Aufgabe II — Interferenz, Schwingungen, elektrische Felder / Physik der Atomhülle

Im Rahmen der ersten Aufgabe werden Interferenzphänomene beim Doppelspalt sowie bei einem Mehrfachspalt behandelt. Harmonische Schwingungen sind Gegenstand der zweiten Aufgabe. Die dritte Aufgabe thematisiert die Ladung und die Kapazität eines Kondensators (Aufgabe 3a). Im Rahmen der alternativen Aufgabe 3b werden am Beispiel von Wasserstoff das Spektrum sowie energetische Zusammenhänge hierzu betrachtet.

Zunächst werden zwei Lichtquellen verglichen. Anschließend wird der Spaltmittenabstand eines Doppelspalts bestimmt, danach das Interferenzbild eines Dreifachspalts untersucht.

1.1

Die Wellenlänge-Intensität-Diagramme von einer rot leuchtenden LED (LED-rot) und von einem rot leuchtenden Laser werden betrachtet, siehe Material 1a und Material 1b.

Vergleiche diese Diagramme.

Beurteile, welche der beiden Lichtquellen bei quantitativen Interferenzexperimenten genauere Messwerte ermöglicht.

6 BE

1.2

Es soll der Spaltmittenabstand Formula: d eines Doppelspalts mit dem Licht eines rot leuchtenden Lasers untersucht werden. Material 1c zeigt das zugehörige Schirmbild. Wenn der Abstand Formula: e zwischen Doppelspalt und Schirm wesentlich größer ist als der Spaltmittenabstand des Doppelspalts, gilt für die Interferenzmaxima folgende Gleichung:

$Formula: n \cdot \lambda = d \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_{n}}{e}\right)\right)$ $Formula: n \cdot \lambda = d \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_{n}}{e}\right)\right)$

$Formula: n\text{:}$ $Formula: n\text{:}$ Ordnung des Maximums; $Formula: \lambda\text{:}$ $Formula: \lambda\text{:}$ Wellenlänge; $Formula: a_{n}\text{:}$ $Formula: a_{n}\text{:}$ Abstand zwischen dem Maximum 0. Ordnung und dem Maximum -ter Ordnung

Bestätige unter Verwendung dieser Gleichung sowie Material 1b und Material 1c, dass für den Spaltmittenabstand Formula: d des verwendeten Doppelspalts $Formula: d \approx 73\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: d \approx 73\;\mathrm{\mu m}$ gilt.

Beschreibe zwei experimentelle Maßnahmen, die umgesetzt werden können, um einen genaueren Wert für den Spaltmittenabstand Formula: d zu erhalten.

7 BE

1.3

Nun wird der Doppelspalt durch einen Dreifachspalt mit gleichem Spaltmittenabstand Formula: d ersetzt. Der restliche Versuchsaufbau bleibt unverändert. Material 1d zeigt das zugehörige Schirmbild.

Vergleiche die Schirmbilder in Material 1c und Material 1d.

Überprüfe anhand von Material 1d, ob die Gleichung aus 1.2 für den markierten Fleck gilt.

7 BE

Die Enden eines Stücks Fahrradkette der Länge Formula: l und der Masse Formula: m werden mit einer sehr leichten Schnur verbunden. Diese Schnur läuft über eine Seilrolle. In der Ruhelage sind die Enden der Kette auf gleicher Höhe (vgl. Material 2a, Material 2b). Wenn die Kette um die Strecke Formula: s ausgelenkt wird (vgl. Material 2c), führt sie idealerweise harmonische Schwingungen um diese Ruhelage aus (bei Vernachlässigung der Dämpfung).

2.1

Die Abbildung in Material 2d zeigt den zeitlichen Verlauf der Schwingung bei einer Kettenlänge von $Formula: l = 94,5\;\mathrm{cm}.$ $Formula: l = 94,5\;\mathrm{cm}.$

Ermittle möglichst genau die Periodendauer dieser Schwingung und ergänze den Wert in der Wertetabelle Material 2e.

3 BE

2.2

Wenn die Kettenlänge variiert wird, verändert sich die Periodendauer der Schwingung. In der Tabelle Material 2e findest du die Messwerte für die Periodendauer Formula: T in Abhängigkeit von der Kettenlänge Formula: l.

Bestätige auf Basis der Messwerte (Material 2e) den funktionalen Zusammenhang

$Formula: T(l) = k \cdot \sqrt{l}$ $Formula: T(l) = k \cdot \sqrt{l}$

Gib dabei auch den Proportionalitätsfaktor Formula: k an und dokumentiere dein Vorgehen in der im Unterricht vereinbarten Form.

Ermittle die Kettenlänge Formula: l für eine Periodendauer von $Formula: T = 1,8\;\mathrm{s}.$ $Formula: T = 1,8\;\mathrm{s}.$

11 BE

2.3

Überprüfe anhand von drei Messwertepaaren, ob der folgende Zusammenhang die Periodendauer Formula: T bei der schwingenden Kette richtig beschreibt.

$Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{l}{2g}}$ $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{l}{2g}}$

$Formula: l\text{:}$ $Formula: l\text{:}$ Länge der Fahrradkette; $Formula: g\text{:}$ $Formula: g\text{:}$ Ortsfaktor bzw. Erdbeschleunigung

Ermittle mithilfe aller Messwerte (Material 2e) einen Wert für die Erdbeschleunigung Formula: g.

6 BE

Anmerkung: Die Aufgabe II gibt es in zwei Varianten II a und II b (Auswahl durch die Lehrkraft), die sich in der dritten Teilaufgabe unterscheiden (hier 3a und 3b).

Im Folgenden wird mithilfe von Messreihen untersucht, von welchen Größen die Kapazität eines Kondensators bzw. die auf einem Kondensator gespeicherte Ladung abhängt.

3a.1

Mit einem geeigneten Versuchsaufbau wird ein Kondensator aufgeladen und anschließend entladen. Die Messwerte zur Entladung sind in Material 3a a dargestellt.

