Aufgabe I — Verschiedene Geschwindigkeiten

Im Mittelpunkt der ersten Aufgabe steht die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit. In der zweiten Aufgabe werden Quantenobjekte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten betrachtet und die dritte Aufgabe thematisiert beschleunigte Elektronen in elektrischen Feldern.

In dieser Aufgabe wird die Ausbreitung von harmonischen Wellen und deren kennzeichnenden Größen thematisiert. Eine Betrachtung von Phasenbeziehungen ermöglicht die Messung der Schallgeschwindigkeit.

1.1

Beschreibe den Unterschied zwischen longitudinalen und transversalen Wellen und gib jeweils ein Beispiel dafür an.

3 BE

1.2

Die Ausbreitung einer harmonischen Welle ist in Material 1a schematisch dargestellt.

Ermittle aus der Abbildung die Frequenz und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle sowie die Differenz der Phasen zwischen den Oszillatoren an den Stellen $Formula: 2\;\mathrm{cm}$ $Formula: 2\;\mathrm{cm}$ und $Formula: 4\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 4\;\mathrm{cm}.$

Zeichne ein Zeit-Auslenkungs-Diagramm, das die Schwingung des 1. Oszillators bei $Formula: x = 0\;\mathrm{cm}$ $Formula: x = 0\;\mathrm{cm}$ in Abhängigkeit von der Zeit für die ersten Formula: 4 Sekunden darstellt.

7 BE

1.3

In einem Experiment wird das Signal eines Ultraschallsenders von zwei Empfängern registriert, welche an einem Oszilloskop angeschlossen sind. Der Aufbau ist in Material 1b dargestellt. Material 1c zeigt das Oszilloskopbild für zwei feste Positionen der Empfänger.

Ermittle alle möglichen Phasen, um die das Signal am Empfänger Formula: E1 dem Signal am Empfänger Formula: E2 in Material 1c vorauseilt, wobei du zunächst die Phasen der beiden Signale anhand der Hilfslinien bestimmst.

Zeichne in Material 1d das Oszilloskopbild für den Fall ein, dass durch Verschieben des Empfängers Formula: E2 die Differenz der Phasen zwischen den Empfängern $Formula: 180^{\circ}$ $Formula: 180^{\circ}$ beträgt.

5 BE

1.4

Um die Schallgeschwindigkeit zu ermitteln, wird der Empfänger Formula: E2 von Empfänger Formula: E1 so weit weggezogen, bis sich der untere Graph im Oszilloskopbild (Material 1c) zum zehnten Mal wiederholt hat. Die Strecke, um die dabei verschoben wurde, beträgt $Formula: \Delta x = 87\;\mathrm{mm}.$ $Formula: \Delta x = 87\;\mathrm{mm}.$

Ermittle mit diesen Angaben und mit Material 1b die Schallgeschwindigkeit.

In Material 1e ist die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit von der Temperatur dargestellt.

Bestätige folgende Aussage: „Wenn die Temperatur im Experimentierraum von $Formula: 24\;^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 24\;^{\circ}\mathrm{C}$ auf $Formula: 34\;^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 34\;^{\circ}\mathrm{C}$ zunimmt, dann vergrößert sich die oben beschriebene Verschiebestrecke $Formula: \Delta x$ $Formula: \Delta x$ um etwa $Formula: 1,5\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 1,5\;\mathrm{mm}.$ “

Hinweis: Die Frequenz des Ultraschalls (hier $Formula: f = 40,0\;\mathrm{kHz}$ $Formula: f = 40,0\;\mathrm{kHz}$ ) ist bei Temperaturänderung konstant.

5 BE

Jönsson gelang es 1961, Quanteneigenschaften von Elektronen mit einem Doppelspaltexperiment zu zeigen. Mit ähnlichen Aufbauten konnte dieser Nachweis auch für Objekte mit größerer Masse, z. B. für Neutronen und für Moleküle, gezeigt werden. Die Beobachtungen und die Ergebnisse sind mit denen von Elektronen vergleichbar.

2.1

In Material 2a ist der Aufbau und in Material 2b und Material 2c sind die Ergebnisse eines Doppelspaltexperiments mit Elektronen dargestellt.

Beschreibe das Schirmbild in Material 2b.

Deute die Schirmbilder in Material 2c stochastisch.

5 BE

2.2

Das in Material 2a dargestellte Experiment wurde analog mit Farbstoffmolekülen und einem geeigneten Gitter durchgeführt. Ein Ausschnitt des Schirmbildes ist in Material 2d abgebildet.

