Aufgabe 3 — Fraunhofer und der Beginn der Astrospektroskopie

Die Astrospektroskopie umfasst die Analyse der Wellenlängen der Strahlung astronomischer Objekte.

Ausgangspunkt war die Entdeckung vieler feiner, dunkler Linien im Spektrum der Sonne durch Joseph Fraunhofer.

3.1

Sogenannte Fraunhofer’sche Linien können z. B. in Spektren beobachtet werden, die durch die Interferenz des Sonnenlichtes an einem optischen Gitter erzeugt wurden (Material 3-A). Zur Vereinfachung wird die Interferenz von Licht an optischen Gittern zunächst für monochromatisches Licht betrachtet.

Die Abbildungen in Material 3-B zeigen Interferenzmuster, die entstehen, wenn ein optisches Gitter unter sonst gleichen Bedingungen mit verschiedenfarbigem Licht bestrahlt wird.

Ordne die Abbildungen (i) bis (iii) in Material 3-B den Farben Rot, Blau und Grün zu und begründe deine Zuordnung.

4 BE

In Material 3-C ist ein Versuch zur Interferenz monochromatischen Lichtes eines Laserpointers an einem optischen Gitter dokumentiert. Auf dem Typenschild des Laserpointers ist die Wellenlänge $Formula: \lambda = 630\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 630\;\mathrm{nm}$ angegeben. Es soll nun die Wellenlänge des im Versuch verwendeten Laserlichtes experimentell bestimmt werden.

Ermittle diese Wellenlänge möglichst genau. Wähle dazu aus Material 3-C zwei geeignete Leuchtpunkte begründet aus.

7 BE

Durch die in Material 3-C angegebenen Messunsicherheiten lässt sich für das dargestellte Interferenzmuster eine kleinste und eine größte Wellenlänge des Laserlichtes bestimmen.

Ermittle diese und entscheide, ob die Angabe zur Wellenlänge auf dem Typenschild des Laserpointers innerhalb des sich ergebenden Intervalls liegt.

Hinweis: Es genügt die Betrachtung der in Teilaufgabe 3.1b gewählten Leuchtpunkte.

6 BE

3.2

Das kontinuierliche Spektrum der Sonne soll modellhaft behandelt werden. Durch die Bestrahlung eines optischen Gitters mit dem weißen Licht einer Experimentierleuchte entsteht das in Material 3-D dargestellte Schirmbild.

Erkläre das Zustandekommen des Schirmbildes im Bereich A und das Zustandekommen des Schirmbildes in den Bereichen B.

5 BE

Im Bereich C des Schirmbildes wird eine Veränderung des Farbeindrucks beobachtet, da sich zum Beispiel die Maxima 2. Ordnung roten Lichtes mit den Maxima 3. Ordnung grünen Lichtes überlagern. Somit ist die Bestimmung von Wellenlängen im Bereich C nicht mehr eindeutig.

Überprüfe durch Betrachtung der Beugungswinkel, ob es bei der Verwendung eines Gitters der Gitterkonstante $Formula: g = 3{,}70\cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}$ $Formula: g = 3{,}70\cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}$ im Bereich C zur beschriebenen Überlagerung von rotem Licht im Wellenlängenbereich $Formula: 605\;\mathrm{nm}\leq\lambda\leq780\;\mathrm{nm}$ $Formula: 605\;\mathrm{nm}\leq\lambda\leq780\;\mathrm{nm}$ mit grünem Licht der Wellenlänge $Formula: \lambda = 510\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda = 510\;\mathrm{nm}$ kommt.

3 BE

Beurteile, ob durch Tausch des Gitters mit einem Gitter anderer Gitterkonstante das Zusammenfallen von Maxima verschiedener Farben verhindert werden kann.

4 BE

3.3

Aus den von Joseph Fraunhofer 1814 beobachteten dunklen Linien im kontinuierlichen Spektrum der Sonne konnte darauf geschlossen werden, dass in den äußeren Schichten der Sonne Wasserstoff existieren muss.

Unter geeigneten Bedingungen emittiert atomarer Wasserstoff Licht einzelner Wellenlängen (Material 3-E).

Erläutere unter Verwendung eines Energieniveauschemas die prinzipielle Entstehung von Emissionslinien bei Gasatomen. Skizziere sie dazu in deinem Schema qualitativ.

6 BE

Erkläre unter Berücksichtigung der Materialien 3-E bis 3-G die Entstehung der Absorptionslinien von Wasserstoff und Sauerstoff im kontinuierlichen Spektrum des Sonnenlichtes, wenn es von der Erde aus beobachtet wird.

