Aufgabe A2

Bei der technischen Nutzung von Wechselstrom gibt es vielseitige Anwendungsmöglichkeiten für Spulen und Kondensatoren.

Sie werden beispielsweise in technischen Geräten genutzt, um Strom und Spannung zu regulieren. Darüber hinaus werden sie bei der Energieübertragung und -speicherung eingesetzt. Ebenso können mit Spulen und Kondensatoren elektronische Filter gebaut werden, mit denen es möglich ist, Ströme mit bestimmten Frequenzen zu blockieren.

1.1

An einem Bauelement wurde der zeitliche Verlauf der Stromstärke und der Spannung mit Hilfe eines Oszillographen aufgezeichnet (siehe Bilder 1a und 1b). An einem zweiten Bauelement wurde die Stromstärke bei verschiedenen Frequenzen gemessen (siehe Bilder 2a und 2b).

Sinusförmige Kurve (I in mA) über Zeit t in ms auf kariertem Koordinatensystem, positive und negative Amplituden.

Bild 1a

Graph einer sinusförmigen Spannung (U in V) über Zeit (t in ms) mit Gitter und Achsenbeschriftungen.

Bild 1b

Diagramm mit abfallender Kurve: Ieff (mA) sinkt von ~100 mA bei 0 Hz auf ~20 mA bei 200 Hz; Achsen: Ieff in mA, f in Hz

Bild 2a

Schaltbild: Black-Box in Reihe mit Amperemeter, Wechselquelle U0 (10 V), Frequenz f wird verändert.

Bild 2b

1.1.1

Begründe, dass die Messergebnisse aus den Bildern 1a und 1b zu einem Kondensator und die Messergebnisse aus den Bildern 2a und 2b zu einer Spule gehören.

2 BE

1.1.2

Ermittle die Kapazität Formula: C des Kondensators.

3 BE

1.1.3

Ermittle die Induktivität Formula: L der Spule.

4 BE

1.2

Kondensatoren werden als verlustlose Vorwiderstände zum Betreiben elektrischer Geräte genutzt, wenn aus Platzgründen auf den Einsatz von Transformatoren in den Netzteilen elektrischer Geräte (z. B. Ladegeräte für Handys) verzichtet werden muss. Die nachstehenden Bilder 3a und 3b zeigen zwei Möglichkeiten, um eine Glühlampe mit Hilfe eines Vorwiderstandes an eine Spannungsquelle anzuschließen. Deren Spannung $Formula: U_{0}$ $Formula: U_{0}$ ist größer als die für die Lampe vorgesehene Betriebsspannung $Formula: U_{\mathrm{L}}.$ $Formula: U_{\mathrm{L}}.$

Schematische Darstellung eines Stromkreises mit verstellbarem Widerstand Rv, Lampe (UL) und Wechselspannungsquelle U0.

Bild 3a

Schaltbild: einfacher Wechselstromkreis mit Kondensator, Lampe und Wechselspannungsquelle

Bild 3b

1.2.1

Beschreibe den Zweck des Transformators in einem Netzteil und gehe in diesem Zusammenhang darauf ein, wie ein Vorwiderstand den Transformator in einem Netzteil ersetzen kann.

Erkläre aus energetischer Sicht, weshalb ein Kondensator als Vorwiderstand besser geeignet ist als ein OHMscher Widerstand.

4 BE

1.2.2

Eine Lampe ( $Formula: U_{\mathrm{L}} = 3,4\;\mathrm{V};$ $Formula: U_{\mathrm{L}} = 3,4\;\mathrm{V};$ $Formula: I_{\mathrm{L}} = 0,2\;\mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{L}} = 0,2\;\mathrm{A}$ ) soll mit einem Kondensator als Vorwiderstand an eine Spannungsquelle ( $Formula: U_{0} = 12\;\mathrm{V};$ $Formula: U_{0} = 12\;\mathrm{V};$ $Formula: f = 50\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = 50\;\mathrm{Hz}$ ) angeschlossen werden. Die Lampe soll dabei mit der Helligkeit leuchten, die sich beim Anlegen der Betriebsspannung $Formula: U_{\mathrm{L}}$ $Formula: U_{\mathrm{L}}$ einstellen würde.

