Aufgabe B1

Im Jahre 1999 veröffentlichte eine Gruppe von Physikern um den späteren Nobelpreisträger A. ZEILINGER eine Arbeit, in der sie die Materiewelleneigenschaften von $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Molekülen (sogenannten „Fullerenen“) experimentell demonstrieren konnten. Hierzu wurden die $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Moleküle zunächst in einem Ofen erhitzt und anschließend als Molekülstrahl auf ein Beugungsgitter mit einer Gitterkonstanten $Formula: g = 100\;\mathrm{nm}$ $Formula: g = 100\;\mathrm{nm}$ gelenkt. Im Abstand $Formula: e = 1,25\;\mathrm{m}$ $Formula: e = 1,25\;\mathrm{m}$ hinter dem Beugungsgitter befand sich ein Detektor zur Messung der Auftrefforte der Moleküle.

Ein $Formula: \small\text{C}_{60}\text{-}$ $Formula: \small\text{C}_{60}\text{-}$ Molekül

Sponk / CC-BY-SA-3.0

Schematische Darstellung eines Versuchsaufbaus mit Ofen, Bündelungsspalten, Gitter und Detektor

Schematische Darstellung des Versuchsaufbaus

Diagramm: Intensität vs. Position in der Detektorebene (µm), zentraler Peak, Punktdaten und gestrichelte Linien bei etwa −20 µm und 20 µm.

Gemessene Intensitätsverteilung

Nach: Arndt, M., et al.: Wave-particle dualitiy of C60 molecules. In: nature. Heft 401,(1999), S. 680-682.

Begründe, dass die gemessene Intensitätsverteilung die Welleneigenschaften von $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Molekülen demonstriert.

Weise anhand einer Rechnung unter Verwendung des dargestellten Diagramms nach, dass die Wellenlänge der $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Moleküle $Formula: \lambda = 1,6\;\mathrm{pm}$ $Formula: \lambda = 1,6\;\mathrm{pm}$ beträgt.

Leite die erforderliche Gleichung anhand einer beschrifteten Skizze her.

6 BE

Ermittle den mittleren Impuls Formula: p eines $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Moleküls vor dessen Auftreffen auf das Beugungsgitter.

Beschreibe und erkläre, wie sich der Abstand benachbarter Intensitätsmaxima verändert, wenn die Geschwindigkeit der $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Moleküle erhöht wird.

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Begründung der Welleneigenschaften

Die gemessene Intensitätsverteilung zeigt eine charakteristische Intensitätsverteilung der $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Moleküle mit einem sehr stark ausgeprägten zentralen Maximum sowie deutlich erkennbaren Nebenmaxima auf beiden Seiten. Ein solches Interferenzmuster mit lokalen Maxima und Minima entsteht durch Beugung am Gitter und die anschließende konstruktive sowie destruktive Interferenz. Da Interferenz ausschließlich über Welleneigenschaften erklärt werden kann, belegt diese Intensitätsverteilung eindeutig die Welleneigenschaften von $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Molekülen.

Herleitung der Gleichung

Diagramm (a) und (b): Strahlen mit Winkel α und Abständen g, s, e sowie Δs

Für das Maximum Formula: k -ter Ordnung an einem Beugungsgitter gilt gemäß Abbildung (a) für den Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ der Wellen:

$Formula: k \cdot \lambda = g \cdot \sin(\alpha)$ $Formula: k \cdot \lambda = g \cdot \sin(\alpha)$ mit $Formula: k= 1,2, 3 \dots$ $Formula: k= 1,2, 3 \dots$

Da das erste Maximum betrachtet wird, wird Formula: k = 1 gesetzt:

$Formula: \lambda = g \cdot \sin(\alpha)$ $Formula: \lambda = g \cdot \sin(\alpha)$

Außerdem gilt für den Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ gemäß Abbildung (b):

$Formula: \tan(\alpha) = \frac{s}{e}$ $Formula: \tan(\alpha) = \frac{s}{e}$

Da die Distanz $Formula: e = 1,25 \;\mathrm{m}$ $Formula: e = 1,25 \;\mathrm{m}$ sehr groß im Vergleich zum Abstand Formula: s ist, ist der Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ extrem klein. Für derartig kleine Winkel gilt die Kleinwinkelnäherung:

$Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für den Winkel ergibt sich die gesuchte Gleichung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\lambda}{g} & = & \dfrac{s}{e} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot g \\[5pt] \lambda & = & g \cdot \dfrac{s}{e} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\lambda}{g} & = & \dfrac{s}{e} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot g \\[5pt] \lambda & = & g \cdot \dfrac{s}{e} \end{array}$

