Aufgabe 4 — Feuchtigkeitsmessung von Getreide

In dieser Aufgabe wird ein vereinfachtes Messprinzip zur Bestimmung der Feuchtigkeit von Getreide (Kornfeuchte) thematisiert. Dabei wird ein Plattenkondensator eingesetzt.

4.1

Damit ein Kondensator zur Kornfeuchtemessung benutzt werden kann, muss zunächst seine Kapazität, zum Beispiel über einen Entladevorgang, bestimmt werden.

Beschreibe den Einfluss des im Schaltplan in Material 4-A dargestellten Widerstandes auf den Entladevorgang.

2 BE

Berechne unter Verwendung des Mittelwertes $Formula: \overline{t_{\mathrm{E}}}$ $Formula: \overline{t_{\mathrm{E}}}$ der drei Entladezeiten die Kapazität des Kondensators (Material 4-A).

3 BE

Leite die in Material 4-A gegebene Gleichung zur Berechnung der Kapazität her.

3 BE

Nenne zwei Einflussgrößen, die zu Unsicherheiten bei der Kapazitätsbestimmung führen können.

Erläutere deren Auswirkungen auf die berechnete Kapazität.

4 BE

4.2

In einem Messgerät zur Bestimmung der Kornfeuchte wird das Messprinzip aus dem Experiment in Aufgabe 4.1 angewandt. Der Begriff Kornfeuchte wird in Material 4-B näher erklärt.

Berechne unter Verwendung von Material 4-C die Kapazität des im Kornfeuchte-Messgerät verwendeten Plattenkondensators jeweils bei extrem trockenem Getreide und bei extrem feuchtem Getreide in der Einheit $Formula: \mathrm{pF}.$ $Formula: \mathrm{pF}.$

6 BE

Erläutere unter Einbeziehung von Material 4-C, dass durch die Messung der Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}}$ $Formula: t_{\mathrm{E}}$ des Kondensators indirekt die Kornfeuchte des Getreides im Bereich zwischen $Formula: 8\,\%$ $Formula: 8\,\%$ und $Formula: 40\,\%$ $Formula: 40\,\%$ ermittelt werden kann.

2 BE

Es wurde eine Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}} = 604\;\mu\mathrm{s}$ $Formula: t_{\mathrm{E}} = 604\;\mu\mathrm{s}$ gemessen.

Ermittle das Kornfeuchteintervall, das sich unter Berücksichtigung der Messunsicherheit der Kapazitätsermittlung (Material 4-C) ergibt.

8 BE

Die Fläche des Kondensators wird verdoppelt, alle anderen Bedingungen bleiben gleich.

Erkläre, dass sich die Steigung im $Formula: C\text{-}F\text{-}$ $Formula: C\text{-}F\text{-}$ Diagramm (Material 4-C) in diesem Fall halbiert.

Begründe, dass eine derartige Plattenvergrößerung keine Auswirkung auf das ermittelte Kornfeuchteintervall hat.

4 BE

4.3

Ein Landwirt besitzt einen großen Getreidespeicher. Der Speicher soll mit frischem Getreide gefüllt werden, das möglicherweise getrocknet werden muss. Beim Befüllen des Kunststoffgefäßes des kapazitiven Kornfeuchtemessgerätes weicht er von der Bedienungsanleitung (Material 4-C) ab, wodurch es

(1)	in einem Fall zu einer zu starken Verdichtung des Getreides,
(2)	in einem anderen Fall zu einer unvollständigen Getreidefüllung

im Zwischenraum des Plattenkondensators kommt.

Erkläre unter Verwendung von Material 4-C, dass sich im Fall (1) die Kapazität des Plattenkondensators vergrößert und im Fall (2) die Kapazität verkleinert. Formuliere dazu unter Verwendung der Fachsprache kausal korrekt strukturiert eine Schrittfolge von Argumenten.

4 BE

Leite unter Verwendung von Material 4-B und Material 4-C für beide Fälle (1) und (2) jeweils einen Nachteil ab, der sich für den Landwirt ergeben könnte.

