Aufgabe I — Ausgewählte Experimente der Physik

Die erste Aufgabe thematisiert Interferenz am Doppelspalt mit Ultraschall. Im Zentrum der zweiten Aufgabe steht die Bahnkurve von geladenen Teilchen in elektrischen Feldern. In der dritten Aufgabe wird eine Stromwaage betrachtet.

Mithilfe eines Experiments zum Doppelspalt soll die unbekannte Frequenz $Formula: f_{\mathrm{S}}$ $Formula: f_{\mathrm{S}}$ eines Ultraschallsenders ermittelt werden. Bei Ultraschall handelt es sich um Schall hoher Frequenz.

1.1

Material 1a zeigt den Aufbau eines Doppelspaltexperiments.

Erläutere das Entstehen von Intensitätsmaxima und -minima bei diesem Experiment unterstützt durch geeignete grafische Darstellungen in der im Unterricht vereinbarten Form.

4 BE

1.2

Als Quelle wird in Material 1a ein Ultraschall emittierender Sender verwendet. Dabei gelten für die Abstände Formula: d_1 und Formula: d_2 des Mikrofons am Ort Formula: x von der Spaltöffnung Formula: S_1 bzw. Formula: S_2 die folgenden Gleichungen:

$Formula: d_1 = \sqrt{(x + 12,5\;\mathrm{mm})^2 + (71\;\mathrm{mm})^2}$ $Formula: d_1 = \sqrt{(x + 12,5\;\mathrm{mm})^2 + (71\;\mathrm{mm})^2}$ bzw.

$Formula: d_2 = \sqrt{(x - 12,5\;\mathrm{mm})^2 + (71\;\mathrm{mm})^2}$ $Formula: d_2 = \sqrt{(x - 12,5\;\mathrm{mm})^2 + (71\;\mathrm{mm})^2}$

Leite ausgehend von Material 1a die Gültigkeit der Gleichung für Formula: d_1 begründet her.

Ermittle mithilfe von Material 1b den Ort des Maximums erster Ordnung.

Bestätige unter Verwendung der oben genannten Gleichungen und Material 1a, dass der Ultraschallsender eine Frequenz von $Formula: f_{\mathrm{S}} \approx 39\;\mathrm{kHz}$ $Formula: f_{\mathrm{S}} \approx 39\;\mathrm{kHz}$ aufweist.

9 BE

1.3

Als mögliche Quelle zum Betrieb des Ultraschallsenders steht ein weiterer Generator zur Verfügung. Bei diesem kann die Frequenz des Senders eingestellt werden. Mithilfe eines Oszilloskops wird der Frequenzbereich des Generators untersucht (Material 1c).

Prüfe, ob der in Material 1c untersuchte Generator als Quelle für das Experiment in Aufgabe 1.2 verwendet werden kann, indem du ausgehend von Material 1c dessen Frequenzbereich bestimmst.

4 BE

1.4

In einer Variante des Experiments aus Aufgabe 1.2 wird die Frequenz $Formula: f_{\mathrm{S}}$ $Formula: f_{\mathrm{S}}$ des Ultraschallsenders verkleinert, die anderen Parameter bleiben unverändert.

Stelle eine begründete Hypothese hinsichtlich einer möglichen Veränderung des Graphen im $Formula: x\text{-}U\text{-}$ $Formula: x\text{-}U\text{-}$ Diagramm (Material 1b) auf.

3 BE

Mit einer Elektronenstrahlablenkröhre wird die Bewegung von freien Elektronen in einem homogenen elektrischen Querfeld eines Plattenkondensators untersucht. Der schematische Versuchsaufbau ist in Material 2a dargestellt.

2.1

Skizziere in Material 2a im homogenen Bereich eine mögliche Bahn der Elektronen und die Richtung des elektrischen Feldes zwischen den Platten.

