeninhalt berechnen
Du sollst mit Hilfe der bereits angegeben Werte für das Dreieck $\text{ABC}$ die restlichen, fehlenden Werte berechnen. Damit kannst du dann den Flächeninhalt des Trapez $\text{ABCD}$, welches durch die Faltung des Dreiecks entlang der Strecke $\overline{DE}$ entstand, berechnen.
Die allgemeine Trapez-Flächeninhalt-Formel lautet:
Trapzez-Flächeninhalt
$\text{A}_\text{Trapez}\,=\, (\frac{a+c}{2})\cdot \text{h}$
Trapzez-Flächeninhalt
$\text{A}_\text{Trapez}\,=\, (\frac{a+c}{2})\cdot \text{h}$
Betrachtest du das Trapez $\text{ABCD}$ bedeutet dies, dass du zur Berechnung des Flächeninhalts noch die Strecken $\overline{AF}$ (=$a$), $\overline{DE}$ (=$c$) und $\overline{AD}$ (=$b$ = $h$) benötigst. $\overline{AD}$ hast du bereits gegeben, sodass du noch $\overline{AF}$ und $\overline{DE}$ berechnen musst. Zeichne dir dazu zunächst wieder ein, welche Angaben du bereits kennst und welche du noch berechnen musst. Die „roten“ Strecken musst du zur Aufgabenlösung berechnen. „Grün“ sind alle bereits bekannten Werte eingezeichnet und alle „blauen“ Angaben benötigst du als Zwischenschritte, um auf die roten Längen Strecken berechnen zu können.
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Abb. 8: Übersicht aller un-/bekannter Angaben
Wahlbereich
Abb. 8: Übersicht aller un-/bekannter Angaben
1. Schritt: Strecke $\overline{DE}$ ermitteln
Du benötigst zunächst die Strecke $\overline{CG}$, um damit $\overline{DE}$ ausrechnen zu können. Dazu musst du in einem weiteren Schritt von der Strecke $\overline{AC}$ die Strecke $\overline{CG}$ abziehen.
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Abb. 9: Dreieck $\text{ABC}$ und deren Faltung
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Abb. 9: Dreieck $\text{ABC}$ und deren Faltung
    1.2 Schritt: Strecke $\overline{DE}$ ermittlen
2. Schritt: Länge von $\overline{AF}$ ausrechnen
Für den Trapezflächeninhalt benötigst weiter noch die Seite $\text{c}$. Diese ist die Strecke $\overline{AF}$. Dafür benötigst du zunächst den Winkel $\beta$, um die Strecke $\overline{BD}$ berechnen zu können. Mit Hilfe der Strecke $\overline{BD}$ wiederum kannst du dann die Strecke $\overline{AB'}$ berechnen. $\overline{AB'}$ benötigst du dann für die Berechnung von $\overline{AF}$.
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Abb. 10: Strecke $\overline{AF}$
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Abb. 10: Strecke $\overline{AF}$
    2.2 Schritt: Strecke $\overline{BD}$ berechnen
    (Achtung: $\overline{AD}\,=\,\overline{EG}$)
    2.3 Schritt: $\overline{AB'}$ berechnen
    2.4 Schritt: $\overline{AF}$ berechnen
Du hast nun die Strecke $\overline{AF}$ und damit die Seite $a$ des Trapez berechnet. Damit hast du alle fehlenden Seiten zur Berechnung des Trapezflächeninhalts ermittelt und kannst nun in einem nächsten Schritt den Flächeninhalt ausrechnen.
3. Schritt: Flächeninhalt (vom Trapez $\text{ADEF}$) berechnen
Du benötigst für die Berechnung des Trapezflächeninhalts die Strecken $\overline{AF}$ (=$a$), $\overline{DE}$ (=$c$) und $\overline{AD}$ (=$b$ = $h$). Setze nun die oben berechneten Werte in die Flächeninhaltsformel für ein Trapez ein.
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Abb. 11: Trapez $\text{ADEF}$
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Abb. 11: Trapez $\text{ADEF}$

Aufgabe W 2:

a)
$\blacktriangleright$  Pyramidenvolumen berechnen
Du sollst das Volumen der Pyramide berechnen. Hierzu wird der Mantel der Pyramide aus einem Kreis ausgeschnitten. Du kennst bereits die Seitenlängen der Pyramide durch die Angabe des Kreisradius. Jede Seite der Pyramide besteht aus einem gleichschenkligen Dreieck. Du musst also die Basis (=$c$) aller $5$ gleichschenkligen Dreiecke berechnen.
$\,$
Pyramiden-Volumen
$\text{V}_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3} \cdot \text{G} \cdot \text{h}$
Pyramiden-Volumen
$\text{V}_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3} \cdot \text{G} \cdot \text{h}$
1. Schritt: Innenwinkel $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen
2. Schritt: Grundseite $\boldsymbol{c}$ der Seitenflächen berechnen
3. Schritt: Basiswinkel der Grundfläche berechnen
4. Schritt: Radius $\boldsymbol{r}$ des Fünfecks berechnen
5. Schritt: Höhe $h_p$ der Pyramide berechnen
6. Schritt: Grundfläche der Pyramide berechnen
7. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen
b)
$\blacktriangleright$  Dreiecksflächen $\text{ABS}$ und $\text{CDS}$ berechnen
Du sollst den Dreiecks-Flächeninhalt für die beiden Abbildungen bestimmen.
1. Schaubild: Dreiecksfläche $\text{ABS}$ berechnen
Du weißt, dass die allgemeine Formel zur Dreieck-Flächeninhaltsberechung $\text{A}\, = \,\frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{h} $ lautet. Die Grundseite $\text{g}$ hast du bereits mit „$e$“ gegeben. Die Höhe $\text{h}$ berechnest du mit dem Satz des Pythagoras (s. blaues Dreieck in Abb. $15$)
    1.1 Schritt: Höhe $\text{h}$ berechnen
    Wahlbereich
    Abb. 13: Flächeninhalt $\overline{ABS}$
    Wahlbereich
    Abb. 13: Flächeninhalt $\overline{ABS}$
    1.2 Schritt: Dreiecks-Flächeninhalt berechnen
    Nun setzt du die Höhe $\text{h}$ in die Dreiecks-Flächeninhaltsformel ein
Vergleiche deine Lösung mit den angegeben, um die richtige Lösung zu identifizieren.
2. Schaubild: Dreiecksfläche $CDS$
Du weißt, dass die allgemeine Formel zur Dreieck-Flächeninhaltsberechung $\text{A}\, = \,\frac{1}{2}\cdot \text{g}\cdot \text{h} $ lautet. Du musst die Grundseite $\text{g}$, sowie die Höhe $\text{h}$ noch berechnen. (s. blaues und orangenes Dreieck in Abb. $16$)
    2.1 Schritt: Dreiecksgrundseite berechnen
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Abb. 14: Flächeninhalt $\overline{CDS}$
Wahlbereich
Abb. 14: Flächeninhalt $\overline{CDS}$
    2.3 Schritt: Dreiecksflächeninhalt berechnen
    Verwende die Flächeninhaltsformal für Dreiecke.