4 BE

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Material 4-A: Experiment zum Entladevorgang für die Kapazitätsbestimmung

Folgende Geräte und Bauteile standen zur Verfügung:

Kondensator unbekannter Kapazität
Widerstand $Formula: R = 47\;\mathrm{k}\Omega$ $Formula: R = 47\;\mathrm{k}\Omega$
Gleichspannungsquelle
Spannungsmessgerät
Ein-/Aus-Schalter
Stoppuhr

Nach dem Aufladen des Kondensators wurde die Entladezeit $Formula: t_\mathrm{E}$ $Formula: t_\mathrm{E}$ gemessen, in der sich die Spannung am Kondensator von Formula: U_0 auf $Formula: \tfrac{1}{3}U_0$ $Formula: \tfrac{1}{3}U_0$ verringert hat. Dieser Vorgang wurde insgesamt dreimal durchgeführt.

Schaltbild: Widerstand R oben, Kondensator C in Mitte, Voltmeter V, Schalter links, Batteriepol + und - unten.

Schaltplan zur Bestimmung der Kapazität eines Kondensators

Messung
$Formula: \boldsymbol{t}_{\mathrm{E}}$ $Formula: \boldsymbol{t}_{\mathrm{E}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$

Für die Kapazität des Kondensators gilt:

$Formula: C = \dfrac{t_{\mathrm{E}}}{R \cdot \ln (3)}$ $Formula: C = \dfrac{t_{\mathrm{E}}}{R \cdot \ln (3)}$

Material 4-B: Kornfeuchte

Als Kornfeuchte Formula: F wird der prozentuale Anteil des Wassers bezeichnet, der sich in einem Getreidekorn befindet.

Bevor Getreide für längere Zeit gelagert wird, muss es ausreichend getrocknet sein, sodass die Kornfeuchte unter $Formula: 14{,}5\,\%$ $Formula: 14{,}5\,\%$ beträgt.

Bei nicht ausreichender Trocknung des Getreides können durch Schimmelbildung und Fäulnisprozesse schädliche Substanzen für Mensch und Tier entstehen. Die Trocknung kann hohe Energiekosten erzeugen.

Material 4-C: Anordnung zur kapazitiven Messung der Kornfeuchte

Die Kornfeuchte Formula: F soll mithilfe einer Kondensatorentladung ermittelt werden.

Dazu wird ein dünnwandiges Kunststoffgefäß vollständig mit Getreide ausgefüllt. An zwei gegenüberliegenden Flächen sind außerhalb zwei Metallplatten Formula: P_1 und Formula: P_2 befestigt, wie in der Abbildung rechts gezeigt. Dieses System bildet einen Plattenkondensator.

Plattenfläche	$Formula: A = 8{,}0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^{2}$ $Formula: A = 8{,}0 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^{2}$
Plattenabstand	$Formula: d = 10\;\mathrm{mm}$ $Formula: d = 10\;\mathrm{mm}$
Entladewiderstand	$Formula: R = 10 \; \mathrm{M}\Omega$ $Formula: R = 10 \; \mathrm{M}\Omega$

Skizze eines hohen rechteckigen Behälters mit offenem oberen Rand, Pfeil zu P1 und P2, Titel "Getreidekörner".

Kondensator zur Messung der Kornfeuchte mit quaderförmigem Kunststoffgefäß (schematisch)

Der Plattenkondensator wird auf eine Spannung Formula: U_0 aufgeladen und dann über den Widerstand Formula: R entladen. Die Entladezeit $Formula: t_\mathrm{E}$ $Formula: t_\mathrm{E}$ vom Beginn des Entladevorgangs bis zum Zeitpunkt, an dem am Plattenkondensator die Spannung $Formula: \tfrac{1}{3}U_0$ $Formula: \tfrac{1}{3}U_0$ anliegt, ist ein Maß für die Kornfeuchte.

Bedienungsanleitung für die Befüllung der Messanordnung

Das Einfüllen der Getreidekörner in das dünnwandige Kunststoffgefäß zwischen den Platten des Plattenkondensators in der Abbildung oben rechts muss stets in gleicher Weise erfolgen. Durch leichtes Klopfen des befüllten Gefäßes auf einer Unterlage verteilen sich die Körner gleichmäßiger und rutschen nach. Größere Lufteinschlüsse können so vermieden werden. Schließlich wird der durch das Nachfüllen von Getreidekörnern entstandene Berg am oberen Gefäßrand sauber abgestreift.

