Aufgabe 2 — Stehende Wellen
Das Phänomen der stehenden Wellen lässt sich beobachten, wenn sich Wellen unter bestimmten Voraussetzungen überlagern. Aus den Merkmalen einer stehenden Welle lassen sich Rückschlüsse auf die zugrunde liegende Wellenlänge ziehen.
Stehende Wellen lassen sich beispielsweise an einer transversal schwingenden Seilwelle beobachten. Das Foto in Material 2-A stellt die Beobachtung zu diesem Versuch dar.
Beschreibe Merkmale einer stehenden Welle an diesem Beispiel.
Die beiden Abbildungen in Material 2-B zeigen jeweils die gleiche Situation, einmal im Zeigerformalismus und einmal im Wellenbild. Dargestellt ist jeweils modellhaft eine einlaufende und eine an dem festen Ende reflektierte Seilwelle zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Zeichne in eine der beiden Abbildungen die resultierende Welle ein.
Erläutere, dass sich zwischen zwei benachbarten Knoten ein Abstand von einer halben Wellenlänge befindet.
Damit stehende Wellen, wie in Material 2-A abgebildet, zwischen den beiden festen Enden entstehen können, muss zwischen der Länge 
des Wellenträgers und der Wellenlänge 
die Bedingung 
erfüllt sein 
Zeichne in Material 2-C stehende Wellen für 
und 
ein und ermittle die zugehörigen Wellenlängen, die sich auf dem Seilwellengerät in Material 2-A ergeben würden.
Ultraschallwellen sind longitudinale Wellen, mit denen sich stehende Wellen erzeugen lassen. Aus dem Unterricht kennst du ein Experiment, mit dem die Wellenlänge einer stehenden Ultraschallwelle bestimmt werden kann, die durch Reflexion entsteht.
Skizziere den entsprechenden Aufbau und beschreibe die Durchführung.
Die Beobachtung zu diesem Experiment ist in Material 2-D dargestellt.
Ermittle daraus die Wellenlänge des verwendeten Ultraschalls.
Das Signal des Ultraschallsenders wird direkt gemessen, siehe Material 2-E.
Beurteile, ob diese Messung die Auswertung in Aufgabenteil b) bestätigt.
Die Signale des Empfängers in einem Knoten und in einem Bauch werden mit einem Oszilloskop sichtbar gemacht, siehe Material 2-F.
Begründe, weshalb das Signal im Knoten nicht null ist.
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monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Material 2-A: Stehende Seilwelle
Das Foto zeigt einen Versuchsaufbau zur Erzeugung einer stehenden Seilwelle. In dem Gehäuse auf der linken Seite befindet sich ein Motor, der das Seil mit einer bestimmten Frequenz fortlaufend in Schwingung versetzt. Auf der rechten Seite ist das Seil fixiert. Die beiden Enden können als fest angesehen werden. Dazwischen kann sich die Seilwelle ausbreiten.
Material 2-B: Modellhafte Darstellungen zur stehenden Seilwelle
Die Abbildungen zeigen dieselbe Situation zu einem bestimmten Zeitpunkt, oben im Zeigerformalismus und unten im Wellenbild. Wähle eine der beiden Abbildungen zum Einzeichnen aus.
Material 2-C: Verkleinerte Darstellungen des Seilwellengeräts
Der Abstand zwischen den festen Enden des Seilwellengeräts beträgt 
Material 2-D: Messwerte zum Experiment mit stehenden Ultraschallwellen
Die senkrechten Markierungen kennzeichnen die Orte, an denen einige aufeinanderfolgende Knoten registriert worden sind. Die Abbildung ist vergrößert dargestellt. Das abgebildete Geodreieck zeigt eine Zentimeter-Einteilung.
Material 2-E: Oszilloskopbild des Ultraschallsignals
Die Abbildung zeigt das Oszilloskopbild des Empfängers, welcher auf direktem Wege das Signal des Ultraschallsenders bei Raumtemperatur detektiert. Die Zeitablenkung beträgt 
Material 2-F: Signale des Empfängers
Die Signale wurden am Ort eines Knotens (oben) und am Ort eines Bauchs (unten) in der Nähe des Senders aufgenommen. Die 
Ablenkung und die 
Ablenkung sind in beiden Bildern gleich.