Vergleiche deine Lösung mit den Lösungen auf dem Aufgabenblatt, um die richtige Lösung zu identifiziern.

Aufgabe W 3:

a)
$\blacktriangleright$  Parabel- und Geradengleichung bestimmen
Du sollst die Gleichung der Normalparabel $\text{p1}$ mit Hilfe von $2$ Punkten bestimmen. Anschließend sollst du mit Hilfe eines Scheitelpunkts eine weitere Normalparabel $\text{p2}$ berechnen. Schließlich ermittelst du dann die Gerade $\text{g}$, die durch die beiden Scheitelpunkte der Parabeln $\text{p1}$ und $\text{p2}$ geht. Zum Schluss sollst du dann noch eine Gerade $\text{h}$ ermitteln, die parallel zur Geraden $\text{g}$ verläuft.
1. Schritt: Normalparabel $\boldsymbol{\text{p1}}$ ermitteln
Stelle mit Hilfe der beiden Punkte $\text{A}(-3\mid-1)$ und $\text{B}(1\mid-1)$ ein lineares Gleichungssystem auf. Setzte dazu die Punkte in die Parabel-Normalform ($y=ax²+bx+c$) ein. Löse nach $\text{b}$ und $\text{c}$ auf.
Du kannst nun die Parabelgleichung $\text{p1}$ aufstellen, indem du $\text{b}$ und $\text{c}$ in die Normalform der Parabel einsetzt ($\text{a}\,=\,1$, da es sich um die Normalform handelt).
2. Schritt: Normalparabel $\boldsymbol{\text{p1}}$ berechnen
Einsetzen des Scheitelpunkts $\text{S}_2(0\mid8)$ in die Scheitelpunktsform:
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& a\cdot(x-X_s)²+Y_s&\quad \scriptsize \mid\; \text{(}a=-1 \text{, da Normalparabel und nach unten geöffnet)} \\[5pt] \end{array}$
Die Parabel $\text{p2}$ hast du damit ausgerechnet.
3. Schritt: Gerade durch $\boldsymbol{\text{S}_1}$ und $\boldsymbol{\text{S}_2}$ ermitteln
    3.1 Schritt: Scheitpunkt $\boldsymbol{\text{S}_1}$ (von $\boldsymbol{\text{p1}}$) ermitteln
    Dazu wendest du die quadratische Ergänzung für $\text{p1}$ an und kannst anschließend die Scheitelpunkt $\text{S}_1$ ablesen.
    3.2 Schritt: Gerade $\boldsymbol{\text{g}}$ durch die beiden Punkte $\boldsymbol{\text{S}_1}$ und $\boldsymbol{\text{S}_2}$ ermitteln
    Einsetzen beider Scheitelpunkte $\text{S}_1$ und $\text{S}_2$ in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+b$, damit du die Gleichung für $\text{g}$ aufstellen kannst.
4. Schritt: Gerade $\boldsymbol{\text{h}}$ berechnen
(Parallel-Gerade zu $g$ durch Schnittpunkt von $p_1$ und $p_2$)
    4.1 Schritt: $\boldsymbol{\text{h}}$ hat gleiche Steigung wie $\boldsymbol{\text{g}}$
    Die Gerade $\text{h}$ soll parallel zur Geraden $\text{g}$ verlaufen. Damit weißt du, dass $\text{h}$ die gleiche Steigung zur Geraden $\text{g}$ haben muss und kannst für $\text{h}$ schon einmal aufstellen.
    4.2 Schritt: Parabeln gleichsetzen
    Nun muss die Gerade durch den Schnittpunkt $\text{p}_1$ und $\text{p}_2$ gehen. Dazu setzt du zunächst die beiden Parabeln gleich, um den Schnittpunkt zu ermitteln.
    4.3 Schritt: Werte in Geradengleichung einsetzen
    Dir fehlt zur vollständigen Geradengleichung noch der Wert $\text{b}$. Dafür setzt du einfach die Werte des Schnittpunkts in die Geradengleichung ein und löst nach $\text{b}$ auf. Einsetzen von einem $\text{x}_1$ in eine der Parabelgleichungen, um $\text{y}$ und den vollständigen Schnittpunkt $\text{S}_p$ zu erhalten.
    4.4 Schritt: Einsetzen vom Schnittpunkt $\boldsymbol{\text{S}_p}$ in die Geradengleichung
Damit erhälst du dann eine Geradengleichung für $\text{h}$.
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkte, sowie die Schnittpunkte von zwei Parabeln ermitteln
Du sollst zunächst mit dem gegebenen Punkt $\text{R}(4\mid0)$ die vollständige Parabelgleichung $\text{p}_1$ aufstellen. Als nächstes setzt du beide Parabeln $\text{p}_1$ und $\text{p}_2$ gleich, um auf die Schnittpunkte $\text{P}$ und $\text{Q}$ zu kommen. Anschließend ermittelst du dann noch die Scheitelpunkte $\text{S}_1$ und $\text{S}_2$ (von $\text{p}_1$ und $\text{p}_2$), um dann Mias Aussage, dass das Viereck $2$ rechte Winkel hat, kontrollieren zu können. Dafür berchnest du die Teilwinkel und kehrst anschließend den Satz des Pythagoras um.
1. Schritt: Parabelgleichung $\boldsymbol{\text{p}_1}$ vervollständigen
Einsetzen des Punktes $\text{R}(4\mid0)$ in die Parabelgleichung
2. Schritt: Schnittpunkte $\text{P}$ und $\text{Q}$ berechnen
Gleichsetzen der beiden Parabeln.
Einsetzen der beiden $\text{x}$-Werte in eine der Parabelgleichungen liefert dir die beiden Schnittpunkte $\text{P}$ und $\text{Q}$.
3. Schritt: Scheitelpunkte $\boldsymbol{\text{S}_1}$ und $\boldsymbol{\text{S}_2}$ berechnen:
Verwende hierzu jeweils die Scheitelpunktsform $\text{a}\cdot \left(\text{x}-\text{S}_x\right)²+\text{S}_y$
  • Scheitelpunkt $\text{S}_1$:
    $\text{p}_1$ umformen, um so den Scheitelpunkt $\text{S}_1$ ablesen zu können.
  • Scheitelpunkt $\text{S}_2$:
    $\text{p}_2$ umformen, um so den Scheitelpunkt $\text{S}_2$ ablesen zu können.
4. Schritt: Berechne, ob das Viereck $\boldsymbol{\text{S}_1\text{PS}_2\text{Q}}$ zwei rechte Winkel hat
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Abb. 15: Viereck $\text{S}_1\text{PS}_2\text{Q}$
Wahlbereich
Abb. 15: Viereck $\text{S}_1\text{PS}_2\text{Q}$

Aufgabe W 4:

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst in einem ersten Schritt berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass im Sichtfenster eine Zahl mit gleichen Ziffern erscheint. Weiter sollst du dann den Erwartungswert, also den durschnittlichen Gewinn des Gewinnplans berechnen. Zum Schluss soll dann noch kontrolliert werden, ob die Wohltätigkeitsveranstaltung mehr Gewinn erwirtschaftet, wenn im rechten Glücksrad eine der beiden $3$en durch eine $5$ ersetzt wird. Zeichne dir dazu zunächst ein Wahrscheinlicheitsbaumdiagramm.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit gleicher Ziffern berechnen
Gleiche Ziffern sind $„11“$, $„22“$ und $„33“$. Du schaust dir also im Baumdiagramm die einzelnen Wahrscheinlichkeiten an und berechnest diese.
