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Experimentelle und theoretische Untersuchungen zu induktiven Vorgängen

Viele Hersteller elektronischer Geräte bieten die Möglichkeit, den Akku eines Gerätes auch kabellos aufzuladen. Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Smartphones untersucht werden, das zum Laden auf eine induktive Ladestation gelegt wird (siehe Abbildung 1).

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Abbildung 1: Grundprinzip des induktiven Ladevorgangs eines Smartphones (eine Skizze der Ladespule, hier einfachheitshalber baugleich mit der Empfängerspule, ist in Abbildung 3 dargestellt)

Die Energieübertragung gelingt über eine in der Ladestation verbaute Ladespule und eine Empfängerspule im Smartphone. Die beiden Spulen sind nicht elektrisch leitend miteinander verbunden. Zur Andeutung des Funktionsprinzips sind die Spulenströme und das magnetische Feld dargestellt.

Teilaufgabe 1: Untersuchung des magnetischen Feldes der Ladespule

Die für den Ladevorgang wesentlichen Eigenschaften der Ladestation hängen vom magnetischen Feld ab, das durch die stromdurchflossene Ladespule erzeugt wird.

Zur Messung der Stärke $B$ eines magnetischen Feldes kann eine Hallsonde verwendet werden, deren Funktionsprinzip auf dem Halleffekt beruht. Der schematische Aufbau einer Hallsonde ist in Abbildung 2 dargestellt.

nrw physik abi lk 2021 ht2 abbildung 2 hallsonde aufbau

Abbildung 2: Schematischer Aufbau einer Hallsonde

Vereinfachend wird angenommen, dass das magnetische Feld im Bereich des Hallplättchens homogen ist und dieses vollständig senkrecht durchsetzt. Direkt gemessen wird die Hallspannung $U_{\text {Hall }}$ zwischen der oberen und unteren Seite des Hallplättchens. Zur Veranschaulichung des Halleffekts ist bereits ein Elektron mit der Driftgeschwindigkeit $\vec{v}$ im Hallplättchen dargestellt.

Skizziere in Abbildung 2 zusätzlich die sich im Gleichgewicht einstellende Elektronenverteilung sowie die dann auf das bereits dargestellte Elektron wirkenden Kräfte.
Erläutere deine Ergänzungen in der Skizze.
Erkläre das Funktionsprinzip einer Hallsonde im Hinblick auf die Messung der Stärke $B$ des magnetischen Feldes.

Hinweis: Eine Gleichung für die Hallspannung $U_{\text {Hall }}$ muss nicht hergeleitet werden.

Für eine konkrete Ladespule wird der Zusammenhang zwischen der Stärke $B$ des magnetischen Feldes und einer jeweils konstanten Stromstärke $I$ experimentell bestimmt. Für die Untersuchung wird eine Hallsonde, wie in Abbildung 3 dargestellt, genau in der Mitte der Spule so platziert, dass deren magnetisches Feld die Sonde (annähernd) homogen durchsetzt.

nrw abi physik lk 2021 ht 2 abbildung 3 skizze der ladespule

Abbildung 3: Skizze der Ladespule mit der Position der Hallsonde in der Mitte des Kreuzes

Bei der Durchführung des Experiments wird die Stärke $B$ des magnetischen Feldes für verschiedene Stromstärken $I$ in der Ladespule gemessen. Es ergeben sich die Messwerte in der folgenden Tabelle.

$\color{#fff}{I(}$ in $\color{#fff}{A)}$	$\color{#fff}{B(}$ in $\color{#fff}{\mu T)}$
0,00	0,0
0,05	46,5
0,15	115,2
0,25	221,8
0,35	256,3
0,45	381,3
0,55	460,5

Die Messergebnisse sollen im Folgenden ausgewertet werden.