Zeichne einen Schaltplan des Versuchs, der zu den Messwerten in Material 3a a führt.

Ermittle mit Material 3a a die vom Kondensator abgeflossene Ladung Formula: Q.

5 BE

3a.2

Im Folgenden wird eine Messreihe mit einem Aufbaukondensator (vgl. Material 3a b) aufgenommen. Dabei wird die gespeicherte Ladung Formula: Q in Abhängigkeit von der Spannung Formula: U zur Aufladung des Kondensators gemessen. Die Messwerte sind in Material 3a c grafisch aufgetragen.

Ermittle aus der Abbildung in Material 3a c die Kapazität Formula: C des Kondensators.

Berechne die Ladung Formula: Q , die sich auf Grundlage von Material 3a c für eine Spannung von $Formula: 500\;\mathrm{V}$ $Formula: 500\;\mathrm{V}$ ergeben würde.

5 BE

3a.3

Der Aufbaukondensator wird in einem weiteren Experiment dafür verwendet, um die Kapazität Formula: C des Kondensators in Abhängigkeit des Plattenabstandes Formula: d zu untersuchen. Die Messwerte sind in Material 3a d dargestellt. Für die Kapazität des Kondensators in diesem Aufbau gilt:

$Formula: C = \varepsilon_{0} \cdot 0,080\;\mathrm{m^{2}} \cdot \dfrac{1}{d}$ $Formula: C = \varepsilon_{0} \cdot 0,080\;\mathrm{m^{2}} \cdot \dfrac{1}{d}$

$Formula: \varepsilon_{0}\text{:}$ $Formula: \varepsilon_{0}\text{:}$ elektrische Feldkonstante

Begründe anhand der Messwerte in Material 3a d, dass zwischen der Kapazität Formula: C und dem Plattenabstand Formula: d ein antiproportionaler Zusammenhang besteht.

Ermittle auf Grundlage aller Messwerte in Material 3a d einen Wert für die elektrische Feldkonstante $Formula: \varepsilon_{0}.$ $Formula: \varepsilon_{0}.$

7 BE

3a.4

Der Aufbaukondensator (Material 3a b) wird durch Anlegen einer Spannung aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt. Mit einem geeigneten Voltmeter wird die Spannung zwischen den Kondensatorplatten gemessen. Wird der Plattenabstand Formula: d vergrößert, so erhöht sich diese Spannung.

Erkläre diese Beobachtung.

Hinweis: Du kannst die Gleichung in 3a.3 ohne Nachweis hierfür verwenden.

3 BE

In einer speziellen Röhre wird Wasserstoff zum Leuchten angeregt (Balmer-Lampe). Die dabei im sichtbaren Bereich emittierten Spektrallinien gehören zur Balmer-Serie. Das in diesem Experiment aufgenommene Spektrum enthält aber nicht nur Spektrallinien der Balmer-Serie, sondern auch einige weitere Linien (Material 3b a). In Material 3b b ist das Energieniveauschema von Wasserstoff dargestellt.

3b.1

Erläutere die atomaren Prozesse, die zu einem Emissionsspektrum von Gasen führen.

3 BE

3b.2

Spektrallinien, die zur Balmer-Serie gehören, sind mit Übergängen auf das Energieniveau Formula: n = 2 verbunden.

Zeichne in Material 3b b die vier Übergänge der Balmer-Serien mit den geringsten Energiedifferenzen ein.

Ermittle in Material 3b a eine Spektrallinie, welche zur Balmer-Serie gehört.

Bestätige, dass die mit dem Pfeil gekennzeichnete Linie nicht zur Balmer-Serie gehört.

8 BE

3b.3

Es gibt auch Übergänge im Energieniveauschema des Wasserstoffs, die auf den Energieniveaus Formula: n = 1 (Lyman-Serie) und auf Formula: n = 3 (Paschen-Serie) enden.

Menschen können Licht im Wellenlängenbereich von ca. $Formula: 390\;\mathrm{nm}$ $Formula: 390\;\mathrm{nm}$ bis $Formula: 780\;\mathrm{nm}$ $Formula: 780\;\mathrm{nm}$ wahrnehmen.

Begründe, dass alle Spektrallinien der Lyman-Serie und der Paschen-Serie im nichtsichtbaren Bereich liegen.

5 BE

3b.4

Ein typisches Sternspektrum ist in Material 3b c abgebildet. Kennzeichnend für Sternspektren sind Absorptionslinien, die u. a. auf die Existenz von Wasserstoff auf dem jeweiligen Stern hindeuten.

Erkläre diesen Zusammenhang qualitativ sowie quantitativ am Beispiel der mit dem Pfeil gekennzeichneten Absorptionslinie.

4 BE

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Material 1a: Wellenlänge-Intensität-Diagramm einer rot leuchtenden LED

Diagramm: Intensität (%) gegen Wellenlänge (nm), schmaler Peak bei etwa 640 nm

Material 1b: Wellenlänge-Intensität-Diagramm eines rot leuchtenden Lasers

Diagramm: Intensität (%) gegen Wellenlänge (nm), sehr schmaler hoher Peak bei etwa 650 nm.

Hinweis: Intensitäten in Material 1a und Material 1b können nicht verglichen werden, weil sie unabhängig voneinander normiert sind.

Material 1c: Ausschnitt aus dem Schirmbild bei Beleuchtung eines Doppelspalts mit Laserlicht

Mehrere graue ovale Flecken über einem Zentimeterlineal (Zahlen 2–18, 10 hervorgehoben)

Schirmabstand $Formula: e = 3,85\;\mathrm{m}.$ $Formula: e = 3,85\;\mathrm{m}.$

Zur besseren Ablesbarkeit wurde das Foto des Schirmbilds bearbeitet.

Verwende den abgedruckten Maßstab.