2. Schritt: Erwartungswert berechnen
Überprüfe den Gewinnplan, indem du den Erwartungswert (= durschnittlicher Gewinn) berechnest. Das Ergebnis für $2$ gleiche Ziffern hast du bereits ausgerechnet. Als nächstes musst du noch berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine Zahl größer als $40$ zu drehen. Dazu nimmst du wieder das Baumdiagramm und rechnest alle Wahrscheinlichkeiten zusammen, Zahlen die mit $4$ (im ersten Glücksrad) gedreht werden können. Schließlich kannst du dann den Erwartungswert ermitteln.
    2.1 Schritt: Wahrscheinlichkeit für Zahlen größer als $\boldsymbol{40}$ ermitteln
    2.2 Schritt: Erwartungswert berechnen
    Schließlich kannst du den Erwartungswert berechnen. Der Erwartungswert wird auch als durchschnittlicher Gewinn bezeichnet. Hierfür rechnest du alle Gewinne mal deren Wahrscheinlichkeit und rechnest diese anschließend alle zusammen. Von diesem Ergebnis musst du dann noch den Einsatz abziehen, um auf den Erwartungswert zu kommen.
3. Schritt: Neuen Erwartungswert berechnen
Zeichne zunächst erst ein neues Baumdiagramm mit den neuen Wahrscheinlichkeiten. Im zweiten Glücksrad befindet sich nun nur noch eine Drei. Die zweite Drei wurde durch eine Fünf ersetzt. Danach musst du zunächst die neue Wahrscheinlickeit für gleiche Werte, sowie die Wahrscheinlichkeit für Zahlen über $40$ berechnen, bevor du den neuen Erwartungswert ermitteln kannst.
    3.1 Schritt: Wahrscheinlichkeit gleicher Werte berechnen
    „Gleiche Ziffern“ sind erneut $„11“$, $„22“$ und $„33“$. Berechne die neue Wahrscheinlichkeit für gleiche Ziffern:
    Rechne alle Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnen.
    3.2 Schritt: Wahrscheinlichkeit für Werte über $\boldsymbol{40}$ berechnen
    Rechne alle Wahrscheinlichkeiten zusammen.
    3.3 Schritt: Neuen Erwartungswert berechnen
Formuliere einen Antwortsatz.
b)
$\blacktriangleright$  Wurf-Parabel berechnen
Du sollst die parabelförmige Flugkurve des Balls berechnen. Dazu setzt du zunächst die angegebenen Punkte in die allgemeine Parabelfunktion ein, um auf die vollständige Parabel zu kommen. Als nächsten Schritt sollst du kontrollieren, ob der Punkt des Korbes auf der Wurfparabel liegt. Zum Schluss berechnest du ob Dennis mit seinen Händen den Ball innerhalb der Flugkurve berühren kann, wenn er im Abstand von $0,60\text{ m}$ vor Dirk steht. Das bedeutet konkret, dass du erneut schaust, ob dieser Punkt (die Hände von Dennis) auf der Parabel liegt.
1. Schritt: Parabelgleichung berechnen
Du kennst die allgemeine Formel der Parabel $y=ax²+c$. Du kennst zudem das Maxium und damit den Scheitelpunkt der Parabel (=$c$) von $\text{M}_\text{aximum}\,\left(0\, |\,3,6\right)$. Weiter kennst du den Abwurfpunkt des Balls $\text{D}_\text{irk}\,\left(-2,8 \, |\,2,0\right)$. Damit kannst du in die Parabelformel einsetzen und erhältst die vollständige Wurf-Parabel.
2. Schritt: Punkt überprüfen
Du sollst kontrollieren ob Dirk mit dem Ball den Korb, der in $3,05 \text{ m}$ Höhe hängt, trifft. Du kontrollierst also, ob der Punkt $\text{K}_\text{orb}$ auf der Wurfparabel liegt:
3. Schritt: Zweiten Punkt (Hände) überprüfen
Du sollst kontrollieren, ob Dennis der mit ausgestreckten Händen $0,60 \text{ m}$ vor Dirk steht, ohne zu springen an den Ball kommt. Mit ausgestreckten Händen ist Dennis $2,30 \text{ m}$ groß. Du kontrollierst also, ob der Punkt $\text{D}_\text{ennis}$ auf bzw. ober- oder unterhalb der Wurfparabel liegt. Setze dazu den Punkt $\text{D}_\text{ennis}$ in die Wurfparabel ein.
Bildnachweise [nach oben]
[1-15]
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Aufgabe W 1:

a)
$\blacktriangleright$  Trapez-Umfang berechnen
Du sollst mit Hilfe der bereits angegeben Werte die restlichen, fehlenden Seitenlängen zur Berechnung des Trapezumfangs $\text{ABCD}$ berechnen. Für den Trapezumfang musst du die Strecken $\overline{AD}$, $\overline{DC}$, $\overline{BC}$ und $\overline{AB}$ zusammenaddieren. Die Strecke $\overline{AD}$ hast du bereits gegeben. Die restlichen drei Strecken musst du nun also noch berechnen. Zeichne dir dazu zunächst ein, welche Werte du bereits kennst. „Rot“ sind die noch zu berechnen Längen. Die „grünen“ Strecken-/Winkelangaben kennst du bereits, und „blau“ sind schließlich die Strecken und Winkel, die du als Zwischenschritt berechnen musst, damit du auf die roten Längenangaben kommst.
Wahlbereich
Abb. 1: Übersicht der bekannten und unbekannten Strecken und Winkel
Wahlbereich
Abb. 1: Übersicht der bekannten und unbekannten Strecken und Winkel
Wahlbereich
Abb. 2: Strecke $\overline{BC}$
Wahlbereich
Abb. 2: Strecke $\overline{BC}$
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Abb. 3: Strecke $\overline{AB}$ (=$\overline{AC}$)
Wahlbereich
Abb. 3: Strecke $\overline{AB}$ (=$\overline{AC}$)
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Abb. 4: Strecke $\overline{A'D}$
Wahlbereich
Abb. 4 : Strecke $\overline{A'D}$
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Abb. 5: Strecke $\overline{B'C}$ (=$\overline{BE}$)
Wahlbereich
Abb. 5 : Strecke $\overline{B'C}$ (=$\overline{BE}$)
Wahlbereich
Abb. 6: Strecke $\overline{CD}$
Wahlbereich
Abb. 6: Strecke $\overline{CD}$
Wahlbereich
Abb. 7: Trapez-Umfang $\overline{ABCD}$
Wahlbereich
Abb. 7: Trapez-Umfang $\overline{ABCD}$
Der Umfang des Trapez $ABCD$ beträgt $39,47\text{ cm}$.
b)
$\blacktriangleright$  Trapezflächeninhalt berechnen
Du sollst mit Hilfe der bereits angegeben Werte für das Dreieck $\text{ABC}$ die restlichen, fehlenden Werte berechnen. Damit kannst du dann den Flächeninhalt des Trapez $\text{ABCD}$ , welches durch die Faltung des Dreiecks entlang der Strecke $\overline{DE}$ entstand, berechnen.
