Aufgabe A1

Das radioaktive Berylliumisotop $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ wird durch die Wechselwirkung von kosmischer Strahlung mit irdischer Materie gebildet und kann zur Datierung genutzt werden.

1.1

Beschreibe, was in der Kernphysik unter Radioaktivität verstanden wird.

2 BE

1.2

$Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ ist ein Beta-Minus-Strahler.

1.2.1

Gib die Zerfallsgleichung von $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ an.

2 BE

1.2.2

Berechne den Betrag der beim Zerfall eines $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ -Kerns freiwerdenden Energie in $Formula: \mathrm{keV}.$ $Formula: \mathrm{keV}.$ Begründe, dass sich für die Beta-Minus-Strahlung eine kontinuierliche Energieverteilung ergibt.

Nuklid bzw. Elementarteilchen	Masse in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{u}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{u}}$
$Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$
$Formula: \mathrm{B}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{B}\text{-}10$
$Formula: \mathrm{Li}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Li}\text{-}10$
Positron
Elektron
Neutrino
Antineutrino

4 BE

1.3

Kosmische Strahlung besteht vor allem aus energiereichen Protonen. Diese treffen unter anderem auf Sauerstoffatome, z. B. in Quarzgestein, und lösen Kernreaktionen aus. Dabei können neben $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ viele weitere Teilchen entstehen. Für eine mögliche Reaktion lautet die Gleichung:

$Formula: _{8}^{16}\mathrm{O} + {}_{1}^{1}\mathrm{p} \rightarrow {}_{4}^{10}\mathrm{Be} + 3\;{}_{1}^{1}\mathrm{p} + X$ $Formula: _{8}^{16}\mathrm{O} + {}_{1}^{1}\mathrm{p} \rightarrow {}_{4}^{10}\mathrm{Be} + 3\;{}_{1}^{1}\mathrm{p} + X$

Gib das fehlende Teilchen Formula: X aus obiger Reaktion an.

2 BE

1.4

Durch den Ausbruch eines Vulkans gelangt Quarz an die Erdoberfläche. Dort wird es kosmischer Strahlung ausgesetzt, wodurch zu diesem Zeitpunkt $Formula: t_{0} = 0$ $Formula: t_{0} = 0$ die Produktion von $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ -Atomen beginnt. Die Anzahl der dabei in einem Zeitraum entstehenden $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ -Atome wird durch die Produktionsrate Formula: P beschrieben. Diese beträgt in einem Gramm reinem Quarz $Formula: P = 5\;\mathrm{a}^{-1}.$ $Formula: P = 5\;\mathrm{a}^{-1}.$

Die produzierten $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ -Atome beginnen zudem sofort zu zerfallen. Die Zerfallskonstante beträgt $Formula: \lambda = 4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1}.$ $Formula: \lambda = 4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1}.$

Die Anzahl Formula: N der $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ -Atome zum Zeitpunkt Formula: t kann unter Berücksichtigung der beiden Vorgänge mit folgender Gleichung berechnet werden:

$Formula: N(t) = \dfrac{P}{\lambda} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t})$ $Formula: N(t) = \dfrac{P}{\lambda} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t})$

1.4.1

Stelle die Anzahl Formula: N der $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ -Atome als Funktion der Zeit Formula: t grafisch dar. Übernimm dazu die folgende Wertetabelle und fülle diese aus.

Zeit $Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{10^{6}\;\mathrm{a}}$ $Formula: \boldsymbol{10^{6}\;\mathrm{a}}$	Anzahl $Formula: \boldsymbol{N}$ $Formula: \boldsymbol{N}$

3 BE

1.4.2

In der Nähe eines Vulkans wird an der Erdoberfläche eine Gesteinsprobe entnommen. Daraus wird ein Gramm nahezu reines Quarz extrahiert. Dieses enthält $Formula: N = 6,2 \cdot 10^{5}$ $Formula: N = 6,2 \cdot 10^{5}$ Atome des Isotops $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10.$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10.$

Berechne, wie viel Zeit seit dem letzten Ausbruch dieses Vulkans vergangen ist.

2 BE

1.4.3

Begründe, dass sich nach sehr langer Zeit die Anzahl der $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ $Formula: \mathrm{Be}\text{-}10$ -Atome im Gestein nahezu nicht mehr verändert.

