Aufgabe 3 – Karies und Speichel

Der Zahnschmelz menschlicher Zähne besteht u. a. aus einer schwer löslichen Calciumverbindung, dem Hydroxylapatit $Formula: \ce{Ca10(PO4)6(OH)2}.$ $Formula: \ce{Ca10(PO4)6(OH)2}.$ Der Speichel ist sowohl mit Calcium-Ionen, als auch mit Phosphat-Ionen gesättigt. Aus diesem Grund liegt das Gleichgewicht auf der Seite des festen Hydroxylapatits.

Werden die Zähne nicht oder nur unzureichend geputzt, siedeln sich Bakterien an, die aus Zucker Milchsäure (2-Hydroxypropansäure) produzieren. Dadurch sinkt der pH-Wert im Speichel auf einen kritischen Wert von 4,5 und der Zahnschmelz löst sich auf und es entsteht Karies.

3.1

Formuliere die Gleichgewichtsreaktion für das Löslichkeitsgleichgewicht des Hydroxylapatits und die Gleichung für das Löslichkeitsprodukt.

Erkläre das Zustandekommen dieses Gleichgewichts und dessen Eigenschaften.

Begründe das Auflösen des Zahnschmelzes.

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3.2

Die Pufferwirkung des Speichels ist überwiegend auf das Kohlensäure-Hydrogencarbonat-Puffersystem zurückzuführen.

Erkläre die Wirkungsweise des Puffersystems. Berechne den pH-Wert eines Puffers, der aus jeweils 50 mL Kohlensäure und Hydrogencarbonatlösung der Konzentration $Formula: 0,1 \text{ mol} \cdot \text{L}^{-1}$ $Formula: 0,1 \text{ mol} \cdot \text{L}^{-1}$ besteht.

Berechne die Änderung des pH-Wertes, wenn 1 mL Milchsäure mit der Stoffmengenkonzentration $Formula: 1 \text{ mol} \cdot \text{L}^{-1}$ $Formula: 1 \text{ mol} \cdot \text{L}^{-1}$ gebildet wird.

Nimm Stellung zum Begriff „Zahnpflegekaugummies“.

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3.1

Löslichkeitsgleichgewicht des Hydroxylapatits

Der Zahnschmelz besteht aus Hydroxylapatit $Formula: \ce{Ca10(PO4)6(OH)2}$ $Formula: \ce{Ca10(PO4)6(OH)2}$ .

Gleichgewichtsreaktion: Das Löslichkeitsgleichgewicht beschreibt den Übergang zwischen dem festen Salz (Bodenkörper) und den gelösten Ionen im Speichel:

$Formula: \ce{Ca10(PO4)6(OH)2 (s) <=> 10 Ca^{2+} (aq) + 6 PO4^{3-} (aq) + 2 OH^{-} (aq)}$ $Formula: \ce{Ca10(PO4)6(OH)2 (s) <=> 10 Ca^{2+} (aq) + 6 PO4^{3-} (aq) + 2 OH^{-} (aq)}$

Gleichung für das Löslichkeitsprodukt ( Formula: K_L )

Das Löslichkeitsprodukt ergibt sich aus dem Massenwirkungsgesetz, wobei die Konzentration des Feststoffs konstant gesetzt wird:

$Formula: K_L = c^{10}(\ce{Ca^{2+}}) \cdot c^6(\ce{PO4^{3-}}) \cdot c^2(\ce{OH^{-}})$ $Formula: K_L = c^{10}(\ce{Ca^{2+}}) \cdot c^6(\ce{PO4^{3-}}) \cdot c^2(\ce{OH^{-}})$

Zustandekommen und Eigenschaften des Gleichgewichts

Zustandekommen: Das Gleichgewicht stellt sich ein, wenn die Geschwindigkeit des Lösungsvorgangs (Ionen lösen sich aus dem Kristallgitter) gleich der Geschwindigkeit der Kristallisation (Ionen lagern sich wieder am Gitter an) ist.
Dynamik: Es handelt sich um ein dynamisches Gleichgewicht. Auf mikroskopischer Ebene finden ständig Stoffumwandlungen statt, während sich makroskopisch die Konzentrationen der gelösten Ionen nicht mehr ändern.
Sättigung: Im Normalzustand ist der Speichel mit Calcium- und Phosphat-Ionen gesättigt, wodurch das Gleichgewicht auf der Seite des festen Hydroxylapatits liegt und der Zahnschmelz stabil bleibt.

