A – Kurzformaufgaben

Das Gesamtvermögen eines Milliardärs wurde im Jahr 2023 auf etwa $200$ Milliarden Euro geschätzt.

Gib an, wie viele $100$ -Euro-Scheine das sind.

1 P.

Kreuze die Innenwinkelsumme des Sechsecks an.

	$720^\circ$
	$1080^\circ$
	$1440^\circ$

Grau schattiertes, unregelmäßiges Vieleck mit markierten Eckpunkten und gepunkteten Diagonalen

1 P.

Aus kleinen Holzwürfeln sind diese Figuren gebaut worden.

Drei graue verschachtelte Würfelmodelle (Figur 1–3) mit zentralen quadratischen Öffnungen.

Aus Figur 3 soll nach dem gleichen Muster Figur 4 gebaut werden.

Kreuze an, wie viele kleine Holzwürfel zusätzlich benötigt werden.

	$12$
	$24$
	$36$

1 P.

Kreuze an, welcher Begriff jeweils zu den zwei Wertetabellen gehört.

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{f(x)}$
$0$	$8$
$1$	$3$
$2$	$0$
$3$	$-1$
$4$	$0$
$5$	$3$
$6$	$8$

	linear
	quadratisch
	exponentiell

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{f(x)}$
$0$	$0,8$
$1$	$3,2$
$2$	$5,6$
$3$	$8$
$4$	$10,4$
$5$	$12,8$
$6$	$15,2$

	linear
	quadratisch
	exponentiell

2 P.

Die beiden Glücksräder sollen nacheinander gedreht werden.
Die Wahrscheinlichkeit $P \, (H; H)$ für einen Hauptgewinn soll $10\,\text{%}$ betragen.

Zwei Kreise: links in fünf Sektoren mit Buchstabe H, rechts in vier Quadranten, beide mit Markierung oben.

Beschrifte das rechte Glücksrad so, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn $P \, (H; H)$ bei $10\,\text{%}$ liegt.

1 P.

Setze Klammern so, dass eine wahre Aussage entsteht.

$12-2\cdot 4-2=8$

1 P.

Der Flächeninhalt der abgebildeten Fläche soll bestimmt werden.

Unregelmäßige graue Fläche auf quadratischem Gitter, 1 cm² pro Feld

Kreuze die ungefähre Größe des Flächeninhalts an.

	$41\;\text{cm}^2$
	$54\;\text{cm}^2$
	$79\;\text{cm}^2$

1 P.

Bestimme den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g.$

Diagonale Linie g von unten links nach oben rechts, links oben die Beschriftungen P und ein X

Lösung: $\text{___________} \;\text{cm}$

1 P.

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f$ abgebildet.

Koordinatensystem mit Gitter und aufwärts geöffneter Parabel

Begründe, dass der Graph $f$ die Funktionsgleichung $f(x)=(x-2)\cdot (x-4)$ abbildet.

1 P.

Eine der drei folgenden Funktionsgleichungen wird nicht durch den Graphen $f$ dargestellt. Kreuze diese an.

	$f(x)=(x-3)^2-1$
	$f(x)=x^2-6x+8$
	$f(x)=3x^2-1$

1 P.

A10

Die Grafik stellt den Verkauf von CD-Alben in den Jahren 2002 bis 2022 dar.

Balkendiagramm: Verkäufe von CD-Alben in Deutschland 2002–2022, rückläufig von ~125 Mio auf ~20 Mio.

Gib die Anzahl der verkauften CD-Alben im Jahr 2002 an.
Lösung: $\text{___________}$ Millionen Stück

1 P.

Jonas behauptet: „Von 2017 bis 2022 ist der Verkauf um $\frac{2}{3}$ zurückgegangen.“

Entscheide und begründe, ob Jonas mit dieser Aussage recht hat.

	Ja, Jonas hat recht.
	Nein, Jonas hat nicht recht.