Das Lineal zeigt Werte in der Einheit $Formula: \mathrm{cm}.$ $Formula: \mathrm{cm}.$

Das Maximum 0. Ordnung liegt bei $Formula: 10,0\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 10,0\;\mathrm{cm}.$

Material 1d: Ausschnitt aus dem Schirmbild bei Beleuchtung eines Dreifachspalts mit Laserlicht (Schirmabstand wie in Material 1c)

Fleckenmuster über einem Lineal mit markiertem Fleck

Die Bildbearbeitung erfolgte in gleicher Weise wie in Material 1c.

Das Lineal zeigt Werte in der Einheit $Formula: \mathrm{cm}.$ $Formula: \mathrm{cm}.$

Das Maximum 0. Ordnung liegt bei $Formula: 10,0\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 10,0\;\mathrm{cm}.$

Material 2a: Foto des Versuchsaufbaus

Seilrolle an Wand mit zwei hängenden Schnüren und einer Kette, beschriftet

Material 2b: Kette im Ruhezustand

Seilrolle mit Schnur und hängender Kette in U‑Form, Ruhelage markiert.

Material 2c: Kette im ausgelenkten Zustand

Schematische Zeichnung einer Seilrolle mit Schnur und Kette, markierter Ruhelage und Auslenkung s

Material 2d: Zeitlicher Verlauf einer Kettenschwingung bei einer Kettenlänge $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{l = 94,5\;\mathrm{cm}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{l = 94,5\;\mathrm{cm}}}$

Gedämpfte Schwingung: Auslenkung s in m gegen Zeit t in s, abklingende Sinuskurve von 0 bis 5 s.

Trotz Dämpfung wird die Schwingung idealisiert als harmonisch betrachtet.

Material 2e: Periodendauer $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{T}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{T}}$ in Abhängigkeit von der Kettenlänge $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{l}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{l}}$

$Formula: \boldsymbol{l}$ $Formula: \boldsymbol{l}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$	$Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$

Material 3a a: Diagramm zur Kondensatorentladung

Grafik: Strom I (µA) fällt über Zeit t (s) von ~85 µA bei 0s auf nahe 0 bei 20s, Datenpunkte und Kurve.

Aufgetragen ist die Stromstärke Formula: I in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t. Eine Regression für den funktionalen Zusammenhang ergibt

$Formula: I(t) = 84,0\;\mathrm{\mu A} \cdot 0,787^{-\tfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t}$ $Formula: I(t) = 84,0\;\mathrm{\mu A} \cdot 0,787^{-\tfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot t}$ bzw. $Formula: I(t) = 84,0\;\mathrm{\mu A} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{0,239}{\mathrm{s}} \cdot t}.$ $Formula: I(t) = 84,0\;\mathrm{\mu A} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{0,239}{\mathrm{s}} \cdot t}.$

Material 3a b: Aufbaukondensator

Skizze: zwei parallele Platten (Plattenfläche A) mit Abstand d, gehalten von zylindrischen Distanzstücken

Zwischen zwei Metallplatten befinden sich Distanzstücke (Isolatoren). Die Höhe der Distanzstücke und damit der Plattenabstand Formula: d kann verändert werden.

Für die Messreihen in 3a.2 und 3a.3 steht ein Plattenpaar mit $Formula: A_{1} = 800\;\mathrm{cm^{2}}$ $Formula: A_{1} = 800\;\mathrm{cm^{2}}$ zur Verfügung.

In den Experimenten in diesen Aufgaben ist der Kondensator mit Luft gefüllt.

Material 3a c: Messung der Ladung $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{Q}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{Q}}$ des Kondensators in Abhängigkeit der Spannung $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U}}$ zum Aufladen

Material 3a d: Kapazität $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{C}}$ des Kondensators in Abhängigkeit vom Plattenabstand $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{d}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{d}}$ sowie die grafische Veranschaulichung der Messwerte

$Formula: \boldsymbol{d}$ $Formula: \boldsymbol{d}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$	$Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pF}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pF}}$

Diagramm: Abnehmende Kurve der Kapazität C (pF) gegenüber Abstand d (m) mit Messpunkten.

Material 3b a: Spektrum der Balmer-Lampe

Aufgetragen ist die Intensität in Abhängigkeit von der Wellenlänge. Das aufgenommene Spektrum enthält durch bestimmte Effekte über die Balmer-Serie hinausgehende Spektrallinien. Die mit dem Pfeil gekennzeichnete Linie gehört nicht zur Balmer-Serie.

Spektrumdiagramm mit Intensität über Wellenlänge

Material 3b b: Energieniveauschema eines Wasserstoffatoms

Die Abstände zwischen den Niveaus sind nicht maßstabsgetreu. Die Energieniveaus oberhalb von Formula: n = 7 sind nicht eingezeichnet.

Energieniveaus des Wasserstoffatoms mit Hauptquantenzahl n

Material 3b c: Spektrum eines Sterns

Sterne strahlen ein kontinuierliches Spektrum ab. Die markanten Einbrüche der Intensität, wie z.B. der mit dem Pfeil gekennzeichnete Einbruch, werden Absorptionslinien genannt.

Spektrumdiagramm mit Intensität in relativen Einheiten über der Wellenlänge in nm.

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1.1

Vergleich der Diagramme

Beide Spektren weisen ein Intensitätsmaximum bei einer identischen Wellenlänge von ungefähr $Formula: 633\;\mathrm{nm}$ $Formula: 633\;\mathrm{nm}$ auf. Allerdings unterscheiden sie sich stark bei der spektralen Breite der Strahlung. Während das Spektrum der roten LED einen sehr breiten Wellenlängenbereich von etwa $Formula: 590\;\mathrm{nm}$ $Formula: 590\;\mathrm{nm}$ bis $Formula: 660\;\mathrm{nm}$ $Formula: 660\;\mathrm{nm}$ abdeckt, weist der Laser einen extrem schmalen Peak mit einer Breite von lediglich circa $Formula: 5\;\mathrm{nm}$ $Formula: 5\;\mathrm{nm}$ auf.

