Aufgabe II — Abklingprozesse und Kondensatorentladung

In Aufgabe 1 wird das Absorptionsvermögen von Graufiltern untersucht. Dazu wird Licht einer weiß leuchtenden Leuchtdiode verwendet. Aufgabe 2 thematisiert die Altersbestimmung mit der Radiocarbon-Methode ( $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren). Aufgabe 3 behandelt den Entladevorgang eines Kondensators über einen elektrischen Widerstand.

In dieser Aufgabe wird das Licht einer weiß leuchtenden Leuchtdiode (LED-weiß) untersucht. Weiterhin wird die Intensität dieses Lichts beim Durchgang durch Graufilter betrachtet.

1.1

Material 1a zeigt das Wellenlänge-Intensität-Spektrum einer LED-weiß.

Ermittle mit Material 1a die Frequenz des Lichts der LED-weiß, bei der Strahlung der höchsten Intensität emittiert wird.

2 BE

1.2

Die Intensität des Lichts der LED-weiß wird mit einem Lichtsensor gemessen. Zwischen LED und Lichtsensor werden Graufilter in den Strahlengang gebracht (Material 1b). Die Messwerte sind in Material 1c dargestellt.

Stelle die am Lichtsensor gemessene Spannung Formula: U in Abhängigkeit von der Anzahl Formula: n der Graufilter grafisch dar.

Ermittle einen exponentiellen funktionalen Zusammenhang Formula: U=f(n), wobei du dein Vorgehen in der im Unterricht vereinbarten Form dokumentierst.

Laut Angabe des Herstellers der Graufilter halbiert sich die Intensität des Lichts beim Durchgang durch je einen Graufilter.

Berechne unter Annahme der Gültigkeit der Herstellerangaben die Anzahl der Graufilter, sodass die gemessene Spannung höchstens $Formula: 0,1\,\%$ $Formula: 0,1\,\%$ der Anfangsspannung (ohne Graufilter) beträgt.

10 BE

1.3

Die Spannung an der LED-weiß aus dem Experiment in Material 1b wird von $Formula: 5,0\;\mathrm{V}$ $Formula: 5,0\;\mathrm{V}$ auf $Formula: 2,5\;\mathrm{V}$ $Formula: 2,5\;\mathrm{V}$ halbiert.

Begründe, dass jetzt das Spektrum der LED-weiß im Vergleich zu Material 1a keine Wellenlängen von weniger als $Formula: 496\;\mathrm{nm}$ $Formula: 496\;\mathrm{nm}$ beinhalten kann.

3 BE

1.4

Das Experiment aus Aufgabe 1.2 kann auch mit einer infrarot strahlenden LED ( $Formula: \lambda_{\mathrm{IR}} \ge 750\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{IR}} \ge 750\;\mathrm{nm}$ ) durchgeführt werden. Die relative Lichtdurchlässigkeit eines Graufilters in Abhängigkeit von der Wellenlänge ist in Material 1d dargestellt.

Beurteile mit Material 1d die Herstellerangabe aus Aufgabe 1.2.

3 BE

In dieser Aufgabe wird die Radiocarbon-Methode ( $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren) zur Altersbestimmung von organischen Körpern thematisiert.

2.1

Erläutere anhand der zu beschriftenden Skizze in Material 2a das grundlegende Funktionsprinzip des Geiger-Müller-Zählrohrs als Messgerät für Zählraten.

Hinweis: Beschränke dich bei der Erläuterung auf die Vorgänge im Zählrohr.

5 BE

2.2

Atome des radioaktiven Kohlenstoffisotops $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ entstehen ständig in der Atmosphäre. Dabei trifft jeweils ein Neutron auf einen Stickstoff-Atomkern ( $Formula: \text{N-}14$ $Formula: \text{N-}14$ ), und es wird jeweils ein Teilchen freigesetzt. Der entsprechende Ausschnitt aus der Nuklidkarte ist in Material 2b abgebildet.

Beschreibe den Prozess zur Bildung des Kohlenstoff-Isotops $Formula: \text{C-}14.$ $Formula: \text{C-}14.$

Das Isotop $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ ist radioaktiv.

Stelle den Zerfall des $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Isotops dar.

Hinweis: Gehe dabei auch auf die Vorgänge im Atomkern ein.

6 BE

2.3

Aufgrund von Neubildung und Zerfall ist der Anteil von $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ in der Atmosphäre konstant. Das $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren ist daher geeignet zur Bestimmung der Zeit, die seit dem Tod eines Organismus verstrichen ist.