5 BE

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Material 3-A: Informationen zum optischen Gitter

Ein Gitter ist vereinfacht gesagt eine Aneinanderreihung vieler Doppelspalte, wobei der Abstand benachbarter Spaltmitten, auch Gitterkonstante genannt, jeweils Formula: g beträgt.

Für ein Gitter mit Formula: 270 Spalten pro $Formula: \mathrm{mm}$ $Formula: \mathrm{mm}$ beträgt der Spaltmittenabstand $Formula: \displaystyle g = \tfrac{1}{270}\;\mathrm{mm}.$ $Formula: \displaystyle g = \tfrac{1}{270}\;\mathrm{mm}.$

Für die Beugungswinkel $Formula: \alpha_{{k}}$ $Formula: \alpha_{{k}}$ der Maxima $Formula: k\text{-}$ $Formula: k\text{-}$ ter Ordnung, die bei der Interferenz von Licht der Wellenlänge $Formula: \lambda$ $Formula: \lambda$ an einem Gitter mit der Gitterkonstanten Formula: g entstehen, gilt die gleiche Beziehung wie beim Doppelspalt:

$Formula: \displaystyle \sin (\alpha_{{k}}) = \dfrac{k \cdot \lambda}{g}$ $Formula: \displaystyle \sin (\alpha_{{k}}) = \dfrac{k \cdot \lambda}{g}$

Senkrechte Balkenreihe mit markiertem Abstand „g“ zwischen zwei Balken

Material 3-B: Interferenz von verschiedenfarbigem monochromatischem Licht

In den Abbildungen (i) bis (iii) sind Schirmbilder für drei verschiedene Lichtfarben dargestellt. Die hellen Streifen sind die Interferenzmaxima, die für die jeweilige Farbe entstehen. Die Messskalen sind in $Formula: \mathrm{cm}.$ $Formula: \mathrm{cm}.$

Messskala mit Zahlen und vertikalen Linien, darunter ein schwarzes, verschwommenes Streifenmuster.

(i): Schirmbild für Farbe 1

Lineal mit Maßskala und hellen vertikalen Streifen auf dunklem Hintergrund

(ii): Schirmbild für Farbe 2

Messskala mit Zahlen und vertikalen Linien, darunter ein dunkler Balken mit hellen Streifen

(iii): Schirmbild für Farbe 3

Material 3-C: Interferenzmuster des Laserlichts auf einem Schirm

Das monochromatische Licht eines Laserpointers fällt senkrecht auf ein optisches Gitter mit der Gitterkonstanten $Formula: g = \tfrac{1}{270}\;\mathrm{mm}.$ $Formula: g = \tfrac{1}{270}\;\mathrm{mm}.$

Auf einem Schirm, der sich im Abstand von $Formula: 60{,}0\;\mathrm{cm}$ $Formula: 60{,}0\;\mathrm{cm}$ parallel zum Gitter befindet, wird ein Interferenzmuster als Abfolge heller Leuchtpunkte beobachtet. Die Entfernung zwischen Gitter und Schirm kann auf $Formula: \pm 0{,}05\;\mathrm{cm},$ $Formula: \pm 0{,}05\;\mathrm{cm},$ die Abmessungen am Interferenzmuster auf $Formula: \pm 0{,}2\;\mathrm{cm}$ $Formula: \pm 0{,}2\;\mathrm{cm}$ genau bestimmt werden.

Messskala mit Markierungen in Zentimetern und Punkten auf einer Linie

Material 3-D: Schirmbild für die Interferenz weißen Lichtes an einem Gitter (vereinfachte Darstellung)

Das Spektrum des weißen Lichts einer Experimentierleuchte wird in einem Versuchsaufbau mit einem optischen Gitter auf einem Schirm abgebildet. In der Abbildung ist ein Abschnitt des dabei entstehenden Schirmbildes dargestellt, in dem die Bereiche Ⓐ, Ⓑ und Ⓒ jeweils mit einem schwarzen Rahmen gekennzeichnet sind. In den Bereichen Ⓑ sind die Spektralfarben durch unterschiedliche Grautöne dargestellt.

Mehrere vertikale Farbverläufe mit Beschriftungen und Hinweis auf überlagerte Maxima.

Material 3-E: Emissionslinien von atomarem Wasserstoff

Horizontale Wellenlängenskala (400–700 nm) mit mehreren dunklen Balken über verschiedenen Bereichen.

