B3 – Funktionen

Welle

Johanna hat auf dem Tablet eine Kurve in einer Mathesoftware skizziert. Das Programm erkennt in Johannas Skizze eine Funktion und hat den abgebildeten Funktionsgraphen $f$ daraus erstellt. Die zugehörige Funktionsgleichung ist ihr zu kompliziert. Daher versucht Johanna die Kurve abschnittweise mit ihr bekannten Funktionen anzunähern.

Koordinatensystem mit gewellter Funktion f, markierten Punkten A, B, C und Achsen x, y

(1)

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f$ im abgebildeten Bereich an.

1 P.

Zwischen dem Koordinatenursprung $(0\mid0)$ und dem Punkt $A(2\mid0)$ soll der Graph von $f$ mit einer Parabel angenähert werden.

Gib den Scheitelpunkt einer geeigneten Parabel an.

1 P.

(2)

Johanna gibt die Funktionsgleichung $g(x)=-1,5(x-u)^2+v$ in die Software ein. Um die zugehörige Parabel $g$ zu verschieben, kann Johanna mit einem Schieberegler für $u$ und $v$ verschiedene Werte zwischen $-5$ und $5$ einstellen.

Koordinatensystem mit zwei Kurven (durchgezogen f, gestrichelt g), Punkt A bei x=2, Schieberegler u=0 v=1.5

Beschreibe, wie sich die Position der Parabel $g$ verändert, wenn am Schieberegler für $v$ ein kleinerer Wert eingestellt wird.

1 P.

Johanna möchte, dass sich die Parabel $g$ im Bereich zwischen dem Koordinatenursprung und dem Punkt $A$ möglichst gut dem Graphen von $f$ annähert.

Gib einen passenden Wert an, den Johanna am Schieberegler für $u$ einstellen kann.

1 P.

Aus der Scheitelpunktform erhält Johanna die Funktion $i$ mit der Funktionsgleichung $i(x)=-1,5x^2+3x$
Die Funktion $f$ hat zwei ihrer Nullstellen bei $x_1=0$ und $x_2=2.$

Zeige, dass die Funktion $i$ diese Nullstellen auch hat.

3 P.

Johanna probiert verschiedene Werte für $u$ und $v$ aus. Es gelingt ihr aber nicht, die Funktion $f$ im Bereich zwischen dem Punkt $(-2\mid0)$ und dem Koordinatenursprung anzunähern.

Begründe, warum es ihr nicht gelingen kann.

2 P.

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(1)

Nullstellen aus dem Graphen ablesen:

Die Funktion $f$ schneidet die $x$ -Achse bei $x=-2,$ $x=0$ und $x=2.$

Somit hat $f$ im abgebildeten Bereich genau $3$ Nullstellen.

Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmen:
Aus der Zeichnung sieht man, dass die Funktion $f$ bei $x=1$ ein Maximum hat mit dem $y$ -Wert:
$y_s=1,5$

Der Scheitelpunkt einer geeigneten Parabel ist somit $(1\mid 1,5).$

(2)

Wirkung des Parameters $v$ bei Verkleinerung des Wertes ermitteln:

Ein kleinerer Wert für $v$ verschiebt die Parabel entlang der $y$ -Achse nach unten.

Wert für $u$ bestimmen:

Johanna muss am Schieberegler den Wert $u = 1$ einstellen, damit der Scheitelpunkt der Parabel auf den Hochpunkt $S (1 \mid 1,5)$ des Graphen $f$ im Annäherungsbereich fällt.

Punktprobe durchführen:

1. Prüfung für $x_1 = 0:$
Setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein:

$\begin{array}[t]{rlll} i(0)&=& -1,5 \cdot (0)^2 + 3 \cdot (0) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

2. Prüfung für $x_2 = 2$ :
Setze $x=2$ in die Funktionsgleichung ein:

$\begin{array}[t]{rlll} i(2) &=&-1,5 \cdot (2)^2 + 3 \cdot (2) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Somit hat $i$ $2$ Nullstellen: $N_1 (0\mid0)$ und $N_2(2\mid0).$

Mögliche Begründung:

Es kann keine Annäherung gefunden werden, wenn die Form (Öffnung) der Parabel nicht zum Graphen von $f$ passt, weil:

die Parabel $g$ als Annäherung an den Graphen von $f$ nach unten geöffnet sein müsste.
die Parabel $g$ in der dargestellten Form bereits einen festen Streckfaktor $a$ (hier $a = -1,5$ ) besitzt.
die Schieberegler $u$ und $v$ ausschließlich zur Verschiebung der Parabel dienen ( $u$ für die horizontale Verschiebung, $v$ für die vertikale Verschiebung).
die Parameter $u$ und $v$ keinen Einfluss auf die Öffnung (den Streckfaktor $a$ ) der Parabel haben.

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