Erläutere das Prinzip des $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahrens.

Material 2c zeigt Informationen zur Minoischen Eruption des Vulkans Santorin in Griechenland. Eine Form des Zerfallsgesetzes lautet:

$Formula: N(t) = N_0 \cdot 0,5^{\tfrac{t}{T_{\mathrm{H}}}}$ $Formula: N(t) = N_0 \cdot 0,5^{\tfrac{t}{T_{\mathrm{H}}}}$

$Formula: N(t)\text{:}$ $Formula: N(t)\text{:}$ Anzahl der Atomkerne zur Zeit Formula: t; $Formula: N_0\text{:}$ $Formula: N_0\text{:}$ Anzahl der Atomkerne zur Zeit Formula: t=0; $Formula: T_{\mathrm{H}}\text{:}$ $Formula: T_{\mathrm{H}}\text{:}$ Halbwertszeit

Ermittle aus dem Zerfallsgesetz und mit den Angaben aus Material 2c den Zeitpunkt der Minoischen Eruption.

8 BE

2.4

Das $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren ist zur Datierung von Fossilien nur begrenzt sinnvoll einsetzbar.

Begründe, weshalb das $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren für die Datierung des Aussterbens der Dinosaurier vor ca. 65 Millionen Jahren nicht geeignet ist.

3 BE

Kondensatoren spielen in vielen technischen Anwendungen u. a. als Energiespeicher eine wichtige Rolle. In dieser Aufgabe wird die Entladung eines Kondensators betrachtet.

3.1

In einem Experiment soll der zeitliche Verlauf der Stromstärke Formula: I(t) während der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand Formula: R untersucht werden. Material 3a zeigt den zugehörigen Schaltplan.

Beschreibe mit Material 3a die Durchführung eines Experiments, mit dem der zeitliche Verlauf der Stromstärke Formula: I(t) gemessen werden kann.

In Material 3b sind die Ergebnisse einer Messreihe dargestellt. In Material 3c sind die Wertepaare aus Material 3b in einem Koordinatensystem aufgetragen.

Ermittle mithilfe von Material 3b bzw. Material 3c die Halbwertszeit $Formula: T_{\mathrm{H}}$ $Formula: T_{\mathrm{H}}$ und die während der ersten Halbwertszeit durch den Widerstand abgeflossene Ladung $Formula: Q_{\mathrm{H}}.$ $Formula: Q_{\mathrm{H}}.$

Berechne mit dem Zusammenhang

$Formula: C = \dfrac{2 \cdot Q_{\mathrm{H}}}{U_0}$ $Formula: C = \dfrac{2 \cdot Q_{\mathrm{H}}}{U_0}$

die Kapazität des Kondensators.

8 BE

3.2

In weiteren Messungen wird der Widerstand Formula: R in der Schaltung von Material 3a variiert. Dabei wird jeweils die Halbwertszeit der Kondensatorentladung gemessen. Die Messwerte sind in Material 3d gegeben.

Stelle die gemessene Halbwertszeit $Formula: T_{\mathrm{H}}$ $Formula: T_{\mathrm{H}}$ in Abhängigkeit des Widerstandes Formula: R grafisch dar.

Ermittle einen funktionalen Zusammenhang $Formula: T_{\mathrm{H}} = f(R),$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = f(R),$ wobei du dein Vorgehen in der im Unterricht vereinbarten Form dokumentierst.

7 BE

3.3

Für die Halbwertszeit $Formula: T_{\mathrm{H}}$ $Formula: T_{\mathrm{H}}$ einer Kondensatorentladung gilt die folgende Gleichung:

$Formula: T_{\mathrm{H}} = \ln 2 \cdot R \cdot C$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = \ln 2 \cdot R \cdot C$

$Formula: \ln 2 \approx 0,693$ $Formula: \ln 2 \approx 0,693$ (Zahlenwert); $Formula: R\text{:}$ $Formula: R\text{:}$ Widerstand; $Formula: C\text{:}$ $Formula: C\text{:}$ Kapazität

Berechne die Kapazität des Kondensators unter Einbeziehung aller Wertepaare aus Material 3d.

Die Kapazität des Kondensators wurde in den Aufgaben 3.1 und 3.3 mit zwei verschiedenen Methoden ermittelt.

Stelle eine begründete Hypothese auf, mit welcher Methode die Kapazität genauer ermittelt werden kann.