Für die Lage der Maxima bei Interferenz am Gitter gilt die Bedingung:

$Formula: n \cdot \lambda = g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_n}{e}\right)\right)$ $Formula: n \cdot \lambda = g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_n}{e}\right)\right)$

$Formula: n\text{:}$ $Formula: n\text{:}$ Ordnung des Maximums; $Formula: \lambda\text{:}$ $Formula: \lambda\text{:}$ Wellenlänge; $Formula: g\text{:}$ $Formula: g\text{:}$ Gitterkonstante; $Formula: a_n\text{:}$ $Formula: a_n\text{:}$ Abstand zwischen dem Maximum 0. Ordnung und dem Maximum -ter Ordnung; $Formula: e\text{:}$ $Formula: e\text{:}$ Abstand zwischen Gitter und Schirm

Bestätige unter Verwendung dieser Gleichung und Material 2d, dass die Farbstoffmoleküle bei einer Geschwindigkeit von $Formula: v = 250\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v = 250\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ eine Wellenlänge von $Formula: \lambda \approx 3,0\;\mathrm{pm}$ $Formula: \lambda \approx 3,0\;\mathrm{pm}$ besitzen.

In Material 2e sind weitere Werte für die Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit Formula: v angegeben.

Bestätige den funktionalen Zusammenhang $Formula: \lambda = k \cdot \tfrac{1}{v}$ $Formula: \lambda = k \cdot \tfrac{1}{v}$ unter Angabe eines Wertes für die Konstante Formula: k und dokumentiere dein Vorgehen in der vereinbarten Form.

Die De-Broglie-Gleichung lautet:

$Formula: \lambda = \dfrac{h}{m \cdot v}$ $Formula: \lambda = \dfrac{h}{m \cdot v}$

$Formula: h\text{:}$ $Formula: h\text{:}$ Planck-Konstante; $Formula: m\text{:}$ $Formula: m\text{:}$ Masse; $Formula: v\text{:}$ $Formula: v\text{:}$ Geschwindigkeit

Ermittle auf Grundlage aller Messwerte einen Wert für die Planck-Konstante Formula: h.

12 BE

2.3

Die Farbstoffmoleküle aus dem in 2.2 beschriebenen Experiment verlassen die Quelle mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Berücksichtigt ist das in einer erweiterten Darstellung des Aufbaus in Material 2f und dem vollständigen Schirmbild in Material 2g.

Auf dem Schirmbild in Material 2g nimmt der Abstand der hellen Streifen von oben nach unten zu.

Erläutere diese Zunahme.

3 BE

Zur Erzeugung eines Elektronenstrahls wird ein Aufbau wie in Material 3a verwendet. Solche Röhren werden auch Elektronenstrahlröhren genannt. In dieser Röhre wurde ein Vakuum erzeugt.

3.1

Beschreibe die Funktionsweise einer Elektronenstrahlröhre (Material 3a).

Für die Geschwindigkeit Formula: v_0 von Elektronen an der Anode gilt die Gleichung:

$Formula: v_0 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}} \cdot e}{m_{\mathrm{e}}}}$ $Formula: v_0 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}} \cdot e}{m_{\mathrm{e}}}}$

$Formula: U_{\mathrm{B}}\text{:}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}\text{:}$ Beschleunigungsspannung; $Formula: e\text{:}$ $Formula: e\text{:}$ Elementarladung; $Formula: m_{\mathrm{e}}\text{:}$ $Formula: m_{\mathrm{e}}\text{:}$ Masse des Elektrons

Berechne für eine Beschleunigungsspannung von $Formula: U_{\mathrm{B}} = 500\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{B}} = 500\;\mathrm{V}$ die Geschwindigkeit der beschleunigten Elektronen.

Leite die obige Gleichung begründet her.

8 BE

3.2

Zur Untersuchung des glühelektrischen Effekts wird in einem Versuch die Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{A}}$ $Formula: I_{\mathrm{A}}$ an der Anode in Abhängigkeit der Heizspannung $Formula: U_{\mathrm{H}},$ $Formula: U_{\mathrm{H}},$ die an der Kathode anliegt, gemessen. Die Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ wird konstant bei $Formula: 500\;\mathrm{V}$ $Formula: 500\;\mathrm{V}$ gehalten. Die Messwerte sind in Material 3b angegeben.

Zeichne das $Formula: U_{\mathrm{H}}\text{-}I_{\mathrm{A}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}\text{-}I_{\mathrm{A}}$ -Diagramm.

Deute die Zunahme der Anodenstromstärke bei zunehmender Heizspannung ab $Formula: U_{\mathrm{H}} = 4,5\;\mathrm{V}.$ $Formula: U_{\mathrm{H}} = 4,5\;\mathrm{V}.$

7 BE

3.3

In einem veränderten Versuchsaufbau befindet sich nun zwischen der Kathode und der Anode ein Gitter. Zwischen dem Gitter und der Anode wird eine Gitterspannung $Formula: U_{\mathrm{G}}$ $Formula: U_{\mathrm{G}}$ angelegt und wie in 3.2 die Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{A}}$ $Formula: I_{\mathrm{A}}$ an der Anode gemessen (Material 3c).

Erläutere den Einfluss der Gitterspannung $Formula: U_{\mathrm{G}}$ $Formula: U_{\mathrm{G}}$ auf die Geschwindigkeit der Elektronen in Material 3c.