Material 3-F: Der Weg des Lichts von der Sonne zur Erde (Abbildung nicht maßstäblich)

Auf dem Weg des Sonnenlichtes von der Sonne zur Erde kann es in verschiedenen Bereichen zur Absorption von Strahlung kommen. Das im Inneren der Sonne entstehende Licht weist ein kontinuierliches Spektrum auf, durchquert dann äußere, gasförmige Schichten im Randbereich der Sonne, in denen es bei Wechselwirkung mit Atomen zur quantenhaften Absorption kommt. Ehe es auf der Erdoberfläche detektiert wird, muss das Licht der Sonne die Atmosphäre der Erde durchqueren.

Schematische Darstellung: Sonne links, Pfeil zur Erde mit Atmosphäre und Erdmond.

Abbildung 6a: Lichtweg von der Sonne zur Erde (nicht maßstäblich)

Material 3-G: Stark vereinfachte Darstellung des von der Erde aus aufgenommenen Absorptionslinienspektrums der Sonne

Die markantesten Linien des Absorptionslinienspektrums bezeichnete Fraunhofer mit Buchstaben. Das Auftreten der Linien A und B kann darauf zurückgeführt werden, dass die Erdatmosphäre Sauerstoff enthält.

Linienspektrum mit markierten Wellenlängen von 400 bis 750 nm

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

3.1

Bei der Interferenz an einem Gitter nimmt, genau wie beim Doppelspalt, der Winkel zwischen benachbarten Maxima mit zunehmender Wellenlänge des Lichts zu. Für die Wellenlängen der drei Farben gilt der folgende Zusammenhang:

$Formula: \lambda_{\mathrm{blau}} < \lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}} < \lambda_{\mathrm{rot}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{blau}} < \lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}} < \lambda_{\mathrm{rot}}$

In Material 3-B ist der Abstand benachbarter Maxima bei Abbildung (ii) am größten und bei Abbildung (iii) am kleinsten. Daraus ergibt sich folgende Zuordnung:

Abbildung (i) zeigt grünes Licht.
Abbildung (ii) zeigt rotes Licht.
Abbildung (iii) zeigt blaues Licht.

Wahl der geeigneten Leuchtpunkte

Der Abstand der Maxima höherer Ordnung zum Maximum 0. Ordnung lässt sich deutlich genauer bestimmen. Zudem fällt durch die größeren Abstände zum Maximum 0. Ordnung die relative Messunsicherheit geringer aus als bei niedrigeren Ordnungen. Aus diesen Gründen fällt die Wahl auf das Maximum 3. Ordnung ( Formula: k = 3 ) und das zentrale Maximum 0. Ordnung.

Ermitteln der Wellenlänge

Mithilfe der Messskala (Material 3-C) ergibt sich für Formula: k = 3 ein Abstand von $Formula: a_3=35{,}9\;\mathrm{cm}$ $Formula: a_3=35{,}9\;\mathrm{cm}$ zum zentralen Maximum. Der Winkel $Formula: \alpha_3,$ $Formula: \alpha_3,$ unter dem dieses Maximum auftritt, lässt sich trigonometrisch über die gegebene Entfernung $Formula: \ell=60{,}0\;\mathrm{cm}$ $Formula: \ell=60{,}0\;\mathrm{cm}$ zwischen Gitter und Schirm ausdrücken.

Die Winkelbeziehung für konstruktive Interferenz am Gitter lautet:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\sin(\alpha_k) & = & \dfrac{k \cdot \lambda}{g} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{g}{k} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin(\alpha_3) \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_3}{\ell}\right)\right)\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\sin(\alpha_k) & = & \dfrac{k \cdot \lambda}{g} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{g}{k} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin(\alpha_3) \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_3}{\ell}\right)\right)\end{array}$

Einsetzen der entsprechenden Werte liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda&=&\dfrac{1}{3}\cdot g\cdot\sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_3}{\ell}\right)\right)\\[5pt]&=&\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{270}\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}\cdot\sin\left(\arctan\left(\dfrac{35{,}9\;\mathrm{cm}}{60{,}0\;\mathrm{cm}}\right)\right)\\[5pt]&=&633{,}9\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda&=&\dfrac{1}{3}\cdot g\cdot\sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_3}{\ell}\right)\right)\\[5pt]&=&\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{270}\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}\cdot\sin\left(\arctan\left(\dfrac{35{,}9\;\mathrm{cm}}{60{,}0\;\mathrm{cm}}\right)\right)\\[5pt]&=&633{,}9\;\mathrm{nm}\end{array}$