2 BE

Zur Überprüfung der Trinkwasserqualität wird neben verschiedenen chemischen Analysen häufig Massenspektroskopie eingesetzt. Mit dieser Methode können selbst geringste Konzentrationen von Schwermetallen wie Blei ( $Formula: \mathrm{Pb}$ $Formula: \mathrm{Pb}$ ), Quecksilber ( $Formula: \mathrm{Hg}$ $Formula: \mathrm{Hg}$ ), Cadmium ( $Formula: \mathrm{Cd}$ $Formula: \mathrm{Cd}$ ) oder anderer Stoffe im Wasser nachgewiesen werden.

Die Abbildung zeigt den schematischen Aufbau eines Massenspektrographen.

Schematische Skizze eines Massenspektrometers: Ionenquelle, Beschleunigung, Ablenkung im Magnetfeld und Fotoplatte.

Meyer, L., Schmidt, G.–D.: Physik-Gymnasiale Oberstufe. DUDEN PAETEC Schulbuchverlag, Berlin 2003, S. 289.

In der Quelle von Ionen wird die zu untersuchende Probe stark erhitzt. Dadurch werden die Wassermoleküle extrahiert und die verbliebenen Fremdstoffe ionisiert. Diese Ionen unterscheiden sich hinsichtlich ihrer spezifischen Ladung $Formula: \tfrac{Q}{m}.$ $Formula: \tfrac{Q}{m}.$

Durch eine Blende gelangt der Ionenstrahl in ein System aus gekreuztem elektrischem Feld mit der Feldstärke Formula: E und magnetischem Feld mit der Flussdichte $Formula: B_{1}.$ $Formula: B_{1}.$ Ein Teil dieser Ionen gelangt anschließend durch zwei Blenden in ein Magnetfeld der Flussdichte $Formula: B_{2}.$ $Formula: B_{2}.$ Die Ionen lassen sich dann auf einer Fotoplatte detektieren.

2.1

Erkläre die in den Bereichen 1 und 2 dargestellte Bewegung von Ionen.

4 BE

2.2

Gib die Art der Ladung der Ionen an, welche die in der Abbildung gezeigten Bahnen durchlaufen. Begründe deine Aussage.

2 BE

2.3

Treten Ionen mit der Geschwindigkeit Formula: v in das Magnetfeld $Formula: B_{2}$ $Formula: B_{2}$ ein, so gilt für den Abstand Formula: y zwischen dem Eintrittspunkt in das Magnetfeld und dem Auftreffpunkt auf die Fotoplatte:

$Formula: y = \dfrac{2 \cdot v}{B_{2}} \cdot \dfrac{m}{Q}$ $Formula: y = \dfrac{2 \cdot v}{B_{2}} \cdot \dfrac{m}{Q}$

Leite diese Gleichung her.

3 BE

2.4

In einem Analyseversuch werden einfach geladene Ionen untersucht. Am Kondensator, dessen Platten im Abstand $Formula: d = 50\;\mathrm{mm}$ $Formula: d = 50\;\mathrm{mm}$ zueinander stehen, wird die elektrische Spannung $Formula: U = 600\;\mathrm{V}$ $Formula: U = 600\;\mathrm{V}$ gemessen. Die magnetischen Flussdichten betragen $Formula: B_{1} = 0,4\;\mathrm{T}$ $Formula: B_{1} = 0,4\;\mathrm{T}$ und $Formula: B_{2} = 1,0\;\mathrm{T}.$ $Formula: B_{2} = 1,0\;\mathrm{T}.$ Von den vermuteten Schadstoffen ist bekannt:

Schadstoff	Masse in $Formula: \boldsymbol{10^{-25}\;\mathrm{kg}}$ $Formula: \boldsymbol{10^{-25}\;\mathrm{kg}}$
Arsen ( $Formula: \mathrm{As}$ $Formula: \mathrm{As}$ )
Cadmium ( $Formula: \mathrm{Cd}$ $Formula: \mathrm{Cd}$ )
Quecksilber ( $Formula: \mathrm{Hg}$ $Formula: \mathrm{Hg}$ )
Blei ( $Formula: \mathrm{Pb}$ $Formula: \mathrm{Pb}$ )
Thorium ( $Formula: \mathrm{Th}$ $Formula: \mathrm{Th}$ )

2.4.1

Begründe durch Rechnung, dass in der Anordnung nur Ionen mit der Geschwindigkeit $Formula: v = 30\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = 30\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ in das Magnetfeld $Formula: B_{2}$ $Formula: B_{2}$ eintreten.