Beurteilung der Eignung für quantitative Interferenzexperimente
Für die Durchführung quantitativer Interferenzexperimente ist der Laser deutlich besser geeignet. Aufgrund der äußerst geringen spektralen Breite emittiert der Laser annähernd monochromatisches Licht. Dies führt auf dem Schirm zu scharf abgegrenzten Interferenzmustern, bei denen die exakten Positionen der Maxima und Minima eindeutig identifiziert werden können.

Die LED erzeugt hingegen aufgrund des breiten Wellenlängenspektrums verschwommene Maxima, besonders bei Maxima höherer Ordnung. Dadurch ist die Bestimmung der exakten Positionen deutlich schwieriger, was unweigerlich zu ungenaueren Messwerten führt.

1.2

Bestätigung des Spaltmittenabstands $Formula: \boldsymbol{d}$ $Formula: \boldsymbol{d}$

Zunächst wird die gegebene Interferenzgleichung nach dem Spaltmittenabstand Formula: d umgestellt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}d \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right) & = & n \cdot \lambda \\[5pt]d & = & \dfrac{n \cdot \lambda}{\sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right)}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}d \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right) & = & n \cdot \lambda \\[5pt]d & = & \dfrac{n \cdot \lambda}{\sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right)}\end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}d \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right) & = & n \cdot \lambda &\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right)}\\[5pt]d & = & \dfrac{n \cdot \lambda}{\sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right)}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}d \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right) & = & n \cdot \lambda &\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right)}\\[5pt]d & = & \dfrac{n \cdot \lambda}{\sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{{n}}}{e}\right)\right)}\end{array}$

Aus dem Material 1b lässt sich für die Wellenlänge des verwendeten Lasers $Formula: \lambda = 633\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 633\;\mathrm{nm}$ ablesen.

Dem Interferenzbild in Material 1c ist zu entnehmen, dass der Abstand zwischen den beiden Maxima 2. Ordnung etwa $Formula: 2 \cdot a_{2}=16,8\;\mathrm{cm} - 3,2\;\mathrm{cm} = 13,6\;\mathrm{cm}$ $Formula: 2 \cdot a_{2}=16,8\;\mathrm{cm} - 3,2\;\mathrm{cm} = 13,6\;\mathrm{cm}$ beträgt, woraus sich für den Abstand zum Hauptmaximum $Formula: a_{2} = 6,8\;\mathrm{cm} = 0,068\;\mathrm{m}$ $Formula: a_{2} = 6,8\;\mathrm{cm} = 0,068\;\mathrm{m}$ ergibt.

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}d & = & \dfrac{2 \cdot 633 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}}{\sin\left(\arctan\left(\tfrac{0,068\;\mathrm{m}}{3,85\;\mathrm{m}}\right)\right)}\\[5pt] & \approx & 7,17 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m}\\[5pt] & = & 71,7\;\mathrm{\mu m}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}d & = & \dfrac{2 \cdot 633 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}}{\sin\left(\arctan\left(\tfrac{0,068\;\mathrm{m}}{3,85\;\mathrm{m}}\right)\right)}\\[5pt] & \approx & 7,17 \cdot 10^{-5}\;\mathrm{m}\\[5pt] & = & 71,7\;\mathrm{\mu m}\end{array}$

Der berechnete Wert von $Formula: 71,7\;\mathrm{\mu m}$ $Formula: 71,7\;\mathrm{\mu m}$ bestätigt den in der Aufgabenstellung genannten Näherungswert von $Formula: d \approx 73\;\mathrm{\mu m}.$ $Formula: d \approx 73\;\mathrm{\mu m}.$

Maßnahmen zur Erhöhung der Messgenauigkeit:

Vergrößerung des Schirmabstands: Ein größerer Abstand führt zu einer breiteren Auffächerung des Interferenzmusters und damit einem größeren Abstand Der Einfluss des unvermeidbaren Ablesefehlers bei der Abstandsmessung wird somit im Verhältnis geringer.
Ablesen von Maxima höherer Ordnung: Anstelle des 2. Maximums könnte ein weiter außen liegendes Maximum (z. B. 4. oder 5. Ordnung) vermessen werden. Das vergrößert die zu vermessende Strecke $Formula: 2a_{{n}}$ $Formula: 2a_{{n}}$ und reduziert damit den relativen Messfehler bei der Abstandsmessung.

1.3

Vergleich der Schirmbilder (Material 1c und Material 1d)

Beim Dreifachspalt sind im Gegensatz zum Doppelspalt abwechselnd große und kleine Flecke auf dem Schirm sichtbar.
Die großen Flecke (Hauptmaxima) befinden sich exakt an denselben Orten wie die Maxima des Doppelspalts, fallen jedoch schmaler aus.
Die kleineren, weniger hellen Flecke (Nebenmaxima) befinden sich jeweils zwischen zwei großen Flecken an den Orten der Minima des Doppelspalts.

Insgesamt sind mehr Maxima mit unterschiedlicher Intensität und entsprechend mehr Minima zu beobachten.

Überprüfung der Beugungsformel für den markierten Fleck

Um die Gültigkeit der Formel zu prüfen, wird der Abstand $Formula: a_{n}$ $Formula: a_{n}$ aus Material 1d für den markierten Fleck abgelesen: $Formula: a_{n} \approx 5,0\;\mathrm{cm} = 0,050\;\mathrm{m}.$ $Formula: a_{n} \approx 5,0\;\mathrm{cm} = 0,050\;\mathrm{m}.$

Durch Umstellen der Beugungsgleichung nach Formula: n und Einsetzen des zuvor bestätigten Spaltabstands Formula: d ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} n \cdot \lambda & = & d \cdot \sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{n}}{e}\right)\right) &\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\lambda} \\[5pt] n & = & \dfrac{d}{\lambda} \cdot \sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{n}}{e}\right)\right) \\[5pt] & = & \dfrac{71,7 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{633 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \cdot \sin\left(\arctan\left(\tfrac{0,050\;\mathrm{m}}{3,85\;\mathrm{m}}\right)\right) \\[5pt] & \approx & 1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} n \cdot \lambda & = & d \cdot \sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{n}}{e}\right)\right) &\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\lambda} \\[5pt] n & = & \dfrac{d}{\lambda} \cdot \sin\left(\arctan\left(\tfrac{a_{n}}{e}\right)\right) \\[5pt] & = & \dfrac{71,7 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{633 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \cdot \sin\left(\arctan\left(\tfrac{0,050\;\mathrm{m}}{3,85\;\mathrm{m}}\right)\right) \\[5pt] & \approx & 1,5 \end{array}$

Da es sich bei der Beugungsordnung Formula: n um eine natürliche Zahl handeln muss und $Formula: 1,5 \notin \mathbb{N},$ $Formula: 1,5 \notin \mathbb{N},$ gilt die verwendete Beugungsformel für diesen markierten Fleck nicht.