Berechne die Kapazität Formula: C des Kondensators.

4 BE

Im dänischen Esbjerg wird ein kohlebefeuertes Heizkraftwerk zur Erzeugung von Fernwärme durch eine Meerwasserwärmepumpe ersetzt. Die Anlage in Dänemark saugt Wasser aus der Nordsee an und entzieht dem Meerwasser Wärme. Dabei wird das Nordseewasser im Winter von $Formula: 4\;^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 4\;^{\circ}\mathrm{C}$ auf $Formula: 1{,}3\;^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: 1{,}3\;^{\circ}\mathrm{C}$ abgekühlt. Die Wärmepumpe saugt pro Sekunde maximal $Formula: 4\;\mathrm{m}^{3}$ $Formula: 4\;\mathrm{m}^{3}$ Meerwasser an und gibt an das Fernwärmenetz Wärme ab.

2.1

Vergleiche die Arbeitsweise einer Wärmepumpe mit einer Wärmekraftmaschine aus energetischer Sicht.

3 BE

2.2

Berechne die Wärme Formula: Q in $Formula: \mathrm{MWh},$ $Formula: \mathrm{MWh},$ die die Wärmepumpe der Nordsee an einem Wintertag entnehmen kann.

Hinweis: Der Einfluss des Salzgehalts kann vernachlässigt werden.

3 BE

2.3

Eine einfache Wärmepumpe für ein Anschauungsmodell der dänischen Anlage lässt sich durch einen umgekehrten STIRLINGprozess realisieren: In der Wärmepumpe durchläuft Helium als ideales Gas insgesamt vier Zustandsänderungen, abwechselnd isotherm und isochor. Im Zustand 1 beträgt die Temperatur $Formula: \vartheta_{1} = 4\;^{\circ}\mathrm{C}$ $Formula: \vartheta_{1} = 4\;^{\circ}\mathrm{C}$ und das Volumen $Formula: V_{1} = 2000\;\mathrm{cm}^{3}.$ $Formula: V_{1} = 2000\;\mathrm{cm}^{3}.$ Das Gas expandiert isotherm, bis es im Zustand 2 einen Druck von $Formula: p_{2} = 30\;\mathrm{bar}$ $Formula: p_{2} = 30\;\mathrm{bar}$ erreicht hat. Die höchste Temperatur beträgt $Formula: \vartheta_{3} = 90\;^{\circ}\mathrm{C}.$ $Formula: \vartheta_{3} = 90\;^{\circ}\mathrm{C}.$ Der Druck im Zustand 4 beträgt $Formula: p_{4} = 100\;\mathrm{bar}.$ $Formula: p_{4} = 100\;\mathrm{bar}.$

Für Helium gilt:

$Formula: R_{{S}} = 2077\;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}};$ $Formula: R_{{S}} = 2077\;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}};$ $Formula: c_{p} = 5240\;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}};$ $Formula: c_{p} = 5240\;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}};$ $Formula: c_{v} = 3220\;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}$ $Formula: c_{v} = 3220\;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}$

2.3.1

Skizziere das Formula: p(V) -Diagramm für den Kreisprozess. Kennzeichne die Zustände 1 bis 4 im Diagramm.

2 BE

2.3.2

Ermittle die fehlenden Zustandsgrößen Formula: p, Formula: V und Formula: T für die Zustände 1 bis 4. Stelle die Ergebnisse in einer Tabelle dar.

4 BE

2.3.3

Gib für alle Zustandsänderungen jeweils an, ob Wärme dem Gas zugeführt oder vom Gas abgegeben wird.