Rechnerischer Nachweis der Wellenlänge

Folgende Werte sind gegeben:

Gitterkonstante: $Formula: g = 100 \;\mathrm{nm} = 100 \cdot 10^{-9} \;\mathrm{m}$ $Formula: g = 100 \;\mathrm{nm} = 100 \cdot 10^{-9} \;\mathrm{m}$
Abstand zum Detektor: $Formula: e = 1,25 \;\mathrm{m}$ $Formula: e = 1,25 \;\mathrm{m}$
Abstand des ersten Maximums: $Formula: s = 20 \;\mu\mathrm{m} = 20 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{m}$ $Formula: s = 20 \;\mu\mathrm{m} = 20 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{m}$

Einsetzen in die hergeleitete Formel ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & 100 \cdot 10^{-9} \;\mathrm{m} \cdot \dfrac{20 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{m}}{1,25 \;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & \dfrac{2000 \cdot 10^{-15} \;\mathrm{m}^2}{1,25 \;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 1,6 \cdot 10^{-12} \;\mathrm{m} = 1,6 \;\mathrm{pm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & 100 \cdot 10^{-9} \;\mathrm{m} \cdot \dfrac{20 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{m}}{1,25 \;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & \dfrac{2000 \cdot 10^{-15} \;\mathrm{m}^2}{1,25 \;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 1,6 \cdot 10^{-12} \;\mathrm{m} = 1,6 \;\mathrm{pm} \end{array}$

Damit ist rechnerisch nachgewiesen, dass die Wellenlänge der $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Moleküle exakt $Formula: 1,6 \;\mathrm{pm}$ $Formula: 1,6 \;\mathrm{pm}$ beträgt.

Ermittlung des mittleren Impulses

Der Impuls Formula: p eines Teilchens ist über die de-Broglie-Beziehung direkt mit seiner Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ verknüpft. Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{h}{p} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{p}{\lambda} \\[5pt] p & = & \dfrac{h}{\lambda} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \lambda & = & \dfrac{h}{p} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{p}{\lambda} \\[5pt] p & = & \dfrac{h}{\lambda} \end{array}$

Unter Verwendung der nachgewiesenen Wellenlänge $Formula: \lambda = 1,6 \cdot 10^{-12} \;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda = 1,6 \cdot 10^{-12} \;\mathrm{m}$ ergibt sich durch Einsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} p & = & \dfrac{h}{1,6 \cdot 10^{-12} \;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 4,1 \cdot 10^{-22} \;\mathrm{Ns} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} p & = & \dfrac{h}{1,6 \cdot 10^{-12} \;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 4,1 \cdot 10^{-22} \;\mathrm{Ns} \end{array}$

Der mittlere Impuls eines Moleküls vor dem Auftreffen auf das Gitter beträgt somit rund $Formula: 4,1 \cdot 10^{-22} \;\mathrm{Ns}.$ $Formula: 4,1 \cdot 10^{-22} \;\mathrm{Ns}.$

Veränderung des Intensitätsmusters bei höherer Geschwindigkeit

Wenn die Geschwindigkeit der $Formula: \mathrm{C}_{60}$ $Formula: \mathrm{C}_{60}$ -Moleküle erhöht wird, verkleinert sich der Abstand benachbarter Intensitätsmaxima auf dem Detektorschirm.

Bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit Formula: v vergrößert sich zwangsläufig der Impuls Formula: p des Moleküls (da $Formula: p = m \cdot v$ $Formula: p = m \cdot v$ ). Aus der de-Broglie-Beziehung ( $Formula: \lambda = \tfrac{h}{p}$ $Formula: \lambda = \tfrac{h}{p}$ ) lässt sich ableiten, dass ein größerer Impuls zu einer kleineren Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ führt.

Wird die in Aufgabe 1 hergeleitete Gleichung nach dem Abstand Formula: s umgestellt ( $Formula: s = \tfrac{\lambda \cdot e}{g}$ $Formula: s = \tfrac{\lambda \cdot e}{g}$ ), dann wird die Proportionalität zwischen dem Abstand und der Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ deutlich. Eine durch die höhere Geschwindigkeit verringerte Wellenlänge führt somit unmittelbar zu einem kleineren Beugungswinkel und damit zu einem geringeren Abstand benachbarter Intensitätsmaxima.

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