Teil B

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=3\cdot\sin\left(\tfrac{1}{2}\cdot x\right).$ $Formula: f(x)=3\cdot\sin\left(\tfrac{1}{2}\cdot x\right).$

1.1

Gib den Wertebereich von Formula: f an.

1 BE

1.2

Untersuche, ob der Punkt $Formula: P\bigl(5\,\big{\vert}\,\tfrac{3}{2}\bigr)$ $Formula: P\bigl(5\,\big{\vert}\,\tfrac{3}{2}\bigr)$ auf dem Graphen von Formula: f liegt.

2 BE

1.3

Für $Formula: a\in\mathbb{R}^+$ $Formula: a\in\mathbb{R}^+$ schneidet der Graph der Funktion Formula: g mit $Formula: g(x)=a\cdot\sin\left(\tfrac{1}{2}\cdot x\right)\;$ $Formula: g(x)=a\cdot\sin\left(\tfrac{1}{2}\cdot x\right)\;$ $Formula: (x\in\mathbb{R};\;0\leq x\leq2\cdot\pi)$ $Formula: (x\in\mathbb{R};\;0\leq x\leq2\cdot\pi)$ die Formula: x -Achse in den Punkten Formula: A und Formula: B.

Die Punkte Formula: A und Formula: B bilden mit dem Hochpunkt des Graphen von Formula: g ein Dreieck.

Ermittle den Flächeinhalt dieses Dreiecks für Formula: a=3.

Bestimme den Wert für Formula: a, für den dieses Dreieck den Flächeninhalt $Formula: 5\cdot\pi$ $Formula: 5\cdot\pi$ hat.

4 BE

Für das abgebildete Viereck Formula: ABCD gilt:

$Formula: \overline{AB}=4\;\text{m},\;\overline{BC}=3\;\text{m},\;\overline{AC}=5\;\text{m},\:$ $Formula: \overline{AB}=4\;\text{m},\;\overline{BC}=3\;\text{m},\;\overline{AC}=5\;\text{m},\:$ $Formula: \overline{CD}=\sqrt{13}\;\text{m}$ $Formula: \overline{CD}=\sqrt{13}\;\text{m}$ und $Formula: \overline{AD}=\sqrt{18}\;\text{m}$ $Formula: \overline{AD}=\sqrt{18}\;\text{m}$

Viereck ABCD mit markierten Punkten A, B, C, D und gestrichelter Diagonale von A nach C

2.1

Zeige rechnerisch, dass das Dreieck Formula: ABC rechtwinklig ist.

2 BE

2.2

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks Formula: ABCD.

(zur Kontrolle: Flächeninhalt $Formula: 13{,}5\;\text{m}^2)$ $Formula: 13{,}5\;\text{m}^2)$

5 BE

2.3

Das Viereck Formula: ABCD ist Grundfläche eines Prismas mit dem Volumen $Formula: 108\;\text{m}^3.$ $Formula: 108\;\text{m}^3.$

Ermittle die Höhe des Prismas.

2 BE

Auf der Fichtelbergschanze in Oberwiesenthal trainieren Skispringer.

3.1

Justus, Niklas und Hans absolvieren ihre Trainingssprünge in zufälliger Reihenfolge

3.1.1

Gib die Anzahl der möglichen Reihenfolgen an.

1 BE

3.1.2

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Justus nicht als Letzter springt.

2 BE

3.2

Hans absolviert 5 Trainingssprünge.

In den ersten vier Sprüngen erreichte er folgende Sprungweiten:

Sprung	Sprungweite in $Formula: \text{m}$ $Formula: \text{m}$
1
2
3
4
5

Falls das arithmetische Mittel seiner fünf Sprungweiten mindestens $Formula: 96{,}5\;\text{m}$ $Formula: 96{,}5\;\text{m}$ beträgt, wird er für einen Wettkampf nominiert.

Ermittle die Mindestweite, die Hans im fünften Trainingssprung dafür erreichen muss.

3 BE

3.3

Die Abbildung zeigt in einem Koordinatensystem den Längsschnitt der Fichtelbergschanze, der aus den Profillinien des Anlaufs und des Aufsprunghangs besteht.