Berechne den Betrag der Wärme Formula: Q für eine der Zustandsänderungen.

5 BE

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1.1.1

Bilder 1a und 1b (Kondensator): Beim Vergleichen der beiden Graphen ist eine Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung zu erkennen. Die Stromstärke erreicht ihr Maximum zeitlich vor der Spannung (der Strom eilt der Spannung um eine Viertelperiode voraus). Dieses Verhalten ist charakteristisch für einen Kondensator im Wechselstromkreis.
Bilder 2a und 2b (Spule): Aus dem Diagramm geht hervor, dass die effektive Stromstärke $Formula: I_{\mathrm{eff}}$ $Formula: I_{\mathrm{eff}}$ mit zunehmender Frequenz abnimmt. Dies entspricht dem Verhalten einer Spule, da deren induktiver Widerstand proportional zur Frequenz ansteigt und somit bei konstanter Spannung den Stromfluss verringert.

1.1.2

Zunächst werden die benötigten Werte aus den Graphen der Bilder 1a und 1b abgelesen:

Maximale Spannung: $Formula: U_{\mathrm{max}} = 2,5 \;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = 2,5 \;\mathrm{V}$
Maximale Stromstärke: $Formula: I_{\mathrm{max}} = 3 \;\mathrm{mA} = 0,003 \;\mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{max}} = 3 \;\mathrm{mA} = 0,003 \;\mathrm{A}$
Periodendauer: $Formula: T = 8 \;\mathrm{ms} = 0,008 \;\mathrm{s}$ $Formula: T = 8 \;\mathrm{ms} = 0,008 \;\mathrm{s}$

Über das OHMsche Gesetz für Wechselstromkreise wird der kapazitive Widerstand berechnet:

$Formula: X_{{C}} = \frac{U_{\mathrm{max}}}{I_{\mathrm{max}}} = \frac{2,5 \;\mathrm{V}}{0,003 \;\mathrm{A}} = 833,3 \;\Omega$ $Formula: X_{{C}} = \frac{U_{\mathrm{max}}}{I_{\mathrm{max}}} = \frac{2,5 \;\mathrm{V}}{0,003 \;\mathrm{A}} = 833,3 \;\Omega$

Aus der Periodendauer Formula: T ergibt sich die Frequenz:

$Formula: f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,008 \;\mathrm{s}} = 125 \;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,008 \;\mathrm{s}} = 125 \;\mathrm{Hz}$

Die Formel für den kapazitiven Widerstand $Formula: X_{{C}} = \tfrac{1}{2\pi \cdot f \cdot C}$ $Formula: X_{{C}} = \tfrac{1}{2\pi \cdot f \cdot C}$ wird nach der Kapazität Formula: C umgestellt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} X_{{C}} & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot f \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{C}{X_{{C}}} \\[5pt] C & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot f \cdot X_{{C}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot 125 \;\mathrm{Hz} \cdot 833,3 \;\Omega} \\[5pt] & \approx & 1,5 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{F} = 1,5 \;\mu\mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} X_{{C}} & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot f \cdot C} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{C}{X_{{C}}} \\[5pt] C & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot f \cdot X_{{C}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot 125 \;\mathrm{Hz} \cdot 833,3 \;\Omega} \\[5pt] & \approx & 1,5 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{F} = 1,5 \;\mu\mathrm{F} \end{array}$

1.1.3

Folgende Wertepaare werden aus den Abbildungen 2a und 2b abgelesen:

Bei Gleichstrom ( $Formula: f = 0 \;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = 0 \;\mathrm{Hz}$ ): $Formula: U_0 = 10 \;\mathrm{V}$ $Formula: U_0 = 10 \;\mathrm{V}$ und $Formula: I = 100 \;\mathrm{mA} = 0,1 \;\mathrm{A}$ $Formula: I = 100 \;\mathrm{mA} = 0,1 \;\mathrm{A}$
Bei Wechselstrom (z. B. $Formula: f = 125 \;\mathrm{Hz}$ $Formula: f = 125 \;\mathrm{Hz}$ ): $Formula: U_{\mathrm{eff}} = 10 \;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{eff}} = 10 \;\mathrm{V}$ und $Formula: I_{\mathrm{eff}} = 25 \;\mathrm{mA} = 0,025 \;\mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{eff}} = 25 \;\mathrm{mA} = 0,025 \;\mathrm{A}$