5 BE

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Material 1a: Wellenlänge-Intensität-Spektrum der LED-weiß

Diagramm: relative spektrale Intensität nach Wellenlänge, scharfe blaue Spitze um 450 nm und breitere grün-gelbe bis rote Kurve.

Auf der Hochachse ist die relative Intensität angegeben. Die LED-weiß wird mit einer Spannung von $Formula: U = 5,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U = 5,0\;\mathrm{V}$ betrieben.

Material 1b: Schematische Abbildung und Hinweise zum Versuch 1.2

Das Licht der Leuchtdiode trifft auf den Lichtsensor. Am Voltmeter ist eine Spannung Formula: U messbar, die als Maß für die Lichtintensität angesehen werden kann. Werden nacheinander zwischen Leuchtdiode und Lichtsensor mehrere identische Graufilter geschoben, so sinkt die Lichtintensität und somit die gemessene Spannung.

Schematische Darstellung: LED links, Filter in der Mitte, Lichtsensor und Voltmeter rechts.

Material 1c: Messwerte zum Experiment aus Material 1b

Anzahl $Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$ der Graufilter	Spannung $Formula: \boldsymbol{U}$ $Formula: \boldsymbol{U}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$

Material 1d: Relative Lichtintensität in Abhängigkeit von der Wellenlänge $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\boldsymbol{\lambda}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\boldsymbol{\lambda}}}$

Diagramm: Prozent vs. Wellenlänge (nm), Kurve bei ~50% von 400–700 nm, deutlicher Anstieg auf ~80–90% oberhalb 700 nm.

Dargestellt ist die relative Lichtintensität nach dem Durchleuchten eines Graufilters in Abhängigkeit von der Wellenlänge $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$

Die Lichtintensität ohne Graufilter entspricht $Formula: 100\,\%.$ $Formula: 100\,\%.$

Material 2a: Zu beschriftende Skizze des Geiger-Müller-Zählrohrs

Schematische Darstellung eines Sensors mit Anschluss an Zählelektronik und Plus- und Minus-Terminals

Die radioaktive Strahlung dringt von links in das Zählrohr ein.

Material 2b: Ausschnitt aus der Nuklidkarte


$Formula: \text{O-}14$ $Formula: \text{O-}14$ $Formula: 71\;\mathrm{s}$ $Formula: 71\;\mathrm{s}$ $Formula: \beta^+$ $Formula: \beta^+$	$Formula: \text{O-}15$ $Formula: \text{O-}15$ $Formula: 2\;\mathrm{min}$ $Formula: 2\;\mathrm{min}$ $Formula: \beta^+$ $Formula: \beta^+$	$Formula: \text{O-}16$ $Formula: \text{O-}16$ stabil	$Formula: \text{O-}17$ $Formula: \text{O-}17$ stabil
$Formula: \text{N-}13$ $Formula: \text{N-}13$ $Formula: 10\;\mathrm{min}$ $Formula: 10\;\mathrm{min}$	$Formula: \text{N-}14$ $Formula: \text{N-}14$ stabil	$Formula: \text{N-}15$ $Formula: \text{N-}15$ stabil	$Formula: \text{N-}16$ $Formula: \text{N-}16$ $Formula: 7\;\mathrm{s}$ $Formula: 7\;\mathrm{s}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$
$Formula: \text{C-}12$ $Formula: \text{C-}12$ stabil	$Formula: \text{C-}13$ $Formula: \text{C-}13$ stabil	$Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ $Formula: 5730\;\mathrm{a}$ $Formula: 5730\;\mathrm{a}$	$Formula: \text{C-}15$ $Formula: \text{C-}15$ $Formula: 2\;\mathrm{s}$ $Formula: 2\;\mathrm{s}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$
$Formula: \text{B-}11$ $Formula: \text{B-}11$ stabil	$Formula: \text{B-}12$ $Formula: \text{B-}12$ $Formula: 20\;\mathrm{ms}$ $Formula: 20\;\mathrm{ms}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$	$Formula: \text{B-}13$ $Formula: \text{B-}13$ $Formula: 17\;\mathrm{ms}$ $Formula: 17\;\mathrm{ms}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$	$Formula: \text{B-}14$ $Formula: \text{B-}14$ $Formula: 14\;\mathrm{ms}$ $Formula: 14\;\mathrm{ms}$ $Formula: \beta^-$ $Formula: \beta^-$

$Formula: Z\text{:}$ $Formula: Z\text{:}$ Protonenzahl (vertikal); $Formula: N\text{:}$ $Formula: N\text{:}$ Neutronenzahl (horizontal)

