Pflichtteil A2

Familie Brenner fährt mit ihrem Auto in den Sommerurlaub.

Das Diagramm zeigt den Tankinhalt in Litern während der Fahrt.

Liniendiagramm Tankinhalt (Liter) von 6–18 Uhr: fällt, erreicht Tiefpunkt, steigt stark an, fällt leicht; markiert mit Punkten 1–4.

Beschreibe mögliche Ereignisse in den Zeitabschnitten 1 bis 4.

Während der Fahrt sieht Familie Brenner häufig Straßenschilder, welche die Steigung (oder das Gefälle) einer Straße in Prozent angeben.

$Formula: 8 \ \%$ $Formula: 8 \ \%$ bedeutet, dass die Straße auf einer horizontalen Strecke von $Formula: 100 \ \text{m}$ $Formula: 100 \ \text{m}$ um $Formula: 8 \ \text{m}$ $Formula: 8 \ \text{m}$ ansteigt (oder fällt).

Dreieckiges Verkehrsschild mit grüner Fläche und der Aufschrift "8%".

Berechne den Höhenunterschied, wenn die horizontale Strecke $Formula: 2,8 \ \text{km}$ $Formula: 2,8 \ \text{km}$ lang ist.

3 P

Zwei Spielwürfel mit den Ziffern Formula: 1 bis Formula: 6 werden gleichzeitig geworfen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme Formula: 10 geworfen wird.

Erläutere, welche Augensumme am wahrscheinlichsten ist.

2 P

Holger hat im Punktebild ein Muster erkannt und folgenden Term aufgestellt: $Formula: 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3$ $Formula: 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3$

Markiere das Muster im Punktebild, so dass dieses zu Holgers Term passt.

Grau gefüllte Punkte, symmetrisch zu einem Kreuz angeordnet

Welche Bilderfolge passt zu folgendem Term: $Formula: 4 \cdot x+2$ $Formula: 4 \cdot x+2$

Kreuze an und begründe deine Entscheidung.



Drei Punktgruppen (links 4 Punkte, Mitte 6 Punkte, rechts 8 Punkte) nebeneinander, nummeriert 1–3



Drei Gruppen grauer Punkte: links 6 in einer Reihe, Mitte 12 in zwei Reihen, rechts 24 in vier Reihen.



Drei nummerierte Grafiken mit grauen Punkten in dreieckiger Anordnung (1 klein, 2 mittel, 3 groß).

Erstelle eine passende Punktebilderfolge (1)–(3) zu folgendem Term: $Formula: 1+3 \cdot x$ $Formula: 1+3 \cdot x$

3 P

In der Abbildung ist ein $Formula: 7 \ \text{m}$ $Formula: 7 \ \text{m}$ hoher Maibaum dargestellt. Der kreisförmige Kranz ist an zwei Punkten durch eine Kette mit der Spitze verbunden. Die Kette hat eine Gesamtlänge von $Formula: 480 \ \text{cm}.$ $Formula: 480 \ \text{cm}.$

Berechne den Durchmesser des Kranzes.

Grüner Ring an senkrechtem Pfosten mit Höhenpfeil 6 m

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

2 P

Beim Anbieter GamePlus können für einen monatlichen Grundpreis ausgewählte Online-Spiele unbegrenzt gespielt werden. Weitere Spiele können dauerhaft gekauft und gespielt werden.

Die Funktionsgleichung Formula: y=0,5 x+10 gibt den Preis (in €) in einem Monat in Abhängigkeit von der Anzahl der gekauften Spiele an.

Welche der folgenden Fragen können mit der Funktionsgleichung beantwortet werden?

Kreuze an.

 Wie hoch ist der Gesamtpreis nach 8 Monaten?

 Wie viele Spiele wurden gekauft, wenn am Ende des Monats $Formula: 26,00 \, €$ $Formula: 26,00 \, €$ bezahlt werden müssen?

 Nach wie vielen Monaten müssen $Formula: 75,00 \, €$ $Formula: 75,00 \, €$ bezahlt werden?

 Was zahlt man nach einem Monat, wenn 2 Spiele gekauft werden?