Zeige anhand einer Auswertung aller Messwerte in der Tabelle, dass die Stärke $B$ des Feldes näherungsweise proportional zur Stromstärke $I$ zunimmt, d.h. $B=k_{\exp } \cdot I$ mit dem Proportionalitätsfaktor $k_{\exp }.$
Ermittle mithilfe aller Messwerte in der Tabelle einen Wert für den Proportionalitätsfaktor $k_{\exp }.$

[Ergebnis zum Weiterrechnen: $k_{\exp }=8,27 \cdot 10^{-4} \dfrac{T}{A}$ ]

Die in Aufgabenteil b) verwendete Ladespule besteht aus kreisförmigen Windungen und ist luftgefüllt. Konkret soll sie im Folgenden eine Windungszahl von $n_1=50$ , einen (mittleren) Radius von $R=4,00 \,\text{cm}$ und eine Länge von $l=5,00 \,\text{mm}$ aufweisen. Somit ist die Länge der Spule im Vergleich zum Radius gering. Aufgrund theoretischer Überlegungen kann die Abhängigkeit der Stärke $B$ des von dieser Spule erzeugten Feldes von der Stromstärke $I$ mit folgendem Zusammenhang angegeben werden:

$B=\mu_0 \cdot \dfrac{n_1}{\sqrt{(2 R)^2+l^2}} \cdot I .$

Hierbei ist $\mu_0=4 \pi \cdot 10^{-7} \dfrac{ N }{ A ^2}$ die sogenannte magnetische Feldkonstante. Die Gleichung für die Stärke des Feldes muss nicht hergeleitet werden.

Berechne den Proportionalitätsfaktor $k_{\text {theo }}=\mu_0 \cdot \dfrac{n_1}{\sqrt{(2 R)^2+l^2}}$ für den theoretisch geltenden Zusammenhang.
Bestimme die prozentuale Abweichung des Wertes $k_{\exp }$ aus Aufgabenteil 1b) von dem Wert für $k_{\text {theo }}$ .

Die Stärke des Feldes einer (idealisierten) Spule der Länge $l=0$ wird durch die einfachere Gleichung $B=\mu_0 \cdot \dfrac{n_1}{2 R} \cdot I$ beschrieben.

Beurteile, inwieweit die Vereinfachung der Gleichung im hier vorliegenden Fall zu rechtfertigen ist.

(10 + 6 + 8 Punkte)

Teilaufgabe 2: Untersuchung der Spannung an der Empfängerspule

Das Grundprinzip der kontaktlosen, induktiven Energieübertragung zwischen der Ladespule $L1$ und der Empfängerspule $L2$ im Smartphone ist in Abbildung 4 dargestellt.

Abbildung 4: Prinzip der induktiven Energieübertragung

Die induktive Energieübertragung gelingt mithilfe eines sogenannten Oszillators, der mit einer Spannung versorgt wird und einen periodisch veränderlichen Strom der Stärke $I_{ L 1}$ in der Ladespule $L1$ hervorruft. An der Empfängerspule $L2$ lässt sich dann eine Spannung $U_{ L 2}$ messen, die mit einem Gleichrichter so aufbereitet wird, dass ein Akku geladen werden kann.

Erkläre ausgehend von einem möglichst allgemeinen Induktionsprinzip, warum eine Spannung $U_{ L 2}$ an der Empfängerspule $L2$ messbar ist.
Begründe, warum eine induktive Energieübertragung mit einem zeitlich konstanten magnetischen Feld in der Ladespule $L1$ nicht möglich ist.

Die Spannung an der Empfängerspule L2 kann durch die Gleichung $U_{ L 2}=-n_2 \cdot A \cdot \dot{B}$ beschrieben werden.

Erkläre die in der Gleichung vorkommenden physikalischen Größen in Bezug auf Abbildung 4.

In der Ladespule $L1$ gemäß Abbildung 4 können verschiedene zeitliche Stromstärkeverläufe realisiert werden. In Abbildung 5 ist ein dreieckförmiger Verlauf der Stromstärke $I_{ L 1}$ in der Ladespule dargestellt.

