Das Licht einer LED kann mit der objektiven Methode untersucht werden.

In dieser Aufgabe werden die Bewegungen eines Feder-Masse-Pendels (Material 2a) und eines horizontalen Federschwingers (Material 2b) betrachtet.

Hinweis: Reibungseffekte sollen nicht berücksichtigt werden.

In dieser Aufgabe geht es um die Vorgänge beim Franck-Hertz-Versuch.

In dieser Aufgabe geht es um Magnetfelder im Inneren von stromdurchflossenen Spulen und deren Untersuchung mit einer Hallsonde.

Entstehung der Intensitätsmaxima und -minima

Die Entstehung der Intensitätsmaxima und -minima lässt sich mithilfe des Huygensschen Prinzips erklären: Jede der beiden Spaltmitten kann als Ausgangspunkt für eine neue kreisförmige Elementarwelle aufgefasst werden. Diese Wellen breiten sich hinter dem Spalt kreisförmig in der Ebene aus.

Auf dem Schirm überlagern sich diese beiden Wellen. An den Stellen auf dem Schirm, an denen jeweils Wellenberg auf Wellenberg oder Wellental auf Wellental der kreisförmigen Elementarwellen treffen, findet konstruktive Interferenz statt, was zu maximaler Helligkeit (Lichtflecken) führt. Hier beträgt der Gangunterschied beider Elementarwellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge

Herleitung der Beugungsbedingung

Da der Abstand zwischen Spalt und Schirm wesentlich größer als der Spaltmittenabstand ist (), verlaufen die Strecken von Spalt 1 und 2 zu einem Punkt auf dem Schirm näherungsweise parallel. Dadurch ist das kleine Dreieck am Spalt rechtwinklig und der Beugungswinkel tritt sowohl im kleinen Dreieck am Spalt als auch im großen Dreieck zum Schirm auf.

Aus dem kleinen rechtwinkligen Dreieck am Spalt ergibt sich für den Gangunterschied

Für das te Maximum muss der Gangunterschied betragen. Durch Einsetzen folgt:

Im großen Dreieck zwischen Doppelspalt und Schirm gilt für den Abstand des Maximums ter Ordnung zum nullten Maximum:

Wird dieser Ausdruck in die Gleichung eingesetzt, ergibt sich die gesuchte Beziehung:

Darstellung der Messwerte im -Diagramm

Ermittlung der Wellenlänge maximaler Intensität

Der höchste Spannungswert und damit die maximale Lichtintensität liegt bei einem Abstand von Da es sich um das Maximum 1. Ordnung handelt, ist Mit der Gitterkonstanten folgt durch Einsetzen in die Beugungsgleichung

Möglichkeiten zur genaueren Bestimmung

Um die Wellenlänge exakter zu bestimmen, kann die Dichte der Messpunkte im Bereich des Maximums erhöht werden, um den tatsächlichen Hochpunkt präziser eingrenzen zu können.

Alternativ kann zusätzlich die Wellenlänge aus dem Maximum 2. Ordnung bestimmt werden, um anschließend den Mittelwert der aus den Maxima 1. und 2. Ordnung berechneten Wellenlängen zu ermitteln.

Erklärung des breiteren Maximums bei weißem Licht

Die grün leuchtende LED sendet Licht in einem relativ schmalen Wellenlängenbereich um aus. Die weiß leuchtende LED hingegen emittiert ein kontinuierliches Spektrum sichtbaren Lichts im Bereich von etwa bis

Aus der Beugungsbedingung lässt sich ableiten, dass der Ort eines Maximums abhängig von der Wellenlänge ist (je größer die Wellenlänge, desto stärker die Beugung und desto weiter außen liegt das Maximum). Da bei weißem Licht viele verschiedene Wellenlängen gleichzeitig auftreten, werden deren jeweilige Maxima an leicht unterschiedlichen Orten auf dem Sensor erfasst. Diese Auffächerung führt dazu, dass sich das Maximum 1. Ordnung im Diagramm deutlich breiter verteilt als das schmale, klare Maximum der grünen LED.

• Amplitude: Die Amplitude bezeichnet die maximale Auslenkung eines schwingenden Systems aus der Ruhelage. Beim gezeigten Feder-Masse-Pendel in Material 2a entspricht dies der maximalen Strecke nach oben oder unten, ausgehend von der Gleichgewichtslage.

• Periodendauer: Die Periodendauer beschreibt die benötigte Zeit für eine vollständige Schwingung. Nach Ablauf einer Periodendauer befindet sich das schwingende System also wieder im exakt selben Zustand wie zu Beginn (selbe Auslenkung und selbe Bewegungsrichtung). Wenn das Massestück in Material 2a zum Zeitpunkt losgelassen wird, ist somit eine Periodendauer die Zeit, nach der sich das Massestück nach einer vollständigen Schwingung erstmals wieder unten am Ausgangspunkt befindet.

• Frequenz: Die Frequenz gibt die Anzahl der durchlaufenen Schwingungsperioden pro Zeiteinheit an.