Die Signale wurden am Ort eines Knotens (links) und am Ort eines Bauchs (rechts) in der Nähe des Senders aufgenommen. Die Ablenkung und die Ablenkung sind in beiden Bildern gleich.
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monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Das Seil zeigt eine stehende Welle, das Schwingungsmuster breitet sich also nicht entlang des Seils aus, sondern besitzt ortsfeste Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche. An den ortsfesten Knoten ist die Auslenkungsamplitude null. Zwischen zwei Knoten liegt jeweils ein Bauch, in dessen Mitte die Amplitude maximal ist.
Die resultierende Auslenkung wird an jedem Ort durch Addition der Auslenkungen der einlaufenden und der reflektierten Welle bestimmt. Daraus ergibt sich:
Am festen Ende sind einlaufende und reflektierte Welle gegenphasig, hier befindet sich also ein Knoten, weil sich ihre Auslenkungen kompensieren. Entlang des Seils ändert sich die Phasendifferenz der beiden gegenläufigen Wellen. Beim Weitergehen um 
ändern sich die Phasen der gegenläufigen Wellen jeweils um 
in entgegengesetzter Richtung. Die Phasendifferenz ändert sich somit insgesamt um 
Die Wellen sind somit wieder gegenphasig und es entsteht der nächste Knoten.
Die Knotenabstände betragen daher:
Für 
entstehen vier gleich lange Bäuche, für 
sieben gleich lange Bäuche zwischen den beiden festen Enden. Die Enden und die Grenzen zwischen benachbarten Bäuchen sind Knoten. Daraus ergeben sich folgende stehende Wellen:
Aus 
und 
folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} L & = & (k+1)\cdot\tfrac{\lambda}{2} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot 2 \\[5pt] 2L & = & (k+1)\lambda &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{k+1} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{2L}{k+1} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1e5db166b73293dd1957b940480fcc115df2d535a4845bd1631a8f2e1776fe67_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} L & = & (k+1)\cdot\tfrac{\lambda}{2} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot 2 \\[5pt] 2L & = & (k+1)\lambda &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{k+1} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{2L}{k+1} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/1e5db166b73293dd1957b940480fcc115df2d535a4845bd1631a8f2e1776fe67_dark.svg)
Für ergibt sich:
Für ergibt sich:
Der Empfänger wird entlang der Verbindungslinie zwischen Sender und Reflektor verschoben. An jeder Position wird die Empfängerspannung gemessen. Wiederkehrende Spannungsminima kennzeichnen die Knoten und werden markiert. Aus mehreren Knotenabständen lässt sich dann mit der Formel aus 2.1 c die Wellenlänge bestimmen.
Der Abstand der sieben aufeinanderfolgenden Knoten in Material 2-D beträgt ungefähr 
Zwischen sieben Knoten liegen sechs Abstände von jeweils einer halben Wellenlänge, gemäß 
also insgesamt drei Wellenlängen.
Daraus folgt für eine Wellenlänge:
Aus dem Oszilloskopbild in Material 2-E ergibt sich für vier Perioden eine Zeit von ungefähr 
Für die Zeit für eine Periode folgt daraus ungefähr 
Bei Raumtemperatur von etwa 
beträgt die Schallgeschwindigkeit in Luft ungefähr 
Damit ergibt sich:
Die Abweichung zum Ergebnis aus b beträgt ungefähr 
Diese geringe Abweichung ist für die Ablesung vertretbar. Die direkte Messung bestätigt somit das Ergebnis aus b.
In der Nähe des Senders besitzen die einlaufende und die am Reflektor zurücklaufende Ultraschallwelle unterschiedlich große Amplituden, weil die Amplitude mit zunehmender zurückgelegter Strecke abnimmt. Selbst bei gegenphasiger Überlagerung können sich ihre Auslenkungen deshalb nicht vollständig aufheben. Der Empfänger registriert am Knoten somit ein kleines, aber von null verschiedenes Signal.