Die Profillinie des Anlaufs endet in einem Punkt auf der Formula: y -Achse. Die Profillinie des Aufsprunghangs beginnt im Koordinatenursprung Formula: O.

Die Formula: x -Achse verläuft entlang der Horizontalen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Am Ende des Anlaufs springen die Skispringer 3 Meter über dem Aufsprunghang ab.

Diagramm mit x- und y-Achse und zwei gekrümmten Profillinien: Anlauf links oben, Aufsprunghang rechts unten

Abbildung (nicht maßstäblich)

3.3.1

Die Profillinie des Aufsprunghangs wird durch den Graphen der Funktion Formula: h mit $Formula: h(x)=0{,}000025\cdot x^3-0{,}006\cdot x^2-0{,}2\cdot x\;$ $Formula: h(x)=0{,}000025\cdot x^3-0{,}006\cdot x^2-0{,}2\cdot x\;$ $Formula: (x\in\mathbb{R};\;0\leq x\leq170)$ $Formula: (x\in\mathbb{R};\;0\leq x\leq170)$ beschrieben.

Bei einem Sprung landet ein Skispringer auf dem Aufsprunghang im Punkt $Formula: L\bigl(80\mid h(80)\bigr).$ $Formula: L\bigl(80\mid h(80)\bigr).$

Berechne den Höhenunterschied zwischen Absprung und Landung.

4 BE

3.3.2

Die Flugbahn eines Skispringers lässt sich näherungsweise durch den Graphen einer quadratischen Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\;$ $Formula: f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\;$ $Formula: (x\in\mathbb{R},\;0\leq x\leq80;$ $Formula: (x\in\mathbb{R},\;0\leq x\leq80;$ $Formula: a,b,c\in\mathbb{R};\;a\neq0)$ $Formula: a,b,c\in\mathbb{R};\;a\neq0)$ beschreiben.

Betrachtet werden folgende Aussagen:

Aussage 1:	„ ist eine negative Zahl.“
Aussage 2:	„ ist eine negative Zahl.“

Entscheide für jede der beiden Aussagen, ob diese wahr oder falsch ist.

Begründe deine Entscheidungen.

4 BE

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.1

$Formula: W_f=\{y\mid y\in\mathbb{R};\;-3\leq y\leq3\}$ $Formula: W_f=\{y\mid y\in\mathbb{R};\;-3\leq y\leq3\}$

1.2

Einsetzen des Punkts Formula: P in die Funktionsgleichung von $Formula: f\text{:}$ $Formula: f\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f(5)&=&3\cdot\sin\left(\dfrac{1}{2}\cdot 5\right)\\[5pt] &\approx&1{,}795 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f(5)&=&3\cdot\sin\left(\dfrac{1}{2}\cdot 5\right)\\[5pt] &\approx&1{,}795 \end{array}$

Somit liegt der Punkt Formula: P nicht auf dem Graphen von Formula: f.

1.3

Ermittlung des Flächeninhalts für $Formula: \boldsymbol{a=3}$ $Formula: \boldsymbol{a=3}$

Zunächst werden die Nullstellen der Funktion $Formula: g(x)=3\cdot\sin\bigl(\tfrac{1}{2}\cdot x\bigr)$ $Formula: g(x)=3\cdot\sin\bigl(\tfrac{1}{2}\cdot x\bigr)$ im Intervall $Formula: (x\in\mathbb{R};\;0\leq x\leq2\cdot\pi)$ $Formula: (x\in\mathbb{R};\;0\leq x\leq2\cdot\pi)$ ermittelt. Die Periode der Sinusfunktion beträgt:

$Formula: p=\dfrac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi$ $Formula: p=\dfrac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi$

Die Periode der Sinusfunktion ist um den Faktor zwei gestreckt. Ihre Nullstellen befinden sich demnach bei Formula: x=0, $Formula: x=2\pi,$ $Formula: x=2\pi,$ und $Formula: x=4\pi.$ $Formula: x=4\pi.$ Da die beiden Punkte Formula: A und Formula: B mit dem Hochpunkt des Graphen von Formula: g ein Dreieck bilden, müssen sie den beiden Nullstellen und $Formula: x=2\pi$ $Formula: x=2\pi$ entsprechen, denn bei positiver Amplitude Formula: (a=3) liegt der Hochpunkt der Sinusfunktion zwischen den ersten beiden Nullstellen (in diesem Fall bei $Formula: x=\pi),$ $Formula: x=\pi),$ wohingegen der Tiefpunkt zwischen der zweiten und dritten Nullstelle liegt.

