Stochastik 4 - Treuepunkte
Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktesystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. 
der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.
Aus dem Kundenkreis werden 
Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße 
beschreibt die Anzahl der ausgewählten Personen, die Treuepunkte sammeln. Es soll davon ausgegangen werden, dass binomialverteilt ist.
Gib für die Platzhalter 
und 
in der folgenden Gleichung jeweils eine reelle Zahl an, sodass eine wahre Aussage über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang entsteht, und beschreibe dieses Ereignis.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als 
der ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.
Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße 
mit den Parametern 
und 
Erläutere, wie man mithilfe von Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass genau 
der ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.
Abb. 1
Von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, sind 
weiblich. Der Anteil der weiblichen Personen unter den Personen aus dem Kundenkreis, die keine Treuepunkte sammeln, wird mit 
bezeichnet. Das Baumdiagramm in Abbildung 2 stellt den Sachverhalt dar.
Aus dem Kundenkreis wird eine Person zufällig ausgewählt.
Untersuche, ob die folgende Aussage wahr ist:
Unter der Annahme, dass 
gilt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person weiblich ist und Treuepunkte sammelt, sechsmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person nicht weiblich ist und keine Treuepunkte sammelt.
Der Anteil der nicht weiblichen Personen aus dem Kundenkreis beträgt 
Berechne den Anteil 
Ein Jahr später stellt sich der Sachverhalt wie folgt dar:
-
Weiterhin sammeln
der Personen aus dem Kundenkreis Treuepunkte. -
Weiterhin sind von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln,
weiblich. -
Der Wert von
ist im Vergleich zum Vorjahr gestiegen.
Beurteile folgende Aussage:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus dem Kundenkreis zufällig ausgewählte nicht weibliche Person Treuepunkte sammelt, ist größer als vor einem Jahr.
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und 
ergibt sich das Ereignis, dass genau drei Personen Treuepunkte sammeln.
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
P_{0,75}^{10}(X\lt8)&=&P_{0,75}^{10}(X\leq7) \\[5pt]
&\approx&0,474 \\[5pt]
&=& 47,4 \%
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/72e5fcf5635adfd4c22cd6c9ce7d746ba9accc5afe22ab9cd5f40b62d75dda61_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
P_{0,75}^{10}(X\lt8)&=&P_{0,75}^{10}(X\leq7) \\[5pt]
&\approx&0,474 \\[5pt]
&=& 47,4 \%
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Betrachten der Gleichung aus der Aufgabenstellung in Teilaufgabe 1a) zeigt, dass 
gilt. Der Wert für 
in Abbildung 1 entspricht somit der gesuchten Wahrscheinlichkeit.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person weiblich ist und Treuepunkte sammelt, gilt:
Mit ergibt sich für die andere Wahrscheinlichkeit:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
(1-0,75)\cdot(1-a)&=&0,25\cdot(1-0,6) \\[5pt]
&=& 0,1
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1cc68eaa892e31a47735c1c9ccc6ecb312eb87630378a915165bdfc1d942d57a_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
(1-0,75)\cdot(1-a)&=&0,25\cdot(1-0,6) \\[5pt]
&=& 0,1
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Da 
gilt, ist die Aussage somit wahr.
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
0,75 \cdot 0,2+(1-0,75)\cdot(1-a)&=&0,3 \\[5pt]
0,4-0,25a&=&0,3 &\quad\scriptsize\mid\;-0,4\\[5pt]
-0,25a&=&-0,1 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-4)\\[5pt]
a&=&0,4
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/81116f905949c8e1d228f50744c89d4b97a1a4fd49140398e80a2b3f33c434fc_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
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0,4-0,25a&=&0,3 &\quad\scriptsize\mid\;-0,4\\[5pt]
-0,25a&=&-0,1 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-4)\\[5pt]
a&=&0,4
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/81116f905949c8e1d228f50744c89d4b97a1a4fd49140398e80a2b3f33c434fc_dark.svg)
Es gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
P_\overline{w}(T)&=&\dfrac{P(\overline{w}\cap T)}{P(\overline{w})} \\[5pt]
&=&\dfrac{0,75 \cdot 0,2}{0,75 \cdot 0,2+0,25 \cdot(1-a)} \\[5pt]
&=&\dfrac{0,15}{0,4-0,25a}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6bf6aeb41c5fbd4446e4f616c95a084dc87975ecade4b06e8a112c8f69d6babd_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
P_\overline{w}(T)&=&\dfrac{P(\overline{w}\cap T)}{P(\overline{w})} \\[5pt]
&=&\dfrac{0,75 \cdot 0,2}{0,75 \cdot 0,2+0,25 \cdot(1-a)} \\[5pt]
&=&\dfrac{0,15}{0,4-0,25a}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6bf6aeb41c5fbd4446e4f616c95a084dc87975ecade4b06e8a112c8f69d6babd_dark.svg)
Wenn der Wert von steigt, dann nimmt der Wert des Nenners ab und daher der Wert des Quotienten zu. Somit ist die Aussage wahr.