Zusammenhang zwischen Kornfeuchte und Kapazität

Bei einer ordnungsgemäßen Befüllung mit extrem trockenem Getreide beträgt die Dielektrizitätszahl $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 2{,}3.$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 2{,}3.$ Das Getreide besitzt in diesem Fall eine Kornfeuchte von $Formula: 8\,\%.$ $Formula: 8\,\%.$

Mit extrem feuchtem Getreide ergibt sich eine Dielektrizitätszahl $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 10$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}} = 10$ und eine Kornfeuchte von $Formula: 40\,\%.$ $Formula: 40\,\%.$ Der Einfluss des Kunststoffs als Dielektrikum wird vernachlässigt.

Der Zusammenhang zwischen der Kornfeuchte und der Kapazität des Plattenkondensators ist vereinfacht im $Formula: C\text{-}F\text{-}$ $Formula: C\text{-}F\text{-}$ Diagramm unten dargestellt.

Liniendiagramm: F in % steigt linear mit C in pF, von etwa 9% bei 15 pF bis ca. 40% bei 75 pF.

$Formula: C\text{-}F\text{-}$ $Formula: C\text{-}F\text{-}$ Diagramm für den Plattenkondensator der Anordnung in der Abbildung oben

Messunsicherheit

Vereinfachend soll für alle Kapazitätsermittlungen von einer relativen Messunsicherheit von $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ ausgegangen werden. Dies bedeutet, dass die wahren Werte für die Kapazität um $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ von den ermittelten Werten nach oben oder unten abweichen können.

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4.1

Je größer der elektrische Widerstand Formula: R gewählt wird, desto länger dauert der Entladevorgang des Kondensators.

Zunächst wird der Mittelwert der drei gemessenen Entladezeiten berechnet:

$Formula: \overline{t_{\mathrm{E}}}=\dfrac{49{,}5\;\mathrm{s}+51{,}8\;\mathrm{s}+50{,}0\;\mathrm{s}}{3}\approx50{,}43\;\mathrm{s}$ $Formula: \overline{t_{\mathrm{E}}}=\dfrac{49{,}5\;\mathrm{s}+51{,}8\;\mathrm{s}+50{,}0\;\mathrm{s}}{3}\approx50{,}43\;\mathrm{s}$

Mit $Formula: R=47\cdot10^3\;\mathrm{\Omega}$ $Formula: R=47\cdot10^3\;\mathrm{\Omega}$ folgt für die Kapazität:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}C&=&\dfrac{\overline{t_{\mathrm{E}}}}{R\cdot\ln(3)}\\[5pt]&=&\dfrac{50{,}43\;\mathrm{s}}{47\cdot10^3\;\mathrm{\Omega}\cdot\ln(3)}\\[5pt]&\approx&9{,}77\cdot10^{-4}\;\mathrm{F}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}C&=&\dfrac{\overline{t_{\mathrm{E}}}}{R\cdot\ln(3)}\\[5pt]&=&\dfrac{50{,}43\;\mathrm{s}}{47\cdot10^3\;\mathrm{\Omega}\cdot\ln(3)}\\[5pt]&\approx&9{,}77\cdot10^{-4}\;\mathrm{F}\end{array}$

Für die Spannung am Kondensator während des Entladevorgangs gilt:

$Formula: U(t)=U_0\cdot\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{R\cdot C}}$ $Formula: U(t)=U_0\cdot\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{R\cdot C}}$

Nach der Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}}$ $Formula: t_{\mathrm{E}}$ ist die Spannung auf ein Drittel der Anfangsspannung gesunken. Mit $Formula: U(t_{\mathrm{E}})=\tfrac{1}{3}U_0$ $Formula: U(t_{\mathrm{E}})=\tfrac{1}{3}U_0$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{1}{3}U_0&=&U_0\cdot\mathrm{e}^{-\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot C}}&\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{U_0}\\[5pt]\dfrac{1}{3}&=&\mathrm{e}^{-\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot C}}&\quad\scriptsize\mid\,\ln(\;)\\[5pt]-\ln(3)&=&-\dfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot C}&\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{-C}{\ln(3)}\\[5pt]C&=&\dfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot\ln(3)}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{1}{3}U_0&=&U_0\cdot\mathrm{e}^{-\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot C}}&\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{U_0}\\[5pt]\dfrac{1}{3}&=&\mathrm{e}^{-\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot C}}&\quad\scriptsize\mid\,\ln(\;)\\[5pt]-\ln(3)&=&-\dfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot C}&\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{-C}{\ln(3)}\\[5pt]C&=&\dfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot\ln(3)}\end{array}$