Die Beschleunigungsspannung sei $Formula: U_{\mathrm{B}} = 30\;\mathrm{V}.$ $Formula: U_{\mathrm{B}} = 30\;\mathrm{V}.$ Wird zwischen Gitter und Anode zunächst eine Gitterspannung $Formula: U_{\mathrm{G}} = 0\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{G}} = 0\;\mathrm{V}$ angelegt, so ist eine maximale Geschwindigkeit $Formula: v_{\mathrm{max}}$ $Formula: v_{\mathrm{max}}$ der Elektronen an der Anode der Röhre möglich.

Die Elektronen sollen nun mit der Hälfte der maximalen Geschwindigkeit $Formula: \tfrac{v_{\mathrm{max}}}{2}$ $Formula: \tfrac{v_{\mathrm{max}}}{2}$ an der Anode ankommen. Hierzu wird die Gitterspannung $Formula: U_{\mathrm{G}} = 22,5\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{G}} = 22,5\;\mathrm{V}$ zwischen Gitter und Anode eingestellt.

Bestätige den Wert von $Formula: U_{\mathrm{G}}$ $Formula: U_{\mathrm{G}}$ für die Elektronen mit $Formula: \tfrac{v_{\mathrm{max}}}{2}.$ $Formula: \tfrac{v_{\mathrm{max}}}{2}.$

5 BE

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Material 1a: Schematische Darstellung der Ausbreitung einer harmonischen Welle

Wellenprofil-Diagramm: Punkte auf Gitternetz zeigen Auslenkung s (cm) entlang x bei t=0, 1, 1.5, 2 und 3 s.

Dargestellt ist zu fünf verschiedenen Zeitpunkten die Elongation Formula: s in Abhängigkeit des Ortes Formula: x.

Material 1b: Aufbau des Experiments mit Ultraschall (US)

Die Frequenz des Ultraschalls (US) beträgt $Formula: 40,0\;\mathrm{kHz}.$ $Formula: 40,0\;\mathrm{kHz}.$ Die Empfänger Formula: E1 und Formula: E2 registrieren den Ultraschall des Senders und sind an einem Oszilloskop angeschlossen (Oszilloskopbild siehe Material 1c). Der Empfänger ist für alle Experimente in Aufgabe 1 am gleichen Ort. Zur experimentellen Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Aufgabe 1.4 wird der Empfänger entlang der Formula: x -Achse von Empfänger Formula: E1 weggezogen.

US-Sender links, zwei Messpunkte E1 und E2 auf einer horizontalen Achse, x in cm

Material 1c: Oszilloskopbild - Messung der Signale von Empfänger E1 (Kanal 1) und Empfänger E2 (Kanal 2)

Formula: E1 und Formula: E2 befinden sich für dieses Oszillsokopbild jeweils an einem festen Ort Formula: x. Der Abbildung wurden gestrichelte Hilfslinien zur Vereinfachung der Auswertung hinzugefügt.

Das Oszilloskop ist hier so eingestellt, dass Kanal 1 beim Unterschreiten eines bestimmten Wertes mit der Darstellung der Messung beginnt. Die obere Kurve startet somit auf der linken Seite stets wie hier abgebildet.

Zu genau dieser Zeit beginnt auch die zeitliche Darstellung der unteren Kurve.

Die Abnahme der Amplitude durch zunehmende Entfernung wird hier vernachlässigt.

Zwei Sinuskurven auf kariertem Messgitter, gestrichelte Achsen und Beschriftungen "Kanal 1" und "Kanal 2"

Material 1d: Zu ergänzendes Oszilloskopbild (Aufgabe 1.3)

Koordinatensystem mit Gitternetz und einer glatten Sinuskurve im oberen Bereich

Material 1e: Schallgeschwindigkeit in Luft in Abhängigkeit von der Temperatur

Material 2a: Skizze des sehr stark vereinfachten Versuchsaufbaus zum Experiment mit Elektronen am Doppelspalt nach Jönsson (Ansicht von oben)

Schematische Darstellung: Elektronenquelle links, Doppelspalt in der Mitte, Schirm rechts.

Material 2b: Schirmbild beim Experiment mit Elektronen am Doppelspalt nach Jönsson

Schwarz-weißes Bild mit schmalen, hellen vertikalen Streifen in der Bildmitte

Material 2c: Simulation eines Doppelspaltversuchs mit Elektronen

Die einzelnen Bilder wurden zu verschiedenen Zeiten aufgenommen.

Drei horizontale Felder mit punktförmigen Teilchen, die von oben nach unten dichter werden; rechts Beschriftungen a) b) c) mit Zeitangaben.

Material 2d: Ein Ausschnitt des Schirmbilds des Experiments mit Farbstoffmolekülen am Gitter mit $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{v = 250\;\mathrm{\tfrac{m}{s}},}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{v = 250\;\mathrm{\tfrac{m}{s}},}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{g = 105\;\mathrm{nm},}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{g = 105\;\mathrm{nm},}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{e = 59\;\mathrm{cm}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{e = 59\;\mathrm{cm}}}$

Horizontale Skala mit Markierungen von -150 bis 150 µm, Pfeil nach rechts und schraffierter Balken darüber

Die Interferenzstreifen verlaufen in diesem Ausschnitt in ungewohnter Weise nicht senkrecht zur Achse. Beschränke dich daher beim Ablesen auf den unteren Bereich der Interferenzstreifen.