Der rein OHMsche Widerstand der Spule $Formula: R_{\mathrm{Sp}}$ $Formula: R_{\mathrm{Sp}}$ zeigt sich beim Gleichstrom:

$Formula: R_{\mathrm{Sp}} = \frac{U_0}{I} = \frac{10 \;\mathrm{V}}{0,1 \;\mathrm{A}} = 100 \;\Omega$ $Formula: R_{\mathrm{Sp}} = \frac{U_0}{I} = \frac{10 \;\mathrm{V}}{0,1 \;\mathrm{A}} = 100 \;\Omega$

Bei einer Frequenz von $Formula: 125 \;\mathrm{Hz}$ $Formula: 125 \;\mathrm{Hz}$ ergibt sich der Scheinwiderstand $Formula: Z_{\mathrm{Sp}}\text{:}$ $Formula: Z_{\mathrm{Sp}}\text{:}$

$Formula: Z_{\mathrm{Sp}} = \frac{U_{\mathrm{eff}}}{I_{\mathrm{eff}}} = \frac{10 \;\mathrm{V}}{0,025 \;\mathrm{A}} = 400 \;\Omega$ $Formula: Z_{\mathrm{Sp}} = \frac{U_{\mathrm{eff}}}{I_{\mathrm{eff}}} = \frac{10 \;\mathrm{V}}{0,025 \;\mathrm{A}} = 400 \;\Omega$

Der induktive Blindwiderstand $Formula: X_{{L}}$ $Formula: X_{{L}}$ wird aus dem Schein- und Wirkwiderstand über den Satz des Pythagoras berechnet:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} X_{{L}} & = & \sqrt{Z_{\mathrm{Sp}}^2 - R_{\mathrm{Sp}}^2} \\[5pt] & = & \sqrt{(400 \;\Omega)^2 - (100 \;\Omega)^2} \\[5pt] & \approx & 387,3 \;\Omega \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} X_{{L}} & = & \sqrt{Z_{\mathrm{Sp}}^2 - R_{\mathrm{Sp}}^2} \\[5pt] & = & \sqrt{(400 \;\Omega)^2 - (100 \;\Omega)^2} \\[5pt] & \approx & 387,3 \;\Omega \end{array}$

Daraus lässt sich die Induktivität Formula: L bestimmen:

$Formula: L = \frac{X_{{L}}}{2\pi \cdot f}= \frac{387,3 \;\Omega}{2\pi \cdot 125 \;\mathrm{Hz}} \approx 0,5 \;\mathrm{H}$ $Formula: L = \frac{X_{{L}}}{2\pi \cdot f}= \frac{387,3 \;\Omega}{2\pi \cdot 125 \;\mathrm{Hz}} \approx 0,5 \;\mathrm{H}$

1.2.1

Beschreibung des Zwecks und der Funktionsweise

Ein Transformator in einem Netzteil dient dazu, die hohe Netzspannung auf die meist viel geringere benötigte Betriebsspannung des Endgeräts zu reduzieren. Wird aus Platzgründen auf ihn verzichtet, kann ein Vorwiderstand genutzt werden. Dieser wird in Reihe zum Gerät geschaltet. An ihm fällt durch den Stromfluss eine Teilspannung ab, sodass am Gerät selbst nur noch die gewünschte Betriebsspannung anliegt.