2 P.

A11

Kreuze jeweils an, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

	wahr	falsch
$5^4=25^2$		
$\sqrt{9}+\sqrt{7}=\sqrt{16}$		
$0,1\cdot 0,2=0,2$		

3 P.

A12

Gegeben ist die folgende Gleichung:
$4x-7=41$

Kreuze die Lösung für $x$ an.

	$x=8$
	$x=8,5$
	$x=12$

1 P.

A13

Gegeben ist der folgende Term: $(x-3)^2$

Kreuze den gleichwertigen Term an.

	$x^2-3^2$
	$9x^2$
	$x^2-6x+9$

1 P.

A14

Gegeben ist das Dreieck $ABC.$

Skizze eines schrägen Dreiecks mit Punkten A, B, C; AC 6,5 cm, Winkel 21°, Seite a markiert.

Anne berechnet die Seite $a$ dieses Dreiecks auf die folgende Weise:
$\tan(21^\circ)\cdot 6,5\;\text{cm}=a$

Erkläre, warum Anne so nicht rechnen kann.

1 P.

A15

Eine der drei kleinen Figuren ergänzt die große Figur zu einem Quader.

Welche? Kreuze an.

Großer Würfel aus kleinen grauen Würfeln mit T‑förmigem Hohlraum und hellen Innenflächen sichtbar

Graue gestapelte Würfel in Treppenform mit einem hohen Turm



Graue gestapelte Würfel, blockartige Anordnung in Treppen- und L-Form auf weißem Hintergrund



Graue stapelbare Würfel in einer stufenförmigen Anordnung



1 P.

Gib an, aus wie vielen kleinen Würfeln der vervollständigte Quader aus a) besteht.
Lösung: $\text{___________}$ Würfel

1 P.

A16

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit den Seitenlängen $a=3\;\text{cm}, b=5\;\text{cm}$ und $c=4\;\text{cm}.$

Zeige, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist.

1 P.

A17

Das folgende Foto zeigt das Kunstwerk „Der Stuhl“.

Großer hölzerner Stuhl-Skulptur auf einem Platz, kleines weißes Auto parkt darunter, Backsteingebäude im Hintergrund.

Gib die Höhe des ganzen Stuhls an und beschreibe dein Vorgehen.

2 P.

A18

Ein Blatt Papier ist ungefähr $0,1 \;\text{mm}$ dick.

Kreuze an, wie viele Blätter ungefähr in einem $2\;\text{cm}$ hohen Papierstapel sind.

	$20$
	$200$
	$2000$

1 P.

A19

Beschreibe einen zweistufigen Zufallsversuch, der durch dieses Baumdiagramm dargestellt wird.

Wahrscheinlichkeitsbaum: zwei Ebenen, Äste mit Brüchen (6/10,4/10; 5/9,4/9; 6/9,3/9), Blätter gefüllte/hohle Kreise

2 P.

A20

Zeige, dass ein Zehntel des Kreises grau gefärbt ist.

Kreis mit kleinem dunklem Sektor am rechten Rand, rest weiß

1 P.

A21

Die abgebildete Pyramide wird senkrecht zur Grundfläche in zwei Teilkörper zerschnitten (siehe Abbildung).

Grafik einer quadratischen Pyramide mit hervorgehobener Höhe und gestrichelten Kanten.

Prüfe folgende Aussagen. Kreuze jeweils an.

	wahr	falsch
Das Volumen der beiden Teilkörper ist zusammen genau so groß wie das Volumen der Pyramide.		
Der Oberflächeninhalt der beiden Teilkörper ist zusammen genau so groß wie der Oberflächeninhalt der Pyramide.		
Die durch das Zerschneiden entstandenen Teilkörper sind Prismen.		

3 P.

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$200\, 000\, 000\, 000\,\text{€} :100\,\text{€}= 2\, 000\, 000\, 000$

Das sind $2$ Milliarden $100$ -Euro-Scheine.

Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt immer $180^\circ.$
Das Sechseck besteht aus vier Dreiecken. Für die Innenwinkelsumme des Sechsecks gilt:

$4\cdot 180^\circ=720^\circ$

	$720^\circ$
	$1080^\circ$
	$1440^\circ$

Figur 1: $20$ kleine Holzwürfel
Figur 2: $32$ kleine Holzwürfel
Figur 3: $44$ kleine Holzwürfel

Die Erweiterung zur nächsten Figur beträgt immer $12.$

	$12$
	$24$
	$36$

Quadratisch, weil:

$f(x)$ hat ein Minimum bei $x = 3;$ Scheitelpunkt $S(3\mid–1)$
Links und rechts (ausgehend vom Scheitelpunkt) steigen die Werte gleichmäßig wieder an, weil eine Parabel achsensymmetrisch zum Scheitelpunkt ist

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{f(x)}$
$0$	$8$
$1$	$3$
$2$	$0$
$3$	$-1$
$4$	$0$
$5$	$3$
$6$	$8$

	linear
	quadratisch
	exponentiell

Linear, weil

Konstante Wachstumsrate
Der Wert steigt immer um $2,4$

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{f(x)}$
$0$	$0,8$
$1$	$3,2$
$2$	$5,6$
$3$	$8$
$4$	$10,4$
$5$	$12,8$
$6$	$15,2$

	linear
	quadratisch
	exponentiell

Wahrscheinlichkeit für Hauptgewinn beim linken Glücksrad: $p=\tfrac{1}{5}$
Wahrscheinlichkeit für Hauptgewinn $P(H;H)$ liegt bei $10\,\% ( =\tfrac{1}{10})$

Nach der 1. Pfadregel gilt:

$\begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{5}\cdot p&=&\dfrac{1}{10} &\mid\;\cdot\, 5 \\[5pt] p&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

Beim rechten Glücksrad müssen $2$ von $4$ Feldern mit einem "H" beschriftet werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn $P(H;H)$ bei $10\,\%$ liegt.

Zwei Kreisscheiben als Glücksrad: links in fünf Sektoren, rechts in vier Quadranten, in einigen Feldern der Buchstabe „H“.

Es gilt: erst Klammern, dann Punkt- vor Strichrechnung.

$12-2\cdot (4-2)=8$

Unregelmäßige graue Fläche auf kariertem Gitter mit umrandetem Rechteck, Schraffur und Maßstab 1 cm²

$\begin{array}[t]{rlll} A_{Rechteck} &=&a\cdot b \\[5pt] &=&6\;\text{cm} \cdot 9\;\text{cm}\\[5pt] &=& 54 \;\text{cm}^2 \end{array}$

	$41\;\text{cm}^2$
	$54\;\text{cm}^2$
	$79\;\text{cm}^2$

Vorgehen:

Lege das Geodreieck mit der Nulllinie auf die Gerade $g$
Verschiebe es so lange, bis es am Punkt $P$ anliegt
Zeichne die Senkrechte zu $g$ durch $P$
Miss den Abstand von $g$ zu $P$

Der Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ gemessen ist $2,5\;\text{cm}.$

Die Funktionsgleichung liegt in Nullstellenform vor.
Die Nullstellen der Funktion liegen somit bei $x=2$ und $x=4.$
Da der Vorfaktor positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben.
Das stimmt mit dem abgebildeten Graphen überein.

Der Graph $f$ ist eine verschobene Normalparabel mit dem Streckfaktor $a = 1.$
In der Funktionsgleichung $f (x)=3x^2-1$ ist der Streckfaktor jedoch $a = 3.$
Daher beschreibt diese Funktionsgleichung nicht den Graphen von $f.$

	$f(x)=(x-3)^2-1$
	$f(x)=x^2-6x+8$
	$f(x)=3x^2-1$

A10

Im Jahr 2002 wurden $130$ Millionen CD-Alben verkauft.

	Ja, Jonas hat recht.
	Nein, Jonas hat nicht recht.