3 BE

2.4.2

Die folgende Abbildung zeigt eine Fotoplatte, bei der zwei verschiedene Schadstoffe in der Wasserprobe nachgewiesen wurden. Hierbei gilt:

Der Abstand vom Eintrittspunkt bis zum oberen Streifen auf der Fotoplatte beträgt $Formula: y_{1} = 129\;\mathrm{mm}.$ $Formula: y_{1} = 129\;\mathrm{mm}.$ Der Abstand zwischen den beiden dargestellten Streifen beträgt $Formula: \Delta y = 59\;\mathrm{mm}.$ $Formula: \Delta y = 59\;\mathrm{mm}.$

Ermittle mit der gegebenen Tabelle, welche Schadstoffe hier detektiert wurden.

Gib an, welcher der Schadstoffe in der größeren Konzentration auftritt. Begründe anhand der Abbildung.

Zwei verschwommene horizontale Balken in Rahmen, linke Achse y₁, rechter Abstand Δy.

5 BE

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1.1

Unter Radioaktivität wird in der Kernphysik die Eigenschaft bestimmter instabiler Atomkerne verstanden, sich spontan und ohne jegliche äußere Einwirkung in andere Atomkerne umzuwandeln. Bei diesem Zerfallsprozess wird überschüssige Energie in Form von ionisierender Strahlung (Alpha-, Beta- oder Gammastrahlung) an die Umgebung abgegeben.

1.2.1

$Formula: {}_{4}^{10}\mathrm{Be} \rightarrow {}_{5}^{10}\mathrm{B} + {}_{-1}^{0}\mathrm{e} + \overline{\nu}$ $Formula: {}_{4}^{10}\mathrm{Be} \rightarrow {}_{5}^{10}\mathrm{B} + {}_{-1}^{0}\mathrm{e} + \overline{\nu}$

1.2.2

Berechnung der Energie

Zur Berechnung der frei werdenden Energie wird zunächst der Massendefekt $Formula: \Delta m$ $Formula: \Delta m$ ermittelt. Aus der Tabelle in der Aufgabenstellung können folgende Atommassen entnommen werden:

$Formula: m_{\mathrm{Be}} = 10,01134 \;\mathrm{u};$ $Formula: m_{\mathrm{Be}} = 10,01134 \;\mathrm{u};$ $Formula: m_{\mathrm{B}} = 10,01019 \;\mathrm{u}$ $Formula: m_{\mathrm{B}} = 10,01019 \;\mathrm{u}$ und $Formula: m_{\mathrm{e}} = 0,00055 \;\mathrm{u}$ $Formula: m_{\mathrm{e}} = 0,00055 \;\mathrm{u}$

Der Massendefekt ergibt sich aus der Differenz der Massen vor und nach dem Zerfall:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta m &=& m_{\mathrm{Be}} - m_{\mathrm{B}} - m_{\mathrm{e}}\\[5pt] &=& 10,01134\;\mathrm{u} - 10,01019\;\mathrm{u} - 0,00055\;\mathrm{u}\\[5pt]&=& 0,0006\;\mathrm{u}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Delta m &=& m_{\mathrm{Be}} - m_{\mathrm{B}} - m_{\mathrm{e}}\\[5pt] &=& 10,01134\;\mathrm{u} - 10,01019\;\mathrm{u} - 0,00055\;\mathrm{u}\\[5pt]&=& 0,0006\;\mathrm{u}\end{array}$

Die beim Zerfall freigesetzte Energie Formula: E berechnet sich wie folgt:

$Formula: |E| = \Delta m \cdot c^2 = 0,0006 \;\mathrm{u} \cdot c^2$ $Formula: |E| = \Delta m \cdot c^2 = 0,0006 \;\mathrm{u} \cdot c^2$

