B1 — Mechanik

1.0

Zu Testzwecken fährt ein Achterbahnzug mit einer Masse von $Formula: 8,5\;\mathrm{t}$ $Formula: 8,5\;\mathrm{t}$ auf der in untenstehender Skizze schematisch dargestellten Strecke.

Schematische Achterbahn mit Lifthügel, Abfahrt, 52 m Höhe und Stationen A–D

1.1

Zwischen den Punkten Formula: A und Formula: B bewegt sich der Zug mit einer konstanten Geschwindigkeit von $Formula: 5,8\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: 5,8\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ entlang der Schienen den Lifthügel hinauf. Für diesen Weg benötigt der Zug Formula: 20 Sekunden.

Berechne die Länge des Lifthügels.

1.2

Zeige, dass sich die potenzielle Energie des Zuges beim Hochfahren des Lifthügels um $Formula: 4,3\;\mathrm{MJ}$ $Formula: 4,3\;\mathrm{MJ}$ gegenüber der Startposition Formula: A erhöht.

1.3

Am Anfang der Abfahrt (Punkt Formula: C ) wird der Zug kurz angehalten und rollt diese anschließend antriebslos hinab, wodurch er gleichmäßig beschleunigt wird.

Berechne die Momentangeschwindigkeit des Zuges am Punkt Formula: D unter Vernachlässigung der Reibung.

1.4

Ein Servicetechniker behauptet:

„Bei Verdopplung der Masse des Zuges wird am Punkt eine doppelt so hohe Geschwindigkeit gemessen.“

Nimm zur Aussage des Servicetechnikers begründet Stellung.

1.5.0

Bei einem Sicherheitstest fährt der Zug aus 1.0 ( $Formula: m_{\mathrm{1}} = 8,5\;\mathrm{t}$ $Formula: m_{\mathrm{1}} = 8,5\;\mathrm{t}$ ) auf einem geraden, ebenen Streckenabschnitt mit einer Geschwindigkeit von $Formula: 47\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ $Formula: 47\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ auf einen stehenden, unbesetzten Wagen ( $Formula: m_{\mathrm{2}} = 0,80\;\mathrm{t}$ $Formula: m_{\mathrm{2}} = 0,80\;\mathrm{t}$ ) auf.

1.5.1

Zeige durch Rechnung, dass der Impuls des fahrenden Zuges unmittelbar vor dem Zusammenstoß $Formula: 1,1 \cdot 10^{5}\;\mathrm{N}\mathrm{s}$ $Formula: 1,1 \cdot 10^{5}\;\mathrm{N}\mathrm{s}$ beträgt.

1.5.2

Zug und Wagen fahren nach dem inelastischen Stoß gemeinsam weiter.

Berechne deren Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß.

1.5.3

Tatsächlich wird die Geschwindigkeit von Zug und Wagen nach dem Stoß betragsmäßig ständig kleiner.

Nenne zwei mögliche Ursachen für die Entwertung ihrer kinetischen Energie.

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1.1

Die Länge des Lifthügels berechnet sich mit $Formula: \mathit{\Delta} s = v \cdot \mathit{\Delta} t.$ $Formula: \mathit{\Delta} s = v \cdot \mathit{\Delta} t.$ Mithilfe der gegebenen Werte ergibt sich somit:

$Formula: \Delta s = 5,8\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 20\;\mathrm{s} = 1,2 \cdot 10^2\;\mathrm{m}$ $Formula: \Delta s = 5,8\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 20\;\mathrm{s} = 1,2 \cdot 10^2\;\mathrm{m}$

1.2

An der Startposition Formula: A ist $Formula: h=0 \; \text{m}$ $Formula: h=0 \; \text{m}$ und somit $Formula: E_{\mathrm{pot}} = 0\;\mathrm{J}.$ $Formula: E_{\mathrm{pot}} = 0\;\mathrm{J}.$ Somit gilt $Formula: \Delta E_{\mathrm{pot}} = E_{\mathrm{pot}}\text{.}$ $Formula: \Delta E_{\mathrm{pot}} = E_{\mathrm{pot}}\text{.}$

Außerdem gilt $Formula: E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h,$ $Formula: E_{\mathrm{pot}} = m \cdot g \cdot h,$ damit kann nun die Zunahme der potenziellen Energie $Formula: \Delta E_{\mathrm{pot}}$ $Formula: \Delta E_{\mathrm{pot}}$ nach dem Hochfahren berechnet werden:

$Formula: \begin{array}{rcl} \Delta E_{\mathrm{pot}} & = & E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\mathrm{\dfrac{m}{s^{2}}} \cdot 52\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 4.336.020\;\mathrm{J} \approx 4,3\;\mathrm{MJ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \Delta E_{\mathrm{pot}} & = & E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\mathrm{\dfrac{m}{s^{2}}} \cdot 52\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 4.336.020\;\mathrm{J} \approx 4,3\;\mathrm{MJ} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl} \Delta E_{\mathrm{pot}} & = & E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\mathrm{\dfrac{m}{s^{2}}} \cdot 52\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 4.336.020\;\mathrm{J} \approx 4,3\;\mathrm{MJ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \Delta E_{\mathrm{pot}} & = & E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\mathrm{\dfrac{m}{s^{2}}} \cdot 52\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 4.336.020\;\mathrm{J} \approx 4,3\;\mathrm{MJ} \end{array}$