Die Differenz zwischen der ersten und zweiten Nullstelle beträgt $Formula: 2\pi-0=2\pi.$ $Formula: 2\pi-0=2\pi.$ Die Höhe des Dreiecks kann anhand der Amplitude Formula: a=3 abgelesen werden.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot2\pi\cdot3\\[5pt] &=&3\cdot\pi \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_c\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot2\pi\cdot3\\[5pt] &=&3\cdot\pi \end{array}$

Bestimmen des Werts für $Formula: \boldsymbol{a}$ $Formula: \boldsymbol{a}$

Da die Seite Formula: c unverändert die Länge $Formula: 2\pi$ $Formula: 2\pi$ beibehält, hängt der Flächeninhalt nur von der Höhe Formula: h_c des Dreiecks ab. Diese entspricht der Amplitude der Sinusfunktion Formula: g(x).

Damit der Flächeninhalt $Formula: 5\cdot\pi$ $Formula: 5\cdot\pi$ beträgt, muss folglich Formula: a=5 sein.

2.1

Das Vorhandensein eines rechten Winkels kann mithilfe des Satz des Pythagoras überprüft werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} a^2+c^2&=&b^2\\[5pt] \overline{BC}^2+\overline{AB}^2&=&\overline{AC}^2\\[5pt] (3\;\text{m})^2+(4\;\text{m})^2&=&(5\;\text{m})^2\\[5pt] 9\;\text{m}^2+16\;\text{m}^2&=&25\;\text{m}^2\\[5pt] 25\;\text{m}^2&=&25\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} a^2+c^2&=&b^2\\[5pt] \overline{BC}^2+\overline{AB}^2&=&\overline{AC}^2\\[5pt] (3\;\text{m})^2+(4\;\text{m})^2&=&(5\;\text{m})^2\\[5pt] 9\;\text{m}^2+16\;\text{m}^2&=&25\;\text{m}^2\\[5pt] 25\;\text{m}^2&=&25\;\text{m}^2 \end{array}$

Somit liegt im Winkel $Formula: \beta$ $Formula: \beta$ beim Punkt Formula: B ein rechter Winkel vor.

Alternativ kann der rechte Winkel auch über die Winkelsumme in einem Dreieck gezeigt werden:

Für den Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ beim Punkt Formula: A gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)\\[5pt] &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\right)\\[5pt] &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{3\;\text{m}}{5\;\text{m}}\right)\\[5pt] &\approx&36{,}87^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)\\[5pt] &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\right)\\[5pt] &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{3\;\text{m}}{5\;\text{m}}\right)\\[5pt] &\approx&36{,}87^\circ \end{array}$

Für den Winkel $Formula: \gamma$ $Formula: \gamma$ beim Punkt Formula: C gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \gamma&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)\\[5pt] &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\right)\\[5pt] &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{4\;\text{m}}{5\;\text{m}}\right)\\[5pt] &\approx&53{,}13^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \gamma&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)\\[5pt] &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\right)\\[5pt] &=&\sin^{-1}\left(\dfrac{4\;\text{m}}{5\;\text{m}}\right)\\[5pt] &\approx&53{,}13^\circ \end{array}$

Für den Winkel $Formula: \beta$ $Formula: \beta$ beim Punkt Formula: B gilt somit aufgrund der Winkelsumme in einem Dreieck:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^\circ-\alpha-\gamma\\[5pt] &=&180^\circ-36{,}87^\circ-53{,}13^\circ\\[5pt] &=&90^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^\circ-\alpha-\gamma\\[5pt] &=&180^\circ-36{,}87^\circ-53{,}13^\circ\\[5pt] &=&90^\circ \end{array}$