Energetische Betrachtung

Ein reiner OHMscher Widerstand wandelt die aufgenommene elektrische Energie kontinuierlich in thermische Energie um, was zu hohen und ständigen Energieverlusten durch Abwärme führt. Ein idealer Kondensator hingegen nimmt im Wechselstromkreis in einer Viertelperiode Energie auf und gibt sie in der darauffolgenden wieder an das Netz zurück. Dadurch kommt es beim Kondensator zu deutlich weniger Energieverlusten durch Abwärme und er arbeitet somit nahezu verlustlos.

1.2.2

Gegeben sind die Lampenspannung $Formula: U_{\mathrm{L}} = 3,4 \;\mathrm{V},$ $Formula: U_{\mathrm{L}} = 3,4 \;\mathrm{V},$ der Lampenstrom $Formula: I_{\mathrm{L}} = 0,2 \;\mathrm{A}$ $Formula: I_{\mathrm{L}} = 0,2 \;\mathrm{A}$ und die Netzspannung $Formula: U_0 = 12 \;\mathrm{V}$ $Formula: U_0 = 12 \;\mathrm{V}$ bei einer Frequenz von $Formula: f = 50 \;\mathrm{Hz}.$ $Formula: f = 50 \;\mathrm{Hz}.$

Da Lampe (Wirkwiderstand) und Kondensator in Reihe geschaltet sind, addieren sich ihre Spannungen über den Satz des Pythagoras. Die Spannung am Kondensator $Formula: U_{{C}}$ $Formula: U_{{C}}$ beträgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} U_0^2 & = & U_{\mathrm{L}}^2 + U_{{C}}^2 &\quad\scriptsize\mid\, - U_{\mathrm{L}}^2 \\[5pt] U_0^2 - U_{\mathrm{L}}^2 & = & U_{{C}}^2 &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] U_{{C}} & = & \sqrt{U_0^2 - U_{\mathrm{L}}^2} \\[5pt] & = & \sqrt{(12 \;\mathrm{V})^2 - (3,4 \;\mathrm{V})^2} \\[5pt] & \approx & 11,5 \;\mathrm{V} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} U_0^2 & = & U_{\mathrm{L}}^2 + U_{{C}}^2 &\quad\scriptsize\mid\, - U_{\mathrm{L}}^2 \\[5pt] U_0^2 - U_{\mathrm{L}}^2 & = & U_{{C}}^2 &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] U_{{C}} & = & \sqrt{U_0^2 - U_{\mathrm{L}}^2} \\[5pt] & = & \sqrt{(12 \;\mathrm{V})^2 - (3,4 \;\mathrm{V})^2} \\[5pt] & \approx & 11,5 \;\mathrm{V} \end{array}$

In einer Reihenschaltung ist die Stromstärke überall gleich, weshalb der Strom durch den Kondensator dem Strom durch die Lampe entspricht ( $Formula: I_{{C}} = I_{\mathrm{L}}$ $Formula: I_{{C}} = I_{\mathrm{L}}$ ). Der kapazitive Widerstand ergibt sich somit zu:

$Formula: X_{{C}} = \frac{U_{{C}}}{I_{{C}}}= \frac{11,5 \;\mathrm{V}}{0,2 \;\mathrm{A}} = 57,5 \;\Omega$ $Formula: X_{{C}} = \frac{U_{{C}}}{I_{{C}}}= \frac{11,5 \;\mathrm{V}}{0,2 \;\mathrm{A}} = 57,5 \;\Omega$

Die notwendige Kapazität beträgt folglich (Formel siehe 1.1.2):

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot f \cdot X_{{C}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot 50 \;\mathrm{Hz} \cdot 57,5 \;\Omega} \\[5pt] & \approx & 5,5 \cdot 10^{-5} \;\mathrm{F} = 55 \;\mu\mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot f \cdot X_{{C}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2\pi \cdot 50 \;\mathrm{Hz} \cdot 57,5 \;\Omega} \\[5pt] & \approx & 5,5 \cdot 10^{-5} \;\mathrm{F} = 55 \;\mu\mathrm{F} \end{array}$