Abbildung 5: Dreieckförmiger Verlauf der Stromstärke $I_{L1}$ in der Ladespule

Hieraus resultiere die Stärke $B$ des magnetischen Feldes in der Ladespule L1 entsprechend den Angaben in Aufgabenteil 1b). Die Empfängerspule L2 besitzt $n_2=30$ Windungen und eine Querschnittsfläche mit einem Inhalt von $A=60,0 \,\text{cm} ^2$ .

Berechne mithilfe der in Aufgabenteil a) angegebenen Gleichung die Spannung $U_{ L 2}$ an der Empfängerspule $L2$ für eine steigende Flanke in Abbildung 5.
Zeichne unter Berücksichtigung der in Abbildung 5 rechts vorgegebenen Achse den zeitlichen Verlauf der Spannung $U_{ L 2}$ in das Diagramm ein.
Hinweis: Die Achse rechts muss passend skaliert werden.

In Abbildung 6 ist ein sinusförmiger Verlauf der Stromstärke $I_{ L 1}$ in der Ladespule $L1$ dargestellt.

$Abbildung 6: Sinusförmiger Verlauf der Stromstärke <img alt = '$I_{L1}$' style='vertical-align: -0.671ex; height: 2.509ex; width: 3.197ex;' class='mathjax-formula' src='https://www.schullv.de/resources/formulas/afd3470b6ccd3e3da1aad11778bde2baa4674b7aac7a3b9a08e09cedf370e0fd_light.svg'/> in der Ladespule$

Abbildung 6: Sinusförmiger Verlauf der Stromstärke $I_{L1}$ in der Ladespule

Die Periodendauer des sinusförmigen Stromstärkesignals in Abbildung 6 werde mit $T$ bezeichnet, die Amplitude der Stromstärke mit $I_{ L 1,0}$ . Aus der Stromstärke resultiere die Stärke $B$ des magnetischen Feldes in der Ladespule $L1$ entsprechend den Angaben in Aufgabenteil 1c).

Zeige, dass sich die Spannung an der Empfängerspule L2 durch die Gleichung

Gleichung anzeigen

$U_{ L 2}(t)=-\mu_0 \cdot \dfrac{n_1 \cdot n_2 \cdot A}{\sqrt{(2 R)^2+l^2}} \cdot \dfrac{2 \pi}{T} \cdot I_{ L 1,0} \cdot \cos \left(\dfrac{2 \pi}{T} \cdot t\right)$

beschreiben lässt.
Bestimme anhand des Diagramms in Abbildung 6 die Werte für $T$ und $I_{ L 1,0}$ .
Berechne die Amplitude $U_{ L 2,0}$ der Spannung an der Empfängerspule $L2.$

Mit dem Gleichrichter (siehe Abbildung 4) bleiben alle negativen Spannungen $U_{ L 2}$ ohne Einfluss, d.h. die am Akku anliegende Spannung $U_{\text {Akku }}$ beträgt dann jeweils Null, während alle positiven Spannungen nicht beeinflusst werden (siehe Abbildung 7).

Abbildung 7: Zur Wirkungsweise eines Gleichrichters

Im Folgenden soll der dreieckförmige Verlauf der Stromstärke in Abbildung 5 mit dem sägezahnförmigen Verlauf in Abbildung 8 verglichen werden.

Abbildung 8: Weiterer Verlauf der Stromstärke IL1 in der Ladespule, sägezahnförmig

Gehe davon aus, dass eine fallende Flanke in den Abbildungen 5 und 8 jeweils zu einer positiven Induktionsspannung führt und dass ein Gleichrichter wie oben beschrieben auf die induzierte Spannung $U_{ L 2}$ angewendet wird.

Vergleiche die beiden zeitlichen Verläufe in den Abbildungen 5 und 8 im Hinblick auf die zum Laden eines Smartphones zur Verfügung stehende Spannung $U_{Akku}.$
Entscheide anhand einer quantitativen Betrachtung, welcher der beiden zeitlichen Verläufe besser zum Laden eines Smartphones geeignet ist.