2.1

Um den Ablesefehler zu minimieren, wird die Dauer für mehrere Schwingungsperioden aus dem $Formula: t\text{-}s$ $Formula: t\text{-}s$ -Diagramm (Material 2d) abgelesen. Für drei vollständige Perioden lässt sich eine Zeitspanne von etwa $Formula: 4,1\;\mathrm{s}$ $Formula: 4,1\;\mathrm{s}$ ermitteln. Daraus berechnet sich die Periodendauer für eine einzelne Schwingung:

$Formula: T = \dfrac{4,1\;\mathrm{s}}{3} \approx 1,37\;\mathrm{s}.$ $Formula: T = \dfrac{4,1\;\mathrm{s}}{3} \approx 1,37\;\mathrm{s}.$

Dieser Wert entspricht dem fehlenden Wert in der Wertetabelle in Material 2e für eine Kettenlänge von $Formula: l = 0,945\;\mathrm{m}.$ $Formula: l = 0,945\;\mathrm{m}.$

2.2

Bestätigung der Proportionalität
Die gegebene Beziehung $Formula: T(l) = k \cdot \sqrt{l}$ $Formula: T(l) = k \cdot \sqrt{l}$ drückt eine direkte Proportionalität zwischen der Periodendauer und der Wurzel der Kettenlänge $Formula: \sqrt{l}$ $Formula: \sqrt{l}$ aus. Diese Proportionalität lässt sich bestätigen, indem für jedes Messwertpaar der Quotient $Formula: k = \tfrac{T}{\sqrt{l}}$ $Formula: k = \tfrac{T}{\sqrt{l}}$ gebildet wird:

$Formula: \boldsymbol{l}$ $Formula: \boldsymbol{l}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$	$Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{k = \tfrac{T}{\sqrt{l}}}$ $Formula: \boldsymbol{k = \tfrac{T}{\sqrt{l}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}}$

Da die Quotienten näherungsweise konstant sind, ist der funktionale Zusammenhang $Formula: T(l) = k \cdot \sqrt{l}$ $Formula: T(l) = k \cdot \sqrt{l}$ bestätigt.

Der Mittelwert beträgt $Formula: \overline{k} \approx 1,42\;\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}.$ $Formula: \overline{k} \approx 1,42\;\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}.$ Daraus ergibt sich der folgende funktionale Zusammenhang für die Schwingung:

$Formula: T(l) = 1,42\;\mathrm{\dfrac{s}{\sqrt{m}}} \cdot \sqrt{l}.$ $Formula: T(l) = 1,42\;\mathrm{\dfrac{s}{\sqrt{m}}} \cdot \sqrt{l}.$

Ermittlung der Kettenlänge

Durch Umstellen der bestätigten Gleichung nach der Länge Formula: l und Einsetzen der gegebenen Periodendauer ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & k \cdot \sqrt{l} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{k} \\[5pt] \dfrac{T}{k} & = & \sqrt{l} &\quad\scriptsize\mid\,(\,)^{2} \\[5pt] l & = & \left(\dfrac{T}{k}\right)^{2} \\[5pt] l & = & \left(\dfrac{1,8\;\mathrm{s}}{1,42\;\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}}\right)^{2} = 1,6\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & k \cdot \sqrt{l} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{k} \\[5pt] \dfrac{T}{k} & = & \sqrt{l} &\quad\scriptsize\mid\,(\,)^{2} \\[5pt] l & = & \left(\dfrac{T}{k}\right)^{2} \\[5pt] l & = & \left(\dfrac{1,8\;\mathrm{s}}{1,42\;\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}}\right)^{2} = 1,6\;\mathrm{m} \end{array}$

2.3

Überprüfung des theoretischen Zusammenhangs

Um die Formel $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\tfrac{l}{2g}}$ $Formula: T = 2\pi \cdot \sqrt{\tfrac{l}{2g}}$ zu überprüfen, werden drei Messwertepaare aus der Tabelle ausgewählt. Mit dem bekannten Ortsfaktor $Formula: g = 9,81\;\mathrm{\tfrac{m}{s^{2}}}$ $Formula: g = 9,81\;\mathrm{\tfrac{m}{s^{2}}}$ wird die theoretische Periodendauer $Formula: T_{\mathrm{theo}}$ $Formula: T_{\mathrm{theo}}$ berechnet und mit dem experimentellen Wert $Formula: T_{\mathrm{exp}}$ $Formula: T_{\mathrm{exp}}$ verglichen:

$Formula: \boldsymbol{l}$ $Formula: \boldsymbol{l}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$	$Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{exp}}}$ $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{exp}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{theo}}}$ $Formula: \boldsymbol{T_{\mathrm{theo}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$

Es zeigt sich eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den theoretisch berechneten Werten und den experimentellen Messwerten.