Bei einem anderen Anbieter, High-Five, kann für eine monatliche Gebühr von $Formula: 8,00 \, €$ $Formula: 8,00 \, €$ unbegrenzt gespielt werden. Weitere Spiele können für $Formula: 1,00 \, €$ $Formula: 1,00 \, €$ gekauft werden.

Stelle beide Angebote in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

Ab welcher Anzahl an gekauften Spielen innerhalb eines Monats lohnt sich das Angebot des Anbieters GamePlus?

Begründe deine Entscheidung.

3 P

„Subtrahiert man vom Quadrat einer Zahl das Vierfache der Zahl, so erhält man das Produkt der Zahlen Formula: 5 und Formula: 9. “

Löse das Zahlenrätsel mithilfe einer Gleichung.

2 P

Die Monatsmiete eines Einfamilienhauses wurde im Jahr 2020 um $Formula: 70 \, €$ $Formula: 70 \, €$ erhöht.

Das entsprach einer prozentualen Steigerung um $Formula: 5 \, \%.$ $Formula: 5 \, \%.$

Die nächste Mietveränderung folgte im Jahr 2023. Die Erhöhung betrug wieder $Formula: 70 \, €.$ $Formula: 70 \, €.$

Die Vermieterin behauptet, dass die zweite Erhöhung weniger als $Formula: 5 \, \%$ $Formula: 5 \, \%$ betrug.

Hat die Vermieterin recht?

Begründe deine Entscheidung durch Argumentation oder Rechnung.

Berechne die Miete nach der Erhöhung im Jahr 2023.

2 P

Das gleichschenklige Dreieck Formula: AEC überdeckt das Quadrat Formula: ABCD teilweise.

Geometrische Skizze mit mehreren verbundenen Strecken: Links ein spitz zulaufendes Dreieck mit Punkt F, das über eine schräge Strecke mit Punkt D verbunden ist. Von D führt eine senkrechte Strecke nach unten zu Punkt A, wobei am Punkt D ein Winkel α eingezeichnet ist. Rechts davon befindet sich ein Viereck mit den Punkten A, B, C und D, inklusive einer Diagonalen von A nach C sowie gestrichelten Hilfslinien von A nach B und von B nach C. Oberhalb sind die Längen 10 cm (zwischen linker Spitze und D) und 4,5 cm (zwischen D und C) markiert.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Es gilt:

$Formula: \overline{AE} = \overline{CE}$ $Formula: \overline{AE} = \overline{CE}$

$Formula: U_{AEC} = 16,36 \ \text{cm}$ $Formula: U_{AEC} = 16,36 \ \text{cm}$

$Formula: \overline{AF} = \overline{DF}$ $Formula: \overline{AF} = \overline{DF}$

Berechne den Winkel $Formula: \alpha.$ $Formula: \alpha.$

Zeige, dass die Strecke $Formula: \overline{AF}$ $Formula: \overline{AF}$ mehr als doppelt so lang ist wie die Strecke $Formula: \overline{AE}.$ $Formula: \overline{AE}.$

3 P

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Im Zeitabschnitt 1 fährt Familie Brenner mit einem konstanten Spritverbrauch. In Zeitabschnitt 2 legt die Familie eine Pause ein, sodass kein weiterer Sprit verbraucht wird. In Zeitabschnitt 3 betankt die Familie das Auto wieder auf 50 Liter Tankinhalt. In Zeitabschnitt 4 fährt Familie Brenner wieder mit einem konstanten, jedoch geringerem Spritverbrauch als in Zeitabschnitt 1.

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{2800 \ \text{m}} &=& \dfrac{8 \ \text{m}}{100 \ \text{m}} &\quad \mid\; \cdot \, 2800 \ \text{m} \\[1em] x &=& \dfrac{2800\;\text{m} \cdot 8 \ \text{m}}{100 \ \text{m}} \\[1em] x &=& 224 \ \text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{2800 \ \text{m}} &=& \dfrac{8 \ \text{m}}{100 \ \text{m}} &\quad \mid\; \cdot \, 2800 \ \text{m} \\[1em] x &=& \dfrac{2800\;\text{m} \cdot 8 \ \text{m}}{100 \ \text{m}} \\[1em] x &=& 224 \ \text{m} \end{array}$

Der Höhenunterschied beträgt $Formula: 224 \ \text{m}.$ $Formula: 224 \ \text{m}.$

Mögliche Kombinationen für die Augensumme Formula: 10 sind $Formula: (4,\,6),$ $Formula: (4,\,6),$ $Formula: (5,\,5)$ $Formula: (5,\,5)$ und $Formula: (6,\,4).$ $Formula: (6,\,4).$

Das sind Formula: 3 günstige von insgesamt $Formula: 6 \cdot 6 = 36$ $Formula: 6 \cdot 6 = 36$ möglichen Ergebnissen.