• Harmonische Schwingung: Eine Schwingung wird als harmonisch bezeichnet, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist und keine Energieverluste (etwa durch Reibung) auftreten. Beim Feder-Masse-Pendel ist diese Bedingung erfüllt, da die Feder dem Hooke'schen Gesetz folgt und Reibungseffekte laut Aufgabenstellung vernachlässigt werden.

Planung des Experiments

Zur genauen Untersuchung der Abhängigkeit der Periodendauer von der Masse wird das Feder-Masse-Pendel zunächst mit einer bekannten Masse bestückt und nach unten ausgelenkt.

Nach dem Loslassen wird die Zeit für eine größere Anzahl an Schwingungen, beispielsweise bis Perioden, mit einer Stoppuhr gemessen. Durch Division der gemessenen Gesamtzeit durch die Anzahl der Schwingungen lässt sich die Periodendauer sehr präzise ermitteln, da auf diese Weise der relative Fehler durch die Reaktionszeit beim Starten und Stoppen der Uhr minimiert wird. Dieser Messvorgang wird anschließend für verschiedene angehängte Massen wiederholt.

Ermittlung der Masse

Aus dem Zeit-Auslenkung-Diagramm (Material 2c) lässt sich die Periodendauer ablesen. Für vier vollständige Perioden vergehen Die Periodendauer beträgt somit:

Mit der in Material 2a vorgegebenen Federkonstanten lässt sich die Masse über die Formel für die Periodendauer berechnen. Durch Umstellen der Gleichung aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

Skizzieren des Graphen bei vierfacher Masse

Wird die Masse vervierfacht, verdoppelt sich die Periodendauer, da gemäß der Gleichung aus der Aufgabenstellung der Zusammenhang gilt. Die neue Schwingung weist demnach eine Periodendauer von auf. Die Amplitude bleibt gleich.

Bestätigen des funktionalen Zusammenhangs

Um den vorgegebenen Zusammenhang zu bestätigen, muss geprüft werden, ob der Quotient aus der Periodendauer und der Wurzel der Masse konstant ist:

Die Quotienten sind im Rahmen der Messunsicherheit konstant. Der Mittelwert der berechneten Quotienten liegt bei etwa Damit ist der funktionale Zusammenhang bestätigt:

Ermittlung der Konstanten

Der ermittelte Zusammenhang wird nun mit der Formel aus der Aufgabenstellung gleichgesetzt:

Einsetzen der Werte ergibt:

• Die Heizspannung dient dem Betrieb der Glühkathode. Durch das Anlegen dieser Spannung fließt ein elektrischer Strom durch die Glühkathode, dadurch erhitzt sich diese so stark, dass Elektronen aus der Glühkathode freigesetzt werden (glühelektrischer Effekt).

• Zwischen der Glühkathode und der Lochanode ist die Beschleunigungsspannung angelegt, die die freigesetzten Elektronen in Richtung der Anode beschleunigt und ihnen kinetische Energie zuführt.

• Die Gitterspannung (oder Gegenspannung) ist entgegengesetzt zur Beschleunigungsspannung gepolt und bewirkt, dass die Elektronen im Raum zwischen Gitter und Auffangelektrode stark abgebremst werden.

Versuchsdurchführung

Die Beschleunigungsspannung wird kontinuierlich von auf etwa erhöht, während die resultierende Stromstärke im Gitterstromkreis gemessen wird. Daraus ergibt sich die abgebildete Kennlinie. Die Gitterspannung und die Heizspannung bleiben während der gesamten Messreihe konstant.

Deutung des Verlaufs des Graphen

Im Bereich von bis nimmt der Stromfluss kontinuierlich zu. Immer mehr Elektronen besitzen ausreichend Energie, um die Auffangelektrode trotz des Gegenfelds zu erreichen.

Bei erreicht der Strom ein lokales Maximum und bricht danach bis etwa ein. Dies lässt sich durch eine wachsende Anzahl an inelastischen Stößen mit den Gasatomen erklären. Die Elektronen geben dabei ihre kinetische Energie an die Atome ab und verfügen anschließend nicht mehr über ausreichend Restenergie, um das Gegenfeld überwinden zu können. Ein gewisser Basisstrom verbleibt, da einige Elektronen den Raum ohne Kollisionen passieren.

Auswertung der Messdaten

Dem Diagramm aus Material 3a b lässt sich entnehmen, dass sich die Einbrüche des Stromflusses nach einer Differenz von etwa wiederholen. Die Energie, die ein elektrisches Feld bei einer Spannung von an ein Elektron überträgt, beträgt exakt

Im Energieniveauschema des Heliumatoms (Material 3a c) entspricht dies annähernd der Energiedifferenz des Übergangs vom Grundzustand (Niveau A) in den ersten angeregten Zustand (Niveau B):

Das bestätigt die experimentelle Beobachtung, dass ein Elektron erstmals bei einer Beschleunigungsspannung von circa und ein weiteres Mal bei seine kinetische Energie von jeweils etwa durch einen inelastischen Stoß an ein Heliumatom abgibt und dieses dadurch anregt.