2.2

Der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ABC beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot4\;\text{m}\cdot3\;\text{m}\\[5pt] &=&6\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot4\;\text{m}\cdot3\;\text{m}\\[5pt] &=&6\;\text{m}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ACD kann mithilfe des Satzes des Heron berechnet werden:

$Formula: s=\dfrac{\overline{CD}+\overline{AD}+\overline{AC}}{2}=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{18}+5}{2}\;\text{m}$ $Formula: s=\dfrac{\overline{CD}+\overline{AD}+\overline{AC}}{2}=\dfrac{\sqrt{13}+\sqrt{18}+5}{2}\;\text{m}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\sqrt{s\cdot\bigl(s-\overline{CD}\bigr)\cdot\bigl(s-\overline{AD}\bigr)\cdot\bigl(s-\overline{AC}\bigr)}\\[5pt] &=&\sqrt{s\cdot(s-\sqrt{13}\;\text{m})\cdot(s-\sqrt{18}\;\text{m})\cdot(s-5\;\text{m})}\\[5pt] &=&7{,}5\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\sqrt{s\cdot\bigl(s-\overline{CD}\bigr)\cdot\bigl(s-\overline{AD}\bigr)\cdot\bigl(s-\overline{AC}\bigr)}\\[5pt] &=&\sqrt{s\cdot(s-\sqrt{13}\;\text{m})\cdot(s-\sqrt{18}\;\text{m})\cdot(s-5\;\text{m})}\\[5pt] &=&7{,}5\;\text{m}^2 \end{array}$

Alternativ kann der Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ACD mithilfe des Kosinussatzes für den Winkel $Formula: \delta$ $Formula: \delta$ beim Punkt Formula: D berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos\delta&=&\dfrac{\overline{CD}^2+\overline{AD}^2-\overline{AC}^2}{2\cdot\overline{CD}\cdot\overline{AD}}\\[5pt] &=&\dfrac{(\sqrt{13}\;\text{m})^2+(\sqrt{18}\;\text{m})^2-(5\;\text{m})^2}{2\cdot\sqrt{13}\;\text{m}\cdot\sqrt{18}\;\text{m}}\\[5pt] &=&\dfrac{13\;\text{m}^2+18\;\text{m}^2-25\;\text{m}^2}{\sqrt{936}\;\text{m}^2}\\[5pt] &\approx&78{,}69^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \cos\delta&=&\dfrac{\overline{CD}^2+\overline{AD}^2-\overline{AC}^2}{2\cdot\overline{CD}\cdot\overline{AD}}\\[5pt] &=&\dfrac{(\sqrt{13}\;\text{m})^2+(\sqrt{18}\;\text{m})^2-(5\;\text{m})^2}{2\cdot\sqrt{13}\;\text{m}\cdot\sqrt{18}\;\text{m}}\\[5pt] &=&\dfrac{13\;\text{m}^2+18\;\text{m}^2-25\;\text{m}^2}{\sqrt{936}\;\text{m}^2}\\[5pt] &\approx&78{,}69^\circ \end{array}$

Somit ergibt sich für den Flächeninhalt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{AD}\cdot\sin\delta\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{13}\;\text{m}\cdot\sqrt{18}\;\text{m}\cdot\sin78{,}69^\circ\\[5pt] &=&7{,}5\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot\overline{CD}\cdot\overline{AD}\cdot\sin\delta\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{13}\;\text{m}\cdot\sqrt{18}\;\text{m}\cdot\sin78{,}69^\circ\\[5pt] &=&7{,}5\;\text{m}^2 \end{array}$

Somit gilt für den gesamten Flächeninhalt des Vierecks $Formula: ABCD\text{:}$ $Formula: ABCD\text{:}$

$Formula: A=6\;\text{m}^2+7{,}5\;\text{m}^2=13{,}5\;\text{m}^2$ $Formula: A=6\;\text{m}^2+7{,}5\;\text{m}^2=13{,}5\;\text{m}^2$