Die aus dem Experiment ermittelte Wellenlänge des Laserlichts beträgt somit $Formula: 633{,}9\;\mathrm{nm}.$ $Formula: 633{,}9\;\mathrm{nm}.$

Ermitteln des Intervalls

Unter Berücksichtigung der in Material 3-C angegebenen Messunsicherheiten ergeben sich die folgenden Extremwerte für den Abstand des Maximums 3. Ordnung Formula: a_3 und die Entfernung zwischen Gitter und Schirm:

$Formula: 35{,}7\;\mathrm{cm}\le a_3\le36{,}1\;\mathrm{cm}$ $Formula: 35{,}7\;\mathrm{cm}\le a_3\le36{,}1\;\mathrm{cm}$

$Formula: 59{,}95\;\mathrm{cm}\le\ell\le60{,}05\;\mathrm{cm}$ $Formula: 59{,}95\;\mathrm{cm}\le\ell\le60{,}05\;\mathrm{cm}$

Die kleinstmögliche Wellenlänge ergibt sich, wenn der kleinste mögliche Abstand Formula: a_3 und die größte mögliche Entfernung $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ in die Gleichung aus Teilaufgabe 3.1 b eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda &=& \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_3}{\ell}\right)\right) \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{35{,}7\;\mathrm{cm}}{60{,}05\;\mathrm{cm}}\right)\right) \\[5pt] \lambda & \approx & 630{,}9\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda &=& \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_3}{\ell}\right)\right) \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{35{,}7\;\mathrm{cm}}{60{,}05\;\mathrm{cm}}\right)\right) \\[5pt] \lambda & \approx & 630{,}9\;\mathrm{nm}\end{array}$

Die größtmögliche Wellenlänge ergibt sich analog, wenn der größte mögliche Abstand Formula: a_3 und die kleinste mögliche Entfernung $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ in die Gleichung aus Teilaufgabe 3.1 b eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_3}{\ell}\right)\right) \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{36{,}1\;\mathrm{cm}}{59{,}95\;\mathrm{cm}}\right)\right) \\[5pt] \lambda & \approx & 636{,}9\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{a_3}{\ell}\right)\right) \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{1}{3} \cdot g \cdot \sin\left(\arctan\left(\dfrac{36{,}1\;\mathrm{cm}}{59{,}95\;\mathrm{cm}}\right)\right) \\[5pt] \lambda & \approx & 636{,}9\;\mathrm{nm}\end{array}$

Daraus ergibt sich das folgende Intervall für die tatsächliche Wellenlänge:

$Formula: 630{,}9\;\mathrm{nm}\le\lambda\le636{,}9\;\mathrm{nm}$ $Formula: 630{,}9\;\mathrm{nm}\le\lambda\le636{,}9\;\mathrm{nm}$

Entscheiden

Die auf dem Typenschild des Laserpointers angegebene Wellenlänge von $Formula: 630 \;\mathrm{nm}$ $Formula: 630 \;\mathrm{nm}$ liegt nicht innerhalb des sich durch die Messunsicherheiten ergebenden Intervalls.

3.2

Das auf das Gitter auftreffende weiße Licht besteht aus einer Mischung verschiedener Wellenlängen.

Bereich Ⓐ (Maximum 0. Ordnung): Gemäß der Gittergleichung $Formula: \sin(\alpha_k) = \tfrac{k \cdot \lambda}{g}$ $Formula: \sin(\alpha_k) = \tfrac{k \cdot \lambda}{g}$ beträgt der Beugungswinkel für das Maximum nullter Ordnung () für alle Wellenlängen exakt $Formula: 0^\circ.$ $Formula: 0^\circ.$ Daher fallen diese Maxima an einem einzigen Ort auf dem Schirm zusammen. Die Überlagerung all dieser Wellenlängen des sichtbaren Lichts führt zu dem dort sichtbaren weißen Lichtstreifen.
Bereiche Ⓑ (Maxima 1. Ordnung): Der Winkel $Formula: \alpha_k,$ $Formula: \alpha_k,$ unter dem ein Maximum erscheint, ist gemäß der Gittergleichung $Formula: \sin(\alpha_k) = \tfrac{k \cdot \lambda}{g}$ $Formula: \sin(\alpha_k) = \tfrac{k \cdot \lambda}{g}$ von der jeweiligen Wellenlänge abhängig. Daher entstehen die Maxima 1. Ordnung der verschiedenen Wellenlängen (Spektralfarben) nicht am selben Ort, sondern nebeneinander. Da der Beugungswinkel mit zunehmender Wellenlänge größer wird, erscheint das violette Licht (kleinste Wellenlänge) an den inneren Rändern und das rote Licht (größte Wellenlänge) an den äußeren Rändern der Bereiche Ⓑ. Die beiden Farbspektren (Kontinua) in den Bereichen Ⓑ sind folglich zueinander gespiegelt.