Material 2e: Wellenlänge $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\lambda}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\lambda}}$ bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{v}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{v}}$

Die Farbstoffmoleküle haben eine Masse von $Formula: m \approx 8,53 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg}.$ $Formula: m \approx 8,53 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg}.$

$Formula: \boldsymbol{v}$ $Formula: \boldsymbol{v}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{m}{s}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{m}{s}}}$	$Formula: \boldsymbol{\lambda}$ $Formula: \boldsymbol{\lambda}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm}}$

Material 2f: Skizze des vereinfachten Versuchsaufbaus zum Experiment mit Farbstoffmolekülen am Gitter (Ansicht von der Seite)

Die Farbstoffmoleküle verlassen die Quelle mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Die schnellsten Moleküle treffen an höchster Stelle auf dem Schirm auf und die langsamsten Moleküle am unteren Rand.

Schematische Darstellung: Lichtquelle strahlt durch Gitter, auf Schirm erscheinen mehrere Beugungsstreifen.

Material 2g: Das vollständige Schirmbild des Experiments mit Farbstoffmolekülen am Gitter

Plot mit hellen, radialen Streifen auf grauem Hintergrund, Achsenbeschriftungen "v in m/s" (vertikal) und "a in µm" (horizontal)

Die Hochachse ist nicht linear skaliert.

Material 3a: Grundaufbau einer Elektronenstrahlröhre

Schaltbild einer Elektronenröhre mit Heizwicklung, Anode, Messgerät (A) und Spannungsquellen UH und UB.

$Formula: U_{\mathrm{H}}\text{:}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}\text{:}$ Heizspannung
$Formula: U_{\mathrm{B}}\text{:}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}\text{:}$ Spannung zwischen Kathode und Anode

Material 3b: Messreihe zur Heizspannung $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{H}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{H}}}}$ und der Stromstärke $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{I_{\mathrm{A}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{I_{\mathrm{A}}}}$ an der Anode

$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{H}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$	$Formula: \boldsymbol{I_{\mathrm{A}}}$ $Formula: \boldsymbol{I_{\mathrm{A}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$

Material 3c: Elektronenstrahlröhre mit Gitter

Dieser Aufbau und der des Franck-Hertz-Versuchs ähneln sich, hier ist aber ein Vakuum vorhanden.

Schaltbild einer Elektronenröhre mit Spule, Gitter, Spannungsanschlüssen (UH, UB, UG) und Amperemeter.

$Formula: U_{\mathrm{B}}\text{:}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}\text{:}$ Spannung zwischen Kathode und Gitter
$Formula: U_{\mathrm{G}}\text{:}$ $Formula: U_{\mathrm{G}}\text{:}$ Spannung zwischen Gitter und Anode

Quellenangaben:

Material 2b verändert aus Quelle; Zugriff 11.06.2026

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1.1

Longitudinale Wellen: Bei longitudinalen Wellen schwingen die Oszillatoren parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Ein Beispiel dafür sind Schallwellen.
Transversale Wellen: Bei transversalen Wellen erfolgt die Schwingung der Oszillatoren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Ein Beispiel dafür sind elektromagnetische Wellen.

1.2

Ermittlung der Kenngrößen

Die Abbildungsreihe in Material 1a verdeutlicht, dass die Welle nach einer Zeitspanne von $Formula: t = 2\;\mathrm{s}$ $Formula: t = 2\;\mathrm{s}$ eine Distanz von $Formula: s = 8\;\mathrm{cm}$ $Formula: s = 8\;\mathrm{cm}$ zurückgelegt hat. Das Erregerzentrum bei $Formula: x = 0\;\mathrm{cm}$ $Formula: x = 0\;\mathrm{cm}$ hat zu diesem Zeitpunkt exakt eine volle Schwingung abgeschlossen und schwingt somit phasengleich mit dem Oszillator bei $Formula: x = 8\;\mathrm{cm}.$ $Formula: x = 8\;\mathrm{cm}.$ Folglich beträgt die Periodendauer $Formula: T = 2\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 2\;\mathrm{s}$ und die Wellenlänge $Formula: \lambda = 8\;\mathrm{cm}.$ $Formula: \lambda = 8\;\mathrm{cm}.$

Daraus resultiert direkt die Frequenz $Formula: f\text{:}$ $Formula: f\text{:}$

$Formula: f = \frac{1}{2\;\mathrm{s}} = 0,5\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = \frac{1}{2\;\mathrm{s}} = 0,5\;\mathrm{Hz}$

Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit Formula: c ergibt sich:

$Formula: c = \frac{8\;\mathrm{cm}}{2\;\mathrm{s}} = 4\;\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$ $Formula: c = \frac{8\;\mathrm{cm}}{2\;\mathrm{s}} = 4\;\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$