3 BE

2.2

Bevor die Elektronen in das elektrische Querfeld eintreten, werden diese beschleunigt. Leite die Gleichung

$Formula: v_0 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}} \cdot e}{m_{\mathrm{e}}}}$ $Formula: v_0 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}} \cdot e}{m_{\mathrm{e}}}}$

$Formula: U_{\mathrm{B}}\text{:}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}\text{:}$ Beschleunigungsspannung; $Formula: e\text{:}$ $Formula: e\text{:}$ Elementarladung; $Formula: m_{\mathrm{e}}\text{:}$ $Formula: m_{\mathrm{e}}\text{:}$ Masse des Elektrons

für die Geschwindigkeit Formula: v_0 der Elektronen beim Eintritt in den Plattenkondensator begründet her.

Berechne die Geschwindigkeit Formula: v_0, wenn $Formula: U_{\mathrm{B}} = 1000\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{B}} = 1000\;\mathrm{V}$ gilt.

6 BE

2.3

In einem Versuch wird bei konstanter Ablenkspannung $Formula: U_{\mathrm{C}}$ $Formula: U_{\mathrm{C}}$ die Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ variiert und die Formula: x -Koordinate des Punkts untersucht, an dem die Elektronen auf die untere Kondensatorplatte treffen. Dabei wurden die Messwerte in Material 2b aufgenommen.

Stelle die Messwerte in einem $Formula: x\text{-}U_{\mathrm{B}}\text{-}$ $Formula: x\text{-}U_{\mathrm{B}}\text{-}$ Diagramm grafisch dar.

Bestätige, dass der Zusammenhang zwischen Formula: x und $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ durch

$Formula: U_{\mathrm{B}}(x) = 0,5\;\dfrac{\mathrm{kV}}{\mathrm{cm}^2} \cdot x^2$ $Formula: U_{\mathrm{B}}(x) = 0,5\;\dfrac{\mathrm{kV}}{\mathrm{cm}^2} \cdot x^2$

beschrieben werden kann, wobei du dein Vorgehen in der im Unterricht vereinbarten Form dokumentierst.

8 BE

2.4

In einer Variation des Experiments nach Material 2a werden der Plattenabstand Formula: d und die Ablenkspannung $Formula: U_{\mathrm{C}}$ $Formula: U_{\mathrm{C}}$ verdoppelt, die Geschwindigkeit Formula: v_0 der beschleunigten Elektronen bleibt unverändert.

Stelle eine begründete Hypothese auf, ob sich dadurch der Verlauf der Bahnkurve ändert.

3 BE

In dieser Aufgabe wird eine Stromwaage zur Kraftmessung benutzt. Zunächst werden Messwerte ausgewertet, danach wird das Funktionsprinzip der Stromwaage betrachtet.

Hinweis: Die magnetische Flussdichte wird auch magnetische Feldstärke genannt. Gravitationskräfte sollen in dieser Aufgabe nicht thematisiert werden.

3.1

Material 3a zeigt den schematischen Aufbau einer Stromwaage. Bei dem Versuch wird bei einer Leiterlänge von $Formula: l = 4\;\mathrm{cm}$ $Formula: l = 4\;\mathrm{cm}$ die Stromstärke Formula: I durch den Leiter variiert und die Größe der wirkenden Kraft Formula: F bestimmt. Die Messwerte sind in Material 3b angegeben.

Stelle die Messwerte in einem $Formula: I\text{-}F\text{-}$ $Formula: I\text{-}F\text{-}$ Diagramm grafisch dar.

Bestätige, dass der Zusammenhang zwischen Formula: I und Formula: F durch

$Formula: F(I) \approx 3,5\;\dfrac{\mathrm{mN}}{\mathrm{A}} \cdot I$ $Formula: F(I) \approx 3,5\;\dfrac{\mathrm{mN}}{\mathrm{A}} \cdot I$

beschrieben werden kann.

Ermittle unter Berücksichtigung aller Messwerte für Formula: F und Formula: I bei konstanter Länge Formula: l die magnetische Flussdichte $Formula: B = \tfrac{F}{I \cdot l}.$ $Formula: B = \tfrac{F}{I \cdot l}.$

11 BE

3.2

In Material 3c ist die Schemazeichnung eines ortsfesten Permanentmagneten und eines beweglichen, senkrecht zur Zeichenebene stromdurchflossenen Leiters dargestellt.

Skizziere in Material 3c, in welche Richtung sich der Leiter jeweils bewegt, wenn er von Strom durchflossen wird.