1.3

Reibung wird vernachlässigt, somit gilt $Formula: {E}_{\mathrm{pot}}={E}_{\mathrm{kin}} = 4,3 \cdot 10^{6}\;\mathrm{J}.$ $Formula: {E}_{\mathrm{pot}}={E}_{\mathrm{kin}} = 4,3 \cdot 10^{6}\;\mathrm{J}.$ Außerdem gilt für die kinetische Energie $Formula: {E}_{\mathrm{kin}}\text{:}$ $Formula: {E}_{\mathrm{kin}}\text{:}$

$Formula: \begin{array}{rcl} E_{\mathrm{kin}} & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{m} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot E_{\mathrm{kin}}}{m} & = & v^{2} \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot E_{\mathrm{kin}}}{m}}\quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = &\sqrt{\dfrac{2 \cdot 4,3 \cdot 10^{6}\;\mathrm{J}}{8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] & \approx & 32\;\mathrm{\dfrac{m}{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} E_{\mathrm{kin}} & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} \quad&\mid \cdot \dfrac{2}{m} \\[5pt] \dfrac{2 \cdot E_{\mathrm{kin}}}{m} & = & v^{2} \quad&\mid \sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{\dfrac{2 \cdot E_{\mathrm{kin}}}{m}}\quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = &\sqrt{\dfrac{2 \cdot 4,3 \cdot 10^{6}\;\mathrm{J}}{8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg}}} \\[5pt] & \approx & 32\;\mathrm{\dfrac{m}{s}}\end{array}$

1.4

Die Aussage des Servicetechnikers ist physikalisch nicht korrekt:

Sowohl die kinetische Energie ( $Formula: {E}_{\mathrm{kin}}=\tfrac{1}{2} \cdot {m} \cdot {v}^2$ $Formula: {E}_{\mathrm{kin}}=\tfrac{1}{2} \cdot {m} \cdot {v}^2$ ) als auch die potenzielle Energie ( $Formula: E_{\text {pot }}=m \cdot g \cdot h$ $Formula: E_{\text {pot }}=m \cdot g \cdot h$ ) des Zuges sind direkt proportional zur Masse weshalb sich diese nach dem Gleichsetzen und Umformen beider Energieformen ( $Formula: {E}_{\mathrm{kin}}={E}_{\mathrm{pot}}$ $Formula: {E}_{\mathrm{kin}}={E}_{\mathrm{pot}}$ ) kürzen lässt.
Die Geschwindigkeit am Punkt hängt somit nicht von der Masse des Zuges ab.

1.5.1

Der Zug besitzt anfangs eine Geschwindigkeit von $Formula: v_{\mathrm{1}} = 47\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}},$ $Formula: v_{\mathrm{1}} = 47\;\tfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}},$ also $Formula: v_{\mathrm{1}} = 13\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$ $Formula: v_{\mathrm{1}} = 13\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$ Daraus lässt sich der Impuls des Zuges unmittelbar vor dem Aufprall berechnen:

$Formula: \begin{array}{rcl} p_{1} & = & m_{1} \cdot v_{1} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \cdot 13\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \\[5pt] & \approx & 1,1 \cdot 10^{5} \;\mathrm{Ns} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} p_{1} & = & m_{1} \cdot v_{1} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \cdot 13\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \\[5pt] & \approx & 1,1 \cdot 10^{5} \;\mathrm{Ns} \end{array}$

1.5.2

Der gemeinsame Impuls von Zug und Wagen nach dem Zusammenstoß entspricht dem Impuls des Zuges unmittelbar vor dem Zusammenstoß ( $Formula: p_{12}=p_1$ $Formula: p_{12}=p_1$ ). Die Gesamtmasse von Zug und Wagen beträgt:

$Formula: \begin{array}{rcl} m_{12} & = & m_{1} + m_{2} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} + 0,80 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \\[5pt] & = & 9,3 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} m_{12} & = & m_{1} + m_{2} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} + 0,80 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \\[5pt] & = & 9,3 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl} m_{12} & = & m_{1} + m_{2} \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} + 0,80 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \\[5pt] & = & 9,3 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} m_{12} & = & m_{1} + m_{2} \\[5pt] & = & 8,5 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} + 0,80 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \\[5pt] & = & 9,3 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg} \end{array}$

Der Stoß ist inelastisch. Daraus folgt für die für die Geschwindigkeit von Zug und Wagen nach dem Zusammenstoß:

$Formula: \begin{array}{rcl} v_{12} & = & \dfrac{p_{12}}{m_{12}} = \dfrac{p_{1}}{m_{12}} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & \dfrac{1,1 \cdot 10^{5}\;\mathrm{Ns}}{9,3 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg}} \\[5pt] & \approx & 12 \;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} v_{12} & = & \dfrac{p_{12}}{m_{12}} = \dfrac{p_{1}}{m_{12}} \quad&\mid \text{Einsetzen} \\[5pt] & = & \dfrac{1,1 \cdot 10^{5}\;\mathrm{Ns}}{9,3 \cdot 10^{3}\;\mathrm{kg}} \\[5pt] & \approx & 12 \;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \end{array}$

1.5.3

Energieentwertung findet statt durch:

Reibung in den beweglichen Teilen (Kugellager der Räder)
Reibung zwischen Rädern und Schiene
Luftreibung infolge der Bewegung

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