$Formula: P(\text{Augensumme} \ 10) = \dfrac{3}{36} \approx 0,0833$ $Formula: P(\text{Augensumme} \ 10) = \dfrac{3}{36} \approx 0,0833$

Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme Formula: 10 beträgt $Formula: 8,33 \, \% .$ $Formula: 8,33 \, \% .$

Augen-summe	mögliche Kombinationen	Anzahl möglicher Kombinationen
	$Formula: (1,\,1)$ $Formula: (1,\,1)$
	$Formula: (1, \ 2)$ $Formula: (1, \ 2)$ , $Formula: (2,\,1)$ $Formula: (2,\,1)$
	, $Formula: (2, \ 2)$ $Formula: (2, \ 2)$ , $Formula: (3,\,1)$ $Formula: (3,\,1)$
	$Formula: (1, \ 4)$ $Formula: (1, \ 4)$ , $Formula: (2, \ 3)$ $Formula: (2, \ 3)$ , $Formula: (3, \ 2)$ $Formula: (3, \ 2)$ , $Formula: (4,\,1)$ $Formula: (4,\,1)$
	$Formula: (1, \ 5)$ $Formula: (1, \ 5)$ , $Formula: (2, \ 4)$ $Formula: (2, \ 4)$ , $Formula: (3, \ 3)$ $Formula: (3, \ 3)$ , $Formula: (4, \ 2)$ $Formula: (4, \ 2)$ , $Formula: (5,\,1)$ $Formula: (5,\,1)$
	$Formula: (1, \ 6)$ $Formula: (1, \ 6)$ , $Formula: (2, \ 5)$ $Formula: (2, \ 5)$ , $Formula: (3, \ 4)$ $Formula: (3, \ 4)$ , $Formula: (4, \ 3)$ $Formula: (4, \ 3)$ , $Formula: (5, \ 2)$ $Formula: (5, \ 2)$ , $Formula: (6,\,1)$ $Formula: (6,\,1)$
	$Formula: (2, \ 6)$ $Formula: (2, \ 6)$ , $Formula: (3, \ 5)$ $Formula: (3, \ 5)$ , $Formula: (4, \ 4)$ $Formula: (4, \ 4)$ , $Formula: (5, \ 3)$ $Formula: (5, \ 3)$ , $Formula: (6,\,2)$ $Formula: (6,\,2)$
	$Formula: (3, \ 6)$ $Formula: (3, \ 6)$ , $Formula: (4, \ 5)$ $Formula: (4, \ 5)$ , $Formula: (5, \ 4)$ $Formula: (5, \ 4)$ , $Formula: (6,\,3)$ $Formula: (6,\,3)$
	$Formula: (4, \ 6)$ $Formula: (4, \ 6)$ , $Formula: (5, \ 5)$ $Formula: (5, \ 5)$ , $Formula: (6,\,4)$ $Formula: (6,\,4)$
	$Formula: (5, \ 6)$ $Formula: (5, \ 6)$ , $Formula: (6,\,5)$ $Formula: (6,\,5)$
	$Formula: (6,\,6)$ $Formula: (6,\,6)$

Für die Augenzahl Formula: 7 gibt es am meisten günstige Ergebnisse. Deshalb ist sie die wahrscheinlichste Augensumme.

Markierung des Musters:

Kreuzförmige Anordnung von Quadraten mit Punkten – blaue Quadrate je 3 Punkte, grüne Quadrate je 4 Punkte

Richtige Bilderfolge:

Drei Gruppen grauer Punkte in aufsteigenden Dreiecksanordnungen (klein, mittel, groß)

Begründung:

Das erste Muster Formula: (x = 1) setzt sich aus Formula: 6 Punkten zusammen. Bei jedem weiteren Muster kommen jeweils Formula: 4 Punkte hinzu.