Die allgemeine Trapez-Flächeninhalt-Formel lautet:
Trapzez-Flächeninhalt
$\text{A}_\text{Trapez}\,=\, (\frac{a+c}{2})\cdot \text{h}$
Trapzez-Flächeninhalt
$\text{A}_\text{Trapez}\,=\, (\frac{a+c}{2})\cdot \text{h}$
Betrachtest du das Trapez $\text{ABCD}$ bedeutet dies, dass du zur Berechnung des Flächeninhalts noch die Strecken $\overline{AF}$ (=$a$), $\overline{DE}$ (=$c$) und $\overline{AD}$ (=$b$ = $h$) benötigst. $\overline{AD}$ hast du bereits gegeben, sodass du noch $\overline{AF}$ und $\overline{DE}$ berechnen musst. Zeichne dir dazu zunächst wieder ein, welche Angaben du bereits kennst und welche du noch berechnen musst. Die „roten“ Strecken musst du zur Aufgabenlösung berechnen. „Grün“ sind alle bereits bekannten Werte eingezeichnet und alle „blauen“ Angaben benötigst du als Zwischenschritte, um auf die roten Längen Strecken berechnen zu können.
Wahlbereich
Abb. 8: Übersicht aller un-/bekannter Angaben
Wahlbereich
Abb. 8: Übersicht aller un-/bekannter Angaben
1. Schritt: Strecke $\overline{DE}$ ermitteln
Du benötigst zunächst die Strecke $\overline{CG}$, um damit $\overline{DE}$ ausrechnen zu können. Dazu musst du in einem weiteren Schritt von der Strecke $\overline{AC}$ die Strecke $\overline{CG}$ abziehen.
Wahlbereich
Abb. 9: Dreieck $\text{ABC}$ und deren Faltung
Wahlbereich
Abb. 9: Dreieck $\text{ABC}$ und deren Faltung
1.2 Schritt: Strecke $\overline{DE}$ ermittlen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DE}&=& \overline{AC}\,-\,\overline{CG} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \overline{DE}&=& 11,4\text{ cm}\,-\,4,2\text{ cm}\\[5pt] \overline{DE}&=& 7,2\text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{DE}$ und damit die Seite $\text{c}$ des Trapez ist $7,2\text{ cm}$ lang.
2. Schritt: Länge von $\overline{AF}$ ausrechnen
Für den Trapezflächeninhalt benötigst weiter noch die Seite $c$. Diese ist die Strecke $\overline{AF}$. Dafür benötigst du zunächst den Winkel $\beta$, um die Strecke $\overline{BD}$ berechnen zu können. Mit Hilfe der Strecke $\overline{BD}$ wiederum kannst du dann die Strecke $\overline{AB'}$ berechnen. $\overline{AB'}$ benötigst du dann für die Berechnung von $\overline{AF}$:
Wahlbereich
Abb. 10: Strecke $\overline{AF}$
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Abb. 10: Strecke $\overline{AF}$
2.2 Schritt: Strecke $\overline{BD}$ berechnen
(Achtung: $\overline{AD}\,=\,\overline{EG}$)
$\begin{array}[t]{rll} \text{tan }(\beta)&=& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\\[5pt] \text{tan }(\beta)&=& \frac{\overline{DE}}{\overline{BD}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{tan }(40°)&=& \frac{7,2\text{ cm}}{\overline{BD}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \text{$\overline{BD}$}\,\, \mid\; :\text{tan }(40°) \\[5pt] \overline{BD} &=& \frac{7,2\text{ cm}}{\text{tan }(40°)} \\[5pt] \overline{BD} &\approx& 8,58\text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
2.3 Schritt: $\overline{AB'}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB'}&=& \overline{BD}\,-\,\overline{AD} \\[5pt] \overline{AB'} &=& 8,58\text{ cm}\,-\,5,0\text{ cm} \\[5pt] \overline{AB'} &=& 3,58\text{ cm} \\[5pt] \end{array}$
2.4 Schritt: $\overline{AF}$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{tan }(\beta')&=& \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \text{tan }(\beta')&=& \frac{\overline{AF}}{\overline{AB'}} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] \text{tan }(40°)&=& \frac{\overline{AF}}{3,58\text{ cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3,58\text{ cm}\\[5pt] \overline{AF} &=& 3,58\text{ cm} \cdot \text{tan }(40°) \\[5pt] \overline{AF} &\approx& 3,01\text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{AF}$ und damit die Seite $a$ des Trapez ist $3,01\text{ cm}$ lang. Damit hast du alle fehlenden Seiten zur Berechnung des Trapezflächeninhalts ermittelt und kannst nun in einem nächsten Schritt den Flächeninhalt ausrechnen.
3. Schritt: Flächeninhalt (vom Trapez $ADEF$) berechnen
Du benötigst für die Berechnung des Trapezflächeninhalts die Strecken $\overline{AF}$ (=$a$), $\overline{DE}$ (=$c$) und $\overline{AD}$ (=$b$ = $h$). Setze nun die oben berechneten Werte in die Flächeninhaltsformel für ein Trapez ein:
Wahlbereich
Abb. 11: Trapez $\text{ADEF}$
Wahlbereich
Abb. 11: Trapez $\text{ADEF}$
Der Flächeninhalt des Trapez $\text{ADEF}$ beträgt $25,53\text{ cm}²$.
#viereck#trapez

Aufgabe W 2:

a)
$\blacktriangleright$  Pyramidenvolumen berechnen
Du sollst das Volumen der Pyramide berechnen. Hierzu wird der Mantel der Pyramide aus einem Kreis ausgeschnitten. Du kennst bereits die Seitenlängen der Pyramide durch die Angabe des Kreisradius. Jede Seite der Pyramide besteht aus einem gleichschenkligen Dreieck. Du musst also die Basis (=$c$) aller $5$ gleichschenkligen Dreiecke berechnen.