In einem weiteren Experiment (vgl. Material 3d) werden der Leiter als ortsfest und der Permanentmagnet als beweglich betrachtet.

Stelle eine begründete Hypothese auf, wie die Stromrichtung gewählt werden muss, damit sich der Permanentmagnet nach links bewegt.

5 BE

3.3

In einem Gedankenexperiment werden zwei verschiedene Leiter verwendet, wie sie in Material 3e dargestellt sind. Beide befinden sich bei gleicher Stromstärke nacheinander im homogenen Magnetfeld des Permanentmagneten.

Diskutiere unter Berücksichtigung der effektiven Leiterlänge, ob sich durch die unterschiedliche Gestalt auch Unterschiede in der resultierenden Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter ergeben.

4 BE

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Material 1a: Aufbau des Versuchs

Schematische Zeichnung mit Sender, Generator, Mikrofon und Messstrecken auf einer Beobachtungslinie.

Das Mikrofon (Empfänger) wird entlang der Beobachtungslinie parallel zum Doppelspalt verschoben. Die Spannung am Mikrofon ist ein Maß für die Intensität.

Die Schallgeschwindigkeit beträgt $Formula: c = 340\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$ $Formula: c = 340\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$

Der Ultraschallsender wird mit einem Generator betrieben, dessen Frequenz veränderlich ist.

Material 1b: Abhängigkeit der Spannung $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U}}$ am Mikrofon vom Ort $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{x}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{x}}$

Die Darstellung ist vereinfacht.

Diagramm mit sinusförmigem Spannungsverlauf über der Strecke x in mm.

Material 1c: Zeitlicher Verlauf der Spannung am Ultraschallsender für minimale (links) und maximale Frequenz (rechts) des Generators

Oszilloskopbild mit sinusförmigem Signal und Zeit-/Spannungsskala

Oszilloskop-Anzeige mit einer Sinuskurve auf einem Messraster.

In beiden Diagrammen entspricht ein Kästchen der Rechtsachse $Formula: 10\;\mathrm{\mu s}.$ $Formula: 10\;\mathrm{\mu s}.$

Material 2a: Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus

Mithilfe eines Glühdrahtes werden freie Elektronen erzeugt und im Vorfeld beschleunigt. Die Elektronen treten an der Stelle Formula: x = 0 in das homogene elektrische Querfeld eines Plattenkondensators ein. Der Kondensator befindet sich in einer Vakuumröhre, die Gravitationskraft soll nicht berücksichtigt werden.

Skizze eines Plattenkondensators mit Spannung Uc und Abstand d

Material 2b: Messwerte zur Ablenkung des Elektronenstrahls

$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{B}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{B}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kV}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kV}}$	$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}}$

Material 3a: Schematischer Aufbau der Stromwaage, dargestellt sind Vorder- und Seitenansicht

Der Versuchsaufbau besteht aus einer digitalen Feinwaage, auf die ein Permanentmagnet gelegt wird, sowie aus auswechselbaren Leiterschleifen mit unterschiedlicher Länge Formula: l. Die Leiterschleifen werden über einen festen Halter an eine Stromquelle angeschlossen und befinden sich im homogenen Bereich des Magnetfeldes. Fließt ein Strom durch die Leiterschleife, kommt es zu einer Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter und damit auch auf den Permanentmagneten. Aus dem an der Waage angezeigten Wert kann auf die wirkende Kraft geschlossen werden.

Schema mit Permanentmagnet, Leiter und Feinwaage zur Kraftmessung

Material 3b: Messwerte zur Stromwaage

Angegeben ist die Kraft Formula: F auf den stromdurchflossenen Leiter der Länge $Formula: l = 4\;\mathrm{cm}.$ $Formula: l = 4\;\mathrm{cm}.$

Stromstärke $Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{A}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{A}}$	Kraft $Formula: \boldsymbol{F}$ $Formula: \boldsymbol{F}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mN}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mN}}$

Material 3c: Schemazeichnungen eines ortsfesten Permanentmagneten und eines beweglichen, senkrecht zur Zeichenebene stromdurchflossenen Leiters

$Formula: \otimes\text{:}$ $Formula: \otimes\text{:}$ Der Elektronenstrom fließt in die Zeichenebene hinein.