Als Startwert Formula: (x = 0) waren also Formula: 2 Punkte vorhanden.

Passende Bilderfolge:

Drei nummerierte Grafiken mit dunkelgrauen Kreisen in wachsender, pyramidenähnlicher Anordnung.

Erklärung:

Das erste Muster ( Formula: x=1 ) setzt sich aus Formula: 4 Punkten zusammen. Bei jedem weiteren Muster kommen jeweils Formula: 3 Punkte hinzu.

Die Spitze des Maibaums, der Mittelpunkt des Kranzes sowie einer der Aufhängepunkte am Kranz bilden die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der Mittelpunkt des Kranzes befindet sich $Formula: 7 \ \text{m} - 6 \ \text{m} = 1 \ \text{m}$ $Formula: 7 \ \text{m} - 6 \ \text{m} = 1 \ \text{m}$ unter der Spitze des Maibaums.

Eine Hälfte der Kette bildet die Hypotenuse des Dreiecks und ist $Formula: 480 \div 2 = 240 \ \text{cm}$ $Formula: 480 \div 2 = 240 \ \text{cm}$ bzw. $Formula: 2,4 \ \text{m}$ $Formula: 2,4 \ \text{m}$ lang.

Aus dem Satz des Pythagoras folgt für den Radius Formula: r des Kranzes:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} r^2 + (1 \ \text{m})^2 &=& (2,4 \ \text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\; - (1 \ \text{m})^2 \\[5pt] r^2 &=& (2,4 \ \text{m})^2 - (1 \ \text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\ } \\[5pt] r &=& \sqrt{(2,4 \ \text{m})^2 - (1 \ \text{m})^2} \\ r &\approx& 2,18 \ \text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} r^2 + (1 \ \text{m})^2 &=& (2,4 \ \text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\; - (1 \ \text{m})^2 \\[5pt] r^2 &=& (2,4 \ \text{m})^2 - (1 \ \text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\ } \\[5pt] r &=& \sqrt{(2,4 \ \text{m})^2 - (1 \ \text{m})^2} \\ r &\approx& 2,18 \ \text{m} \end{array}$

Der Durchmesser des Kranzes ist $Formula: d = 2 \cdot r \approx 2 \cdot 2,18 \ \text{m} = 4,36 \ \text{m}$ $Formula: d = 2 \cdot r \approx 2 \cdot 2,18 \ \text{m} = 4,36 \ \text{m}$ lang.

Wie viele Spiele wurden gekauft, wenn am Ende des Monats $Formula: 26,00 \, €$ $Formula: 26,00 \, €$ bezahlt werden müssen?

Was zahlt man nach einem Monat, wenn Formula: 2 Spiele gekauft werden?

Koordinatensystem mit 2 Geraden (y=0,5x+10, y=x+8)

Funktionsgleichungen gleichsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,5x + 10 &=& x + 8 &\quad \scriptsize \mid\; - 0,5x \\[5pt] 10 &=& 0,5x + 8 &\quad \scriptsize \mid\; - 8 \\[5pt] 2 &=& 0,5x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 4 &=& x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,5x + 10 &=& x + 8 &\quad \scriptsize \mid\; - 0,5x \\[5pt] 10 &=& 0,5x + 8 &\quad \scriptsize \mid\; - 8 \\[5pt] 2 &=& 0,5x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 4 &=& x \end{array}$

Ein Kauf von Formula: 4 Spielen kostet bei beiden Anbietern das Gleiche. Ab Formula: 5 Spielen lohnt sich das Angebot des Anbieters GamePlus (siehe auch Funktionsgraphen).