Die Positionen $Formula: x = 2\;\mathrm{cm}$ $Formula: x = 2\;\mathrm{cm}$ und $Formula: x = 4\;\mathrm{cm}$ $Formula: x = 4\;\mathrm{cm}$ liegen $Formula: 2\;\mathrm{cm}$ $Formula: 2\;\mathrm{cm}$ auseinander, was exakt einem Viertel der berechneten Wellenlänge von $Formula: \lambda = 8\;\mathrm{cm}$ $Formula: \lambda = 8\;\mathrm{cm}$ entspricht. Der Phasenunterschied $Formula: \Delta\varphi$ $Formula: \Delta\varphi$ beläuft sich demzufolge auf eine Viertelphase:

$Formula: \Delta\varphi = 90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$ $Formula: \Delta\varphi = 90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$

Zeichnen des Zeit-Auslenkungs-Diagramm

Mit der Periodendauer $Formula: T = 2\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 2\;\mathrm{s}$ und der Amplitude von $Formula: 2\;\mathrm{cm}$ $Formula: 2\;\mathrm{cm}$ ergibt sich:

Graph einer Sinuskurve, y-Achse: s in cm (-2 bis 2), x-Achse: Zeit in s (0–4)

1.3

Analyse der Phasenunterschiede

Aus den Versuchshinweisen (Material 1c) geht hervor, dass die Aufzeichnungen der Kanäle 1 und 2 zeitgleich starten. Aus dem Oszilloskopbild ergibt sich mit Hilfe der Hilfslinien:

Die Kurvenverläufe zeigen, dass die Maxima von Kanal 1 genau mit den Nulldurchgängen mit positiver Steigung von Kanal 2 zusammenfallen.
Jedes Maximum tritt in Kanal 2 um mindestens eine Viertelperiode zeitverzögert auf.

Dies beweist, dass das Signal des ersten Empfängers dem zweiten mindestens um eine Viertelperiode vorangeht. Neben diesem Basiswert von $Formula: 90^\circ$ $Formula: 90^\circ$ sind aufgrund der periodischen Wiederholung alle Verschiebungen um ein Vielfaches der Vollphase denkbar:

$Formula: \Delta\varphi_{{n}} = 90^\circ + n \cdot 360^\circ$ $Formula: \Delta\varphi_{{n}} = 90^\circ + n \cdot 360^\circ$ mit $Formula: n = 0, 1, 2, \dots$ $Formula: n = 0, 1, 2, \dots$

Ergänzung des Oszilloskopbildes

Bei einer Phasendifferenz von $Formula: 180^\circ$ $Formula: 180^\circ$ sind die Signale um exakt eine halbe Periode gegeneinander verschoben. Daraus folgt:

Karopapier mit Koordinatenachsen und vier sinusähnlichen Kurven

1.4

Berechnung der Schallgeschwindigkeit

Eine zehnmalige Wiederholung des identischen Kurvenbildes im Oszilloskop bedeutet, dass der Empfänger Formula: E2 um exakt Formula: 10 komplette Wellenlängen verschoben wurde.

Die gemessene Distanz von $Formula: \Delta x = 87\;\mathrm{mm}$ $Formula: \Delta x = 87\;\mathrm{mm}$ entspricht daher $Formula: 10 \cdot \lambda,$ $Formula: 10 \cdot \lambda,$ woraus sich $Formula: \lambda = 8,7\;\mathrm{mm}$ $Formula: \lambda = 8,7\;\mathrm{mm}$ ableiten lässt.

Zusammen mit der Ultraschallfrequenz von $Formula: f = 40,0\;\mathrm{kHz}$ $Formula: f = 40,0\;\mathrm{kHz}$ lässt sich die Schallgeschwindigkeit wie folgt berechnen:

$Formula: c = 0,0087\;\mathrm{m} \cdot 40000\;\mathrm{Hz} = 348\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: c = 0,0087\;\mathrm{m} \cdot 40000\;\mathrm{Hz} = 348\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Bestätigung der Temperaturaussage

Eine Temperaturerhöhung um $Formula: 10\;^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 10\;^{\circ}\mathrm{C}$ führt gemäß dem Material 1e zu einer Erhöhung der Schallgeschwindigkeit um circa $Formula: 6\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}.$ $Formula: 6\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}.$

Die neue Geschwindigkeit beträgt somit $Formula: c_{\mathrm{neu}} = 354\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}.$ $Formula: c_{\mathrm{neu}} = 354\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}.$

Bei gleichbleibender Frequenz resultiert daraus die neue Wellenlänge:

$Formula: \lambda_{\mathrm{neu}} = \dfrac{354\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{40 \cdot 10^3\;\mathrm{Hz}} = 0,00885\;\mathrm{m} = 8,85\;\mathrm{mm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{neu}} = \dfrac{354\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{40 \cdot 10^3\;\mathrm{Hz}} = 0,00885\;\mathrm{m} = 8,85\;\mathrm{mm}$

Die Wellenlänge vergrößert sich also um $Formula: 0,15\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 0,15\;\mathrm{mm}.$

Da der Empfänger über zehn Wellenlängen verschoben wird, verzehnfacht sich diese Differenz auf exakt $Formula: 1,5\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 1,5\;\mathrm{mm}.$ Die ursprüngliche Aussage ist somit rechnerisch bestätigt.