(8 + 7 + 9 + 6 Punkte)

Teilaufgabe 3: Einfluss der Position des Smartphones auf der Ladestation

Bei der alltäglichen Verwendung induktiver Ladestationen kann es geschehen, dass das Smartphone nicht immer genau mittig auf die Ladestation gelegt wird. Viele Nutzerinnen und Nutzer verwenden außerdem zum Schutz ihres Smartphones eine mehr oder weniger dicke Schutzhülle. Beides trägt zu einer nicht mehr optimalen Positionierung des Smartphones auf der Ladestation bei.

Erläutere anhand des (allgemeinen) Induktionsprinzips, welche Auswirkungen dieser Umstand auf den Ladevorgang des Smartphones haben kann.

Intelligente Ladestationen erkennen eine nicht optimale Positionierung des Smartphones auf der Ladestation und können darauf reagieren. Betrachte im Folgenden das Beispiel des sägezahnförmigen Verlaufs der Stromstärke in der Ladespule in Abbildung 8 und gehe davon aus, dass sich die Empfängerspule in einem Bereich mit nur $75 \,\%$ der maximal möglichen Stärke des magnetischen Feldes befindet.

Ermittle mithilfe von Abbildung 8 den Wert, auf den die maximale Stromstärke $I_{ L 1, \max }$ in der Ladespule erhöht werden muss, um den Effekt der nicht optimalen Positionierung auszugleichen.

Unter der Annahme, dass die maximale Stromstärke bauartbedingt nicht erhöht werden kann, besteht auch anderweitig noch die Möglichkeit, den Ladevorgang zu optimieren.

Nenne eine weitere Größe, die zur Optimierung des Ladevorgangs durch die zeitliche, elektronische Steuerung der Ladestation beeinflusst werden kann.
Ermittle mithilfe von Abbildung 8 einen Wert für diese Größe, um den Effekt der nicht optimalen Positionierung auszugleichen.

(4 + 7 Punkte)

Teillösung 1: experimentelle und theoretische Untersuchungen zu induktiven Vorgängen

Skizzierung der Elektronenverteilung sowie die auf das Elektron wirkenden Kräfte

Erläutereung der Ergänzungen

Die Elektronen erfahren im Hallplättchen senkrecht zum magnetischen Feld anhand der Drei-Finger-Regel der linken Hand eine Lorentzkraft $\vec{F}_{\text{L}}$ nach unten und werden so von ihrer ursprünglichen Bahn abgelenkt. Da hierdurch die obere Seite des Hallplättchens positiv und die untere Seite negativ geladen wird, erfahren die Leitungselektronen im Plättchen zusätzlich zur Lorentzkraft auch noch eine elektrische Kraft $\vec{F}_{\text {el }}$ , welche der Lorentzkraft genau entgegengerichtet ist. Die Verschiebung der Leitungselektronen erfolgt so lange, bis die elektrische Kraft so groß ist, dass sie die Lorentzkraft gerade kompensiert, bis sich also das Kräftegleichgewicht $\vec{F}_{\text{el}}=-\vec{F}_{\text{L}}$ einstellt.

Erklärung des Funktionsprinzipes einer Hallsonde im Hinblick auf die Messung der Stärke $B$ des magnetischen Feldes

Eine Hallsonde besteht aus einem stromdurchflossenem Leiter, der einem magnetischen Feld ausgesetzt wird. Wie oben beschrieben führt der Elektronenüberschuss auf der einen Leiterseite bzw. der Elektronenmangel auf der anderen zur messbaren Hallspannung $U_{\text {Hall }}$ zwischen den gegenüberliegenden Seiten, die ein Maß für die Stärke $B$ des magnetischen Feldes ist.