$\,$
Pyramiden-Volumen
$\text{V}_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3} \cdot \text{G} \cdot \text{h}$
Pyramiden-Volumen
$\text{V}_{\text{Pyramide}}=\frac{1}{3} \cdot \text{G} \cdot \text{h}$
1. Schritt: Innenwinkel $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen
Ein voller Kreis hat $360^{\circ}.$ Der Teil des Kreises, der nicht für die Seitenflächen verwendet wird hat als Mittelpunktswinkel $110^{\circ}.$ Der Rest des Kreises teilt sich gleichmäßig auf die fünf Dreiecke auf:
$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=& \dfrac{360^{\circ}-110^{\circ}}{5} \\[5pt] &=& 50^{\circ} \end{array}$
2. Schritt: Grundseite $\boldsymbol{c}$ der Seitenflächen berechnen
Die Seiten $a$ und $b$ sind gleich lang. Mit dem Kosinussatz ergibt sich daher:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \gamma&=& \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2ab \\[5pt] 2ab\cdot \cos \gamma &=& a^2+b^2-c^2 &\quad \scriptsize \mid\; +c^2 \\[5pt] 2ab\cdot \cos \gamma +c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \mid\; -2ab\cdot \cos \gamma\\[5pt] c^2&=& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \\[5pt] c&=& \sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma} \\[5pt] &=& \sqrt{(8,3\,\text{cm})^2+(8,3\,\text{cm})^2-2\cdot 8,3\,\text{cm}\cdot 8,3\,\text{cm}\cdot \cos 50^{\circ}} \\[5pt] &\approx& 7,02\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Basiswinkel der Grundfläche berechnen
Wahlbereich
Abb. 13: Skizze der Grundfläche
Wahlbereich
Abb. 13: Skizze der Grundfläche
4. Schritt: Radius $\boldsymbol{r}$ des Fünfecks berechnen
Mit dem Sinussatz ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{r}{\sin(\beta)}&=& \dfrac{c}{\sin \alpha} \\[5pt] \dfrac{r}{\sin 54^{\circ}}&=& \dfrac{7,02\,\text{cm}}{\sin 72^{\circ}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sin 54^{\circ} \\[5pt] r&=& \dfrac{7,02\,\text{cm}}{\sin 72^{\circ}} \cdot \sin 54^{\circ} \\[5pt] &\approx& 5,97\,\text{cm} \end{array}$
5. Schritt: Höhe $h_p$ der Pyramide berechnen
Die Höhe der Pyramide bildet zusammen mit der Seitenlänge $s$ und dem Radius der Grundfläche $r$ ein rechtwinkliges Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du also die fehlende Höhe berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} h_p^2+r^2&=&s^2 &\quad \scriptsize \mid\; - r^2\\[5pt] h_p^2&=& s^2-r^2 \\[5pt] h_p&=& \sqrt{s^2-r^2} \\[5pt] h_p&=&\sqrt{(8,3\,\text{cm})^2-(5,97\,\text{cm})^2} \\[5pt] &\approx& 5,77\,\text{cm} \end{array}$
6. Schritt: Grundfläche der Pyramide berechnen
Die Grundfläche ist ein Fünfeck. Mit der zugehörigen Formel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& 5\cdot \frac{1}{2}\cdot r^2 \cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& 5\cdot \frac{1}{2}\cdot (5,97\,\text{cm} )^2 \cdot \sin 72^{\circ} \\[5pt] &=& 84,74\,\text{cm}^2 \end{array}$
7. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen
Mit der Volumenformel einer Pyramide erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h_P \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 84,74\,\text{cm}^2 \cdot 5,77\,\text{cm} \\[5pt] &=& 162,98 \,\text{cm}^3 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Dreiecksflächen $\text{ABS}$ und $\text{CDS}$ berechnen
Du sollst den Dreiecks-Flächeninhalt für die beiden Abbildungen bestimmen.
1. Schaubild: Dreiecksfläche $\text{ABS}$ berechnen
Du weißt, dass die allgemeine Formel zur Dreieck-Flächeninhaltsberechung $A\, = \,\frac{1}{2}\cdot g\cdot h $ lautet. Die Grundseite $\text{g}$ hast du bereits mit „$e$“ gegeben. Die Höhe $\text{h}$ berechnest du mit dem Satz des Pythagoras (s. blaues Dreieck in Abb. $15$)
Wahlbereich
Abb. 14: Flächeninhalt $\overline{ABS}$
Wahlbereich
Abb. 14: Flächeninhalt $\overline{ABS}$
1.2 Schritt: Dreiecks-Flächeninhalt berechnen
Nun setzt du die Höhe $h$ in die Dreiecks-Flächeninhaltsformel ein:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ABS}}&=& \frac{1}{2}\cdot\text{g}\cdot\text{h}\\[5pt] A_{\text{ABS}}&=&\frac{1}{2}\cdot e \cdot \sqrt{e²+(\frac{e}{2})²}\\[5pt] A_{\text{ABS}}&=&\frac{e}{2} \cdot \sqrt{(\frac{5e²}{4})}\\[5pt] A_{\text{ABS}}&=&\frac{e}{2} \cdot \sqrt{(5\cdot \frac{e²}{4})}\\[5pt] A_{\text{ABS}}&=&\frac{e}{2} \cdot \frac{e}{2} \cdot \sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
Lösung $(3)$ ist mit $A=\frac{e²}{4}\cdot\sqrt{5}$ daher richtig.
2. Schaubild: Dreiecksfläche $CDS$
Du weißt, dass die allgemeine Formel zur Dreieck-Flächeninhaltsberechung $A\, = \,\frac{1}{2}\cdot g\cdot h $ lautet. Du musst die Grundseite $\text{g}$, sowie die Höhe $\text{h}$ noch berechnen. (s. blaues und orangenes Dreieck in Abb. $16$)
2.1 Schritt: Dreiecksgrundseite berechnen
Wahlbereich
Abb. 15: Flächeninhalt $\overline{CDS}$
Wahlbereich
Abb. 15: Flächeninhalt $\overline{CDS}$
2.3 Schritt: Dreiecksflächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{CDS}}&=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\left(\frac{e}{2}\right)²+\left(\frac{e}{2}\right)²} \cdot \sqrt{\left(\frac{\sqrt{e²+e²}}{4}\right)²+e²} \\[5pt] A_{\text{CDS}}&=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot\left(\frac{e}{2}\right)²} \cdot \sqrt{\left(\frac{2e²}{16}+e²\right)} \\[5pt] A_{\text{CDS}}&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{e}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{9e²}{8}} \\[5pt] A_{\text{CDS}}&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{e}{2} \cdot e \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{9}{8}} \\[5pt] A_{\text{CDS}}&=& \frac{e²}{4} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{9}{8}} \\[5pt] A_{\text{CDS}}&=& \frac{e²}{4} \cdot \frac{3}{2} \\[5pt] A_{\text{CDS}}&=& \frac{3e²}{8} \\[5pt] \end{array}$
Lösung $(1)$ ist mit $A=\frac{3e²}{8}$ demenstrepchend richtig.
#dreieck#pyramide

Aufgabe W 3:

a)
$\blacktriangleright$  Parabel- und Geradengleichung bestimmen
Du sollst die Gleichung der Normalparabel $\text{p1}$ mit Hilfe von $2$ Punkten bestimmen. Anschließend sollst du mit Hilfe eines Scheitelpunkts eine weitere Normalparabel $\text{p2}$ berechnen. Schließlich ermittelst du dann die Gerade $\text{g}$, die durch die beiden Scheitelpunkte der Parabeln $\text{p1}$ und $\text{p2}$ geht. Zum Schluss sollst du dann noch eine Gerade $\text{h}$ ermitteln, die parallel zur Geraden $\text{g}$ verläuft.