2.1

Beschreibung des Schirmbildes

Auf dem Schirm ist in der Mitte ein sehr heller, senkrecht verlaufender Streifen abgebildet. Symmetrisch dazu befinden sich auf der linken und rechten Seite weitere parallele Streifen. Die Helligkeit und die Breite dieser Interferenzstreifen nehmen nach außen hin ab.

Stochastische Deutung des Schirmbildes

Wie in Bild a) zu sehen ist, ist zunächst kein Muster erkennbar, die Auftreffpunkte erscheinen zufällig verteilt. Im weiteren Verlauf wird immer mehr ein Interferenzmuster erkennbar, bis in Bild c) dieses deutlich erkennbar ist. Daraus lassen sich folgende Schlüsse ziehen:

Die Elektronen treffen als einzelne Objekte auf dem Schirm auf, wobei der exakte Auftreffort eines einzelnen Elektrons nicht deterministisch vorhersagbar ist.
In ihrer Gesamtheit bilden die detektierten Elektronen jedoch ein charakteristisches Interferenzmuster.

Dieses Interferenzmuster auf dem Schirm entspricht einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Helle Bereiche kennzeichnen Orte mit einer hohen Auftreffwahrscheinlichkeit, während an den dunklen Stellen nahezu keine Elektronen registriert werden. Der Versuch kann folglich als Beleg gedeutet werden, dass sich die Elektronen stochastisch verhalten.

2.2

Bestätigung der Wellenlänge

Aus der Abbildung aus Material 2d lässt sich der Abstand für die Maxima 3. Ordnung ( Formula: n = 3 ) ablesen.

Der Abstand zwischen den beiden Maxima 3. Ordnung beträgt näherungsweise $Formula: 2 \cdot a_3 \approx 100\;\mathrm{\mu m},$ $Formula: 2 \cdot a_3 \approx 100\;\mathrm{\mu m},$ woraus $Formula: a_3 = 50\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: a_3 = 50\;\mathrm{\mu m}$ folgt.

Unter Verwendung der angegebenen Interferenzbedingung am Gitter mit den gegebenen Werten ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \lambda &=& 105 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{50 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{0,59\;\mathrm{m}}\right)\right) \\[5pt] \lambda &\approx& 3,0 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{m} = 3,0\;\mathrm{pm} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \lambda &=& 105 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{50 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{0,59\;\mathrm{m}}\right)\right) \\[5pt] \lambda &\approx& 3,0 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{m} = 3,0\;\mathrm{pm} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{3} \end{array}$

Der vorgegebene Wert für die Wellenlänge ist damit bestätigt.

Bestätigung des funktionalen Zusammenhangs

Um den umgekehrt proportionalen Zusammenhang $Formula: \lambda = k \cdot \tfrac{1}{v}$ $Formula: \lambda = k \cdot \tfrac{1}{v}$ zu prüfen, wird das Produkt $Formula: k = \lambda \cdot v$ $Formula: k = \lambda \cdot v$ für die gegebenen Messwertepaare gebildet. Liegt eine umgekehrte Proportionalität vor, muss dieses Produkt konstant sein:

$Formula: \boldsymbol{v}$ $Formula: \boldsymbol{v}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{m}{s}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{m}{s}}}$	$Formula: \boldsymbol{\lambda}$ $Formula: \boldsymbol{\lambda}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm}}$	$Formula: \boldsymbol{k = \lambda \cdot v}$ $Formula: \boldsymbol{k = \lambda \cdot v}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm \cdot \tfrac{m}{s}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pm \cdot \tfrac{m}{s}}}$

Im Rahmen der Messgenauigkeit sind diese Produkte konstant. Der berechnete Mittelwert beträgt $Formula: \overline{k} \approx 766\;\mathrm{pm} \cdot \mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: \overline{k} \approx 766\;\mathrm{pm} \cdot \mathrm{\tfrac{m}{s}}$ beziehungsweise $Formula: 766 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{\tfrac{m^2}{s}}.$ $Formula: 766 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{\tfrac{m^2}{s}}.$

Ermittlung der Planck-Konstante

Die De-Broglie-Beziehung lautet $Formula: \lambda = \tfrac{h}{p}=\tfrac{h}{m \cdot v}.$ $Formula: \lambda = \tfrac{h}{p}=\tfrac{h}{m \cdot v}.$ Ein direkter Vergleich mit dem experimentell bestätigten Zusammenhang $Formula: \lambda = k \cdot \tfrac{1}{v}$ $Formula: \lambda = k \cdot \tfrac{1}{v}$ liefert:

$Formula: k = \dfrac{h}{m} \Rightarrow h = k \cdot m$ $Formula: k = \dfrac{h}{m} \Rightarrow h = k \cdot m$

Durch Einsetzen des Mittelwerts $Formula: \overline{k}$ $Formula: \overline{k}$ und der gegebenen Molekülmasse $Formula: m = 8,53 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg}$ $Formula: m = 8,53 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg}$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} h &=& 766 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{\dfrac{m^2}{s}} \cdot 8,53 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg} \\[5pt] &\approx& 6,53 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} h &=& 766 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{\dfrac{m^2}{s}} \cdot 8,53 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg} \\[5pt] &\approx& 6,53 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s} \end{array}$

2.3

Gemäß der De-Broglie-Gleichung resultiert eine kleinere Geschwindigkeit Formula: v der Moleküle in einer entsprechend größeren Wellenlänge $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$ Aus der Interferenzbedingung am Gitter geht hervor, dass eine größere Wellenlänge zu größeren Abständen Formula: a_n der Interferenzmaxima führt.

