Analysis 2.1 - Modelleisenbahn

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ mit $Formula: f^{\prime}(x)=x^2 \cdot\left(\tfrac{1}{3} x+1\right)$ $Formula: f^{\prime}(x)=x^2 \cdot\left(\tfrac{1}{3} x+1\right)$ einer in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f.

Graph von f' in Koordinatensystem: geschwungene Kurve mit Hochpunkt links, Nullstelle bei x≈0 und steigend rechts

Abb. 1

Gib das Verhalten von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ für $Formula: x \rightarrow-\infty$ $Formula: x \rightarrow-\infty$ und für $Formula: x \rightarrow+\infty$ $Formula: x \rightarrow+\infty$ an.

2 BE

Begründe, dass an der Stelle Formula: -3 jede Stammfunktion von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ ihr Minimum annimmt.

2 BE

Betrachtet wird die Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\tfrac{1}{12}\left(x^4+4 x^3+24\right).$ $Formula: f(x)=\tfrac{1}{12}\left(x^4+4 x^3+24\right).$

Die oben betrachtete Funktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ ist die erste Ableitungsfunktion von Formula: f.

Der Graph von Formula: f besitzt genau zwei Wendepunkte, die mit Formula: W_1 und Formula: W_2 bezeichnet werden. Berechne die Koordinaten dieser Wendepunkte. Einer dieser Wendepunkte ist ein Sattelpunkt. Entscheide, welcher der Wendepunkte ein Sattelpunkt ist. Begründe deine Entscheidung.

4 BE

Weise nach, dass die Gerade Formula: t mit $Formula: t(x)=\tfrac{4}{3} x+\tfrac{10}{3}$ $Formula: t(x)=\tfrac{4}{3} x+\tfrac{10}{3}$ eine Tangente an den Graphen von Formula: f ist und ermittle die Formula: y -Koordinate des Berührpunkts.

3 BE

Eine Gerade Formula: h geht durch Verschiebung in negative Formula: y -Richtung aus der Tangente Formula: t aus Aufgabe d) hervor. Der Wert des Abstandes dieser beiden Geraden beträgt Formula: 5 . Der Punkt Formula: S ist der Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse. Der Punkt Formula: P ist der Punkt auf der Geraden Formula: h mit dem kürzesten Abstand zu (siehe Abbildung 2). Ermittle die Formula: x -Koordinate des Punkts Formula: P.

Koordinatensystem mit x- und y-Achse, zwei schrägen Geraden t und h, Punkt S auf y-Achse und Punkt P auf x-Achse.

Abb. 2

4 BE

Bei einer Modelleisenbahn liegen alle Schienen auf einer ebenen Holzplatte. Die Abbildung 3 zeigt den Punkt $Formula: A\left(-2 \mid \tfrac{4}{3}\right)$ $Formula: A\left(-2 \mid \tfrac{4}{3}\right)$ sowie modellhaft den Schienenverlauf einer Modelleisenbahn in der Draufsicht. Der Schienenverlauf ist in Bezug auf ein Koordinatensystem sowohl achsensymmetrisch zur Formula: x -Achse als auch zur Formula: y -Achse. Derjenige Teil, der gemäß dem Modell im Intervall $Formula: -2 \leq x \leq 2$ $Formula: -2 \leq x \leq 2$ oberhalb der -Achse verläuft, wird als oberer Schienenverlauf bezeichnet, der darunter liegende als unterer Schienenverlauf. Beide Schienenverläufe sind durch zwei Halbkreise miteinander verbunden und gehen waagerecht in diese über. Im Intervall $Formula: -2 \leq x \leq 0$ $Formula: -2 \leq x \leq 0$ wird ein Teil des oberen Schienenverlaufs durch den Graphen Formula: G der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion mit $Formula: g(x)=\tfrac{1}{3} x^3+x^2$ $Formula: g(x)=\tfrac{1}{3} x^3+x^2$ modelliert. Die Spurbreite der Schienen soll vernachlässigt werden. Es gilt: $Formula: 1 \mathrm{~LE}=1 \mathrm{~m}.$ $Formula: 1 \mathrm{~LE}=1 \mathrm{~m}.$

Koordinatendiagramm mit liegender Acht als oberer/unterer Schienenverlauf auf Holzplatte, Achsenbeschriftung, Punkt A links oben.