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x^2 - 4x &=& 5 \cdot 9 \\[5pt] x^2 - 4x &=& 45 &\quad \scriptsize \mid\; - 45 \\[5pt] x^2 - 4x - 45 &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x^2 - 4x &=& 5 \cdot 9 \\[5pt] x^2 - 4x &=& 45 &\quad \scriptsize \mid\; - 45 \\[5pt] x^2 - 4x - 45 &=& 0 \end{array}$

Mit der Formula: pq -Formel Formula: (p = -4 und Formula: q = -45) folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x_{1, 2} &=& - \dfrac{-4}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{-4}{2} \right)^2 - (-45)} \\[5pt] &=& 2 \pm \sqrt{4 + 45} \\[5pt] &=& 2 \pm \sqrt{49} \\[5pt] &=& 2 \pm 7 \\[5pt] x_1 &=& 2 + 7 \\ &=& 9 \\ x_2 &=& 2 - 7 \\ &=& -5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x_{1, 2} &=& - \dfrac{-4}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{-4}{2} \right)^2 - (-45)} \\[5pt] &=& 2 \pm \sqrt{4 + 45} \\[5pt] &=& 2 \pm \sqrt{49} \\[5pt] &=& 2 \pm 7 \\[5pt] x_1 &=& 2 + 7 \\ &=& 9 \\ x_2 &=& 2 - 7 \\ &=& -5 \end{array}$

Im Jahr 2020 entsprachen die $Formula: 70 \, €$ $Formula: 70 \, €$ einer Erhöhung um $Formula: 5 \, \% .$ $Formula: 5 \, \% .$ Der zugehörige Grundwert war also die ursprüngliche Miete vor 2020. Die erneute Erhöhung um $Formula: 70 \, €$ $Formula: 70 \, €$ im Jahr 2023 bezieht sich jedoch auf die inzwischen höhere Miete. Damit ist der Grundwert größer als 2020, sodass derselbe Erhöhungsbetrag von $Formula: 70 \, €$ $Formula: 70 \, €$ nun einen kleineren prozentualen Anteil ausmacht.

Ausgangsmiete vor 2020:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,05 \cdot x &=& 70 \, € &\quad \mid\; \div 0,05 \\ x &=& 1400 \, € \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,05 \cdot x &=& 70 \, € &\quad \mid\; \div 0,05 \\ x &=& 1400 \, € \end{array}$

Miete nach der Erhöhung in 2020:

$Formula: 1400 \, € + 70 \, € = 1470 \, €$ $Formula: 1400 \, € + 70 \, € = 1470 \, €$

Prozentualer Anteil der erneuten Erhöhung:

$Formula: \dfrac{70 \, €}{1470 \, €} \approx 0,0476 = 4,76 \, \%$ $Formula: \dfrac{70 \, €}{1470 \, €} \approx 0,0476 = 4,76 \, \%$

Die erneute Mieterhöhung betrug ungefähr $Formula: 4,76 \, \%.$ $Formula: 4,76 \, \%.$ Die Vermieterin hat also Recht.

Miete nach der Erhöhung in 2023:

$Formula: 1470 \, € + 70 \, € = 1540 \, €$ $Formula: 1470 \, € + 70 \, € = 1540 \, €$

Die Miete beträgt nach der Erhöhung im Jahr 2023 $Formula: 1540 \, €.$ $Formula: 1540 \, €.$

Durch Einzeichnen der Höhe von Formula: F auf die Strecke $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ wird das Dreieck $Formula: ADF \$ $Formula: ADF \$ in zwei gleichgroße rechtwinklige Dreiecke geteilt.

Wegen $Formula: \overline{AF} = \overline{DF}$ $Formula: \overline{AF} = \overline{DF}$ liegt der Fußpunkt Formula: M der Höhe genau in der Mitte von $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ und es gilt:

$Formula: \overline{DM} = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AD} = \dfrac{1}{2} \cdot 4,5 \ \text{cm} = 2,25 \ \text{cm}$ $Formula: \overline{DM} = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AD} = \dfrac{1}{2} \cdot 4,5 \ \text{cm} = 2,25 \ \text{cm}$

Berechnung des Winkels $Formula: \boldsymbol{\alpha} \textbf{:}$ $Formula: \boldsymbol{\alpha} \textbf{:}$

In dem rechtwinkligen Dreieck Formula: DMF gilt:

$Formula: \tan( \alpha ) = \dfrac{\text{Gegenkathete von} \ \alpha }{\text{Ankathete von} \ \alpha } = \dfrac{\overline{FM}}{\overline{DM}} = \dfrac{10 \ \text{cm}}{2,25 \ \text{cm}}$ $Formula: \tan( \alpha ) = \dfrac{\text{Gegenkathete von} \ \alpha }{\text{Ankathete von} \ \alpha } = \dfrac{\overline{FM}}{\overline{DM}} = \dfrac{10 \ \text{cm}}{2,25 \ \text{cm}}$