$Formula: \odot\text{:}$ $Formula: \odot\text{:}$ Der Elektronenstrom fließt aus der Zeichenebene hinaus.

Schematische Magnetfeld-Darstellung mit Nord- und Südpol sowie Symbolen für Stromrichtung.

Material 3d: Schemazeichnung eines beweglichen Permanentmagneten und eines ortsfesten, senkrecht zur Zeichenebene stromdurchflossenen Leiters

Magnet mit N- und S-Pol und Pfeil für Bewegungsrichtung

Material 3e: Schemazeichnung von zwei Leitern im Magnetfeld

Die magnetischen Feldlinien verlaufen in die Blattebene hinein ( $Formula: \otimes$ $Formula: \otimes$ ).

Diagramm mit magnetischen Feldlinien und markiertem Abstand d

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1.1

Die Entstehung der Intensitätsmaxima und -minima lässt sich mithilfe des Huygensschen Prinzips erklären: Jede der beiden Spaltmitten kann als Ausgangspunkt für eine neue kreisförmige Elementarwelle aufgefasst werden. Diese Wellen breiten sich hinter dem Spalt kreisförmig in der Ebene aus.

Auf der Beobachtungslinie überlagern sich diese beiden Wellen. An den Stellen auf der Beobachtungslinie, an denen jeweils Wellenberg auf Wellenberg oder Wellental auf Wellental der kreisförmigen Elementarwellen treffen, findet konstruktive Interferenz statt, was zu maximaler Intensität (maximale Lautstärke) führt. Hier beträgt der Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ beider Elementarwellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$

In den Bereichen dazwischen, wo Wellenberg auf Wellental trifft, löschen sich die Wellen gegenseitig aus (destruktive Interferenz), wodurch Orte minimaler Intensität entstehen. Hier beträgt der Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ beider Elementarwellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ plus die Hälfte der Wellenlänge $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$

Skizze zum Doppelspalt mit Interferenz und Schirm, markierten Winkeln und Maxima verschiedener Ordnung

1.2

Herleitung der Gleichung für $Formula: \boldsymbol{d_1}$ $Formula: \boldsymbol{d_1}$

In der ergänzten Skizze des Versuchsaufbaus in Material 1a sind die Strecken von den Spalten zum Mikrofon die Hypotenusen rechtwinkliger Dreiecke.
Die zur Beobachtungslinie senkrechte Kathete hat die Länge $Formula: e = 71\;\mathrm{mm}.$ $Formula: e = 71\;\mathrm{mm}.$

Der Doppelspalt hat einen Spaltmittenabstand von $Formula: g = 25\;\mathrm{mm}.$ $Formula: g = 25\;\mathrm{mm}.$ Daraus folgt für die Kathete parallel zur Beobachtungslinie für den Spalt Formula: S_1 die Länge $Formula: x + 12,5\;\mathrm{mm}.$ $Formula: x + 12,5\;\mathrm{mm}.$ Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für die Hypotenuse, welche dem Laufweg Formula: d_1 entspricht, direkt die gesuchte Gleichung:

$Formula: d_{1} = \sqrt{(x + 12,5\;\mathrm{mm})^{2} + (71\;\mathrm{mm})^{2}}$ $Formula: d_{1} = \sqrt{(x + 12,5\;\mathrm{mm})^{2} + (71\;\mathrm{mm})^{2}}$

Ermittlung Ort des Maximums 1. Ordnung

Kurvenverlauf eines Wellenmusters mit x- und y-Achse

Der Ort des 1. Maximums lässt sich direkt aus dem Diagramm ablesen. Er liegt bei etwa $Formula: x_1 \approx 27\;\mathrm{mm}.$ $Formula: x_1 \approx 27\;\mathrm{mm}.$