Material 2c: Material zur Radiocarbon-Methode

Eine Eruption des griechischen Vulkans Santorin war mutmaßlich verantwortlich für den Untergang der Minoischen Kultur auf der benachbarten Insel Kreta. In den Ascheschichten der Eruption wurden Äste von Olivenbäumen (rechts) gefunden. Diese Äste wurden mit dem $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ -Verfahren untersucht. Die Halbwertszeit des Kohlenstoff-Isotops $Formula: \text{C-}14$ $Formula: \text{C-}14$ beträgt Formula: 5730 Jahre. Die Zählrate einer Probe des Olivenastes beträgt Formula: 1,94 pro Sekunde. Eine gleich aufgearbeitete Probe eines gerade gefällten Olivenbaums weist die Zählrate von Formula: 3,00 pro Sekunde auf. Bei beiden Zählraten wurde die Nullrate bereits abgezogen.

Hohlraum mit bröseligen Erdklumpen, einem verwitterten Holzstück und gelbem Klappmaß

Quelle: Zugriff am 05.06.2026

Material 3a: Schaltplan zur Kondensatorentladung ( $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\boldsymbol{R = 100\;\mathrm{k\Omega};}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\boldsymbol{R = 100\;\mathrm{k\Omega};}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\boldsymbol{U_0 = 11,91\;\mathrm{V}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\boldsymbol{U_0 = 11,91\;\mathrm{V}}}}$ )

Schaltplan mit Spannungsquelle U0, Umschalter, Kondensator C, Widerstand R und Amperemeter A

Material 3b: Messwerte zum Versuch aus Material 3a

Zeit $Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	Stromstärke $Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\mu A}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\mu A}}$

Material 3c: Grafische Darstellung der Messwerte aus Material 3b

Liniengrafik: abfallender Strom I in µA über Zeit t in s mit markierten Messpunkten

Material 3d: Messwerte der Halbwertszeit der Kondensatorladung in Abhängigkeit des Widerstandes

Widerstand $Formula: \boldsymbol{R}$ $Formula: \boldsymbol{R}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{k\Omega}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{k\Omega}}$
Halbwertszeit $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$

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1.1

Aus dem Spektrum der LED in Material 1a lässt sich entnehmen, dass sich das Intensitätsmaximum bei einer Wellenlänge von etwa $Formula: \lambda = 440\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 440\;\mathrm{nm}$ befindet.

Daraus folgt für die Frequenz:

$Formula: f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3,00 \cdot 10^8\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{440 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} = 6,82 \cdot 10^{14}\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{3,00 \cdot 10^8\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{440 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} = 6,82 \cdot 10^{14}\;\mathrm{Hz}$

1.2

Grafische Darstellung der Messwerte

Diagramm: Punkte zeigen Spannung U (V) gegen n, abfallend von ≈2,7 V bei n=0 zu ≈0 V bei n=7.

Ermittlung des funktionalen Zusammenhangs

Es wird gemäß Aufgabenstellung von einem exponentiellen funktionalen Zusammenhang ausgegangen. Daher wird eine exponentielle Regression durchgeführt, aus dieser ergibt sich:

$Formula: U(n) = 2,60\;\mathrm{V} \cdot \text{e}^{-0,629 \cdot n}$ $Formula: U(n) = 2,60\;\mathrm{V} \cdot \text{e}^{-0,629 \cdot n}$

Berechnung der Mindestanzahl an Graufiltern

Gefordert ist eine Abschwächung auf maximal $Formula: 0,1\,\%$ $Formula: 0,1\,\%$ der Ausgangsintensität. Nach Herstellerangabe halbiert jeder Filter die Intensität des Lichts, der Hersteller geht somit von einer exponentiellen Abnahme der Lichtintensität aus. Die Bedingung für eine gemessene Spannung von höchstens $Formula: 0,1\,\%$ $Formula: 0,1\,\%$ des Anfangswertes lautet daher:

$Formula: 0,50^n \le 0,001$ $Formula: 0,50^n \le 0,001$ mit Formula: n als Anzahl der Graufilter

Daraus ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,50^n &\le& 0,001 &\quad\scriptsize\mid\, \ln(\;) \\[5pt] n \cdot \ln(0,50) &\le& \ln(0,001) &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{\ln(0,50)} \\[5pt] n &\ge& \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,50)} \approx 9,96 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,50^n &\le& 0,001 &\quad\scriptsize\mid\, \ln(\;) \\[5pt] n \cdot \ln(0,50) &\le& \ln(0,001) &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{\ln(0,50)} \\[5pt] n &\ge& \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,50)} \approx 9,96 \end{array}$

Da es nur ganze Filter gibt, sind also mindestens Formula: 10 Graufilter erforderlich.