Abb. 3

Weise nach, dass der gesamte Schienenverlauf auf eine rechteckige Holzplatte mit den Seitenlängen von $Formula: 2,7 \mathrm{~m}$ $Formula: 2,7 \mathrm{~m}$ und $Formula: 6,7 \mathrm{~m}$ $Formula: 6,7 \mathrm{~m}$ passt.

2 BE

Der gesamte Schienenverlauf schließt zwei Flächenstücke vollständig ein. Berechne den Inhalt der eingeschlossenen Fläche in Quadratmetern.

3 BE

Im Modell wird im Punkt $Formula: Q\left(x_Q \mid y_Q\right)$ $Formula: Q\left(x_Q \mid y_Q\right)$ des Schienenverlauf der Modelleisenbahn ein Sensor befestigt, der bei der Durchfahrt eines Zuges einen Signalton abgibt.

Für die Koordinaten des Punkts Formula: Q gelten im Modell folgende Bedingungen:

$Formula: y_Q=-g\left(-x_Q\right)$ $Formula: y_Q=-g\left(-x_Q\right)$
$Formula: g^{\prime}\left(-x_Q\right)=0$ $Formula: g^{\prime}\left(-x_Q\right)=0$ mit $Formula: x_Q \neq 0$ $Formula: x_Q \neq 0$

Beschreibe unter Zuhilfenahme der Abbildung 3 die Lage des Sensors.

2 BE

Der Schienenverlauf zwischen dem Punkt Formula: A und dem Punkt $Formula: O(0 \mid 0)$ $Formula: O(0 \mid 0)$ besitzt eine Länge von etwa $Formula: 2,5 \mathrm{~m}.$ $Formula: 2,5 \mathrm{~m}.$ Ein Zug der Modelleisenbahn fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $Formula: 3,5 \mathrm{~m}$ $Formula: 3,5 \mathrm{~m}$ pro Minute.

Ermittle die Zeit, die ein Zug von einer beliebigen Position aus benötigt, um nach einer vollen Umrundung diese Position wieder zu erreichen.

3 BE

25 BE

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$Formula: \lim \limits_{x \to - \infty} f^{\prime}(x) = - \infty$ $Formula: \lim \limits_{x \to - \infty} f^{\prime}(x) = - \infty$

$Formula: \lim \limits_{x \to +\infty} f^{\prime}(x) = + \infty$ $Formula: \lim \limits_{x \to +\infty} f^{\prime}(x) = + \infty$

Die Stelle Formula: −3 ist eine Nullstelle von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ und die erste Ableitungsfunktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ wechselt an dieser Nullstelle ihr Vorzeichen von minus nach plus, womit die Stammfunktionen von $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ an dieser Stelle ein Minimum besitzen.

Für die zweite Ableitung von Formula: f folgt mit dem MMS:

$Formula: f^{\prime\prime}(x)=x^2 + 2x$ $Formula: f^{\prime\prime}(x)=x^2 + 2x$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Wendepunkte $Formula: f^{\prime\prime}(x)=0$ $Formula: f^{\prime\prime}(x)=0$ liefert durch Auflösen nach Formula: x mit dem MMS:

Formula: x_1=0

Formula: x_2=-2

Auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Wendestellen kann in diesem Fall verzichtet werden und das Berechnen der $Formula: y\text{-}$ Koordinaten ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f(0)&=&\dfrac{1}{12}\left(0^4+4 \cdot 0^3+24\right) \\[5pt] &=& 2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f(0)&=&\dfrac{1}{12}\left(0^4+4 \cdot 0^3+24\right) \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f(-2)&=&\dfrac{1}{12}\left((-2)^4+4 \cdot (-2)^3+24\right) \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f(-2)&=&\dfrac{1}{12}\left((-2)^4+4 \cdot (-2)^3+24\right) \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3} \end{array}$