Dies erklärt die Beobachtung auf dem Schirmbild in Material 2g. Da die langsameren Moleküle weiter unten auf dem Schirm auftreffen, nimmt die zugehörige Wellenlänge in diese Richtung zu. Dadurch fächern sich die hellen Streifen (Maxima) im unteren Bereich weiter auf und ihr horizontaler Abstand wächst.

3.1

Beschreibung der Funktionsweise

Die angelegte Heizspannung $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ erhitzt eine Glühwendel. Durch die zugeführte thermische Energie werden Elektronen aus der Metalloberfläche gelöst, was als glühelektrischer Effekt bezeichnet wird. Anschließend beschleunigt das elektrische Feld, welches durch die Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ zwischen Kathode und Anode erzeugt wird, diese Elektronen in Richtung der Anode.

Berechnung der Geschwindigkeit

Mit der gegebenen Spannung $Formula: U_{\mathrm{B}} = 500\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{B}} = 500\;\mathrm{V}$ sowie den Konstanten für die Elementarladung Formula: e und die Elektronenmasse $Formula: m_{\mathrm{e}}$ $Formula: m_{\mathrm{e}}$ ergibt sich durch Einsetzen in die vorgegebene Formel:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v_{\mathrm{0}} &=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}} \cdot e}{m_{\mathrm{e}}}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot 500\;\mathrm{V} \cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}}{9,11 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] &=& 1,33 \cdot 10^7\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v_{\mathrm{0}} &=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot U_{\mathrm{B}} \cdot e}{m_{\mathrm{e}}}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot 500\;\mathrm{V} \cdot 1,60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}}{9,11 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] &=& 1,33 \cdot 10^7\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \end{array}$

Herleitung der Gleichung

Der Ansatz beruht auf der Energieerhaltung. Im elektrischen Feld wandelt sich die elektrische Feldenergie $Formula: E_{\mathrm{el}}$ $Formula: E_{\mathrm{el}}$ vollständig in kinetische Energie $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin}}$ der Elektronen um. Ein Gleichsetzen der beiden Energieterme liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{el}} &=& E_{\mathrm{kin}} \\[5pt] e \cdot U_{\mathrm{B}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_{\mathrm{0}}^2 &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{m_{\mathrm{e}}} \\[5pt] v_{\mathrm{0}}^2 &=& \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}} &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] v_{\mathrm{0}} &=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{el}} &=& E_{\mathrm{kin}} \\[5pt] e \cdot U_{\mathrm{B}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_{\mathrm{0}}^2 &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{m_{\mathrm{e}}} \\[5pt] v_{\mathrm{0}}^2 &=& \dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}} &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] v_{\mathrm{0}} &=& \sqrt{\dfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{e}}}} \end{array}$ Formula:

3.2

Zeichnen des Diagramms

Diagramm: I_A in mA gegen U_H in V, Messpunkte mit aufsteigender Kurve, starker Anstieg ab etwa 5,5–6 V.

Deutung der Zunahme

Die Anodenstromstärke $Formula: I_{\mathrm{A}}$ $Formula: I_{\mathrm{A}}$ misst die pro Zeit an der Anode eintreffende elektrische Ladungsmenge. Ein Anstieg dieser Stromstärke bedeutet folglich, dass eine größere Anzahl an Elektronen die Anode erreicht. Für Heizspannungen von mehr als $Formula: U_{\text{H}} = 4,5 \; \text{V}$ $Formula: U_{\text{H}} = 4,5 \; \text{V}$ bedeutet das, dass mit steigender Heizspannung eine größere Menge an Elektronen ausgelöst wird.

3.3

Einfluss der Gitterspannung auf die Geschwindigkeit

Aus der angegebene Polung der Gitterspannung $Formula: U_{\mathrm{G}}$ $Formula: U_{\mathrm{G}}$ in Material 3c folgt, dass diese zwischen dem Gitter und der Anode ein elektrisches Gegenfeld erzeugt. Dieses Feld wirkt der Bewegungsrichtung der Elektronen entgegen. Die zuvor beschleunigten Elektronen werden somit im Bereich zwischen Gitter und Anode durch die Gitterspannung abgebremst.

