Pflichtteil 2

Pflichtaufgabe 1

Die nebenstehende Gleichung wurde falsch gelöst. Gib den fehlerhaften Umformungsschritt an und ermittle die Lösung der Gleichung.

$\begin{array}[t]{rll} 5-2x&=&6x+3 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -2x&=&6x-2 &\quad \scriptsize \mid\; -6x\\[5pt] -8x&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; +8\\[5pt] x&=&6 \end{array}$

Ein See hat an seiner breitesten Stelle eine Ausdehung von $2\,\text{km}.$ Auf einer Landkarte wird diese Ausdehnung mit $2\,\text{cm}$ dargestellt. Gib den verwendeten Maßstab an.

Konstruiere ein Viereck $ABCD$ nach folgender Konstruktionsbeschreibung:

(1)

Strecke $\overline{AB} = 5,0\,\text{cm}$ zeichnen,

(2)

Winkel $\alpha = \sphericalangle$ $BAD=90°$ an die Strecke $\overline{AB}$ im Punkt $A$ antragen,

(3)

Strecke $\overline{AD} = 3,0\,\text{cm}$ auf dem freien Schenkel des Winkels $\alpha$ vom Punkt $A$ aus abtragen und Endpunkt mit $D$ bezeichnen,

(4)

parallele Gerade $g$ zur Strecke $\overline{AB}$ durch Punkt $D$ zeichnen,

(5)

Kreisbogen um Punkt $B$ mit dem Radius $r=3,5\,\text{cm}$ zeichnen und einen Schnittpunkt mit der Geraden $g$ mit $C$ bezeichnen,

(6)

Punkte $B$ und $C$ verbinden.

Von einem Kreiskegel mit einem Grundkreisradius von $4\,\text{cm}$ und einer Höhe von $8\,\text{cm}$ wird eine kegelförmige Spitze mit einer Höhe von $6\,\text{cm}$ und einem Radius von $3\,\text{cm}$ abgeschnitten. Dabei entsteht ein Restkörper. Dieser ist in der Abbildung grün dargestellt. Berechne das Volumen des Restkörpers.

Abbildung nicht maßstäblich

Bei einem Räumungsverkauf wurde der Preis einer Tasche um $50\,\%$ gesenkt. Eine Woche später erfolgte noch einmal eine Preisreduzierung um $50\,\%.$ Zeige, dass dadurch der ursprüngliche Preis nicht um $100\,\%$ gesenkt wurde.

10 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 2

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ wie in der Abbildung mit:

$\overline{AB} = 5,0\,\text{cm}$

$\overline{AC} =\overline{BC} =5,6\,\text{cm}$

Abbildung nicht maßstäblich

Berechne die Größe des Winkels $\alpha=\sphericalangle BAC$ und die Länge der Strecke $\overline{AH}$ .

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $HFGC.$

Begründe, dass die Winkel $\sphericalangle HFA$ und $\sphericalangle ACF$ gleich groß sind.

8 BE erreichbar

Pflichtaufgabe 3

Bei einer Gebäudezählung werden Daten erhoben, um einen Überblick zu ermöglichen, wie Menschen in Sachsen-Anhalt leben. Für den Salzlandkreis sind für eine Gesamtzahl von $56\,997$ Gebäuden die Ergebnisse in nachfolgender Tabelle zusammengestellt. Die Erfassung der Gebäude erfolgte dabei nach Zeiträumen, in denen die Gebäude jeweils gebaut wurden.

Stelle die Anzahl der Gebäude für die Zeiträume nach 1978 in einem Säulendiagramm dar.

In der Spalte C der Tabelle wurde mit einem Tabellenkalkulationsprogramm jeweils der prozentuale Anteil der in den angegebenen Zeiträumen erfassten Gebäude an der Gesamtzahl der Gebäude ermittelt.
Gib eine Formel für Zelle C4 an, mit der dieser Anteil ermittelt werden kann, und berechne diese.

Hinweis: In der Formel sind Zellbezüge zu verwenden.

Zeige, dass sich der Anteil der Gebäude an der Gesamtzahl im Zeitraum von 1991 bis 2000 gegenüber 1979 bis 1990 etwa um $50\;\%$ erhöht hat.

6 BE erreichbar

Lösung 1

Der Fehler in der Rechnung liegt an der Stelle, an der die Zahl $8$ addiert wird. Die richtige Rechnung ist die folgende:

$\begin{array}[t]{rll} 5 - 2x&=& 6x + 3 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] -2x&=& 6 x - 2 &\quad \scriptsize \mid\; -6\,x \\[5pt] -8x&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; : (-8) \\[5pt] x&=& \dfrac{2}{8} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \end{array}$

Die richtige Lösung beträgt $x=\dfrac{1}{4}=0,25.$

$2 \, \text{km} = 2\,000 \, \text{m} = 200\,000 \, \text{cm}$

Mit dem Dreisatz folgt:

$:2$

$\begin{array}{rcl} 2 \, \text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 200\,000 \, \text{cm}\\[5pt] 1 \, \text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,000 \, \text{cm}\\[5pt] \end{array}$

$:2$

Der verwendete Maßstab beträgt $1:100\,000$ .

Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten:

Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Gesamtes Volumen des Kegels:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{ges}}&=& \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot (4 \, \text{cm})^2 \cdot 8 \, \text{cm} \\[5pt] &\approx& 134,04 \, \text{cm}^3 \end{array}$

Volumen der abgeschnittenen, kegelförmigen Spitze:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Spitze}}&=& \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3 \, \text{cm})^2 \cdot 6 \, \text{cm} \\[5pt] &\approx& 56,55 \, \text{cm}^3 \end{array}$

Volumen des Restkörpers:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Rest}}&=& V_{\text{ges}} - V_{\text{Spitze}} \\[5pt] &\approx& 134,04 \, \text{cm}^3 - 56,55 \, \text{cm}^3 \\[5pt] &=& 77,49 \, \text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Restkörpers beträgt ungefähr $77,49 \, \text{cm}^3.$

Wird der ursprüngliche Preis $G$ zweimal um $50\,\%$ gesenkt, so ergibt sich für den reduzierten Preis $P:$

$\begin{array}[t]{rll} P&=& (1 - 0,5 \cdot 0,5)\cdot G \\[5pt] &=& (1 - 0,25)\cdot G \\[5pt] &=& 0,75\cdot G \end{array}$

Der Preis wurde nicht um $100 \, \%,$ sondern um $75 \, \%$ gesenkt.

Lösung 2

Größe des Winkels berechnen

Die Höhe $h=\overline{CF}$ des Dreiecks kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} h^2+\overline{AF}^2&=& \overline{AC}^2 \quad \scriptsize \mid\; -\overline{AF}^2\\[5pt] h^2&=& \overline{AC}^2 -\overline{AF}^2 \\[5pt] h^2 &=& (5,6 \, \text{cm})^2 - \left(\dfrac{5,0\, \text{cm}}{2}\right)^2 \\[5pt] h^2&=& 25,11 \, \text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] h &\approx& 5,01 \, \text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Der Winkel $\alpha$ lässt sich nun mit dem Sinus im rechtwinkligen Dreieck $AFC$ berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \sin (\alpha)&=& \left(\dfrac{h}{\overline{AC}}\right) \\[5pt] \sin (\alpha)&\approx& \dfrac{5,01 \, \text{cm}}{5,6 \, \text{cm}} \\[5pt] \sin (\alpha)&\approx& 0,89 \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[15pt] \alpha &\approx& 62,87^{\circ} \end{array}$

Die Größe des Winkels $\alpha$ beträgt ungefähr $63^{\circ}$ .

Länge der Strecke berechnen

Die Länge der Strecke $\overline{AH}$ kann über den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck $AFH$ berechnet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\alpha)&=& \dfrac{\overline{AH}}{\overline{AF}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AF} \\[5pt] \overline{AF} \cdot \cos \, (\alpha) &=& \overline{AH} \\[5pt] 2,5 \, \text{cm} \cdot \cos \, (62,87 \, ^{\circ})&=& \overline{AH} \\[5pt] 1,14 \, \text{cm} &\approx& \overline{AH} \end{array}$

Die Länge der Strecke $\overline{AH}$ beträgt ca. $1,14 \, \text{cm}$ .

Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 5,0\,\text{cm} \cdot 5,6\,\text{cm} \cdot \sin 63° \\[5pt] &\approx& 12,47\,\text{cm}^2 \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{FH}$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\overline{FH} \approx 2,22\,\text{cm}$

Flächeninhalt des Dreiecks $AFH$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{AFH}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AH} \cdot \overline{FH} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 1,14\,\text{cm} \cdot 2,22\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 1,27\,\text{cm}^2 \end{array}$

Da das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist, lässt sich der gesuchte Flächeninhalt wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{HFGC}&=& A_{ABC}-2\cdot A_{AFH} \\[5pt] &=& 12,47\,\text{cm}^2-2\cdot 1,27\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 9,93\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Vierecks $HFGC$ beträgt ungefähr $9,93\,\text{cm}^2.$

Die beiden Dreiecke $HFA$ und $ACF$ haben den Winkel $\alpha$ gemeinsam. Außerdem sind beide Dreiecke rechtwinklig: Das Dreieck $HFA$ hat den rechten Winkel $\sphericalangle \, \text{AHF}$ , das Dreieck $\text{ACF}$ hat den rechten Winkel $AFC.$

Damit müssen die jeweils übrigen Winkel $\sphericalangle HFA$ und $\sphericalangle ACF$ ebenfalls gleich groß sein.

Lösung 3

Formel angeben

Es ist der Anteil der Gebäude für den Zeitraum bis 1978 gefragt. Die Anzahl der Gebäude, die bis $1978$ gebaut worden sind, steht in Zelle $B\,4,$ die Gesamtanzahl der Gebäude in Zelle $B\,8.$

Die Formel mit Zellbezügen für die Zelle $C \, 4$ lautet daher $\dfrac{B\,4}{B\,8} \cdot 100\,\%.$

Wert berechnen

Der Anteil für den Zeitraum bis $1978$ berechnet sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} C\,4&=& \dfrac{B\,4}{B\,8} \cdot 100\,\% \\[5pt] &=& \dfrac{43\,321}{56\,997} \cdot 100\,\% \\[5pt] &\approx& 76,0 \, \% \end{array}$

Der Anteil an der Gesamtzahl der Gebäude für den Zeitraum bis $1978$ beträgt $76,0 \, \%$ .

Anteil an Gebäuden für den Zeitraum 1991 bis 2000:

$\dfrac{6\,570}{56\,997} \cdot 100\,\%=11,5\,\%$

Anteil an Gebäuden für den Zeitraum 1979 bis 1990 um $50\,\%$ erhöht:

$7,6\,\% \cdot 1,5 \approx 11,4\,\%$

Die beiden Anteile sind ungefähr gleich groß. Der Anteil der Gebäude an der Gesamtzahl im Zeitraum 1991 bis 2000 erhöht sich gegenüber dem Zeitraum 1979 bis 1990 also um etwa $50 \, \%.$