Bestätigung der Frequenz $Formula: f_{\mathrm{S}}$ $Formula: f_{\mathrm{S}}$

Beim ersten Maximum beträgt der Gangunterschied genau eine Wellenlänge. Durch Einsetzen von $Formula: x_1 = 27\;\mathrm{mm}$ $Formula: x_1 = 27\;\mathrm{mm}$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \Delta s = d_{\mathrm{1,1}} - d_{\mathrm{1,2}} \\[5pt] \lambda & = & \sqrt{(71\;\mathrm{mm})^2 + (27 + 12,5\;\mathrm{mm})^2}\\[5pt] &\phantom{=}& - \sqrt{(71\;\mathrm{mm})^2 + (27 - 12,5\;\mathrm{mm})^2} \\[5pt] & \approx & 8,8\;\mathrm{mm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \Delta s = d_{\mathrm{1,1}} - d_{\mathrm{1,2}} \\[5pt] \lambda & = & \sqrt{(71\;\mathrm{mm})^2 + (27 + 12,5\;\mathrm{mm})^2}\\[5pt] &\phantom{=}& - \sqrt{(71\;\mathrm{mm})^2 + (27 - 12,5\;\mathrm{mm})^2} \\[5pt] & \approx & 8,8\;\mathrm{mm} \end{array}$

Mit der Schallgeschwindigkeit $Formula: c = 340\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: c = 340\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ lässt sich daraus die Frequenz $Formula: f_{\mathrm{S}}$ $Formula: f_{\mathrm{S}}$ des Ultraschallsenders berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{\mathrm{S}} & = & \dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{340\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{8,73 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 39 \cdot 10^3\;\mathrm{Hz} \\[5pt] & = & 39\;\mathrm{kHz} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f_{\mathrm{S}} & = & \dfrac{c}{\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{340\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{8,73 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 39 \cdot 10^3\;\mathrm{Hz} \\[5pt] & = & 39\;\mathrm{kHz} \end{array}$

Die angegebene Frequenz ist damit bestätigt.

1.3

Aus den Oszilloskopbildern in Material 1c kann die Periodendauer Formula: T bestimmt werden.

Im linken Bild laufen vier Perioden in circa $Formula: 103\;\mathrm{\mu s}$ $Formula: 103\;\mathrm{\mu s}$ ab, was $Formula: T_1 = \tfrac{103}{4}\;\mathrm{\mu s}$ $Formula: T_1 = \tfrac{103}{4}\;\mathrm{\mu s}$ liefert. Daraus ergibt sich die minimale Frequenz $Formula: f_{\mathrm{min}} = \tfrac{1}{T_1} \approx 39\;\mathrm{kHz}.$ $Formula: f_{\mathrm{min}} = \tfrac{1}{T_1} \approx 39\;\mathrm{kHz}.$

Im rechten Bild ergibt sich für vier Perioden circa $Formula: 93\;\mathrm{\mu s},$ $Formula: 93\;\mathrm{\mu s},$ was $Formula: T_2 = \tfrac{93}{4}\;\mathrm{\mu s}$ $Formula: T_2 = \tfrac{93}{4}\;\mathrm{\mu s}$ ergibt. Daraus folgt für die maximale Frequenz $Formula: f_{\mathrm{max}} = \tfrac{1}{T_2} \approx 43\;\mathrm{kHz}.$ $Formula: f_{\mathrm{max}} = \tfrac{1}{T_2} \approx 43\;\mathrm{kHz}.$

Da die gesuchte Frequenz von $Formula: 39\;\mathrm{kHz}$ $Formula: 39\;\mathrm{kHz}$ innerhalb dieses Intervalls ( $Formula: 38,8\;\mathrm{kHz}$ $Formula: 38,8\;\mathrm{kHz}$ bis $Formula: 43,0\;\mathrm{kHz}$ $Formula: 43,0\;\mathrm{kHz}$ ) liegt, ist der Generator als Quelle für dieses Experiment geeignet.

1.4

Gemäß der Beziehung $Formula: c = \lambda \cdot f_{\mathrm{S}}$ $Formula: c = \lambda \cdot f_{\mathrm{S}}$ nimmt die Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ zu, wenn die Frequenz $Formula: f_{\mathrm{S}}$ $Formula: f_{\mathrm{S}}$ verkleinert wird (bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit ). Eine größere Wellenlänge führt dazu, dass ein größerer Gangunterschied benötigt wird, um wiederum konstruktive Interferenz zu erzeugen. Die Maxima verschieben sich daher weiter nach außen.