1. Schritt: Normalparabel $\boldsymbol{\text{p1}}$ ermitteln
Stelle mit Hilfe der beiden Punkte $\text{A}(-3\mid-1)$ und $\text{B}(1\mid-1)$ ein lineares Gleichungssystem auf. Setze dazu die Punkte in die Scheitelpunktform einer Normalparabel ($p(x)= (x-a)^2+b$) ein:
    $\begin{array}{} \text{I}\quad&-1&=& (1-a)^2+b\\ \text{II}\quad&-1&=& (-3-a)^2+b\\ \hline \text{I}\quad&-1&=& 1^2-2a+a^2+b\\ \text{II}\quad&-1&=& (-3)^2+6a+a^2+b\\ \hline \text{I}\quad&-2&=&-2a+a^2+b\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}-\text{II}\\ \text{II}\quad&-10&=& 6a+a^2+b\\ \hline \text{I}\quad&8&=& -8a\quad \scriptsize\mid\;:(-8)\\ \text{II}\quad&-1&=& 6a+a^2+b\\ \hline \text{I}\quad&-1&=& a\\ \text{II}\quad&-1&=& 6a+a^2+b\\ \end{array}$ Das Ergebnis für $a$ kannst du nun in die zweite Gleichung einsetzen und diese nach $b$ lösen:
    $\begin{array}[t]{rll} -10&=&6a+a^2+b &\quad \scriptsize \mid\; a=-1\\[5pt] -10&=& 6\cdot(-1)+(-1)^2+b \\[5pt] -10&=& -5+b&\quad \scriptsize \mid\;+5 \\[5pt] -5&=&b \end{array}$
Du kannst nun die Parabelgleichung $\text{p1}$ aufstellen, indem du $\text{a}$ und $\text{b}$ in die Normalform der Parabel einsetzt. Du erhältst:
$\text{p1}:\, y\,=\,x²+2x-4$
2. Schritt: Normalparabel $\boldsymbol{\text{p1}}$ berechnen
Einsetzen des Scheitelpunkts $\text{S}_2(0\mid8)$ in die Scheitelpunktsform:
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& a\cdot(x-X_s)²+Y_s&\quad \scriptsize \mid\; \text{(}a=-1 \text{, da Normalparabel und nach unten geöffnet)} \\[5pt] y&=&(-1)\cdot(x-0)²+8 \\[5pt] \end{array}$
Die Parabel $\text{p2}$ hast du damit ausgerechnet:
$\text{p2}$: $y\,=\,-x²+8$
3. Schritt: Gerade durch $\boldsymbol{\text{S}_1}$ und $\boldsymbol{\text{S}_2}$ ermitteln
    3.1 Schritt: Scheitpunkt $\boldsymbol{\text{S}_1}$ (von $\boldsymbol{\text{p1}}$) ermitteln
    Dazu wendest du die quadratische Ergänzung für $\text{p1}$ an:
      $\begin{array}[t]{rll} x²+2x-4&\mathrel{\widehat{=}}& (x²+2x+1)-5 \\[5pt] x²+2x-4&=& (x+1)²-5 \\[5pt] \end{array}$
    Damit kannst du den Scheitelpunkt $\text{S}_1$ ablesen: $\text{S}_1(-1\mid -5)$
    3.2 Schritt: Gerade $\boldsymbol{\text{g}}$ durch die beiden Punkte $\boldsymbol{\text{S}_1}$ und $\boldsymbol{\text{S}_2}$ ermitteln
    ($\text{S}_1(-1\mid -5)$ und $\text{S}_2(0\mid8)$)
    Einsetzen beider Scheitelpunkte in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+b$ liefert:
      $\begin{array}{} \text{I}\quad&-5&=&(-1) \cdot m+b\\ \text{II}\quad&8&=& 0\cdot m+b\quad\\ \hline \text{I}\quad&-5&=& -m+b\\ \text{II}\quad&8&=& b \quad\scriptsize\mid\; \text{b einsetzen in I} \\ \hline \text{I}\quad&-5&=& -m+8\quad\scriptsize\mid\; -8\,\mid \, :(-1) \\ \text{II}\quad&8&=& b \quad\scriptsize\mid\; \text{b einsetzen in I} \\ \hline \text{I}\quad&13&=& m\\ \text{II}\quad&8&=& b \\ \end{array}$
    Damit stellst du die Gleichung für $\text{g}$ auf:
    $g:\,y= m \cdot x+b=13\cdot x + 8$
4. Schritt: Gerade $\boldsymbol{\text{h}}$ berechnen
(Parallel-Gerade zu $g$ durch Schnittpunkt von $p_1$ und $p_2$)
    4.1 Schritt: $\boldsymbol{\text{h}}$ hat gleiche Steigung wie $\boldsymbol{\text{g}}$
    Die Gerade $\text{h}$ soll parallel zur Geraden $\text{g}$ verlaufen. Damit weißt du, dass $\text{h}$ die gleiche Steigung zur Geraden $\text{g}$ haben muss und kannst für $\text{h}$ schon einmal aufstellen:
    $y=13x+b$
    4.2 Schritt: Parabeln gleichsetzen
    Nun muss die Gerade durch den Schnittpunkt $\text{p}_1$ und $\text{p}_2$ gehen. Dazu setzt du zunächst die beiden Parabeln gleich, um den Schnittpunkt zu ermitteln.
      $\begin{array}[t]{rll} x²+2x-4&=& -x²+8&\quad \scriptsize \mid\;+x² \,\mid\,-8 \\[5pt] 2x²+2x-12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x²+x-6&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{pq-Formel} \\[5pt] \end{array}$
      $\begin{array}[t]{rll} x&=& -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)²-q}\\[5pt] x&=& -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)²+6} \\[5pt] x&=& -\frac{1}{2} \pm 2,5&\quad \scriptsize \mid\ \pm \,\text{auflösen} \\[5pt] \end{array}$
      $x_1=2$ und $x_2=-3$
    4.3 Schritt: Werte in Geradengleichung einsetzen
    Dir fehlt zur vollständigen Geradengleichung noch der Wert $\text{b}$. Dafür setzt du die Werte des Schnittpunkts in die Geradengleichung ein und löst nach $\text{b}$ auf. Einsetzen von einem $\text{x}_1$ in eine der Parabelgleichungen ergibt:
      $\begin{array}[t]{rll} y&=& (-(2)²)+8\\[5pt] y&=& -4+8 \\[5pt] y&=& 4\\[5pt] \end{array}$
    Damit ist der Schnittpunkt bei $\text{S}_p(2\mid4)$
    4.4 Schritt: Einsetzen vom Schnittpunkt $\boldsymbol{\text{S}_p}$ in die Geradengleichung
    $\begin{array}[t]{rll} 4&=& 13\cdot (2)+b &\quad \scriptsize \mid\; \text{nach $\text{b}$ auflösen}\\[5pt] -22&=& b\\[5pt] \end{array}$
Eine Geradengleichung für $\text{h}$ lautet: $\text{y}=13x-22$
Insgesamt waren gesucht:
Parabel $\text{p}_1\,=\,x²+2x-4 $
Normalparabel $\text{p}_2\,=\,-x²+8$
Gerade $\text{g}\,=\,13\cdot x + 8$
und schließlich die eine Geradengleichung $\text{h}\,=\,13x-22$.