Also hat die Funktion Formula: f Wendepunkte bei $Formula: W_1(0 \mid 2)$ $Formula: W_1(0 \mid 2)$ und $Formula: W_2(-2 \mid \tfrac{2}{3}).$ $Formula: W_2(-2 \mid \tfrac{2}{3}).$

Einsetzen der Formula: x -Koordinaten in $Formula: f^{\prime}(x)$ $Formula: f^{\prime}(x)$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(0)&=&0^2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot 0 + 1\right) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(0)&=&0^2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot 0 + 1\right) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(-2)&=&(-2)^2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot (-2) + 1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(-2)&=&(-2)^2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot (-2) + 1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Da $Formula: f^{\prime}(-2)\neq0$ $Formula: f^{\prime}(-2)\neq0$ gilt, kann Formula: W_2 kein Sattelpunkt sein und es ist somit der Punkt Formula: W_1.

Für Formula: f(x)=t(x) aufgelöst nach Formula: x folgt mit dem MMS:

Formula: x_1=-2

Formula: x_2=2

Für die Steigung von Formula: f bei Formula: x_1 und Formula: x_2 gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(2)&=&2^2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot 2 + 1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{20}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(2)&=&2^2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot 2 + 1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{20}{3} \end{array}$

Die Steigung von Formula: t lässt sich als $Formula: \tfrac{4}{3}$ $Formula: \tfrac{4}{3}$ ablesen, somit gilt Formula: f'(x)=t'(x) zusätzlich nur bei Formula: x_1=-2. Für die Formula: y -Koordinate des Berührpunkts an der Stelle ergibt sich somit:

Die Steigung Formula: m der zu $Formula: \overline{SP}$ $Formula: \overline{SP}$ orthogonalen Tangente Formula: t , und somit auch Geraden Formula: h, beträgt $Formula: m=\tfrac{4}{3}.$ $Formula: m=\tfrac{4}{3}.$ Daraus folgt für die Steigung der Geraden durch Formula: S und Formula: P:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m_{SP}&=& -\dfrac{1}{m}\\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m_{SP}&=& -\dfrac{1}{m}\\[5pt] &=& -\dfrac{3}{4} \end{array}$

Somit ist $Formula: P\left(x \mid -\tfrac{3}{4}x+\tfrac{10}{3}\right)$ $Formula: P\left(x \mid -\tfrac{3}{4}x+\tfrac{10}{3}\right)$ ein Punkt auf einer Geraden, die die Tangente Formula: t im Punkt $Formula: S\left(0 \mid \tfrac{10}{3}\right)$ $Formula: S\left(0 \mid \tfrac{10}{3}\right)$ orthogonal schneidet. Das Auflösen von $Formula: \left|\overline{SP}\right|=5$ $Formula: \left|\overline{SP}\right|=5$ nach Formula: x mit dem MMS liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 5&=&\sqrt{x^2+\left(\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{3}{4} x+\dfrac{10}{3}\right)\right)^2} &\quad\scriptsize\mid\; ^2 \\[5pt] 5^2&=&x^2+\left(\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{3}{4} x+\dfrac{10}{3}\right)\right)^2\\[5pt] x&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 5&=&\sqrt{x^2+\left(\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{3}{4} x+\dfrac{10}{3}\right)\right)^2} &\quad\scriptsize\mid\; ^2 \\[5pt] 5^2&=&x^2+\left(\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{3}{4} x+\dfrac{10}{3}\right)\right)^2\\[5pt] x&=&4 \end{array}$

Aufgrund der Achsensymmetrie ergibt sich für die Höhe:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=& 2 \cdot g(-2)\\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{4}{3}\\[5pt] &\approx& 2,67 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} h&=& 2 \cdot g(-2)\\[5pt] &=& 2 \cdot \dfrac{4}{3}\\[5pt] &\approx& 2,67 \end{array}$

Auf beiden Seiten der Formula: y -Achse ragt der Halbkreis jeweils um seinen Radius $Formula: r=\tfrac{4}{3}$ $Formula: r=\tfrac{4}{3}$ über das Intervall $Formula: -2 \leq x \leq 2$ $Formula: -2 \leq x \leq 2$ hinaus.