Umgerechnet in die Einheit $Formula: \mathrm{keV}$ $Formula: \mathrm{keV}$ (mit dem Umrechnungsfaktor $Formula: 1 \;\mathrm{u} \approx 931,5 \;\mathrm{MeV}$ $Formula: 1 \;\mathrm{u} \approx 931,5 \;\mathrm{MeV}$ ) ergibt das:

$Formula: |E| \approx 560 \;\mathrm{keV}$ $Formula: |E| \approx 560 \;\mathrm{keV}$

Begründung der kontinuierlichen Energieverteilung

Beim Beta-Minus-Zerfall wird die frei werdende Gesamtenergie als kinetische Energie auf das entstehende Elektron und das Antineutrino aufgeteilt. Da diese Aufteilung rein statistisch abläuft, kann das Elektron jeden beliebigen Energiewert zwischen null und der zur Verfügung stehenden Maximalenergie annehmen. Das Resultat ist ein kontinuierliches Energiespektrum für die beobachtete Betastrahlung.

1.3

$Formula: X = {}_{2}^{4}\mathrm{He}$ $Formula: X = {}_{2}^{4}\mathrm{He}$

1.4.1

Zur Erstellung der grafischen Darstellung werden zunächst die Werte berechnet. Es wird die Funktion aus der Aufgabenstellung verwendet:

$Formula: N(t) = \frac{P}{\lambda} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t})$ $Formula: N(t) = \frac{P}{\lambda} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t})$

Eingesetzt in die Tabelle ergeben sich folgende Werte (gerundet):

Zeit $Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{10^{6}\;\mathrm{a}}$ $Formula: \boldsymbol{10^{6}\;\mathrm{a}}$	Anzahl $Formula: \boldsymbol{N}$ $Formula: \boldsymbol{N}$

Diese Werte können nun grafisch dargestellt werden:

Liniendiagramm: N (in 10^6) gegen t (in 10^6 a), Kurve steigt schnell und flacht nach oben hin ab.

1.4.2

Aus der Probe sind $Formula: N(t) = 6,2 \cdot 10^5$ $Formula: N(t) = 6,2 \cdot 10^5$ Atome bekannt. Die Formel für wird nun nach der Zeit Formula: t umgestellt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}N(t) &=& \dfrac{P}{\lambda} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda}{P}\\[5pt]\dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P} &=& 1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} &\quad\scriptsize\mid\,+ \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\\[5pt]\mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} &=& 1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P} &\quad\scriptsize\mid\,\ln\\[5pt]-\lambda \cdot t &=& \ln\left(1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\right) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{-\lambda}\\[5pt]t &=& -\dfrac{1}{\lambda} \cdot \ln\left(1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\right)\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}N(t) &=& \dfrac{P}{\lambda} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda}{P}\\[5pt]\dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P} &=& 1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} &\quad\scriptsize\mid\,+ \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\\[5pt]\mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} &=& 1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P} &\quad\scriptsize\mid\,\ln\\[5pt]-\lambda \cdot t &=& \ln\left(1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\right) &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{-\lambda}\\[5pt]t &=& -\dfrac{1}{\lambda} \cdot \ln\left(1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\right)\end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}N(t) &=& \dfrac{P}{\lambda} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}) &\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda}{P}\\[5pt]\dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P} &=& 1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} &\scriptsize\mid\,+ \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\\[5pt]\mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} &=& 1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P} &\scriptsize\mid\,\ln\\[5pt]-\lambda \cdot t &=& \ln\left(1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\right) &\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{-\lambda}\\[5pt]t &=& -\dfrac{1}{\lambda} \cdot \ln\left(1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\right)\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}N(t) &=& \dfrac{P}{\lambda} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}) &\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda}{P}\\[5pt]\dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P} &=& 1 - \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} &\scriptsize\mid\,+ \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\\[5pt]\mathrm{e}^{-\lambda \cdot t} &=& 1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P} &\scriptsize\mid\,\ln\\[5pt]-\lambda \cdot t &=& \ln\left(1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\right) &\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{-\lambda}\\[5pt]t &=& -\dfrac{1}{\lambda} \cdot \ln\left(1 - \dfrac{\lambda \cdot N(t)}{P}\right)\end{array}$