Zeigen der Proportionalität der Stärke $B$ des Feldes zur Stromstärke $I$

Eintrag der gegebenen Werte in ein Koordinatensystem

Es ist zu erkennen, dass die Messpunkte in guter Näherung auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. (Die Regressionsgerade weist ein relativ hohes Bestimmtheitsmaß auf und verläuft ziemlich genau durch den Ursprung.) Damit ist der proportionale Zusammenhang zwischen der Stärke $B$ des magnetischen Feldes und der elektrischen Stromstärke $I$ näherungsweise nachgewiesen.

Ermittlung des Proportionalitätsfaktor $k_{\exp }.$

Die Steigung der Ausgleichsgeraden entspricht unter Berücksichtigung der Maßeinheiten dem Proportionalitätsfaktor $k_{\text {exp }}$ :

$\begin{array}[t]{rll} k_{\exp }&=& 827 \;\dfrac{\mu\text{T}}{\text{A}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8,27 \cdot 10^{-4} \;\dfrac{\text{T}}{\text{A}} \end{array}$

Berechnung des Proportionalitätsfaktor $k_{\text {theo }}$

Rechenweg anzeigen

$k_{\text {theo }}= 7,84 \cdot 10^{-4} \;\dfrac{\text{T}}{\text{A}}$

Bestimmung der prozentualen Abweichung des Wertes $k_{\exp }$

Die Prozentuale Abweichung beträgt

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{k_{\text{exp}}-k_{\text{theo}}}{k_{\text{theo}}}&=& \dfrac{8,27-7,84}{7,84}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0.055 \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5,5 \,\% \end{array}$

Der experimentell ermittelte Wert weicht um etwa $5,5 \,\%$ vom erwarteten theoretischen Wert ab.

Beurteilung der Vereinfachung der Gleichung

Für die flache Spule gilt:

$\begin{array}[t]{rll} B&=& \mu_0 \cdot \dfrac{n_1}{2 R} \cdot I &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& k_{\text{theo}} \cdot I \end{array}$

Der Poportionalitätsfaktor der flachen Spule beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} k_{\text{theo}}&=& \mu_0 \cdot \dfrac{n_1}{2 R}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4 \pi \cdot 10^{-7} \;\dfrac{\text{N}}{\text{A}^2} \cdot \dfrac{50}{2 \cdot 0,0400 \;\text{m}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,85 \cdot 10^{-4} \;\dfrac{\text{T}}{\text{A}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Dies entspricht einer sehr geringen Abweichung von dem obigen Wert. Die einfachere Gleichung kann hier somit in geeigneter Weise verwendet werden.

Teillösung 2: Untersuchung der Spannungen an der Empfängerspule

Erklärung , warum eine Spannung $U_{ L 2}$ an der Empfängerspule $L2$ messbar ist.

Grundlage der induktiven Energieübertragung ist das (Faraday'sche) Induktionsgesetz, welches besagt, dass Induktionsspannungen auftreten, wenn sich das Produkt aus der Stärke des (homogenen) magnetischen Feldes und dem Inhalt der senkrecht vom Feld durchsetzten Fläche zeitlich ändert. Das Produkt kann sich ändern, wenn sich mindestens eine der beiden eingehenden Größen ändert. Aufgrund der Verwendung des Oszillators wird ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld erzeugt, das somit eine Induktionsspannung in der Empfängerspule $L2$ des Smartphones hervorruft.

Begründung, warum eine induktive Energieübertragung mit einem zeitlich konstanten magnetischen Feld in der Ladespule $L1$ nicht möglich ist.

Ist das magnetische Feld zeitlich konstant, so liegt bei unveränderlicher Fläche der Spule keine zeitliche Änderung der Stärke des Feldes vor, und es entsteht keine Induktionsspannung.

Erklärung der physikalischen Größen

Im angegebenen Induktionsgesetz sind $n_2$ und $A$ die Windungszahl bzw. der Inhalt der Querschnittsfläche der Empfängerspule $L2.$ $\dot{B}$ ist die Änderungsrate der Stärke des magnetischen Feldes, das von der Ladespule $L1$ erzeugt wird.