Daraus folgt für die Breite:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} b&=& 2 \cdot \left(2 + \dfrac{4}{3}\right)\\[5pt] &\approx& 6,67 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} b&=& 2 \cdot \left(2 + \dfrac{4}{3}\right)\\[5pt] &\approx& 6,67 \end{array}$

Da jeweils $Formula: 2,67\lt2,7$ $Formula: 2,67\lt2,7$ und $Formula: 6,67\lt6,7$ $Formula: 6,67\lt6,7$ gilt, passt der gesamte Schienenverlauf auf eine rechteckige Holzplatte mit den Seitenlängen von $Formula: 2,7 \mathrm{~m}$ $Formula: 2,7 \mathrm{~m}$ und $Formula: 6,7 \mathrm{~m}.$ $Formula: 6,7 \mathrm{~m}.$

Der gesuchte Flächeninhalt ist gegeben durch den Flächeninhalt der Fläche die Formula: g mit der Formula: x -Achse einschließt mal Formula: 4, plus den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius Formula: g(-2).

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_g&=&4 \cdot \displaystyle\int_{-2}^{0} g(x) \;\mathrm d x + \pi \cdot (g(-2))^2 \\[5pt] &=&4 \cdot\left[\dfrac{1}{12} x^4 + \dfrac{1}{3}x^3\right]_{-2}^{0} + \pi \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3 + (-2)^2 \right)^2 \\[5pt] &=&4 \cdot \dfrac{4}{3} +\pi \cdot \left(\dfrac{4}{3} \right)^2 \\[5pt] &\approx&10,92 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_g&=&4 \cdot \displaystyle\int_{-2}^{0} g(x) \;\mathrm d x + \pi \cdot (g(-2))^2 \\[5pt] &=&4 \cdot\left[\dfrac{1}{12} x^4 + \dfrac{1}{3}x^3\right]_{-2}^{0} + \pi \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot (-2)^3 + (-2)^2 \right)^2 \\[5pt] &=&4 \cdot \dfrac{4}{3} +\pi \cdot \left(\dfrac{4}{3} \right)^2 \\[5pt] &\approx&10,92 \end{array}$

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt etwa $Formula: 10,92 \mathrm{~m^2}.$ $Formula: 10,92 \mathrm{~m^2}.$

Der Sensor befindet sich auf dem unteren Schienenverlauf im Übergang zum rechten Halbkreis.

Für die Gesamtlänge des Streckenverlaufs ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} d&=&4 \cdot 2,5 + 2\pi \cdot (g(-2)) \;\mathrm{m} \\[5pt] &=&4 \cdot 2,5 + 2\pi \cdot \dfrac{4}{3} \;\mathrm{m} \\[5pt] &\approx& 18,38 \;\mathrm{m} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} d&=&4 \cdot 2,5 + 2\pi \cdot (g(-2)) \;\mathrm{m} \\[5pt] &=&4 \cdot 2,5 + 2\pi \cdot \dfrac{4}{3} \;\mathrm{m} \\[5pt] &\approx& 18,38 \;\mathrm{m} \\[5pt] \end{array}$

Die benötigte Zeit für diese Strecke berechnet sich mit:

$Formula: \dfrac{18,38\;\mathrm{m}}{3,5\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}} \approx 5,25\;\mathrm{min}$ $Formula: \dfrac{18,38\;\mathrm{m}}{3,5\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}} \approx 5,25\;\mathrm{min}$

Ein Zug benötigt für eine volle Umrundung etwa Formula: 5,25 Minuten.

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