Mit der Produktionsrate $Formula: P = 5 \;\mathrm{a}^{-1}$ $Formula: P = 5 \;\mathrm{a}^{-1}$ und der Zerfallskonstante $Formula: \lambda = 4,99 \cdot 10^{-7} \;\mathrm{a}^{-1}$ $Formula: \lambda = 4,99 \cdot 10^{-7} \;\mathrm{a}^{-1}$ folgt durch Einsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}t &=& -\dfrac{1}{4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1}} \cdot \ln\left(1 - \dfrac{4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1} \cdot 6,2 \cdot 10^5}{5\;\mathrm{a}^{-1}}\right)\\[5pt] &\approx& 128000\;\mathrm{a}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}t &=& -\dfrac{1}{4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1}} \cdot \ln\left(1 - \dfrac{4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1} \cdot 6,2 \cdot 10^5}{5\;\mathrm{a}^{-1}}\right)\\[5pt] &\approx& 128000\;\mathrm{a}\end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}t &=& -\dfrac{1}{4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1}}\\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \ln\left(1 - \dfrac{4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1} \cdot 6,2 \cdot 10^5}{5\;\mathrm{a}^{-1}}\right)\\[5pt] &\approx& 128000\;\mathrm{a}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}t &=& -\dfrac{1}{4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1}}\\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \ln\left(1 - \dfrac{4,99 \cdot 10^{-7}\;\mathrm{a}^{-1} \cdot 6,2 \cdot 10^5}{5\;\mathrm{a}^{-1}}\right)\\[5pt] &\approx& 128000\;\mathrm{a}\end{array}$

Seit dem letzten Ausbruch des Vulkans sind demnach etwa Formula: 128.000 Jahre vergangen.

1.4.3

Für sehr große Zeiten Formula: t strebt der Term $Formula: \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}$ $Formula: \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}$ gegen null. In der Gleichung für Formula: N(t) nähert sich die Teilchenzahl dadurch für sehr große Zeiten dem festen Grenzwert $Formula: \tfrac{P}{\lambda}$ $Formula: \tfrac{P}{\lambda}$ an. Physikalisch bedeutet das, dass sich nach langer Zeit ein dynamisches Gleichgewicht einstellt. Die Produktionsrate der $Formula: \text{Be-10-}$ $Formula: \text{Be-10-}$ Atome durch die kosmische Strahlung entspricht dann exakt der Zerfallsrate der bereits vorhandenen $Formula: \text{Be-10-}$ $Formula: \text{Be-10-}$ Atome. Die Gesamtanzahl bleibt dadurch nahezu konstant.

2.1

Bereich 1 (Wien-Filter): Die Ionen treten in ein Gebiet mit gekreuztem elektrischem und magnetischem Feld ein. Auf die geladenen Ionen wirken hierbei die elektrische Kraft ( $Formula: F_{\mathrm{el}} = Q \cdot E$ $Formula: F_{\mathrm{el}} = Q \cdot E$ ) und die Lorentzkraft ( $Formula: F_{\mathrm{L}} = Q \cdot v \cdot B_1$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = Q \cdot v \cdot B_1$ ) einander entgegen. Ionen, bei denen sich diese beiden Kräfte exakt aufheben ( $Formula: F_{\mathrm{el}} = F_{\mathrm{L}}$ $Formula: F_{\mathrm{el}} = F_{\mathrm{L}}$ ), behalten ihre geradlinige Flugbahn bei und passieren die nachfolgende Blende. Ionen mit abweichender Geschwindigkeit werden abgelenkt und herausgefiltert.
Bereich 2 (Ablenkkammer): Nach dem Passieren der Blende treten die Ionen in ein homogenes Magnetfeld mit der Flussdichte ein. Da hier ausschließlich die Lorentzkraft senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, zwingt diese Kraft als Zentripetalkraft die Ionen auf eine halbkreisförmige Kreisbahn, bis sie auf der Fotoplatte auftreffen.

2.2

Die Ionen besitzen eine positive Ladung.