1.3

Bei einer angelegten Betriebsspannung von $Formula: U = 2,5\;\mathrm{V}$ $Formula: U = 2,5\;\mathrm{V}$ können die emittierten Photonen nur noch eine maximale Energie von $Formula: E = e\cdot U=2,5\;\mathrm{eV}$ $Formula: E = e\cdot U=2,5\;\mathrm{eV}$ besitzen.

Diese maximale Photonenenergie korrespondiert mit einer minimalen Grenzwellenlänge, welche sich über die Energiegleichung für Photonen berechnet:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{\text{Grenz}} &=& \dfrac{h \cdot c}{E} \\[5pt] &=& \dfrac{6,63 \cdot 10^{-34}\;\text{J} \cdot \text{s} \cdot 3,00 \cdot 10^8\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{2,5 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\;\text{J}} \\[5pt] &=& 497\;\text{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{\text{Grenz}} &=& \dfrac{h \cdot c}{E} \\[5pt] &=& \dfrac{6,63 \cdot 10^{-34}\;\text{J} \cdot \text{s} \cdot 3,00 \cdot 10^8\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{2,5 \cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\;\text{J}} \\[5pt] &=& 497\;\text{nm} \end{array}$

Strahlung mit Wellenlängen unterhalb dieser Grenze (wie z. B. $Formula: 496\;\mathrm{nm}$ $Formula: 496\;\mathrm{nm}$ ) wäre energiereicher als die maximal zur Verfügung stehenden $Formula: 2,5\;\mathrm{eV}.$ $Formula: 2,5\;\mathrm{eV}.$ Daher kann die LED diesen kurzwelligeren Spektralbereich unter den gegebenen Bedingungen physikalisch nicht mehr aussenden.

1.4

Das bereitgestellte Transmissionsspektrum aus Material 1d zeigt für den infraroten Spektralbereich (Wellenlängen größer als $Formula: 750\;\mathrm{nm}$ $Formula: 750\;\mathrm{nm}$ ) eine relative Lichtdurchlässigkeit von etwa $Formula: 85\,\%$ $Formula: 85\,\%$ bis $Formula: 90\,\%.$ $Formula: 90\,\%.$

Die Herstellerangabe geht jedoch von einer durchgehenden Intensitätshalbierung, also nur $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ Transmission, pro eingesetztem Graufilter aus.

Daraus ist zu schließen, dass der Filter die Infrarotstrahlung deutlich schwächer absorbiert als vom Hersteller angegeben. Die allgemeine Herstellerangabe verliert somit für Licht oberhalb der Grenzwellenlänge von etwa $Formula: 750\;\mathrm{nm}$ $Formula: 750\;\mathrm{nm}$ ihre Gültigkeit.

2.1

Die zu erfassende ionisierende Strahlung tritt durch das dünne Glimmerfenster in das Innere des gasgefüllten Zählrohrs ein, wo die Strahlung die Gasatome ionisiert.

Durch die angelegte Zählrohrspannung zwischen dem Gehäuse (Minuspol) und dem Zähldraht (Pluspol) in der Mitte werden die freigesetzten Elektronen stark in Richtung des positiven Zähldrahts beschleunigt.

Auf dem Weg dorthin wird ihnen so viel kinetische Energie zugeführt, dass sie durch fortlaufende Kollisionen weitere Gasatome ionisieren. Diese Sekundärionisation führt zu einer Elektronenlawine, die zu einem messbaren Stromfluss an der Zählelektronik führt.

Schematisches Diagramm eines Zählrohrs mit Zähldraht, Gehäuse, Gasfüllung, Glimmerfenster und Zählelektronik

2.2

Bildung des Kohlenstoff-Isotops $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$

In den oberen Schichten der Atmosphäre trifft ein durch die kosmische Strahlung freigesetztes Neutron auf einen stabilen Stickstoff-Atomkern $Formula: {\mathrm{N}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{N}\text{-}14}$ und wird von diesem absorbiert. Da sich die Massenzahl bei diesem Prozess zunächst nicht ändert, der Kern jedoch energetisch instabil wird, spaltet er ein Proton ab. Durch den Verlust dieses Protons sinkt die Kernladungszahl von Formula: 7 auf Formula: 6. Aus dem ursprünglichen Stickstoffkern ist somit ein radioaktiver Kohlenstoffkern $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ entstanden, während die Massenzahl bei Formula: 14 verbleibt.