Berechnung der Spannung $U_{ L 2}$

Für die induzierte Spannung gilt nach Aufgabenteil a) die Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{L} 2}&=& -n_2 \cdot A \cdot \dot{B} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -n_2 \cdot A \cdot k_{\exp } \cdot \dot{I}_{\text{L} 1} \end{array}$

Bei einem dreieckförmigen Verlauf besitzt die steigende Flanke eine konstante Steigung. Für die Induktionsspannung gilt daher im gesamten Intervall:

Rechenweg anzeigen

$U_{\text{L} 2}= -4,47 \;\text{V}$

Zeichnung des zeitlichen Verlaufs der Spannung $U_{ L 2}$

Die Flanken besitzen betragsmäßig jeweils die gleiche Steigung, allerdings mit aufeinanderfolgend abwechselndem Vorzeichen. Im $t-U_{\text{L} 2}$ -Diagramm ergibt sich damit das folgende Rechtecksignal:

Gleichung der Spannung an der Empfängerspule $L2$

Für die induzierte Spannung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} U_{\text{L} 2}&=& -n_2 \cdot A \cdot \dot{B} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -n_2 \cdot A \cdot k_{\text {theo }} \cdot \dot{I}_{\text{L} 1} \end{array}$

Bei einem sinusförmigen Verlauf gilt hier für $I_{\text{L} 1}(t) :$

$\begin{array}[t]{rll} I_{\text{L} 1}(t)&=& I_{\text{L} 1,0} \cdot \sin (\omega \cdot \text{t})& \end{array}$

Für die Ableitung der Stromstärke gilt:

Rechenweg anzeigen

$\dot{I}_{\text{L} 1}(t) =I_{\text{L} 1,0} \cdot \dfrac{2 \pi}{T} \cdot \cos (\dfrac{2 \pi}{T} \cdot \text{t})$

Es gilt außerdem für $k_{\text {theo }}:$

$\begin{array}[t]{rll} k_{\text {theo }}&=& \mu_0 \cdot \dfrac{n_1}{\sqrt{(2 R)^2+l^2}} & \end{array}$

Einsetzen in $U_{\text{L} 2}$ liefert die Gleichung:

Einsetzen liefert die gegebene Gleichung:

Rechenweg anzeigen

$U_{\text{L} 2}= ...$

Bestimmung der Werte für $T$ und $I_{ L 1,0}$

Durch Ablesen der Werte im Diagramm in Abbildung 6 erhält man $T=50,0 \mu \;\text{s}$ und $I_{\text{L} 1,0}=300 \;\text{mA}$

Berechnung der Amplitude $U_{ L 2,0}$

Die Amplitude berechnet zu:

Rechenweg anzeigen

$U_{\text{L} 2,0}= 5,32 \;\text{V}$

Vergleiche der beiden zeitlichen Verläufe

Durch den Gleichrichter ist die Spannung am Akku bei negativer Induktionsspannung an der Empfängerspule gleich Null. Durch einen Vergleich der beiden Stromverläufe erkennt man, dass in den für die Aufladung des Akkus relevanten Zeitintervallen die Änderungsraten der Stromstärke und dadurch auch die Änderungsraten der Stärke des magnetischen Feldes vom Betrage gleich sind, sodass die gleiche Spannung $U_{\text{L} 2}$ induziert wird und damit die gleiche Akkuspannung $U_{\text{Akku}}$ zur Verfügung steht.