Gemäß der Abbildung werden die Teilchen im Bereich 2 nach oben in Richtung der Fotoplatte abgelenkt. Das Magnetfeld Formula: B_2 zeigt in die Papierebene hinein, was durch die Kreuz-Symbole markiert ist. Durch Anwendung der Drei-Finger-Regel der rechten Hand zeigt der Mittelfinger für die wirkende Lorentzkraft nach oben. Das deckt sich exakt mit der abgebildeten Bahnkurve für positiv geladene Teilchen.

2.3

Im Bereich 2 wirkt die Lorentzkraft als Zentralkraft. Daraus ergibt sich der folgende physikalische Ansatz, der nach dem Radius Formula: r aufgelöst wird:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{L}} &=& F_{\mathrm{Z}}\\[5pt]Q \cdot v \cdot B_2 &=& \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{Q \cdot v \cdot B_2}\\[5pt]r &=& \dfrac{m \cdot v}{Q \cdot B_2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{L}} &=& F_{\mathrm{Z}}\\[5pt]Q \cdot v \cdot B_2 &=& \dfrac{m \cdot v^2}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{Q \cdot v \cdot B_2}\\[5pt]r &=& \dfrac{m \cdot v}{Q \cdot B_2}\end{array}$

Der Abstand Formula: y vom Eintrittspunkt in das Magnetfeld bis zum Auftreffpunkt auf der Fotoplatte entspricht exakt dem Durchmesser der halbkreisförmigen Bahn, es gilt somit $Formula: y = 2 \cdot r.$ $Formula: y = 2 \cdot r.$ Einsetzen des Radius liefert die gesuchte Gleichung:

$Formula: y = 2 \cdot \frac{m \cdot v}{Q \cdot B_2} = \frac{2 \cdot v}{B_2} \cdot \frac{m}{Q}$ $Formula: y = 2 \cdot \frac{m \cdot v}{Q \cdot B_2} = \frac{2 \cdot v}{B_2} \cdot \frac{m}{Q}$

2.4.1

Im Bereich 1 (Wien-Filter) passieren nur Ionen mit einer spezifischen Geschwindigkeit die Blende ungestört. Die Bedingung hierfür lautet $Formula: F_{\mathrm{el}} = F_{\mathrm{L}},$ $Formula: F_{\mathrm{el}} = F_{\mathrm{L}},$ woraus sich für Formula: v folgendes ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\text{el}} &=& F_{\text{L}} \\[5pt] q \cdot E &=& q \cdot v \cdot B_1 &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{q \cdot B_1} \\[5pt] v &=& \dfrac{E}{B_1} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\text{el}} &=& F_{\text{L}} \\[5pt] q \cdot E &=& q \cdot v \cdot B_1 &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{q \cdot B_1} \\[5pt] v &=& \dfrac{E}{B_1} \end{array}$

Die elektrische Feldstärke Formula: E im Plattenkondensator berechnet sich durch $Formula: E = \tfrac{U}{d}.$ $Formula: E = \tfrac{U}{d}.$ Eingesetzt in die Geschwindigkeitsgleichung ergibt das:

$Formula: v = \frac{U}{d \cdot B_1}$ $Formula: v = \frac{U}{d \cdot B_1}$

Aus der Aufgabenstellung sind die Spannung $Formula: U = 600 \;\mathrm{V},$ $Formula: U = 600 \;\mathrm{V},$ der Plattenabstand $Formula: d = 0,05 \;\mathrm{m}$ $Formula: d = 0,05 \;\mathrm{m}$ (aus $Formula: 50 \;\mathrm{mm}$ $Formula: 50 \;\mathrm{mm}$ ) und die magnetische Flussdichte $Formula: B_1 = 0,4 \;\mathrm{T}$ $Formula: B_1 = 0,4 \;\mathrm{T}$ bekannt. Einsetzen der Werte liefert:

$Formula: v = \dfrac{600\;\mathrm{V}}{0,05\;\mathrm{m} \cdot 0,4\;\mathrm{T}} = 30000\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 30\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = \dfrac{600\;\mathrm{V}}{0,05\;\mathrm{m} \cdot 0,4\;\mathrm{T}} = 30000\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 30\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$

Damit ist rechnerisch nachgewiesen, dass nur Ionen mit einer Geschwindigkeit von $Formula: 30\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 30\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$ in das Magnetfeld Formula: B_2 eintreten.