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkte, sowie die Schnittpunkte von zwei Parabeln ermitteln
Du sollst zunächst mit dem gegebenen Punkt $\text{R}(4\mid0)$ die vollständige Parabelgleichung $\text{p}_1$ aufstellen. Als nächstes setzt du beide Parabeln $\text{p}_1$ und $\text{p}_2$ gleich, um auf die Schnittpunkte $\text{P}$ und $\text{Q}$ zu kommen. Anschließend ermittelst du dann noch die Scheitelpunkte $\text{S}_1$ und $\text{S}_2$ (von $\text{p}_1$ und $\text{p}_2$), um dann Mias Aussage, dass das Viereck $2$ rechte Winkel hat, kontrollieren zu können. Dafür berchnest du die Teilwinkel und kehrst anschließend den Satz des Pythagoras um.
1. Schritt: Parabelgleichung $\boldsymbol{\text{p}_1}$ vervollständigen
Einsetzen des Punktes $\text{R}(4\mid0)$ in die Parabelgleichung
    $\begin{array}[t]{rll} y&=& \frac{1}{4}\cdot x²+c\\[5pt] 0 &=&\frac{1}{4} \cdot 4²+c &\quad \scriptsize \mid\; -\text{c}\\[5pt] -c&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; : (-1)\\[5pt] c&=& -4\\[5pt] \end{array}$
Die Parabelgleichung für $\text{p}_1$ lautet: $\text{y}=\frac{1}{4}x²-4$
2. Schritt: Schnittpunkte $\text{P}$ und $\text{Q}$ berechnen
Gleichsetzen der beiden Parabeln:
    $\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}x²-4&=& -x²+1 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \,\mid\, -\frac{1}{4}x² \,\mid\, :(-1)\\[5pt] \frac{5}{4}x²&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{5}{4} \\[5pt] x²&=& 4\\[5pt] \end{array}$
Nach dem Wurzelziehen erhältst du: $\text{x}_1=2$ und $\text{x}_2=-2$.
Einsetzen der beiden $\text{x}$-Werte in eine der Parabelgleichungen liefert die beiden Schnittpunkte $\text{P}(-2\mid-3)$ und $\text{Q}(2\mid-3)$.
3. Schritt: Scheitelpunkte $\boldsymbol{\text{S}_1}$ und $\boldsymbol{\text{S}_2}$ berechnen:
Verwende hierzu jeweils die Scheitelpunktsform $\text{a}\cdot \left(\text{x}-\text{S}_x\right)²+\text{S}_y$
  • Scheitelpunkt $\text{S}_1$:
    $\text{p}_1$ umformen: $\frac{1}{4}\cdot\left(x-0\right)²-4$
    Du kannst so den Scheitelpunkt $\text{S}_1$ ablesen: $\text{S}(0\mid-4)$
  • Scheitelpunkt $\text{S}_2$:
    $\text{p}_2$ umformen: $(-1)\cdot(x-0)²+1$
    Du kannst so den Scheitelpunkt $\text{S}_2$ ablesen: $\text{S}(0\mid1)$
4. Schritt: Berechne, ob das Viereck $\boldsymbol{\text{S}_1\text{PS}_2\text{Q}}$ zwei rechte Winkel hat
Wahlbereich
Abb. 16: Viereck $\text{S}_1\text{PS}_2\text{Q}$
Wahlbereich
Abb. 16: Viereck $\text{S}_1\text{PS}_2\text{Q}$
4.1. Schritt: Streckenlänge $\boldsymbol{\overline{S_2Q}}$ berechnen
Es gilt:
$\overline{S_2M} = 4$ und $ \overline{MQ} = 2$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{S_2Q}^2&=& \overline{S_2M} ^2+ \overline{MQ}^2 \\[5pt] \overline{S_2Q}^2&=& 4^2+2^2 \\[5pt] \overline{S_2Q}^2&=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{S_2Q}&=&\sqrt{20} \end{array}$
4.2. Schritt: Streckenlänge $\boldsymbol{\overline{S_1Q}}$ berechnen
Es gilt:
$\overline{S_1M} = 1$ und $ \overline{MQ} = 2$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{S_1Q}^2&=& \overline{S_1M} ^2+ \overline{MQ}^2 \\[5pt] \overline{S_1Q}^2&=& 1^2+2^2 \\[5pt] \overline{S_1Q}^2&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{S_1Q}&=&\sqrt{5} \end{array}$
4.3. Schritt: Satz des Pythagoras überprüfen
Gilt $\overline{S_1S_2}^2 = \overline{S_1Q}^2+\overline{S_2Q}^2$, dann ist der Winkel $\alpha$ rechtwinklig.
Es gilt $\overline{S_1S_2} = 5$. Setze also ein.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{S_1S_2}^2&=& \overline{S_1Q}^2+\overline{S_2Q}^2\\[5pt] 5^2&=& \sqrt{5}^2 + \sqrt{20}^2 \\[5pt] 25&=& 25 \end{array}$
Dies ist eine wahre Aussage. Der Satz des Pythagoras ist also erfüllt und damit ist $\alpha$ ein rechter Winkel. Also ist auch $\beta$ ein rechter Winkel. Mia hat also Recht.
#parabel#satzdespythagoras#geradengleichung#trigonometrie

Aufgabe W 4:

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst in einem ersten Schritt berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass im Sichtfenster eine Zahl mit gleichen Ziffern erscheint. Weiter sollst du dann den Erwartungswert, also den durschnittlichen Gewinn des Gewinnplans berechnen. Zum Schluss soll dann noch kontrolliert werden, ob die Wohltätigkeitsveranstaltung mehr Gewinn erwirtschaftet, wenn im rechten Glücksrad eine der beiden $3$en durch eine $5$ ersetzt wird.
Wahlbereich
Abb. 17: Wahrscheinlichkeit „gleiche Ziffer“
Wahlbereich
Abb. 17: Wahrscheinlichkeit „gleiche Ziffer“
Die Wahrscheinlichkeit für $2$ gleiche Ziffern liegt bei $27,78\,\%$.
Wahlbereich
Abb. 18: Wahrscheinlichkeit „Zahl über $40$“
Wahlbereich
Abb. 18: Wahrscheinlichkeit „Zahl über $40$“
    Nun musst du noch alle $3$ Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnen:
    $3\,\cdot\,\frac{1}{18}\,= \frac{3}{18}\,\approx 16,67\,\%$
    2.2 Schritt: Erwartungswert berechnen
    Schließlich kannst du den Erwartungswert berechnen. Der Erwartungswert wird auch als durchschnittlicher Gewinn bezeichnet. Hierfür rechnest du alle Gewinne mal deren Wahrscheinlichkeit und rechnest diese anschließend alle zusammen. Von diesem Ergebnis musst du dann noch den Einsatz abziehen, um auf den Erwartungswert zu kommen.