Entscheidung für den besser geeignten zeitlichen Verlauf

Aufgrund der gleichen Akkuspannung $U_{\text{Akku}}$ ist dann derjenige Verlauf der effektivere, bei dem diese Spannung im Verhältnis zur Periodendauer über die längere Zeitspanne anliegt. Durch Ablesen erhält man für dieses Verhältnis $x$ folgende Werte:

Für den Dreieckförmigen Verlauf aus Abbildung 5 gilt:

Rechenweg anzeigen

$x = 0,5$

Für den Sägezahnförmigen Verlauf in Abbildung 8 gilt:

Rechenweg anzeigen

$x= 0,8$

Der sägezahnförmige Verlauf in Abbildung 8 ist somit besser geeignet, da $80 \%$ statt nur $50 \%$ der Ladezeit tatsächlich zum Laden des Smartphones verwendet werden.

Teillösung 3: Einfluss der Position des Smartphones auf der Ladestation

Aufgrund der Geometrie der Ladespule ist das magnetische Feld nicht homogen und nimmt (räumlich) sowohl in vertikaler als auch in horizontaler Richtung (stark) ab. Liegen Lade und Empfängerspule genau übereinander, so ist der Einfluss der induktionsrelevanten Größen, d. h. die Änderungsrate der Stärke des magnetischen Feldes und die vom Feld senkrecht durchsetzte Fläche, maximal und damit auch gemäß dem Induktionsgesetz die entstehende Induktionsspannung. Liegt das Smartphone horizontal bzw. vertikal verschoben auf der Ladestation, so ist dieser Einfluss kleiner, was zu einer kleineren Induktionsspannung führt und damit einen längeren Ladevorgang bzw. ein unvollständiges Laden des Smartphones bedeuten kann.

Ermittlung des Wertes zum Ausfleich des Effektes der nicht optimalen Positionierung

Nimmt die Stärke des magnetischen Feldes im Bereich der Empfängerspule auf $75 \%$ ab, so reduziert sich auch die Änderungsrate des magnetischen Feldes und damit die Induktionsspannung um denselben Wert. Mit der Formel zur Grundwertberechnung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} G &=& \dfrac{100\cdot W}{p}&\quad \scriptsize \mid\; G = I_{\text{L} 1, \max } \\[5pt] I_{\text{L} 1, \max }&=& \dfrac{100\cdot 600 \;\text{mA} }{75} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3} \cdot 600 \;\text{mA} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 800 \;\text{mA} \end{array}$

Die Abnahme der Stärke des magnetischen Feldes im Bereich der Empfängerspule auf $75 \%$ lässt sich dadurch kompensieren, dass die maximale Stärke des Feldes der Ladespule um den Faktor $\dfrac{4}{3}$ erhöht wird. Dies ist durch eine Erhöhung der maximalen Stromstärke um denselben Faktor zu erreichen, d. h. die maximale Stromstärke bei dem sägezahnförmigen Verlauf in Abbildung 8 beträgt dann $800 \;\text{mA}.$

Nennung weiterer Größen

Eine größere Induktionsspannung kann bei unveränderter maximaler Stromstärke $I_{\text{L} 1, \max }$ auch durch eine Erhöhung der Frequenz $f$ bzw. der Periodendauer $T$ der Stromstärke $I_{\text{L} 1}$ erreicht werden. Damit lässt sich auch die Änderungsrate der Stärke des Feldes und somit die Induktionsspannung erhöhen.

Ermittlung eines Wertes für diese Größe

Im konkreten Fall muss die Periodendauer um den Faktor $\frac{3}{4}$ reduziert werden oder die Frequenz entsprechend erhöht herhöht.

Für die Reduzierung der Periodendauer gilt:

$\begin{array}[t]{rll} T&=& \dfrac{3}{4}\cdot 50 \;\mu \text{s} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 37,5 \;\mu \text{s} \end{array}$

Für die Erhöhung der Frequenz gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f&=& \dfrac{1}{T}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{37,5 \mu \text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0.0267 \cdot \dfrac{1}{\mu \text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0.0267 \cdot \dfrac{1}{10^{-6}\;\text{s}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0.0267 \cdot 10^{6}\;\text{Hz} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 26,7 \cdot 10^{3}\;\text{Hz} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 26,7 \;\text{kHz} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$