Ermittlung eines Werts für die Erdbeschleunigung

Da die theoretische Formel für Formula: T als gültig vorausgesetzt werden darf, kann sie mit dem in Teilaufgabe 2.2 experimentell bestimmten Zusammenhang $Formula: T(l) = k_{\mathrm{exp}} \cdot \sqrt{l}$ $Formula: T(l) = k_{\mathrm{exp}} \cdot \sqrt{l}$ gleichgesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} k_{\mathrm{exp}} \cdot \sqrt{l} & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{l}{2g}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\sqrt{l}} \\[5pt] k_{\mathrm{exp}} & = & \dfrac{2\pi}{\sqrt{2g}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\sqrt{2g}}{k_{\mathrm{exp}}} \\[5pt] \sqrt{2g} & = & \dfrac{2\pi}{k_{\mathrm{exp}}} &\quad\scriptsize\mid\,(\,)^{2} \\[5pt] 2g & = & \dfrac{4\pi^{2}}{k_{\mathrm{exp}}^{2}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] g & = & \dfrac{2\pi^{2}}{k_{\mathrm{exp}}^{2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} k_{\mathrm{exp}} \cdot \sqrt{l} & = & 2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{l}{2g}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{\sqrt{l}} \\[5pt] k_{\mathrm{exp}} & = & \dfrac{2\pi}{\sqrt{2g}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\sqrt{2g}}{k_{\mathrm{exp}}} \\[5pt] \sqrt{2g} & = & \dfrac{2\pi}{k_{\mathrm{exp}}} &\quad\scriptsize\mid\,(\,)^{2} \\[5pt] 2g & = & \dfrac{4\pi^{2}}{k_{\mathrm{exp}}^{2}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{2} \\[5pt] g & = & \dfrac{2\pi^{2}}{k_{\mathrm{exp}}^{2}} \end{array}$

Einsetzen des zuvor bestimmten Wertes $Formula: k_{\mathrm{exp}} = 1,42\;\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}$ $Formula: k_{\mathrm{exp}} = 1,42\;\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}$ liefert:

$Formula: g = \dfrac{2\pi^{2}}{\left(1,42\;\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}\right)^{2}} = 9,8\;\mathrm{\dfrac{m}{s^{2}}}$ $Formula: g = \dfrac{2\pi^{2}}{\left(1,42\;\mathrm{\tfrac{s}{\sqrt{m}}}\right)^{2}} = 9,8\;\mathrm{\dfrac{m}{s^{2}}}$

3a.1

Zeichnung des Schaltplans

Elektrischer Schaltkreis mit Amperemeter, Schalter, Batterie und Widerstand.

Ermittlung der abgeflossenen Ladung

Die abgeflossene Ladung Formula: Q entspricht der Fläche unter der Kurve im $Formula: t\text{-}I$ $Formula: t\text{-}I$ -Diagramm (Material 3a a). Diese lässt sich entweder durch das Auszählen der Kästchen oder über die Integration der gegebenen Regressionsfunktion ermitteln.

Ein Kästchen entspricht einer Ladungsmenge von $Formula: 10\;\mathrm{\mu A} \cdot 1\;\mathrm{s} = 10\;\mathrm{\mu C}.$ $Formula: 10\;\mathrm{\mu A} \cdot 1\;\mathrm{s} = 10\;\mathrm{\mu C}.$ Durch Auszählen der Fläche unter dem Graphen ergeben sich etwa Formula: 33 bis Formula: 35 Kästchen. Dies liefert eine Gesamtladung von ungefähr $Formula: 330\;\mathrm{\mu C}$ $Formula: 330\;\mathrm{\mu C}$ bis $Formula: 350\;\mathrm{\mu C}.$ $Formula: 350\;\mathrm{\mu C}.$

Alternativ kann auch integriert werden. Mit der in Material 3a a angegebenen Funktion Formula: I(t) ergibt sich die Ladung durch das Integral von Formula: t=0 bis zu einem Zeitpunkt, an dem der Strom näherungsweise null ist (z. B. $Formula: 20\;\mathrm{s}$ $Formula: 20\;\mathrm{s}$ ):

$Formula: Q = \int_{0}^{20} I(t) \;\mathrm{d}t \approx 348,5\;\mathrm{\mu C} \approx 0,35\;\mathrm{mC}$ $Formula: Q = \int_{0}^{20} I(t) \;\mathrm{d}t \approx 348,5\;\mathrm{\mu C} \approx 0,35\;\mathrm{mC}$

3a.2

Ermittlung der Kapazität

Diagramm mit Messpunkten und ansteigender Geraden zu Q in nC und U in V.

Da zwischen der gespeicherten Ladung Formula: Q und der Ladespannung Formula: U die Proportionalität $Formula: Q \sim U$ $Formula: Q \sim U$ gilt, kann in das Diagramm Material 3a c eine Ursprungsgerade (Ausgleichsgerade) gelegt werden. Die Steigung dieser Geraden entspricht der Kapazität Formula: C. Mit einem Steigungsdreieck ergibt sich:

$Formula: C = \dfrac{\Delta Q}{\Delta U} = \dfrac{70\;\mathrm{nC}}{270\;\mathrm{V}} = 0,26\;\mathrm{nF}.$ $Formula: C = \dfrac{\Delta Q}{\Delta U} = \dfrac{70\;\mathrm{nC}}{270\;\mathrm{V}} = 0,26\;\mathrm{nF}.$

Berechnung der Ladung

Mit der ermittelten Kapazität lässt sich die Ladung bei einer Spannung von $Formula: 500\;\mathrm{V}$ $Formula: 500\;\mathrm{V}$ direkt berechnen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} Q & = & C \cdot U = 0,26\;\mathrm{nF} \cdot 500\;\mathrm{V} \\[5pt] & = & 130\;\mathrm{nC} = 0,13\;\mathrm{\mu C} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} Q & = & C \cdot U = 0,26\;\mathrm{nF} \cdot 500\;\mathrm{V} \\[5pt] & = & 130\;\mathrm{nC} = 0,13\;\mathrm{\mu C} \end{array}$

3a.3

Begründung des antiproportionalen Zusammenhangs
Ein antiproportionaler Zusammenhang zwischen Formula: C und Formula: d ist belegt, wenn das Produkt beider Größen ( $Formula: k = C \cdot d$ $Formula: k = C \cdot d$ ) für alle Wertepaare konstant ist.