2.1

Aus energetischer Sicht arbeiten die beiden Maschinen exakt entgegengesetzt:

Wärmepumpe: Sie entzieht einem kälteren Bereich (hier: der Nordsee) thermische Energie und gibt diese unter Zufuhr von mechanischer oder elektrischer Arbeitsenergie an einen wärmeren Bereich (das Fernwärmenetz) ab. Sie zwingt die Wärme, indem sie mechanische Arbeit hineinsteckt, entgegen der natürlichen Flussrichtung (von warm zu kalt) zu fließen.
Wärmekraftmaschine: Sie nutzt den natürlich Fluss von Wärme von heiß zu kalt aus. Sie wandelt einen Teil der thermischen Energie aus einem wärmeren Bereich in mechanische Arbeitsenergie um und gibt den ungenutzten Rest als Abwärme an einen kälteren Bereich ab.

2.2

Zunächst werden die gegebenen Größen für einen Tag (24 Stunden) bestimmt:

Temperaturdifferenz: $Formula: \Delta\vartheta = 4\;^\circ\mathrm{C} - 1,3\;^\circ\mathrm{C} = 2,7 \;\mathrm{K}$ $Formula: \Delta\vartheta = 4\;^\circ\mathrm{C} - 1,3\;^\circ\mathrm{C} = 2,7 \;\mathrm{K}$
Zeitdauer eines Tages: $Formula: t = 24 \cdot 3600 \;\mathrm{s} = 86400 \;\mathrm{s}$ $Formula: t = 24 \cdot 3600 \;\mathrm{s} = 86400 \;\mathrm{s}$
Gepumptes Gesamtvolumen: $Formula: V = 4\;\tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}} \cdot 86400\;\mathrm{s} = 345600\;\mathrm{m}^3$ $Formula: V = 4\;\tfrac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}} \cdot 86400\;\mathrm{s} = 345600\;\mathrm{m}^3$

Da der Salzgehalt vernachlässigt werden darf, wird mit der Dichte von Süßwasser ( $Formula: \rho \approx 1000\;\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$ $Formula: \rho \approx 1000\;\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$ ) gerechnet. Die geförderte Masse Formula: m beträgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m & = & V \cdot \rho \\[5pt] & = & 345600 \;\mathrm{m}^3 \cdot 1000 \;\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} \\[5pt] & = & 3,456 \cdot 10^8 \;\mathrm{kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m & = & V \cdot \rho \\[5pt] & = & 345600 \;\mathrm{m}^3 \cdot 1000 \;\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} \\[5pt] & = & 3,456 \cdot 10^8 \;\mathrm{kg} \end{array}$

Mit der spezifischen Wärmekapazität von Wasser ( $Formula: c \approx 4184\;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}$ $Formula: c \approx 4184\;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}$ ) berechnet sich die entnommene Wärme $Formula: Q\text{:}$ $Formula: Q\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} Q & = & m \cdot c \cdot \Delta\vartheta \\[5pt] & = & 3,456 \cdot 10^8 \;\mathrm{kg} \cdot 4184 \;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 2,7 \;\mathrm{K} \\[5pt] & \approx & 3,9 \cdot 10^{12} \;\mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} Q & = & m \cdot c \cdot \Delta\vartheta \\[5pt] & = & 3,456 \cdot 10^8 \;\mathrm{kg} \cdot 4184 \;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 2,7 \;\mathrm{K} \\[5pt] & \approx & 3,9 \cdot 10^{12} \;\mathrm{J} \end{array}$

Dieser Wert muss noch in Megawattstunden ( $Formula: \mathrm{MWh}$ $Formula: \mathrm{MWh}$ ) umgerechnet werden:

$Formula: Q = \dfrac{3,9 \cdot 10^{12} \;\mathrm{J}}{3,6 \cdot 10^9 \;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{MWh}}} \approx 1085 \;\mathrm{MWh}$ $Formula: Q = \dfrac{3,9 \cdot 10^{12} \;\mathrm{J}}{3,6 \cdot 10^9 \;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{MWh}}} \approx 1085 \;\mathrm{MWh}$

An einem Wintertag entnimmt die Wärmepumpe der Nordsee somit etwa $Formula: 1085 \;\mathrm{MWh}$ $Formula: 1085 \;\mathrm{MWh}$ an thermischer Energie.