Daraus ergibt sich die Hypothese: Bei einer Verkleinerung der Frequenz werden die Orte der Maxima im $Formula: x\text{-}U\text{-}$ $Formula: x\text{-}U\text{-}$ Diagramm weiter auseinanderliegen, der Abstand der Maxima zur Mitte wird also größer.

2.1

Schematische Darstellung eines Kondensators mit zwei Platten und Spannungsanschluss

2.2

Herleitung der Formel für die Anfangsgeschwindigkeit $Formula: \boldsymbol{v_0}$ $Formula: \boldsymbol{v_0}$

Die Elektronen werden aus der Ruhe heraus durch das elektrische Feld beschleunigt. Dabei wird die gesamte vom Feld aufgewendete elektrische Energie in kinetische Energie der Elektronen umgewandelt. Der Energieerhaltungssatz liefert folgenden Ansatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{el}} & = & E_{\mathrm{kin}} \\[5pt] e \cdot U_{\mathrm{B}} & = & \dfrac{1}{2}m_{\mathrm{e}} \cdot v_0^2 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{2}{m_{\mathrm{e}}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}} & = & v_0^2 &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v_0 & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{el}} & = & E_{\mathrm{kin}} \\[5pt] e \cdot U_{\mathrm{B}} & = & \dfrac{1}{2}m_{\mathrm{e}} \cdot v_0^2 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{2}{m_{\mathrm{e}}} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}} & = & v_0^2 &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v_0 & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}} \end{array}$

Das entspricht der herzuleitenden Gleichung.

Berechnung für $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{B}} = 1000\;\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{B}} = 1000\;\mathrm{V}}$

Durch Einsetzen der Elementarladung und der Elektronenmasse lässt sich die Geschwindigkeit berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v_0 & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 1000\;\mathrm{V}}{9,109 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] & \approx & 1,876 \cdot 10^7\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v_0 & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 1000\;\mathrm{V}}{9,109 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] & \approx & 1,876 \cdot 10^7\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \end{array}$

2.3

Grafische Darstellung der Messwerte

Streudiagramm mit ansteigenden Messwerten in einem Koordinatensystem.

Bestätigung des funktionalen Zusammenhangs

Zur Überprüfung des vorgegebenen funktionalen Zusammenhangs $Formula: U_{\mathrm{B}}(x) \approx 0,5\;\mathrm{\tfrac{kV}{cm^2}} \cdot x^2$ $Formula: U_{\mathrm{B}}(x) \approx 0,5\;\mathrm{\tfrac{kV}{cm^2}} \cdot x^2$ wird für jedes Messwertpaar aus der Tabelle aus Material 2b der Quotient $Formula: \tfrac{U_{\mathrm{B}}}{x^2}$ $Formula: \tfrac{U_{\mathrm{B}}}{x^2}$ gebildet:

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}}$	$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{B}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{B}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kV}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kV}}$	$Formula: \boldsymbol{\tfrac{U_{\mathrm{B}}}{x^2}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{U_{\mathrm{B}}}{x^2}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{kV}{cm^2}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{kV}{cm^2}}}$

Abgesehen vom Ausreißer beim kleinsten Messwert, sind die Quotienten näherungsweise konstant. Als Mittelwert ergibt sich:

$Formula: \overline{k} \approx 0,498\;\mathrm{\dfrac{kV}{cm^2}}$ $Formula: \overline{k} \approx 0,498\;\mathrm{\dfrac{kV}{cm^2}}$

Beziehungsweise bereinigt (ohne dem Ausreißer nach unten):

$Formula: \overline{k}_{\mathrm{bereinigt}} \approx 0,51\;\mathrm{\dfrac{kV}{cm^2}}$ $Formula: \overline{k}_{\mathrm{bereinigt}} \approx 0,51\;\mathrm{\dfrac{kV}{cm^2}}$

Da die Mittelwerte sehr gut mit dem theoretischen Faktor übereinstimmen, ist der funktionale Zusammenhang bestätigt.

