Höhen- und Kathetensatz

Die Höhe $h$ eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte $p$ und $q.$

Höhensatz des Euklid

In einem rechtwinkligen Dreieck hat das Höhenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den zugehörigen Hypotenusenabschnitten:

$h^2=q\cdot p$

Umkehrung des Höhensatzes

Hat das Höhenquadrat in einem Dreieck denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den zugehörigen Hypotenuseabschnitten, gilt also $h^2=q\cdot p,$ so ist das Dreieck rechtwinklig.

Kathetensatz des Euklid

In einem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt. Mit $c=q+p$ gilt:

$a^2=c\cdot p\quad$ oder $\quad b^2=c\cdot q$

Umkehrung des Kathetensatzes

Gilt in einem Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und Hypotenuse $c$ mit zugehörigen Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$ das Verhältnis $a^2=c\cdot p$ oder $b^2=c\cdot q,$ so ist das Dreieck rechtwinklig.