$Formula: \alpha = \tan^{-1} \left( \dfrac{10 \ \text{cm}}{2,25 \ \text{cm}} \right) \approx 77,32^{\circ}$ $Formula: \alpha = \tan^{-1} \left( \dfrac{10 \ \text{cm}}{2,25 \ \text{cm}} \right) \approx 77,32^{\circ}$

Berechnung der Strecke $Formula: \boldsymbol{\overline{AF}} \textbf{:}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{AF}} \textbf{:}$

In dem rechtwinkligen Dreieck Formula: AMF gilt nach dem Satz des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \overline{AF}^2 &=& \overline{AM}^2 + \overline{FM}^2 \\ \overline{AF}^2 &=& ( 2,25 \ \text{cm})^2 + (10 \ \text{cm})^2 &\quad \mid\; \sqrt{ \ } \\ \overline{AF} &=& \sqrt{( 2,25 \ \text{cm})^2 + (10 \ \text{cm})^2 } \\ \overline{AF} &=& 10,25 \ \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \overline{AF}^2 &=& \overline{AM}^2 + \overline{FM}^2 \\ \overline{AF}^2 &=& ( 2,25 \ \text{cm})^2 + (10 \ \text{cm})^2 &\quad \mid\; \sqrt{ \ } \\ \overline{AF} &=& \sqrt{( 2,25 \ \text{cm})^2 + (10 \ \text{cm})^2 } \\ \overline{AF} &=& 10,25 \ \text{cm} \end{array}$

Berechnung der Diagonale $Formula: \boldsymbol{\overline{AC}} \textbf{:}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{AC}} \textbf{:}$

In dem rechtwinkligen Dreieck Formula: ACD gilt nach dem Satz des Pythagoras:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2 &=& \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 \\ \overline{AC}^2 &=& ( 4,5 \ \text{cm})^2 + ( 4,5 \ \text{cm})^2 &\quad \mid\; \sqrt{ \ } \\ \overline{AC} &=& \sqrt{( 4,5\ \text{cm})^2 + (4,5 \ \text{cm})^2 } \\ \overline{AC} &\approx& 6,36 \ \text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2 &=& \overline{AD}^2 + \overline{CD}^2 \\ \overline{AC}^2 &=& ( 4,5 \ \text{cm})^2 + ( 4,5 \ \text{cm})^2 &\quad \mid\; \sqrt{ \ } \\ \overline{AC} &=& \sqrt{( 4,5\ \text{cm})^2 + (4,5 \ \text{cm})^2 } \\ \overline{AC} &\approx& 6,36 \ \text{cm} \end{array}$

Aus dem Umfang des Dreiecks Formula: AEC folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 16,36 \ \text{cm} &=& u_{AEC} \\ 16,36 \ \text{cm} &=& \overline{AE} + \overline{CE} + \overline{AC} \\ 16,36 \ \text{cm} &\approx& \overline{AE} + \overline{CE} + 6,36 \ \text{cm} &\quad \mid\; - 6,36 \ \text{cm} \\ 10 &\approx& \overline{AE} + \overline{CE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 16,36 \ \text{cm} &=& u_{AEC} \\ 16,36 \ \text{cm} &=& \overline{AE} + \overline{CE} + \overline{AC} \\ 16,36 \ \text{cm} &\approx& \overline{AE} + \overline{CE} + 6,36 \ \text{cm} &\quad \mid\; - 6,36 \ \text{cm} \\ 10 &\approx& \overline{AE} + \overline{CE} \end{array}$

Da Formula: AEC ein gleichschenkliges Dreieck ist, gilt $Formula: \overline{AE} = \overline{CE}=\dfrac{1}{2} \cdot 10 \ \text{cm} = 5 \ \text{cm}.$ $Formula: \overline{AE} = \overline{CE}=\dfrac{1}{2} \cdot 10 \ \text{cm} = 5 \ \text{cm}.$

Damit ist die Strecke $Formula: \overline{AF}$ $Formula: \overline{AF}$ mehr als doppelt so lang wie die Strecke $Formula: \overline{AE}.$ $Formula: \overline{AE}.$

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