Begründung:
Die Säule von 2022 ist $\tfrac{1}{3}$ so hoch wie die von 2017, was einem Rückgang von $\tfrac{2}{3}$ entspricht.

A11

Begründung:
Wahr: $5^4=25^2=625.$
Falsch: Für $a, b > 0$ gilt $\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq \sqrt{a+b}$
Falsch: Zuerst ohne Komma rechnen $(1 \cdot 2 = 2).$ Da die beiden Faktoren zusammen zwei Nachkommastellen haben, wird das Komma im Ergebnis zwei Stellen von rechts gesetzt $(0,02).$

	wahr	falsch
$5^4=25^2$		
$\sqrt{9}+\sqrt{7}=\sqrt{16}$		
$0,1\cdot 0,2=0,2$		

A12

$\begin{array}[t]{rlll} 4x-7&=&41 &\mid\;+7 \\[5pt] 4x&=&48 &\mid\;:4 \\[5pt] x&=&12 \end{array}$

	$x=8$
	$x=8,5$
	$x=12$

A13

Mit der 2. binomischen Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} (x-3)^2&=&x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2 \\[5pt] &=&x^2-6x+9 \end{array}$

	$x^2-3^2$
	$9x^2$
	$x^2-6x+9$

A14

Anna kann die Formel $\tan\alpha=\tfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ nur in einem rechtwinkligen Dreieck anwenden.
Das Dreieck $ABC$ ist aber nicht rechtwinklig.

A15





$\begin{array}[t]{rlll} V&=&a\cdot b\cdot c \\[5pt] V&=& 6\cdot 4\cdot 4\\[5pt] &=& 96 \end{array}$

Der Quader besteht aus $96$ kleinen Würfeln.

A16

$\begin{array}[t]{rlll} (3\;\text{cm})^2+(4\;\text{cm})^2 &=& (5\;\text{cm})^2\\[5pt] 9\;\text{cm}^2+16\;\text{cm}^2&=&25\text{cm}^2 \\[5pt] 25\;\text{cm}^2&=&25\;\text{cm}^2 \end{array}$

Das Dreieck $ABC$ ist rechtwinklig, weil der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

A17

Vorgehen:

Die Höhe des PKW mit dem Stuhl vergleichen.
Höhe des PKW: ca. $1,50\;\text{m}$
Der Stuhl ist etwa $4$ -mal so hoch wie das Auto.
Höhe des Stuhls:
$4\cdot 1,50\;\text{m}=6\;\text{m}$

[Alle Lösungen zwischen $5\;\text{m}$ und $8\;\text{m}$ werden als richtig gewertet.]

A18

$\text{mm}$ in $\text{cm}$ umrechnen:

$\begin{array}[t]{rlll} 0,1\;\text{mm} &=&0,01\;\text{cm} \\[5pt] 2\;\text{cm}: 0,01\;\text{cm}&=&200 \end{array}$

	$20$
	$200$
	$2000$

A19

In einer Urne befinden sich sechs schwarze und vier weiße Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

A20

Der Winkel, der zum grauen Kreissegment gehört, beträgt $36^\circ$ und das sind $\tfrac{36^{\circ}}{360^{\circ}} =\tfrac{1}{10}=10\,\%$ des Vollwinkels.

A21

Begründung:
Wahr: Beide Teilkörper haben jeweils die Hälfte des Volumens der Pyramide, also zusammen das gesamte Volumen.
Falsch: Beim Zerschneiden entstehen zwei zusätzliche Flächen, daher ist die gesamte Oberfläche größer als vorher.
Falsch: Die Teilkörper sind keine Prismen, da Grund- und Deckfläche nicht gleich und nicht parallel sind.

	wahr	falsch
Das Volumen der beiden Teilkörper ist zusammen genau so groß wie das Volumen der Pyramide.		
Der Oberflächeninhalt der beiden Teilkörper ist zusammen genau so groß wie der Oberflächeninhalt der Pyramide.		
Die durch das Zerschneiden entstandenen Teilkörper sind Prismen.		

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