Zerfall des Isotops $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$

Der $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Kern ist instabil und zerfällt in einem $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Zerfall. Dabei wandelt sich ein im Kern gebundenes Neutron in ein Proton um, wobei ein Elektron (das $Formula: \beta^{-}$ $Formula: \beta^{-}$ -Teilchen) ausgesendet wird. Aufgrund des neu entstandenen Protons erhöht sich die Kernladungszahl um eins von Formula: 6 auf Formula: 7. Dadurch wandelt sich der Kern wieder in den stabilen Stickstoffkern $Formula: {\mathrm{N}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{N}\text{-}14}$ um, wobei die Massenzahl von Formula: 14 während des gesamten Vorgangs gleich bleibt.

2.3

Prinzip des $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{C}\text{-}14}$ -Verfahrens

Durch das permanente Wechselspiel aus Neubildung und radioaktivem Zerfall stellt sich in der Erdatmosphäre ein konstantes Gleichgewicht des $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Anteils ein. Lebende Organismen nehmen den Kohlenstoff fortlaufend über die Biosphäre auf, wodurch das Isotopenverhältnis in lebenden Organismen dem der Atmosphäre entspricht.

Sobald der Organismus stirbt, stoppt dieser Zufuhrprozess. Dadurch nimmt die Menge des eingelagerten $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ ab dem Todeszeitpunkt durch radioaktiven Zerfall exponentiell ab. Ein Vergleich der verbleibenden $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Konzentration mit der Aktivität eines vergleichbaren, lebenden Organismus ermöglicht über das Zerfallsgesetz die Berechnung der Zeit, die seit dem Absterben verstrichen ist.

Die Methode setzt allerdings voraus, dass die historische $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ -Konzentration der heutigen entsprach.

Altersbestimmung der Minoischen Eruption

Es gilt das Zerfallsgesetz (siehe Aufgabenstellung):

$Formula: N(t) = N_{0} \cdot 0,5^{\tfrac{t}{T_{\mathrm{H}}}}$ $Formula: N(t) = N_{0} \cdot 0,5^{\tfrac{t}{T_{\mathrm{H}}}}$

Aus Material 2c sind folgende Werte gegeben:

Aktuelle Zählrate des fossilen Olivenastes: $Formula: N(t) = 1,94\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: N(t) = 1,94\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$
Zählrate der lebenden Referenzprobe: $Formula: N_{0} = 3,00\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$ $Formula: N_{0} = 3,00\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}$
Halbwertszeit von $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}\text{:}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}\text{:}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 5730\;\mathrm{a}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 5730\;\mathrm{a}$

Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}1,94\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} & = & 3,00\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot 0,5^{\tfrac{t}{5730\;\mathrm{a}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{3,00\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}} \\[5pt]0,647 & = & 0,5^{\tfrac{t}{5730\;\mathrm{a}}} &\quad\scriptsize\mid\,\ln(\;) \\[5pt]\ln(0,647) & = & \dfrac{t}{5730\;\mathrm{a}} \cdot \ln(0,5) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{5730\;\mathrm{a}}{\ln(0,5)} \\[5pt]t & = & \dfrac{\ln(0,647)}{\ln(0,5)} \cdot 5730\;\mathrm{a} \\[5pt]& \approx & 3,60 \cdot 10^3\;\mathrm{a}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}1,94\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} & = & 3,00\;\dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot 0,5^{\tfrac{t}{5730\;\mathrm{a}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{3,00\;\tfrac{1}{\mathrm{s}}} \\[5pt]0,647 & = & 0,5^{\tfrac{t}{5730\;\mathrm{a}}} &\quad\scriptsize\mid\,\ln(\;) \\[5pt]\ln(0,647) & = & \dfrac{t}{5730\;\mathrm{a}} \cdot \ln(0,5) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{5730\;\mathrm{a}}{\ln(0,5)} \\[5pt]t & = & \dfrac{\ln(0,647)}{\ln(0,5)} \cdot 5730\;\mathrm{a} \\[5pt]& \approx & 3,60 \cdot 10^3\;\mathrm{a}\end{array}$

Die Minoische Eruption ereignete sich demnach etwa $Formula: 3600\;\mathrm{a}$ $Formula: 3600\;\mathrm{a}$ vor der Messung der Proben.