Begründung des Auflösens des Zahnschmelzes (Kariesbildung)

Die Zerstörung des Zahnschmelzes lässt sich durch das Prinzip von Le Chatelier (Prinzip vom kleinsten Zwang) erklären:

Säurebildung: Bakterien bauen Zucker zu Milchsäure ab, wodurch die Konzentration an Oxonium-Ionen ( $Formula: \ce{H3O+}$ $Formula: \ce{H3O+}$ ) im Speichel steigt und der pH-Wert sinkt (bis auf ca. 4,5).
Störung des Gleichgewichts: Die Hydroxid-Ionen ( $Formula: \ce{OH^{-}}$ $Formula: \ce{OH^{-}}$ ) aus dem Löslichkeitsgleichgewicht reagieren mit den zusätzlichen Säure-Protonen zu Wasser (Neutralisation):

$Formula: \ce{OH^{-} + H3O+ -> 2 H2O}$ $Formula: \ce{OH^{-} + H3O+ -> 2 H2O}$

Zudem reagieren Phosphat-Ionen ( $Formula: \ce{PO4^{3-}}$ $Formula: \ce{PO4^{3-}}$ ) zu Hydrogenphosphaten (Protolyse).
Reaktion des Systems: Durch diese Reaktionen werden Produkte der Gleichgewichtsreaktion aus dem System entfernt (Konzentrationserniedrigung).
Folge: Um den Mangel an Ionen auszugleichen, verschiebt sich das Gleichgewicht nach rechts (Seite der gelösten Ionen). Es wird massiv Hydroxylapatit nachgelöst, wodurch sich der Zahnschmelz auflöst und Karies entsteht.

3.2

Wirkungsweise des Puffersystems

Ein Puffer besteht aus einer schwachen Säure und ihrer korrespondierenden schwachen Base. Er hält den pH-Wert bei Zugabe von Säuren oder Basen nahezu konstant.

Reaktion bei Säurezugabe ( $Formula: \ce{H3O+}$ $Formula: \ce{H3O+}$ ): Die Base des Puffers (Hydrogencarbonat-Ion) nimmt die zusätzlichen Protonen auf:

$Formula: \ce{HCO3- (aq) + H3O+ (aq) -> H2CO3 (aq) + H2O (l)}$ $Formula: \ce{HCO3- (aq) + H3O+ (aq) -> H2CO3 (aq) + H2O (l)}$
Reaktion bei Basenzugabe ( $Formula: \ce{OH-}$ $Formula: \ce{OH-}$ ): Die Säure des Puffers (Kohlensäure) neutralisiert die Hydroxid-Ionen:

$Formula: \ce{H2CO3 (aq) + OH- (aq) -> HCO3- (aq) + H2O (l)}$ $Formula: \ce{H2CO3 (aq) + OH- (aq) -> HCO3- (aq) + H2O (l)}$

Berechnung des pH-Wertes des Ausgangspuffers

Gegeben: $Formula: V(\text{Säure}) = 50\text{ mL}$ $Formula: V(\text{Säure}) = 50\text{ mL}$ , $Formula: V(\text{Base}) = 50\text{ mL}$ $Formula: V(\text{Base}) = 50\text{ mL}$ , Konzentrationen jeweils $Formula: c = 0,1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$ $Formula: c = 0,1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$ . Da die Volumina und Konzentrationen gleich sind, sind auch die Stoffmengen $Formula: n(\ce{H2CO3})$ $Formula: n(\ce{H2CO3})$ und $Formula: n(\ce{HCO3-})$ $Formula: n(\ce{HCO3-})$ gleich. Aus der Tabelle entnehmen wir den Formula: K_S -Wert für $Formula: \ce{H2CO3} = 3,0\cdot 10^{-7}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$ $Formula: \ce{H2CO3} = 3,0\cdot 10^{-7}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$ .