Für eine Überlagerung müssen das Maximum zweiter Ordnung des roten Lichts und das Maximum dritter Ordnung des grünen Lichts unter demselben Beugungswinkel auftreten. Daher gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\sin\left(\alpha_{2,\mathrm{rot}}\right)&=&\sin\left(\alpha_{3,\mathrm{gr\ddot{u}n}}\right)\\[5pt]\dfrac{2\cdot\lambda_{\mathrm{rot}}}{g}&=&\dfrac{3\cdot\lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}}}{g}\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{g}{2}\\[5pt]\lambda_{\mathrm{rot}}&=&\dfrac{3}{2}\cdot\lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\sin\left(\alpha_{2,\mathrm{rot}}\right)&=&\sin\left(\alpha_{3,\mathrm{gr\ddot{u}n}}\right)\\[5pt]\dfrac{2\cdot\lambda_{\mathrm{rot}}}{g}&=&\dfrac{3\cdot\lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}}}{g}\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{g}{2}\\[5pt]\lambda_{\mathrm{rot}}&=&\dfrac{3}{2}\cdot\lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}}\end{array}$

Mit $Formula: \lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}}=510\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}}=510\;\mathrm{nm}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda_{\mathrm{rot}}&=&\dfrac{3}{2}\cdot\lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}}\\[5pt]&=&\dfrac{3}{2}\cdot510\;\mathrm{nm}\\[5pt]&=&765\;\mathrm{nm}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\lambda_{\mathrm{rot}}&=&\dfrac{3}{2}\cdot\lambda_{\mathrm{gr\ddot{u}n}}\\[5pt]&=&\dfrac{3}{2}\cdot510\;\mathrm{nm}\\[5pt]&=&765\;\mathrm{nm}\end{array}$

Die Wellenlänge $Formula: 765\;\mathrm{nm}$ $Formula: 765\;\mathrm{nm}$ liegt im angegebenen roten Wellenlängenbereich von $Formula: 605\;\mathrm{nm}$ $Formula: 605\;\mathrm{nm}$ bis $Formula: 780\;\mathrm{nm}.$ $Formula: 780\;\mathrm{nm}.$ Deshalb überlagert sich im Bereich Ⓒ das Maximum zweiter Ordnung eines roten Anteils bei $Formula: 765\;\mathrm{nm}$ $Formula: 765\;\mathrm{nm}$ mit dem Maximum dritter Ordnung des grünen Lichts. Die beschriebene Überlagerung tritt somit auf.

Der geforderte Winkelvergleich ergibt mit der Gitterkonstante $Formula: g=3700\;\mathrm{nm}$ $Formula: g=3700\;\mathrm{nm}$ :

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\alpha_{2,\mathrm{rot}}(605\;\mathrm{nm})&=&\arcsin\left(\dfrac{2\cdot605}{3700}\right)\approx19{,}09^\circ\\[5pt]\alpha_{3,\mathrm{gr\ddot{u}n}}(510\;\mathrm{nm})&=&\arcsin\left(\dfrac{3\cdot510}{3700}\right)\approx24{,}43^\circ\\[5pt]\alpha_{2,\mathrm{rot}}(780\;\mathrm{nm})&=&\arcsin\left(\dfrac{2\cdot780}{3700}\right)\approx24{,}94^\circ\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\alpha_{2,\mathrm{rot}}(605\;\mathrm{nm})&=&\arcsin\left(\dfrac{2\cdot605}{3700}\right)\approx19{,}09^\circ\\[5pt]\alpha_{3,\mathrm{gr\ddot{u}n}}(510\;\mathrm{nm})&=&\arcsin\left(\dfrac{3\cdot510}{3700}\right)\approx24{,}43^\circ\\[5pt]\alpha_{2,\mathrm{rot}}(780\;\mathrm{nm})&=&\arcsin\left(\dfrac{2\cdot780}{3700}\right)\approx24{,}94^\circ\end{array}$

Der Beugungswinkel des grünen Maximums dritter Ordnung liegt damit innerhalb des Winkelbereichs, den das rote Licht in zweiter Ordnung einnimmt.