2.4

Das Aussterben der Dinosaurier liegt ungefähr Formula: 65 Millionen Jahre zurück. Verglichen mit der Halbwertszeit von $Formula: T_{\mathrm{H}} = 5730\;\mathrm{a}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 5730\;\mathrm{a}$ entspricht dieser Zeitraum mehr als 10.000 Halbwertszeiten. Nach einer derart langen Zeitspanne ist das ursprünglich vorhandene $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ $Formula: {\mathrm{C}\text{-}14}$ fast vollständig zerfallen.

Die verbleibende Restaktivität liegt praktisch bei Null, sodass keine messbare Zählrate mehr vom natürlichen Hintergrundrauschen unterschieden werden kann. Die Radiocarbon-Methode ist folglich für solche Zeiträume ungeeignet.

3.1

Beschreibung der Durchführung des Experiments

Das Aufladen des Kondensators erfolgt in der vorgegebenen Schalterstellung aus Material 3a. Durch das Umlegen des Schalters wird der Entladevorgang begonnen und zeitgleich die Zeitmessung gestartet. Während der Entladung werden die Werte für die Stromstärke zu verschiedenen Zeitpunkten abgelesen, um so die Entladungskurve zu erfassen.

Ermittlung der Halbwertszeit $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}$

Zum Zeitpunkt Formula: t=0 beträgt die Stromstärke $Formula: I(0) = 119,1\;\mathrm{\mu A}.$ $Formula: I(0) = 119,1\;\mathrm{\mu A}.$ Nach Ablauf der Halbwertszeit $Formula: T_{\mathrm{H}}$ $Formula: T_{\mathrm{H}}$ ist dieser Wert auf die Hälfte (knapp $Formula: 60\;\mathrm{\mu A}$ $Formula: 60\;\mathrm{\mu A}$ ) gesunken.

Im Diagramm aus Material 3c lässt sich dieser Wert bei etwa Formula: 50 Sekunden ablesen, woraus $Formula: T_{\mathrm{H}} \approx 50\;\mathrm{s}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} \approx 50\;\mathrm{s}$ folgt.

Ermittlung der abgeflossenen Ladung $Formula: \boldsymbol{Q_{\mathrm{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{Q_{\mathrm{H}}}$

Die abgeflossene Ladung entspricht geometrisch der Fläche unter der Formula: I(t) -Kurve. Durch das Auszählen der Kästchen lässt sich diese Fläche näherungsweise bestimmen.

Ein Kästchen entspricht einer Ladung von $Formula: 10\;\mathrm{s} \cdot 10\;\mathrm{\mu A} = 100\;\mathrm{\mu C}.$ $Formula: 10\;\mathrm{s} \cdot 10\;\mathrm{\mu A} = 100\;\mathrm{\mu C}.$

Zählen der Kästchen im Intervall bis $Formula: T_{\mathrm{H}} = 50\;\mathrm{s}$ $Formula: T_{\mathrm{H}} = 50\;\mathrm{s}$ liefert etwa Formula: 43 Kästchen. Somit ergibt sich:

$Formula: Q_{\mathrm{H}} \approx 43 \cdot 100\;\mathrm{\mu C} = 4300\;\mathrm{\mu C} = 4,3\;\mathrm{mC}$ $Formula: Q_{\mathrm{H}} \approx 43 \cdot 100\;\mathrm{\mu C} = 4300\;\mathrm{\mu C} = 4,3\;\mathrm{mC}$

Berechnung der Kapazität

Mit der Ladespannung $Formula: U_0 = 11,91\;\mathrm{V}$ $Formula: U_0 = 11,91\;\mathrm{V}$ berechnet sich die Kapazität zu:

$Formula: C = \dfrac{2 \cdot Q_{\mathrm{H}}}{U_0} = \dfrac{2 \cdot 4,3 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{C}}{11,91\;\mathrm{V}} = 0,72\;\mathrm{mF}$ $Formula: C = \dfrac{2 \cdot Q_{\mathrm{H}}}{U_0} = \dfrac{2 \cdot 4,3 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{C}}{11,91\;\mathrm{V}} = 0,72\;\mathrm{mF}$

3.2

Grafische Darstellung der Abhängigkeit

Streudiagramm mit blauen Punkten, gestrichelter Trendlinie und schattierter Fläche; x‑Achse R in kΩ, y‑Achse T_H in s