Bestätigung des $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{G}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{G}}}$ -Wertes

Für die Endgeschwindigkeit der Elektronen gilt der in Teilaufgabe 3.1 hergeleitete Zusammenhang $Formula: v = \sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{}}{m_{\mathrm{e}}}}.$ $Formula: v = \sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{}}{m_{\mathrm{e}}}}.$

Um jetzt die Maximalgeschwindigkeit $Formula: v_{\mathrm{max}}$ $Formula: v_{\mathrm{max}}$ zu halbieren, muss gelten:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2} &=& \dfrac{v}{v_{\mathrm{max}}} \\[5pt] &=& \dfrac{\sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{eff}}}{m_{\mathrm{e}}}}}{\sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{max}}}{m_{\mathrm{e}}}}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{U_{\mathrm{max}}}} &\quad\scriptsize\mid\, \text{quadrieren} \\[5pt] \dfrac{1}{4} &=& \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{U_{\mathrm{max}}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2} &=& \dfrac{v}{v_{\mathrm{max}}} \\[5pt] &=& \dfrac{\sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{eff}}}{m_{\mathrm{e}}}}}{\sqrt{\tfrac{2 \cdot e \cdot U_{\mathrm{max}}}{m_{\mathrm{e}}}}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{U_{\mathrm{max}}}} &\quad\scriptsize\mid\, \text{quadrieren} \\[5pt] \dfrac{1}{4} &=& \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{U_{\mathrm{max}}} \end{array}$

Die effektiv wirksame Spannung für das Erreichen der halben Endgeschwindigkeit muss daher betragen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{4} &=& \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{U_{\mathrm{max}}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot U_{\mathrm{max}} \\[5pt] U_{\mathrm{eff}} &=& \dfrac{U_{\mathrm{max}}}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{30\;\mathrm{V}}{4} \\[5pt] &=& 7,5\;\mathrm{V} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{4} &=& \dfrac{U_{\mathrm{eff}}}{U_{\mathrm{max}}} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot U_{\mathrm{max}} \\[5pt] U_{\mathrm{eff}} &=& \dfrac{U_{\mathrm{max}}}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{30\;\mathrm{V}}{4} \\[5pt] &=& 7,5\;\mathrm{V} \end{array}$

Die Teilspannungen $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ und $Formula: U_{\mathrm{G}}$ $Formula: U_{\mathrm{G}}$ sind reihengeschaltet, wobei $Formula: U_{\mathrm{G}}$ $Formula: U_{\mathrm{G}}$ der Beschleunigungsspannung $Formula: U_{\mathrm{B}}$ $Formula: U_{\mathrm{B}}$ entgegenwirkt. Daraus folgt für die resultierende effektive Spannung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{\mathrm{B}} - U_{\mathrm{G}} &=& U_{\mathrm{eff}} \\[5pt] 30\;\mathrm{V} - 22,5\;\mathrm{V} &=& 7,5\;\mathrm{V} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{\mathrm{B}} - U_{\mathrm{G}} &=& U_{\mathrm{eff}} \\[5pt] 30\;\mathrm{V} - 22,5\;\mathrm{V} &=& 7,5\;\mathrm{V} \end{array}$

Das liefert exakt die geforderte Spannung von $Formula: 7,5\;\mathrm{V}$ $Formula: 7,5\;\mathrm{V}$ für die resultierende effektive Spannung und bestätigt somit den angegebenen Wert für die Gitterspannung.

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Aufgabe I — Verschiedene Geschwindigkeiten

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Material 1a: Schematische Darstellung der Ausbreitung einer harmonischen Welle

Material 1b: Aufbau des Experiments mit Ultraschall (US)

Material 1c: Oszilloskopbild - Messung der Signale von Empfänger E1 (Kanal 1) und Empfänger E2 (Kanal 2)

Material 1d: Zu ergänzendes Oszilloskopbild (Aufgabe 1.3)

Material 1e: Schallgeschwindigkeit in Luft in Abhängigkeit von der Temperatur

Material 2a: Skizze des sehr stark vereinfachten Versuchsaufbaus zum Experiment mit Elektronen am Doppelspalt nach Jönsson (Ansicht von oben)

Material 2b: Schirmbild beim Experiment mit Elektronen am Doppelspalt nach Jönsson

Material 2c: Simulation eines Doppelspaltversuchs mit Elektronen

Material 2d: Ein Ausschnitt des Schirmbilds des Experiments mit Farbstoffmolekülen am Gitter mit

Material 2e: Wellenlänge bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten

Material 2f: Skizze des vereinfachten Versuchsaufbaus zum Experiment mit Farbstoffmolekülen am Gitter (Ansicht von der Seite)

Material 2g: Das vollständige Schirmbild des Experiments mit Farbstoffmolekülen am Gitter

Material 3a: Grundaufbau einer Elektronenstrahlröhre

Material 3b: Messreihe zur Heizspannung und der Stromstärke an der Anode

Material 3c: Elektronenstrahlröhre mit Gitter

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Material 2e: Wellenlänge $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\lambda}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{\lambda}}$ bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{v}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{v}}$

Material 3b: Messreihe zur Heizspannung $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{H}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U_{\mathrm{H}}}}$ und der Stromstärke $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{I_{\mathrm{A}}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{I_{\mathrm{A}}}}$ an der Anode