2.3.1

p–V-Diagramm mit Achsen p und V, zwei gebogenen Kurven und vier markierten Zuständen (1–4) verbunden durch linke und rechte vertikale Linien

2.3.2

Unter Nutzung der allgemeinen Gasgleichung ( $Formula: p \cdot V = \text{konstant}$ $Formula: p \cdot V = \text{konstant}$ für Isothermen und $Formula: \tfrac{p}{T} = \text{konstant}$ $Formula: \tfrac{p}{T} = \text{konstant}$ für Isochoren) lassen sich die fehlenden Werte schrittweise herleiten:

Zustand 1:
Da $Formula: 4 \rightarrow 1$ $Formula: 4 \rightarrow 1$ isochor ist, gilt $Formula: \tfrac{p_1}{T_1} = \tfrac{p_4}{T_4}.$ $Formula: \tfrac{p_1}{T_1} = \tfrac{p_4}{T_4}.$ Daraus folgt:

$Formula: p_1 = p_4 \cdot \frac{T_1}{T_4} = 100 \;\mathrm{bar} \cdot \frac{277 \;\mathrm{K}}{363 \;\mathrm{K}} \approx 76,3 \;\mathrm{bar}$ $Formula: p_1 = p_4 \cdot \frac{T_1}{T_4} = 100 \;\mathrm{bar} \cdot \frac{277 \;\mathrm{K}}{363 \;\mathrm{K}} \approx 76,3 \;\mathrm{bar}$
Zustand 2:
Da $Formula: 1 \rightarrow 2$ $Formula: 1 \rightarrow 2$ isotherm ist, gilt $Formula: p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2.$ $Formula: p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2.$ Daraus folgt: $Formula: V_2 = V_1 \cdot \frac{p_1}{p_2} = 2000 \;\mathrm{cm}^3 \cdot \frac{76,3 \;\mathrm{bar}}{30 \;\mathrm{bar}} \approx 5087 \;\mathrm{cm}^3$ $Formula: V_2 = V_1 \cdot \frac{p_1}{p_2} = 2000 \;\mathrm{cm}^3 \cdot \frac{76,3 \;\mathrm{bar}}{30 \;\mathrm{bar}} \approx 5087 \;\mathrm{cm}^3$
Zustand 3:

Da $Formula: 2 \rightarrow 3$ $Formula: 2 \rightarrow 3$ isochor ist, gilt $Formula: \tfrac{p_3}{T_3} = \tfrac{p_2}{T_2}.$ $Formula: \tfrac{p_3}{T_3} = \tfrac{p_2}{T_2}.$ Daraus folgt:

$Formula: p_3 = 30 \;\mathrm{bar} \cdot \frac{363 \;\mathrm{K}}{277 \;\mathrm{K}} \approx 39,3 \;\mathrm{bar}$ $Formula: p_3 = 30 \;\mathrm{bar} \cdot \frac{363 \;\mathrm{K}}{277 \;\mathrm{K}} \approx 39,3 \;\mathrm{bar}$

Daraus ergibt sich folgende ausgefüllte Tabelle:

Zustand	1	2	3	4
$Formula: \boldsymbol{p}$ $Formula: \boldsymbol{p}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{bar}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{bar}}$
$Formula: \boldsymbol{V}$ $Formula: \boldsymbol{V}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}^3}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{cm}^3}$
$Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{K}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{K}}$