2.3

$Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=&G\cdot h &\mid\;\div G\\[5pt] \dfrac{V}{G}&=&h\\[5pt] \dfrac{108\;\text{m}^3}{13{,}5\;\text{m}^2}&=&h\\[5pt] 8\;\text{m}&=&h \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} V&=&G\cdot h &\mid\;\div G\\[5pt] \dfrac{V}{G}&=&h\\[5pt] \dfrac{108\;\text{m}^3}{13{,}5\;\text{m}^2}&=&h\\[5pt] 8\;\text{m}&=&h \end{array}$

3.1

3.1.1

Es gibt $Formula: 3\cdot2\cdot1=6$ $Formula: 3\cdot2\cdot1=6$ mögliche Reihenfolgen.

3.1.2

Es gibt vier Möglichkeiten, in denen Justus nicht als Letzter springt: $Formula: \text{JNH,}\;$ $Formula: \text{JNH,}\;$ $Formula: \text{JHN,}\;$ $Formula: \text{JHN,}\;$ $Formula: \text{NJH,}\;$ $Formula: \text{NJH,}\;$ $Formula: \text{HJN}$ $Formula: \text{HJN}$

Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$Formula: P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ $Formula: P=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

3.2

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{92{,}5+101{,}0+97{,}5+91{,}5+x}{5}&\geq&96{,}5 &\mid\;\cdot\,5\\[5pt] 92{,}5+101{,}0+97{,}5+91{,}5+x&\geq&482{,}5\\[5pt] 382{,}5+x&\geq&482{,}5 &\mid\;-\,382{,}5\\[5pt] x&\geq&100 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{92{,}5+101{,}0+97{,}5+91{,}5+x}{5}&\geq&96{,}5 &\mid\;\cdot\,5\\[5pt] 92{,}5+101{,}0+97{,}5+91{,}5+x&\geq&482{,}5\\[5pt] 382{,}5+x&\geq&482{,}5 &\mid\;-\,382{,}5\\[5pt] x&\geq&100 \end{array}$

Somit muss die fünfte Sprungweite mindestens $Formula: 100\;\text{m}$ $Formula: 100\;\text{m}$ betragen.

3.3

3.3.1

$Formula: \begin{array}[t]{rll} h(80)&=&0{,}000025\cdot80^3-0{,}006\cdot80^2-0{,}2\cdot80\\[5pt] &=&-41{,}6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} h(80)&=&0{,}000025\cdot80^3-0{,}006\cdot80^2-0{,}2\cdot80\\[5pt] &=&-41{,}6 \end{array}$

Da das Ende des Anlaufs drei Meter über dem Aufsprunghang liegt, beträgt der Höhenunterschied zwischen Absprung und Landung: $Formula: \lvert-3\;\text{m}-41{,}6\;\text{m}\rvert=44{,}6\;\text{m}$ $Formula: \lvert-3\;\text{m}-41{,}6\;\text{m}\rvert=44{,}6\;\text{m}$

3.3.2

Aussage 1 ist wahr.

Da die Flugbahn eines Skispringers aufgrund der Schwerkraft nach unten gekrümmt ist, muss der Graph der quadratischen Funktion eine nach unten geöffnete Parabel sein. Bei einer quadratischen Funktion bestimmt der Koeffizient Formula: a die Öffnung der Parabel. Für $Formula: a\lt0$ $Formula: a\lt0$ ist die Parabel nach unten geöffnet.

Aussage 2 ist falsch.

Der Koeffizient Formula: c ist der Formula: y -Achsenabschnitt bei Formula: f(0). Laut Aufgabentext endet der Anlauf auf der -Achse Formula: (x=0) drei Meter über dem Aufsprunghang, welcher im Ursprung $Formula: O(0\mid0)$ $Formula: O(0\mid0)$ beginnt. Das bedeutet, der Startpunkt der Flugbahn liegt bei Formula: f(0)=3. Somit muss Formula: c=3 und damit $Formula: c\gt0$ $Formula: c\gt0$ sein.

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?