Ermittlung des funktionalen Zusammenhangs

Die Messpunkte lassen eine direkte Proportionalität vermuten (Ursprungsgerade). Zur Bestätigung wird der Quotient aus Halbwertszeit und Widerstand $Formula: k = \tfrac{T_{\mathrm{H}}}{R}$ $Formula: k = \tfrac{T_{\mathrm{H}}}{R}$ für die Wertepaare gebildet:

$Formula: \boldsymbol{R}$ $Formula: \boldsymbol{R}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{k\Omega}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{k\Omega}}$	$Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{H}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{k = \tfrac{T_{\mathrm{H}}}{R}}$ $Formula: \boldsymbol{k = \tfrac{T_{\mathrm{H}}}{R}}$

Die Quotienten sind im Rahmen der Messgenauigkeit konstant, der Mittelwert beträgt $Formula: \overline{k} \approx 0,495\;\mathrm{\tfrac{s}{k\Omega}}.$ $Formula: \overline{k} \approx 0,495\;\mathrm{\tfrac{s}{k\Omega}}.$ Der funktionale Zusammenhang lautet somit:

$Formula: T_{\mathrm{H}}(R) = 0,495\;\mathrm{\dfrac{s}{k\Omega}} \cdot R$ $Formula: T_{\mathrm{H}}(R) = 0,495\;\mathrm{\dfrac{s}{k\Omega}} \cdot R$

3.3

Berechnung der Kapazität

Die gegebene Formel wird zunächst nach der Kapazität Formula: C umgestellt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T_{\mathrm{H}} &=& \ln(2) \cdot R \cdot C &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{\ln(2) \cdot R} \\[5pt] C &=& \dfrac{T_{\mathrm{H}}}{\ln(2) \cdot R} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T_{\mathrm{H}} &=& \ln(2) \cdot R \cdot C &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{\ln(2) \cdot R} \\[5pt] C &=& \dfrac{T_{\mathrm{H}}}{\ln(2) \cdot R} \end{array}$

Um alle Messwerte zu berücksichtigen, wird der in Teilaufgabe 3.2 ermittelte Mittelwert des Quotienten $Formula: \overline{k} \approx 0,495\;\mathrm{\tfrac{s}{k\Omega}}$ $Formula: \overline{k} \approx 0,495\;\mathrm{\tfrac{s}{k\Omega}}$ für die Berechnung verwendet. Durch Einsetzen folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C &=& \dfrac{T_{\mathrm{H}}}{R \cdot \ln(2)} \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{k}}{\ln(2)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,495\;\mathrm{\tfrac{s}{k\Omega}}}{0,693} \\[5pt] &\approx& 0,71\;\mathrm{mF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C &=& \dfrac{T_{\mathrm{H}}}{R \cdot \ln(2)} \\[5pt] &=& \dfrac{\overline{k}}{\ln(2)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,495\;\mathrm{\tfrac{s}{k\Omega}}}{0,693} \\[5pt] &\approx& 0,71\;\mathrm{mF} \end{array}$

Aufstellen der Hypothese und Begründung

Hypothese: Die Bestimmung der Kapazität nach der Methode aus Teilaufgabe 3.3 liefert genauere Ergebnisse als die Methode aus Teilaufgabe 3.1.
Begründung: Bei der ersten Methode basiert die Auswertung auf dem ungenauen Auszählen von Kästchen für nur einen einzigen Widerstandswert.
Die zweite Methode bezieht hingegen mehrere Widerstandswerte ein. Durch die Mittelwertbildung werden zufällige Messfehler deutlich minimiert.

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Aufgabe II — Abklingprozesse und Kondensatorentladung

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Material 1a: Wellenlänge-Intensität-Spektrum der LED-weiß

Material 1b: Schematische Abbildung und Hinweise zum Versuch 1.2

Material 1c: Messwerte zum Experiment aus Material 1b

Material 1d: Relative Lichtintensität in Abhängigkeit von der Wellenlänge

Material 2a: Zu beschriftende Skizze des Geiger-Müller-Zählrohrs

Material 2b: Ausschnitt aus der Nuklidkarte

Material 2c: Material zur Radiocarbon-Methode

Material 3a: Schaltplan zur Kondensatorentladung ( )

Material 3b: Messwerte zum Versuch aus Material 3a

Material 3c: Grafische Darstellung der Messwerte aus Material 3b

Material 3d: Messwerte der Halbwertszeit der Kondensatorladung in Abhängigkeit des Widerstandes

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Material 1d: Relative Lichtintensität in Abhängigkeit von der Wellenlänge $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\boldsymbol{\lambda}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\boldsymbol{\lambda}}}$