$Formula: \boldsymbol{d}$ $Formula: \boldsymbol{d}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m}}$	$Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pF}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{pF}}$	$Formula: \boldsymbol{k = d \cdot C}$ $Formula: \boldsymbol{k = d \cdot C}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m \cdot pF}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{m \cdot pF}}$

Die Produkte sind näherungsweise konstant, der antiproportionale Zusammenhang ist somit bestätigt. Der Mittelwert beträgt $Formula: \bar{k} = 0,726\;\mathrm{m \cdot pF}.$ $Formula: \bar{k} = 0,726\;\mathrm{m \cdot pF}.$

Ermittlung der elektrischen Feldkonstante
Für den Plattenkondensator gilt $Formula: C = \varepsilon_{0} \cdot \tfrac{A}{d},$ $Formula: C = \varepsilon_{0} \cdot \tfrac{A}{d},$ woraus $Formula: C \cdot d = \varepsilon_{0} \cdot A$ $Formula: C \cdot d = \varepsilon_{0} \cdot A$ folgt.

Durch Gleichsetzen mit dem Mittelwert $Formula: \bar{k}$ $Formula: \bar{k}$ und Einsetzen der Fläche $Formula: A = 0,080\;\mathrm{m^{2}}$ $Formula: A = 0,080\;\mathrm{m^{2}}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \varepsilon_{0} \cdot A & = & 0,726 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{m \cdot F} \\[5pt] \varepsilon_{0} & = & \dfrac{0,726 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{m \cdot F}}{0,080\;\mathrm{m^{2}}} \\[5pt] & = & 9,1 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{\dfrac{F}{m}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \varepsilon_{0} \cdot A & = & 0,726 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{m \cdot F} \\[5pt] \varepsilon_{0} & = & \dfrac{0,726 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{m \cdot F}}{0,080\;\mathrm{m^{2}}} \\[5pt] & = & 9,1 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{\dfrac{F}{m}} \end{array}$

Dieser Wert stimmt näherungsweise mit dem Literaturwert überein.

3a.4

Qualitative Erklärung zur Spannungsveränderung

Nachdem der Kondensator von der Spannungsquelle getrennt wurde, ist die Ladung Formula: Q konstant. Wird nun der Plattenabstand Formula: d vergrößert, nimmt gemäß $Formula: C \sim \tfrac{1}{d}$ $Formula: C \sim \tfrac{1}{d}$ die Kapazität des Kondensators ab. Nach der Gleichung $Formula: U = \tfrac{Q}{C}$ $Formula: U = \tfrac{Q}{C}$ muss bei konstanter Ladung und verringerter Kapazität zwangsläufig die Spannung zwischen den Platten ansteigen.

3b.1

Emissionsspektren entstehen, wenn die Elektronen der Gasatome zunächst durch Energiezufuhr auf energetisch höhere Energieniveaus gehoben werden. Beim Zurückfallen der Elektronen auf ein niedrigeres Energieniveau wird die exakte Energiedifferenz $Formula: \Delta E$ $Formula: \Delta E$ zwischen den beiden beteiligten Niveaus in Form eines Photons abgegeben. Die Frequenz Formula: f dieses emittierten Lichts ergibt sich aus der Energiedifferenz der beiden beteiligten Energieniveaus ( $Formula: \Delta E = h \cdot f$ $Formula: \Delta E = h \cdot f$ ).

Da die möglichen Energieniveaus in der Atomhülle quantisiert (diskret) sind, werden auch nur spezifische Wellenlänge emittiert, die den Spektrallinien in den Emissionsspektren entsprechen.

3b.2

Einzeichnen der Übergänge

Energieniveaus des Wasserstoffatoms mit Übergängen zwischen den Schalen n=1 bis n=∞.

Ermitteln einer Linie der Balmer-Serie

Wird beispielsweise der Übergang $Formula: 3 \rightarrow 2$ $Formula: 3 \rightarrow 2$ betrachtet, so beträgt die Energiedifferenz:

$Formula: \Delta E = -1,51\;\mathrm{eV} - (-3,40\;\mathrm{eV}) = 1,89\;\mathrm{eV}.$ $Formula: \Delta E = -1,51\;\mathrm{eV} - (-3,40\;\mathrm{eV}) = 1,89\;\mathrm{eV}.$

Als zugehörige Wellenlänge ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{1,89\;\mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 657\;\mathrm{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{1,89\;\mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 657\;\mathrm{nm} \end{array}$

Diese Linie lässt sich im Spektrum Material 3b a eindeutig ablesen.

Nachweis für die markierte $Formula: \boldsymbol{615\;\mathrm{nm}}$ $Formula: \boldsymbol{615\;\mathrm{nm}}$ -Linie

Die markierte Linie weist eine Wellenlänge von $Formula: 615\;\mathrm{nm}$ $Formula: 615\;\mathrm{nm}$ auf. Die Energie eines solchen Photons entspräche:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{615 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 2,02\;\mathrm{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{615 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 2,02\;\mathrm{eV} \end{array}$

Ein Abgleich mit dem Wasserstoff-Energieniveauschema zeigt, dass es keinen Übergang gibt, der eine Energiedifferenz von exakt $Formula: 2,02\;\mathrm{eV}$ $Formula: 2,02\;\mathrm{eV}$ aufweist. Somit gehört diese Spektrallinie nicht zur Balmer-Serie (und auch nicht zu Wasserstoff).