Aus $Formula: C=\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot\ln(3)}$ $Formula: C=\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot\ln(3)}$ ergeben sich beispielsweise folgende Einflüsse:

Messunsicherheit der Entladezeit: Wird $Formula: t_{\mathrm{E}}$ $Formula: t_{\mathrm{E}}$ zu groß gemessen, wird bei ansonsten gleichen Bedingungen auch die Kapazität zu groß berechnet. Für eine zu klein gemessene Zeit gilt dies entsprechend umgekehrt.
Unsicherheit des Widerstandswerts: Wird ein zu kleiner Wert für eingesetzt, wird die Kapazität zu groß berechnet. Ein zu großer Widerstandswert führt entsprechend zu einer zu klein berechneten Kapazität.

4.2

Für einen Plattenkondensator gilt $Formula: C=\varepsilon_0\cdot\varepsilon_{\mathrm{r}}\cdot\tfrac{A}{d}.$ $Formula: C=\varepsilon_0\cdot\varepsilon_{\mathrm{r}}\cdot\tfrac{A}{d}.$

Für extrem trockenes Getreide mit $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}=2{,}3$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}=2{,}3$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}C_{\mathrm{trocken}}&=&\varepsilon_0\cdot2{,}3\cdot\dfrac{8{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}^2}{10\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}}\\[5pt]&\approx&1{,}63\cdot10^{-11}\;\mathrm{F}\\[5pt]&\approx&16{,}3\;\mathrm{pF}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}C_{\mathrm{trocken}}&=&\varepsilon_0\cdot2{,}3\cdot\dfrac{8{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}^2}{10\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}}\\[5pt]&\approx&1{,}63\cdot10^{-11}\;\mathrm{F}\\[5pt]&\approx&16{,}3\;\mathrm{pF}\end{array}$

Für extrem feuchtes Getreide mit $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}=10$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}=10$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}C_{\mathrm{feucht}}&=&\varepsilon_0\cdot10\cdot\dfrac{8{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}^2}{10\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}}\\[5pt]&\approx&7{,}08\cdot10^{-11}\;\mathrm{F}\\[5pt]&\approx&70{,}8\;\mathrm{pF}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}C_{\mathrm{feucht}}&=&\varepsilon_0\cdot10\cdot\dfrac{8{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}^2}{10\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}}\\[5pt]&\approx&7{,}08\cdot10^{-11}\;\mathrm{F}\\[5pt]&\approx&70{,}8\;\mathrm{pF}\end{array}$

Aus der gemessenen Entladezeit $Formula: t_{\mathrm{E}}$ $Formula: t_{\mathrm{E}}$ und dem bekannten Entladewiderstand Formula: R wird mit $Formula: C=\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot\ln(3)}$ $Formula: C=\tfrac{t_{\mathrm{E}}}{R\cdot\ln(3)}$ zunächst die Kapazität des Kondensators bestimmt.

Der zugehörige Wert der Kornfeuchte Formula: F kann anschließend im $Formula: C\text{-}F\text{-}$ $Formula: C\text{-}F\text{-}$ Diagramm in Material 4-C abgelesen werden. Da das Diagramm den Bereich von $Formula: 8\,\%$ $Formula: 8\,\%$ bis $Formula: 40\,\%$ $Formula: 40\,\%$ abdeckt, lässt sich die Kornfeuchte in diesem Bereich indirekt über die Entladezeit ermitteln.

Mit $Formula: t_{\mathrm{E}}=604\;\mathrm{\mu s}$ $Formula: t_{\mathrm{E}}=604\;\mathrm{\mu s}$ und $Formula: R=10\;\mathrm{M\Omega}$ $Formula: R=10\;\mathrm{M\Omega}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}C&=&\dfrac{604\cdot10^{-6}\;\mathrm{s}}{10\cdot10^6\;\mathrm{\Omega}\cdot\ln(3)}\\[5pt]&\approx&5{,}50\cdot10^{-11}\;\mathrm{F}\\[5pt]&\approx&55{,}0\;\mathrm{pF}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}C&=&\dfrac{604\cdot10^{-6}\;\mathrm{s}}{10\cdot10^6\;\mathrm{\Omega}\cdot\ln(3)}\\[5pt]&\approx&5{,}50\cdot10^{-11}\;\mathrm{F}\\[5pt]&\approx&55{,}0\;\mathrm{pF}\end{array}$