    $\begin{array}[t]{rll} \text{E}(x)&=& \left(\left(3€\cdot\frac{5}{18}\right)\,+\,\left(5€\cdot\frac{3}{18}\right)\,+\,\left(0€\cdot\left(\frac{18}{18}-\frac{8}{18}\right)\right)\right) -2 € \\[5pt] \text{E}(x)&=& \left(\left(\frac{15}{18}€\right)\,+\,\left(\frac{15}{18}€\right)\right) -2 €\\[5pt] \text{E}(x)&=& \left(\frac{5}{3}\right)\, -2 €\\[5pt] \text{E}(x)&\approx& 1,67€ -2 €\\[5pt] \text{E}(x)&\approx& -0,33 €\\[5pt] \end{array}$
Der durchschnittliche Gewinn liegt für die Wohltätigkeitsveranstaltung bei $-0,33€$.
Wahlbereich
Abb. 19: Im rechten Glücksrad: „Tausch von einer $3$ durch eine $5$“
Wahlbereich
Abb. 19: Im rechten Glücksrad: „Tausch von einer $3$ durch eine $5$“
    3.2 Schritt: Wahrscheinlichkeit für Werte über $\boldsymbol{40}$ berechnen
    • $„41“: \frac{1}{6}\,\cdot\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{1}{18}$
    • $„42“: \frac{1}{6}\,\cdot\,\frac{1}{3}\,=\,\frac{1}{18}$
    • $„43“: \frac{1}{6}\,\cdot\,\frac{1}{6}\,=\,\frac{1}{36}$
    • $„45“: \frac{1}{6}\,\cdot\,\frac{1}{6}\,=\,\frac{1}{36}$
    Rechne alle Wahrscheinlichkeiten zusammen:
    $\frac{1}{18}\,+\,\frac{1}{18}\,+\,\frac{1}{36}\,+\, \frac{1}{36}\,\approx\,16,6\overline{6}\%$
    3.3 Schritt: Neuen Erwartungswert berechnen
    $\begin{array}[t]{rll} \text{E}_{\text{neu}}(x)&=& \left(\left(3€\cdot\frac{1}{4}\right)\,+\,\left(5€\cdot\frac{1}{6}\right)\right) -2 € \\[5pt] \text{E}_{\text{neu}}(x)&=& \left(\left(\frac{3}{4}€\right)\,+\,\left(\frac{5}{6}€\right)\right)-2 € \\[5pt] \text{E}_{\text{neu}}(x)&=& \frac{19}{12}€ -2 €\\[5pt] \text{E}_{\text{neu}}(x)&\approx& 1,58€ -2 €\\[5pt] \text{E}_{\text{neu}}(x)&\approx& -0,42 €\\[5pt] \end{array}$
Der Tausch einer $3$ mit einer $5$ auf dem rechten Glücksrad ist sinnvoll, da der durschnittliche Gewinn für die Wohltätigkeitsveranstalung mit $0,42€$ größer ist. Zudem reduziert sich die Anzahl der gleichziffrigen Zahlen bei dem Tausch von $10$ auf $9$.
b)
$\blacktriangleright$  Wurf-Parabel berechnen
Du sollst die parabelförmige Flugkurve des Balls berechnen. Dazu setzt du zunächst die angegebenen Punkte in die allgemeine Parabelfunktion ein, um auf die vollständige Parabel zu kommen. Als nächsten Schritt sollst du kontrollieren, ob der Punkt des Korbes auf der Wurfparabel liegt. Zum Schluss berechnest du ob Dennis mit seinen Händen den Ball innerhalb der Flugkurve berühren kann, wenn er im Abstand von $0,60\text{ m}$ vor Dirk steht. Das bedeutet konkret, dass du erneut schaust, ob dieser Punkt (die Hände von Dennis) auf der Parabel liegt.
1. Schritt: Parabelgleichung berechnen
Du kennst die allgemeine Formel der Parabel $y=ax²+c$. Du kennst zudem das Maxium und damit den Scheitelpunkt der Parabel (=$c$) von $\text{M}_\text{aximum}\,\left(0\, |\,3,6\right)$. Weiter kennst du den Abwurfpunkt des Balls $\text{D}_\text{irk}\,\left(-2,8 \, |\,2,0\right)$. Damit setzt du ein:
    $\begin{array}[t]{rll} y &=& a \cdot x²+c\\[5pt] y &=& a \cdot x²+ 3,6&\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen}\\[5pt] 2,0 &=& a \cdot (-2,8)²+ 3,6&\quad \scriptsize \mid\; \text{nach $a$ auflösen}\\[5pt] a &\approx& -0,2 \\[5pt] \end{array}$
Damit kennst du die vollständige Wurf-Parabel: $y=-0,2x²+3,6$.
2. Schritt: Punkt überprüfen
Du sollst kontrollieren ob Dirk mit dem Ball den Korb, der in $3,05 \text{ m}$ Höhe hängt, trifft. Du kontrollierst also, ob der Punkt $\text{K}_\text{orb}\,\left((4,7-2,8)\, |\,3,05\right)\,=\,\left(1,9\, |\,3,05\right)$ auf der Wurfparabel liegt:
    $\begin{array}[t]{rll} y &=& -0,2x²+3,6&\quad \scriptsize \mid\; \text{$\text{K}_\text{orb}$ einsetzen}\\[5pt] 3,05 &=& -0,2 \cdot (1,9)²+3,6 \\[5pt] 3,05 &\neq& 2,88\\[5pt] \end{array}$
Der Korb liegt nicht auf der Wurfparabel von Dirk. Daher wird Dirk den Korb nicht treffen.
3. Schritt: Zweiten Punkt (Hände) überprüfen
Du sollst kontrollieren, ob Dennis der mit ausgestreckten Händen $0,60 \text{ m}$ vor Dirk steht, ohne zu springen an den Ball kommt. Mit ausgestreckten Händen ist Dennis $2,30 \text{ m}$ groß. Du kontrollierst also, ob der Punkt $\text{D}_\text{ennis}\,\left((2,8-0,6)\, |\,2,3\right)\,=\,\left(2,2\, |\,2,3\right)$ auf bzw. ober- oder unterhalb der Wurfparabel liegt:
    $\begin{array}[t]{rll} y &=& -0,2x²+3,6&\quad \scriptsize \mid\; \text{$\text{D}_\text{ennis}$ einsetzen}\\[5pt] 2,3 &=& -0,2 \cdot (2,2)²+3,6 \\[5pt] 2,3 &\neq& 2,63\\[5pt] \end{array}$
Dennis erreicht den Ball nicht mit ausgestreckten Händen. Wenn der Ball auf der Höhe von Dennis ist (=$2,2 \text{ m}$), wird der Ball sich in $2,63 \text{ m}$ Höhe befinden und ist daher nicht für Dennis, der $2,3 \text{ m}$ mit hochgestreckten Händen groß ist, mit seinen Händen erreichbar.
#baumdiagramm#erwartungswert#wurfparabel
Bildnachweise [nach oben]
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