3b.3

Begründung der Nichtsichtbarkeit der Lyman- und Paschen-Serie

Mithilfe des Energieniveauschemas lassen sich die Randbereiche (Grenzwellenlängen) der jeweiligen Serien bestimmen:

Lyman-Serie (Übergänge auf $Formula: \boldsymbol{n = 1}$ $Formula: \boldsymbol{n = 1}$ ): Die Linie mit der größtmöglichen Wellenlänge (und kleinsten Energie) entsteht beim Übergang $Formula: 2 \rightarrow 1.$ $Formula: 2 \rightarrow 1.$ Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{2 \rightarrow 1} & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{10,21\;\mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 122\;\mathrm{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{2 \rightarrow 1} & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{10,21\;\mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 122\;\mathrm{nm} \end{array}$

Da $Formula: 122\;\mathrm{nm} < 390\;\mathrm{nm}$ $Formula: 122\;\mathrm{nm} < 390\;\mathrm{nm}$ gilt, liegt dieser und somit auch alle energiereicheren Übergänge der Lyman-Serie vollständig im nicht-sichtbaren Ultraviolett-Bereich.
Paschen-Serie (Übergänge auf $Formula: \boldsymbol{n = 3}$ $Formula: \boldsymbol{n = 3}$ ): Die Linie mit der kleinstmöglichen Wellenlänge (und größten Energie) entsteht beim Übergang $Formula: \infty \rightarrow 3.$ $Formula: \infty \rightarrow 3.$ Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{\infty \rightarrow 3} & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{1,51\;\mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 822\;\mathrm{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda_{\infty \rightarrow 3} & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{1,51\;\mathrm{eV}} \\[5pt] & = & 822\;\mathrm{nm} \end{array}$

Da $Formula: 822\;\mathrm{nm} > 780\;\mathrm{nm}$ $Formula: 822\;\mathrm{nm} > 780\;\mathrm{nm}$ gilt, liegt diese kürzeste Wellenlängen und alle energieärmeren vollständig im nicht-sichtbaren Infrarot-Bereich.

3b.4

Qualitativer Zusammenhang (Resonanzabsorption)

Ein Stern emittiert ein kontinuierliches Lichtspektrum in alle Raumrichtungen. Durchquert dieses Licht die wasserstoffhaltige Atmosphäre des Sterns, werden exakt die Photonen absorbiert, deren Energie den Energiedifferenzen der Wasserstoffatome entspricht.

Die Wasserstoffatome werden angeregt und fallen nach kurzer Zeit wieder in einen niedrigeren Zustand zurück, wobei die Photonen wieder emittiert werden. Die Re-Emission dieser Photonen erfolgt jedoch gestreut in alle Raumrichtungen. In Richtung des Beobachters fehlen diese Wellenlängen größtenteils, was als Absorptionslinie im sonst kontinuierlichen Spektrum sichtbar wird.

Quantitative Überprüfung

Der markierte Intensitätseinbruch im Sternspektrum (Material 3b c) liegt bei einer Wellenlänge von etwa $Formula: \lambda \approx 410\;\mathrm{nm}.$ $Formula: \lambda \approx 410\;\mathrm{nm}.$ Die zugehörige Photonenenergie ist:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{Photon}} & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\frac{m}{s}}}{410 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 3,03\;\mathrm{eV} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{Photon}} & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{4,136 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{eVs} \cdot 3,00 \cdot 10^{8}\;\mathrm{\frac{m}{s}}}{410 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 3,03\;\mathrm{eV} \end{array}$

Wird dieser Wert mit dem Energieniveauschema von Wasserstoff abgeglichen, ergibt sich für den Übergang $Formula: 6 \rightarrow 2$ $Formula: 6 \rightarrow 2$ folgende Differenz:

$Formula: \Delta E_{6 \rightarrow 2} = -0,38\;\mathrm{eV} - (-3,40\;\mathrm{eV}) = 3,02\;\mathrm{eV}$ $Formula: \Delta E_{6 \rightarrow 2} = -0,38\;\mathrm{eV} - (-3,40\;\mathrm{eV}) = 3,02\;\mathrm{eV}$

Da $Formula: E_{\mathrm{Photon}} \approx \Delta E_{6 \rightarrow 2}$ $Formula: E_{\mathrm{Photon}} \approx \Delta E_{6 \rightarrow 2}$ gilt, belegt diese Absorptionslinie die Existenz von Wasserstoff im Gas des Sterns.

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Aufgabe II — Interferenz, Schwingungen, elektrische Felder / Physik der Atomhülle

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Material 1a: Wellenlänge-Intensität-Diagramm einer rot leuchtenden LED

Material 1b: Wellenlänge-Intensität-Diagramm eines rot leuchtenden Lasers

Material 1c: Ausschnitt aus dem Schirmbild bei Beleuchtung eines Doppelspalts mit Laserlicht

Material 1d: Ausschnitt aus dem Schirmbild bei Beleuchtung eines Dreifachspalts mit Laserlicht (Schirmabstand wie in Material 1c)

Material 2a: Foto des Versuchsaufbaus

Material 2b: Kette im Ruhezustand

Material 2c: Kette im ausgelenkten Zustand

Material 2d: Zeitlicher Verlauf einer Kettenschwingung bei einer Kettenlänge

Material 2e: Periodendauer in Abhängigkeit von der Kettenlänge

Material 3a a: Diagramm zur Kondensatorentladung

Material 3a b: Aufbaukondensator

Material 3a c: Messung der Ladung des Kondensators in Abhängigkeit der Spannung zum Aufladen

Material 3a d: Kapazität des Kondensators in Abhängigkeit vom Plattenabstand sowie die grafische Veranschaulichung der Messwerte

Material 3b a: Spektrum der Balmer-Lampe

Material 3b b: Energieniveauschema eines Wasserstoffatoms

Material 3b c: Spektrum eines Sterns

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Material 2d: Zeitlicher Verlauf einer Kettenschwingung bei einer Kettenlänge $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{l = 94,5\;\mathrm{cm}}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{l = 94,5\;\mathrm{cm}}}$

Material 2e: Periodendauer $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{T}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{T}}$ in Abhängigkeit von der Kettenlänge $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{l}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{l}}$

Material 3a c: Messung der Ladung $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{Q}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{Q}}$ des Kondensators in Abhängigkeit der Spannung $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U}}$ $Formula: \color{#287882}{\boldsymbol{U}}$ zum Aufladen