2.4.2

Ermittlung der detektierten Schadstoffe

Die Gleichung aus 2.3 wird zur Bestimmung der Teilchenmasse nach Formula: m umgestellt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} y & = & \dfrac{2 \cdot v}{B_2} \cdot \dfrac{m}{Q} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{B_2 \cdot Q}{2 \cdot v} \\[5pt] m & = & y \cdot \dfrac{B_2 \cdot Q}{2 \cdot v} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} y & = & \dfrac{2 \cdot v}{B_2} \cdot \dfrac{m}{Q} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{B_2 \cdot Q}{2 \cdot v} \\[5pt] m & = & y \cdot \dfrac{B_2 \cdot Q}{2 \cdot v} \end{array}$

Da es sich laut Aufgabenstellung um einfach geladene Ionen handelt, entspricht die Ladung Formula: Q der Elementarladung Formula: e. Für den ersten, oberen Streifen bei $Formula: y_1 = 0,129 \;\mathrm{m}$ $Formula: y_1 = 0,129 \;\mathrm{m}$ ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m_1 & = & \dfrac{e \cdot 1,07 \;\mathrm{T} \cdot 0,129 \;\mathrm{m}}{2 \cdot 30000 \;\tfrac{\mathrm{m}}{\text{s}}} \\[5pt] & \approx & 3,44 \cdot 10^{-25} \;\mathrm{kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m_1 & = & \dfrac{e \cdot 1,07 \;\mathrm{T} \cdot 0,129 \;\mathrm{m}}{2 \cdot 30000 \;\tfrac{\mathrm{m}}{\text{s}}} \\[5pt] & \approx & 3,44 \cdot 10^{-25} \;\mathrm{kg} \end{array}$

Ein Abgleich mit der gegebenen Stofftabelle zeigt, dass es sich hierbei um Blei ( $Formula: \mathrm{Pb}$ $Formula: \mathrm{Pb}$ ) handelt.

Der zweite Streifen liegt $Formula: \Delta y = 59 \;\mathrm{mm}$ $Formula: \Delta y = 59 \;\mathrm{mm}$ näher am Eintrittspunkt. Der Abstand Formula: y_2 beträgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} y_2 & = & y_1 - \Delta y \\[5pt] & = & 129 \;\mathrm{mm} - 59 \;\mathrm{mm} \\[5pt] & = & 70 \;\mathrm{mm} = 0,070 \;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} y_2 & = & y_1 - \Delta y \\[5pt] & = & 129 \;\mathrm{mm} - 59 \;\mathrm{mm} \\[5pt] & = & 70 \;\mathrm{mm} = 0,070 \;\mathrm{m} \end{array}$

Die Masse Formula: m_2 für diesen Abstand wird analog berechnet:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m_2 & = & \dfrac{e \cdot 1,07 \;\mathrm{T} \cdot 0,070 \;\mathrm{m}}{2 \cdot 30000 \;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} \\[5pt] & \approx & 1,87 \cdot 10^{-25} \;\mathrm{kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m_2 & = & \dfrac{e \cdot 1,07 \;\mathrm{T} \cdot 0,070 \;\mathrm{m}}{2 \cdot 30000 \;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} \\[5pt] & \approx & 1,87 \cdot 10^{-25} \;\mathrm{kg} \end{array}$

Ein Abgleich mit der Tabelle zeigt, dass es sich bei diesem Schadstoff um Cadmium ( $Formula: \mathrm{Cd}$ $Formula: \mathrm{Cd}$ ) handelt.

Konzentration der Schadstoffe

Der Schadstoff Cadmium tritt in der größeren Konzentration auf.

In der Fotografie der Detektorplatte ist der untere Streifen (welcher zu dem geringeren Abstand Formula: y_2 und damit zu Cadmium gehört) deutlich dunkler und breiter ausgeprägt als der obere Streifen. Eine stärkere Schwärzung auf der Fotoplatte entsteht dadurch, dass an dieser Position deutlich mehr Ionen aufgetroffen sind. Eine höhere Anzahl an Ionen entspricht einer höheren Konzentration dieses Stoffes in der untersuchten Wasserprobe.

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