Bestätigen der Emission violetten Lichts

Violettes Licht besitzt laut Aufgabenstellung Wellenlängen im Bereich von bis Über die Gleichung für die Photonenenergie lässt sich der zugehörige Energiebereich berechnen:

Durch Einsetzen der Grenzwellenlängen für violettes Licht ergeben sich folgende Energien:

Ein Blick in das Energieniveauschema zeigt, dass die Übergänge und Energiedifferenzen in exakt dieser Größenordnung aufweisen. Somit wird bei mindestens einem dieser Übergänge Licht mit violetter Farbe emittiert.

Hypothese zur Sichtbarkeit erst bei höheren Spannungen

Das Leuchten entsteht beim Zurückfallen der Elektronen von höheren auf tiefere Energieniveaus im Helium. Um die Elektronen im Helium überhaupt erst auf höhere Energieniveaus heben zu können, müssen die stoßenden Elektronen zuvor im elektrischen Feld auf eine ausreichend hohe kinetische Energie beschleunigt werden. Dafür ist eine entsprechend hohe Beschleunigungsspannung nötig.

Daraus folgt die Hypothese: Für das sichtbare Leuchten müssen die Elektronen im Heliumatom zunächst auf höhere Energieniveaus angehoben werden. Um die dafür benötigte Energie für die stoßenden Elektronen bereitzustellen, sind höhere Beschleunigungsspannungen notwendig.

Zeichnen des Feldlinienbilds

Entstehung der Hallspannung

Das Hallplättchen wird von einem elektrischen Strom durchflossen, wodurch sich Ladungsträger (Elektronen) senkrecht zu den Magnetfeldlinien bewegen. Das Magnetfeld übt daher eine Lorentzkraft auf die bewegten Elektronen aus, die diese senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung ablenkt.

Durch diese Ablenkung sammeln sich Elektronen an einer Kante des Plättchens (Elektronenüberschuss, negative Ladung), während an der gegenüberliegenden Kante ein Elektronenmangel entsteht (positive Ladung). In der Skizze aus Material 3b b wirkt die Lorentzkraft gemäß der Drei-Finger-Regel der linken Hand nach unten. Dadurch entsteht am unteren Teil des Plättchens ein Elektronenüberschuss und am oberen Teil des Plättchens ein Elektronenmangel.

Diese Ladungstrennung erzeugt ein elektrisches Feld im Inneren des Plättchens. Die daraus resultierende elektrische Feldkraft wirkt der Lorentzkraft entgegen.

Sobald die elektrische Feldkraft betragsmäßig genauso groß ist wie die Lorentzkraft, stellt sich ein Kräftegleichgewicht ein und die Elektronen bewegen sich wieder geradlinig durch den Leiter. Die im Gleichgewichtszustand zwischen den Rändern des Plättchens messbare Spannung entspricht der konstanten Hallspannung.

Berechnen von

Die theoretische Konstante einer schlanken Spule berechnet sich mit der vorgegebenen Formel:

Durch Einsetzen der Spulendaten sowie der magnetischen Feldkonstante folgt:

Bestimmung von

Zur experimentellen Bestimmung wird eine lineare Regression () der Messwerte aus Material 3b c ohne dem Wertepaar mit Hilfe eines GTRs durchgeführt.

Der Achsenabschnitt der Regressionsgeraden ist mit vernachlässigbar klein. Die Auswertung liefert also in sehr guter Näherung eine Ursprungsgerade.

Die Steigung der Geraden entspricht der Konstante

Beurteilung der Anwendbarkeit für die Spule

Der für schlanke Spulen theoretisch erwartete Wert liegt deutlich über dem experimentell ermittelten Wert

Die prozentuale Abweichung beträgt:

Eine derart große Abweichung lässt sich nicht allein durch Messungenauigkeiten erklären. Daher ist die Formel für schlanke Spulen auf die hier untersuchte Spule nicht anwendbar.

• Einfluss der Richtung: Die Hallsonde misst ausschließlich die Komponente des Magnetfelds, die das Hallplättchen senkrecht durchsetzt. Wird die Sonde am Messort gedreht, verändert sich der Eintrittswinkel der Feldlinien. Dadurch wird nur noch ein Teil der tatsächlichen Flussdichte registriert. Bei einer vollständigen Drehung um verläuft das Magnetfeld parallel zum Plättchen und die gemessene Hallspannung sinkt auf null.

• Einfluss der Position: Im Inneren einer idealen, langen Spule herrscht ein weitgehend homogenes Magnetfeld. Eine reine Verschiebung der Sonde innerhalb der Spule beeinflusst den Messwert daher nicht. Wird die Sonde jedoch an die Spulenenden oder aus der Spule heraus bewegt, wird das Feld inhomogen und der Betrag der magnetischen Flussdichte nimmt deutlich ab, sodass die Sonde kleinere Werte als im Zentrum anzeigt.