Bei einer relativen Messunsicherheit von $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ beträgt die absolute Unsicherheit:

$Formula: \Delta C=0{,}05\cdot55{,}0\;\mathrm{pF}\approx2{,}7\;\mathrm{pF}$ $Formula: \Delta C=0{,}05\cdot55{,}0\;\mathrm{pF}\approx2{,}7\;\mathrm{pF}$

Damit gilt näherungsweise $Formula: C=(55{,}0\pm2{,}7)\;\mathrm{pF}.$ $Formula: C=(55{,}0\pm2{,}7)\;\mathrm{pF}.$ Das entspricht dem Kapazitätsintervall $Formula: 52{,}3\;\mathrm{pF}\le C\le57{,}7\;\mathrm{pF}.$ $Formula: 52{,}3\;\mathrm{pF}\le C\le57{,}7\;\mathrm{pF}.$

Aus dem $Formula: C\text{-}F\text{-}$ $Formula: C\text{-}F\text{-}$ Diagramm in Material 4-C folgt damit das Kornfeuchteintervall:

$Formula: 29\,\%\le F\le33\,\%$ $Formula: 29\,\%\le F\le33\,\%$

Aus $Formula: C=\varepsilon_0\cdot\varepsilon_{\mathrm{r}}\cdot\tfrac{A}{d}$ $Formula: C=\varepsilon_0\cdot\varepsilon_{\mathrm{r}}\cdot\tfrac{A}{d}$ folgt $Formula: C\sim A.$ $Formula: C\sim A.$ Wird die Plattenfläche verdoppelt, verdoppeln sich daher bei unveränderter Kornfeuchte alle Kapazitätswerte.

Im $Formula: C\text{-}F\text{-}$ $Formula: C\text{-}F\text{-}$ Diagramm bleiben die Kornfeuchtewerte unverändert, während sich die Kapazitätsdifferenz verdoppelt. Für die Steigung folgt deshalb:

$Formula: m^{*}=\dfrac{F_2-F_1}{2\cdot(C_2-C_1)}=\dfrac{m}{2}$ $Formula: m^{*}=\dfrac{F_2-F_1}{2\cdot(C_2-C_1)}=\dfrac{m}{2}$

Bei unveränderter relativer Messunsicherheit von $Formula: 5\,\%$ $Formula: 5\,\%$ verdoppelt sich auch das absolute Kapazitätsintervall. Die halbierte Steigung gleicht diese Verdopplung bei der Zuordnung zur Kornfeuchte genau aus. Das ermittelte Kornfeuchteintervall bleibt daher unverändert.

4.3

Fall (1), zu starke Verdichtung: Durch die Verdichtung befindet sich bei unverändertem Plattenabstand mehr Getreide und damit mehr Feuchtigkeit zwischen den Platten. Der Luftanteil nimmt ab und die resultierende relative Dielektrizitätszahl $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ steigt. Wegen $Formula: C\sim\varepsilon_{\mathrm{r}}$ $Formula: C\sim\varepsilon_{\mathrm{r}}$ vergrößert sich die Kapazität.
Fall (2), unvollständige Befüllung: Zwischen den Platten befindet sich weniger Getreide und damit weniger Feuchtigkeit. Der Luftanteil ist größer und die resultierende relative Dielektrizitätszahl $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ $Formula: \varepsilon_{\mathrm{r}}$ sinkt. Wegen $Formula: C\sim\varepsilon_{\mathrm{r}}$ $Formula: C\sim\varepsilon_{\mathrm{r}}$ verkleinert sich die Kapazität.

Fall (1), zu starke Verdichtung: Die zu große Kapazität führt zu einer zu hoch bestimmten Kornfeuchte. Der Landwirt trocknet das Getreide möglicherweise länger als erforderlich. Dadurch entstehen unnötig hohe Energiekosten.
Fall (2), unvollständige Befüllung: Die zu kleine Kapazität führt zu einer zu niedrig bestimmten Kornfeuchte. Das Getreide kann trotz passender Anzeige noch mehr als $Formula: 14{,}5\,\%$ $Formula: 14{,}5\,\%$ Kornfeuchte besitzen. Bei der Lagerung drohen dann Fäulnis und Schimmelbildung.

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