$Formula: pK_S = -\lg(3,0\cdot 10^{-7}) \approx 6,52$ $Formula: pK_S = -\lg(3,0\cdot 10^{-7}) \approx 6,52$

Nach der Henderson-Hasselbalch-Gleichung:

$Formula: pH = pK_S + \lg\left(\frac{c(\text{Base})}{c(\text{Säure})}\right)$ $Formula: pH = pK_S + \lg\left(\frac{c(\text{Base})}{c(\text{Säure})}\right)$

Da $Formula: c(\text{Base}) = c(\text{Säure})$ $Formula: c(\text{Base}) = c(\text{Säure})$ ist, wird der Logarithmus zu $Formula: \lg(1) = 0$ $Formula: \lg(1) = 0$ .

Ergebnis: Der pH-Wert beträgt 6,52.

Berechnung der pH-Wert-Änderung nach Zugabe von Milchsäure

Stoffmengen im Puffer ( $Formula: 100\text{ mL}$ $Formula: 100\text{ mL}$ Gesamtvolumen):

$Formula: n(\ce{H2CO3}) = n(\ce{HCO3-}) = c \cdot V = 0,1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \cdot 0,05\text{ L} = 0,005\text{ mol}$ $Formula: n(\ce{H2CO3}) = n(\ce{HCO3-}) = c \cdot V = 0,1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \cdot 0,05\text{ L} = 0,005\text{ mol}$ .
Stoffmenge der zugegebenen Milchsäure ( $Formula: n_{\text{Säure}}$ $Formula: n_{\text{Säure}}$ ):

$Formula: n_{\text{Milchsäure}} = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \cdot 0,001\text{ L} = 0,001\text{ mol}$ $Formula: n_{\text{Milchsäure}} = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \cdot 0,001\text{ L} = 0,001\text{ mol}$ .
Neue Stoffmengen nach der Reaktion:

Die Milchsäure reagiert mit $Formula: \ce{HCO3-}$ $Formula: \ce{HCO3-}$ zu $Formula: \ce{H2CO3}$ $Formula: \ce{H2CO3}$ . $Formula: n(\ce{HCO3-})_{\text{neu}} = 0,005\text{ mol} - 0,001\text{ mol} = 0,004\text{ mol}$ $Formula: n(\ce{HCO3-})_{\text{neu}} = 0,005\text{ mol} - 0,001\text{ mol} = 0,004\text{ mol}$ $Formula: n(\ce{H2CO3})_{\text{neu}} = 0,005\text{ mol} + 0,001\text{ mol} = 0,006\text{ mol}$ $Formula: n(\ce{H2CO3})_{\text{neu}} = 0,005\text{ mol} + 0,001\text{ mol} = 0,006\text{ mol}$
Neuer pH-Wert:

$Formula: pH_{\text{neu}} = 6,52 + \lg\left(\frac{0,004}{0,006}\right) \approx 6,35$ $Formula: pH_{\text{neu}} = 6,52 + \lg\left(\frac{0,004}{0,006}\right) \approx 6,35$ .

Änderung: Der pH-Wert sinkt um ca. 0,17 Einheiten ( $Formula: \Delta pH = 0,17$ $Formula: \Delta pH = 0,17$ ). Ohne Puffer wäre der Abfall bei dieser Säuremenge massiv höher.

Stellungnahme zum Begriff „Zahnpflegekaugummies“

Der Begriff ist aus chemischer Sicht gerechtfertigt, da das Kauen den Speichelfluss anregt. Dadurch werden mehr Puffer-Ionen ( $Formula: \ce{HCO3-}$ $Formula: \ce{HCO3-}$ ) bereitgestellt, die die von Bakterien produzierte Milchsäure neutralisieren. Dies verhindert das Absinken des pH-Wertes unter den kritischen Wert von 4,5 und schützt so den Zahnschmelz vor Demineralisierung. Optimalerweise sollte das Zahnpflegekaugummi dann wenig bis keinen Zucker enthalten, um den Bakterien gleichzeitig keine Nährstoffe zur Vermehrung und zur Produktion schädlicher Milchsäure bereitzustellen.

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