2.4

Die elektrische Feldkraft auf die Elektronen wird ausschließlich durch die elektrische Feldstärke Formula: E des Plattenkondensators bestimmt. Für das homogene Feld gilt die Beziehung:

$Formula: E = \dfrac{U_{\mathrm{C}}}{d}$ $Formula: E = \dfrac{U_{\mathrm{C}}}{d}$

Werden nun sowohl die Ablenkspannung $Formula: U_{\mathrm{C}}$ $Formula: U_{\mathrm{C}}$ als auch der Plattenabstand Formula: d exakt verdoppelt, ergibt sich für die neue Feldstärke $Formula: E^*\text{:}$ $Formula: E^*\text{:}$

$Formula: E^* = \dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{C}}}{2 \cdot d} = \dfrac{U_{\mathrm{C}}}{d} = E$ $Formula: E^* = \dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{C}}}{2 \cdot d} = \dfrac{U_{\mathrm{C}}}{d} = E$

Die wirksame Feldstärke und somit auch die auf die Elektronen wirkende elektrische Feldkraft bleiben konstant.

Daraus folgt die Hypothese: Der Verlauf der Bahnkurve der Elektronen im Kondensator bleibt völlig unverändert, weil die Feldkraft auf die Elektronen konstant bleibt.

3.1

Graphische Darstellung der Messwerte

Streudiagramm mit Stromstärke in A und Kraft in mN

Bestätigung des Zusammenhangs zwischen $Formula: \boldsymbol{F}$ $Formula: \boldsymbol{F}$ und $Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$

Die Messreihe zeigt ein nahezu lineares, proportionales Verhalten, weshalb $Formula: F \sim I$ $Formula: F \sim I$ angenommen werden kann. Zur Überprüfung wird der Quotient $Formula: \tfrac{F}{I}$ $Formula: \tfrac{F}{I}$ für die gegebenen Wertepaare gebildet:

$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{A}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{A}}$
$Formula: \boldsymbol{F}$ $Formula: \boldsymbol{F}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mN}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mN}}$
$Formula: \boldsymbol{\tfrac{F}{I}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{F}{I}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{mN}{A}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{mN}{A}}}$

Die Quotienten sind näherungsweise konstant und der Mittelwert liegt bei $Formula: 3,64\;\mathrm{\tfrac{mN}{A}}.$ $Formula: 3,64\;\mathrm{\tfrac{mN}{A}}.$

Dieser Wert entspricht der Steigung der Ursprungsgeraden und stimmt näherungsweise mit dem in der Aufgabenstellung vorgegebenen Wert von $Formula: 3,5\;\mathrm{\tfrac{mN}{A}}$ $Formula: 3,5\;\mathrm{\tfrac{mN}{A}}$ überein, womit der Zusammenhang bestätigt ist.

Ermittlung der magnetischen Flussdichte $Formula: \boldsymbol{B}$ $Formula: \boldsymbol{B}$

Aus der Gleichung aus der Aufgabenstellung folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} B & = \dfrac{F}{I \cdot l} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot l \\[5pt] \dfrac{F}{I} & = B \cdot l \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} B & = \dfrac{F}{I \cdot l} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot l \\[5pt] \dfrac{F}{I} & = B \cdot l \end{array}$

Der Quotient $Formula: \tfrac{F}{I}$ $Formula: \tfrac{F}{I}$ entspricht gemäß der Aufgabenstellung:

$Formula: \dfrac{F}{I}=3,5\;\mathrm{\dfrac{mN}{A}}$ $Formula: \dfrac{F}{I}=3,5\;\mathrm{\dfrac{mN}{A}}$

Durch Gleichsetzen der Terme ergibt sich mit der Leiterlänge $Formula: l = 4\;\mathrm{cm} = 0,04\;\mathrm{m}\text{:}$ $Formula: l = 4\;\mathrm{cm} = 0,04\;\mathrm{m}\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 3,5\;\mathrm{\dfrac{mN}{A}} & = B \cdot l &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{l} \\[5pt] B & = \dfrac{3,5\;\mathrm{\tfrac{mN}{A}}}{4\;\mathrm{cm}} \\[5pt] & = \dfrac{3,5 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{N}}{1\;\mathrm{A} \cdot 0,04\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = 0,0875\;\mathrm{T} \\[5pt] & \approx 88\;\mathrm{mT} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 3,5\;\mathrm{\dfrac{mN}{A}} & = B \cdot l &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{l} \\[5pt] B & = \dfrac{3,5\;\mathrm{\tfrac{mN}{A}}}{4\;\mathrm{cm}} \\[5pt] & = \dfrac{3,5 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{N}}{1\;\mathrm{A} \cdot 0,04\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = 0,0875\;\mathrm{T} \\[5pt] & \approx 88\;\mathrm{mT} \end{array}$