Das Zusammenfallen der Maxima zweier unterschiedlicher Wellenlängen (beispielsweise rotes Licht $Formula: \lambda_{\mathrm{rot}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{rot}}$ und andersfarbiges Licht $Formula: \lambda_{\mathrm{andere}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{andere}}$ ) bedeutet physikalisch, dass die Beugungswinkel, unter denen diese Maxima entstehen, übereinstimmen.

Für die Überlagerung der zweiten und dritten Ordnung muss demnach gelten:

$Formula: \alpha_{2,\mathrm{rot}}=\alpha_{3,\mathrm{andere}}$ $Formula: \alpha_{2,\mathrm{rot}}=\alpha_{3,\mathrm{andere}}$

Unter Anwendung der Gittergleichung lässt sich daraus folgende Bedingung ableiten:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{2\cdot\lambda_{\mathrm{rot}}}{g}&=&\dfrac{3\cdot\lambda_{\mathrm{andere}}}{g}&\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{g}{2}\\[5pt]\lambda_{\mathrm{rot}}&=&\dfrac{3}{2}\cdot\lambda_{\mathrm{andere}}\\[5pt]&=&1{,}5\cdot\lambda_{\mathrm{andere}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{2\cdot\lambda_{\mathrm{rot}}}{g}&=&\dfrac{3\cdot\lambda_{\mathrm{andere}}}{g}&\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{g}{2}\\[5pt]\lambda_{\mathrm{rot}}&=&\dfrac{3}{2}\cdot\lambda_{\mathrm{andere}}\\[5pt]&=&1{,}5\cdot\lambda_{\mathrm{andere}}\end{array}$

Da diese Bedingung völlig unabhängig von der Gitterkonstante Formula: g ist, kann ein Tausch des Gitters das Zusammenfallen folglich nicht verhindern.

3.3

Ein Atom kann ausschließlich bestimmte, diskrete Energiezustände annehmen. Diese werden als die Energieniveaus des Atoms bezeichnet ( $Formula: E_1, E_2, \dots, E_n$ $Formula: E_1, E_2, \dots, E_n$ ). Der Zustand mit der geringstmöglichen Energie bildet dabei den sogenannten Grundzustand ().

Durch Absorption eines Photons passender Energie kann ein Atom zunächst aus dem Grundzustand in einen angeregten Zustand übergehen. Wechseln Atome von einem höheren Energiezustand in einen niedrigeren Energiezustand, wird die Energiedifferenz dieser beiden Zustände in Form von Photonen emittiert. Die Energie dieser emittierten Photonen lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:

$Formula: E = h \cdot f = h \cdot \frac{c}{\lambda}$ $Formula: E = h \cdot f = h \cdot \frac{c}{\lambda}$

Aufgrund der diskreten Energiedifferenzen besitzen die ausgesandten Photonen folglich auch ausschließlich diskrete Wellenlängen $Formula: \lambda.$ $Formula: \lambda.$ In der Beobachtung werden diese einzelnen Wellenlängen dann als scharf abgegrenzte Linien in einem Emissionslinienspektrum sichtbar.

Drei Energielevel E3, E2, E1 mit abwärts gerichteten Übergangspfeilen und Beschriftungen h·c/λ32, h·c/λ31, h·c/λ21

Aus Material 3-F geht hervor, dass im Inneren der Sonne Licht entsteht, welches ein kontinuierliches Spektrum aufweist.

Durchquert dieses Licht anschließend die gasförmigen äußeren Schichten (den Randbereich) der Sonne, absorbiert der dort vorhandene atomare Wasserstoff exakt diejenigen Photonen, deren Energie einer der Emissionslinien von Wasserstoff (siehe Material 3-E) entspricht. Da die Wasserstoffatome diese zuvor absorbierte Energie kurz darauf wieder in zufällige Richtungen emittieren, fehlt dieser Strahlungsanteil in dem Lichtbündel, das direkt zur Erde gelangt. Folglich treten genau bei diesen spezifischen Wellenlängen dunkle Absorptionslinien im ansonsten kontinuierlichen Spektrum auf. Ein Beispiel hierfür sind die im Spektrum in Material 3-G markierten Linien C und F.

Bevor das Sonnenlicht die Erdoberfläche erreicht, durchquert es die Erdatmosphäre. Dort absorbiert unter anderem Sauerstoff bestimmte Wellenlängen. Dadurch entstehen zusätzliche Absorptionslinien im von der Erde aus beobachteten Spektrum, beispielsweise die Linien A und B.

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?