2.3.3

Angeben der Wärmezufuhr/ -abgabe

$Formula: 1 \rightarrow 2$ $Formula: 1 \rightarrow 2$ (isotherme Expansion): Dem Gas wird Wärme zugeführt.
$Formula: 2 \rightarrow 3$ $Formula: 2 \rightarrow 3$ (isochore Erwärmung): Dem Gas wird Wärme zugeführt.
$Formula: 3 \rightarrow 4$ $Formula: 3 \rightarrow 4$ (isotherme Kompression): Gas gibt Wärme ab.
$Formula: 4 \rightarrow 1$ $Formula: 4 \rightarrow 1$ (isochore Abkühlung): Gas gibt Wärme ab.

Beispielhafte Berechnung für die Zustandsänderung $Formula: \boldsymbol{2 \rightarrow 3}$ $Formula: \boldsymbol{2 \rightarrow 3}$

Bei einer isochoren Zustandsänderung verrichtet das Gas keine Volumenarbeit ( $Formula: W = 0 \;\mathrm{J}$ $Formula: W = 0 \;\mathrm{J}$ ). Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik entspricht die zugeführte Wärme der Änderung der inneren Energie:

$Formula: Q_{23} = \Delta U = m \cdot c_{{v}} \cdot \Delta T$ $Formula: Q_{23} = \Delta U = m \cdot c_{{v}} \cdot \Delta T$

Zuerst muss die Masse Formula: m des Heliums ermittelt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} p_1 \cdot V_1 & = & m \cdot R_{{S}} \cdot T_1 &\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{R_{{S}} \cdot T_1} \\[5pt] m & = & \dfrac{p_1 \cdot V_1}{R_{{S}} \cdot T_1} \\[5pt] & = & \dfrac{76,3 \cdot 10^5 \;\mathrm{Pa} \cdot 2000 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{m}^3}{2077 \;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 277 \;\mathrm{K}} \\[5pt] & \approx & 0,0265 \;\mathrm{kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} p_1 \cdot V_1 & = & m \cdot R_{{S}} \cdot T_1 &\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{R_{{S}} \cdot T_1} \\[5pt] m & = & \dfrac{p_1 \cdot V_1}{R_{{S}} \cdot T_1} \\[5pt] & = & \dfrac{76,3 \cdot 10^5 \;\mathrm{Pa} \cdot 2000 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{m}^3}{2077 \;\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 277 \;\mathrm{K}} \\[5pt] & \approx & 0,0265 \;\mathrm{kg} \end{array}$

Einsetzen in die Gleichung für $Formula: Q_{23}$ $Formula: Q_{23}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} Q_{23} & = & 0,0265 \;\mathrm{kg} \cdot 3220 \;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot (363 \;\mathrm{K} - 277 \;\mathrm{K}) \\[5pt] |Q_{23}| & \approx & 7335 \;\mathrm{J} \\[5pt] & \approx & 7,3 \;\mathrm{kJ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} Q_{23} & = & 0,0265 \;\mathrm{kg} \cdot 3220 \;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot (363 \;\mathrm{K} - 277 \;\mathrm{K}) \\[5pt] |Q_{23}| & \approx & 7335 \;\mathrm{J} \\[5pt] & \approx & 7,3 \;\mathrm{kJ} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} Q_{23} & = & 0,0265 \;\mathrm{kg} \cdot 3220 \;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot (363 \;\mathrm{K} - 277 \;\mathrm{K}) \\[5pt] |Q_{23}| & \approx & 7335 \;\mathrm{J} \\[5pt] & \approx & 7,3 \;\mathrm{kJ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} Q_{23} & = & 0,0265 \;\mathrm{kg} \cdot 3220 \;\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot (363 \;\mathrm{K} - 277 \;\mathrm{K}) \\[5pt] |Q_{23}| & \approx & 7335 \;\mathrm{J} \\[5pt] & \approx & 7,3 \;\mathrm{kJ} \end{array}$

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