3.2

Skizzieren der Bewegungsrichtungen

Die Bewegungsrichtung lässt sich mit der Drei-Finger-Regel der linken Hand (für Elektronen) bestimmen.

Magnetfeld zwischen Nord- und Südpol mit eingezeichneter Bewegung von Ladungen

Aufstellen der Hypothese zur Stromrichtung

Damit sich der Magnet nach links bewegt, muss er eine nach links gerichtete abstoßende Kraft erfahren. Nach dem Wechselwirkungsprinzip übt der Magnet auf den fixierten Leiter eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft aus. Auf den Leiter muss demnach eine Lorentzkraft nach rechts wirken. Wie in der Skizze oben zu sehen, tritt eine nach rechts gerichtete Lorentzkraft in diesem Magnetfeld nur dann auf, wenn der Elektronenstrom in die Zeichenebene hineinfließt.

Daraus folgt die Hypothese: Damit sich der bewegliche Magnet nach links bewegt, muss der Elektronenstrom im ortsfesten Leiter in die Zeichenebene hinein fließen ( $Formula: \otimes$ $Formula: \otimes$ ).

Schematische Darstellung eines Magnetfelds mit Nord- und Südpol sowie Bewegungsrichtung des Magneten

3.3

Die Lorentzkraft wirkt ausschließlich auf die Geschwindigkeitskomponente der Ladungen, die senkrecht zur Magnetfeldrichtung orientiert sind. Bei der u-förmigen Leiterschleife (linkes Bild in Material 3e) kompensieren sich die Kräfte auf die beiden vertikalen Leiterabschnitte, da der Strom auf der einen Seite nach unten und auf der anderen Seite nach oben fließt. Ausschließlich der horizontale Leiterabschnitt erfährt eine Kraft, die zu einem Anheben oder Absenken der Schleife führt.

Sofern die Maße bei beiden Schleifen identisch sind, bleibt die Summe der vertikalen und horizontalen Leiterlängen im homogenen Magnetfeld auch bei der geknickten Leiterschleife gleich. Bei der geknickten Schleife (rechtes Bild in Material 3e) kompensieren sich somit die Kräfte auf die vertikalen Leiterabschnitte ebenfalls. Und der horizontale Leiterabschnitt mit der Gesamtlänge Formula: d erfährt wieder die gleiche Kraft, die wieder zu einem Anheben oder Absenken der Schleife führt. Der „Knick“ hat somit keinen Einfluss.

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Aufgabe I — Ausgewählte Experimente der Physik

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Material 1a: Aufbau des Versuchs

Material 1b: Abhängigkeit der Spannung am Mikrofon vom Ort

Material 1c: Zeitlicher Verlauf der Spannung am Ultraschallsender für minimale (links) und maximale Frequenz (rechts) des Generators

Material 2a: Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus

Material 2b: Messwerte zur Ablenkung des Elektronenstrahls

Material 3a: Schematischer Aufbau der Stromwaage, dargestellt sind Vorder- und Seitenansicht

Material 3b: Messwerte zur Stromwaage

Material 3c: Schemazeichnungen eines ortsfesten Permanentmagneten und eines beweglichen, senkrecht zur Zeichenebene stromdurchflossenen Leiters

Material 3d: Schemazeichnung eines beweglichen Permanentmagneten und eines ortsfesten, senkrecht zur Zeichenebene stromdurchflossenen Leiters

Material 3e: Schemazeichnung von zwei Leitern im Magnetfeld

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Material 1b: Abhängigkeit der Spannung $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U}}$ am Mikrofon vom Ort $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{x}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{x}}$