HT 1 — Ladestation einer elektrischen Zahnbürste

Kabelloses Laden ist bei elektrischen Zahnbürsten eine weitverbreitete Technik. Realisiert wird dies mit einer Anordnung gemäß Material 1.

Erläutere die Entstehung der Spannung in der Sekundärspule gemäß Material 1, beginne die Darstellung mit der sich verändernden Stromstärke in der Primärspule.

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In einem Modellversuch gemäß Material 2 werden der Aufbau und die Funktionsweise der elektrischen Zahnbürste nachgestellt.

Leite aus dem Induktionsgesetz die Beziehung $Formula: U_{\mathrm{max}} = N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega$ für den Maximalwert $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ der Spannung an der Sekundärspule im Modellversuch her.

Hinweis: Verwende dabei, dass die Ableitung von $Formula: \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: \sin(\omega \cdot t)$ nach der Zeit gegeben ist als $Formula: \omega \cdot \cos(\omega \cdot t).$ $Formula: \omega \cdot \cos(\omega \cdot t).$

Berechne unter Verwendung von Material 2 einen möglichst genauen Wert für $Formula: B_{\mathrm{max}}$ $Formula: B_{\mathrm{max}}$ bei diesem Versuch.

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Der Zusammenhang zwischen der am Frequenzgenerator einstellbaren Frequenz Formula: f des Wechselstroms in der Primärspule und der maximalen Spannung $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ an der Sekundärspule soll experimentell untersucht werden.

Plane ein dafür geeignetes Experiment.

Hinweis: Zur Planung gehört eine beschriftete Schaltskizze für den Aufbau sowie die Beschreibung der Durchführung des Experiments.

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Mögliche Messergebnisse eines solchen Experiments mit sinusförmigem Wechselstrom sind in der Tabelle zusammengestellt (siehe Material 3a).

Zeichne ein Diagramm, das die Spannung $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ an der Sekundärspule in Abhängigkeit von der verwendeten Frequenz Formula: f darstellt.

Begründe mithilfe aller Messwerte den Zusammenhang $Formula: U_{\mathrm{max}}=k \cdot f,$ $Formula: U_{\mathrm{max}}=k \cdot f,$ wobei Formula: k die Proportionalitätskonstante ist.

Ermittle unter Berücksichtigung aller Messwerte einen Wert für Formula: k.

In Material 3b sind Messunsicherheiten bei der Auswertung berücksichtigt worden.

Erläutere, warum dann bei der Bestimmung der Proportionalitätskonstante Formula: k eine Unsicherheit $Formula: \Delta k$ $Formula: \Delta k$ anzugeben ist.

Prüfe mithilfe von Abbildung 3 in Material 3b, ob eine Angabe der Unsicherheit mit $Formula: \Delta k = 2 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{Vs}$ $Formula: \Delta k = 2 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{Vs}$ gerechtfertigt ist.

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In Material 4 sind im Internet recherchierte Informationen zu elektrischen Zahnbürsten gesammelt.

Gib eine Aussage des Technik-Magazins gemäß Material 4a an, bei der die Fachsprache nicht korrekt verwendet wird.

Prüfe auf Grundlage der statistischen Informationen in Material 4b zwei Aussagen des Technik-Magazins gemäß Material 4a hinsichtlich inhaltlicher Korrektheit.

Schätze die notwendige Leistung für den Betrieb aller elektrischen Zahnbürsten in Deutschland ab und gib an, wie diese bereitgestellt werden könnte.

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Material 1: Ladevorgang bei einer elektrischen Zahnbürste

Abbildung 1: Schematische Darstellung einer elektrischen Zahnbürste über der Ladestation

Bei einer elektrischen Zahnbürste befindet sich in der Ladestation eine Primärspule mit Eisenkern, unten in der Zahnbürste befindet sich eine Sekundärspule. Liegt an der Primärspule eine Wechselspannung an und ist das untere Ende der Zahnbürste und damit die Sekundärspule auf den Eisenkern gesteckt, wird der Akku über die Sekundärspule und eine geeignete elektrische Schaltung aufgeladen.

Material 2: Beispielhafte Messkurven für einen Modellversuch

Der prinzipielle Aufbau für den Ladevorgang einer elektrischen Zahnbürste gemäß Abbildung 1 in Material 1 wird in einem Modellversuch experimentell mithilfe zweier Spulen mit einem gemeinsamen Eisenkern realisiert, wobei die Spulen jeweils die Windungszahl Formula: 𝑁 = 100 und die Querschnittsfläche $Formula: 𝐴 = 15,0 \; \text{cm}^2$ $Formula: 𝐴 = 15,0 \; \text{cm}^2$ besitzen. Die Primärspule ist mit einem Frequenzgenerator verbunden, also einer Spannungsquelle mit einstellbarer Frequenz Formula: 𝑓.

Es wird angenommen, dass die magnetische Flussdichte Formula: 𝐵 in der Sekundärspule näherungsweise sinusförmig mit der Kreisfrequenz $Formula: \omega$ $Formula: \omega$ und dem Maximalwert $Formula: 𝐵_\text{max}$ $Formula: 𝐵_\text{max}$ ist. Abbildung 2 zeigt beispielhaft für eine bestimmte Frequenz Formula: 𝑓 zwei Messkurven zum Modellversuch.

Zeitliche Verläufe von Stromstärke und Spannung

Abbildung 2: Zeitliche Verläufe von Stromstärke $Formula: \small{I}$ $Formula: \small{I}$ in der Primärspule und Spannung $Formula: \small{U}$ $Formula: \small{U}$ an der Sekundärspule

Material 3: Messwerte zum Experiment

3a: Messwerttabelle

$Formula: \boldsymbol{f}$ $Formula: \boldsymbol{f}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Hz}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{Hz}}$	$Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{max}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\mathrm{max}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{V}}$

Tabelle: Messergebnisse für den Zusammenhang zwischen der Frequenz $Formula: \small{𝑓}$ $Formula: \small{𝑓}$ und der Spannung $Formula: \small{U_{\mathrm{max}}}$ $Formula: \small{U_{\mathrm{max}}}$

3b: Berücksichtigung von Messunsicherheiten

Im Experiment werden die Frequenzen Formula: f und die Spannungen $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ mit einer Unsicherheit von $Formula: \Delta f = 1\;\mathrm{Hz}$ $Formula: \Delta f = 1\;\mathrm{Hz}$ bezüglich der Frequenz bzw. $Formula: \Delta U = 0,01\;\mathrm{V}$ $Formula: \Delta U = 0,01\;\mathrm{V}$ bezüglich der Spannung abgelesen. Werden diese Messunsicherheiten berücksichtigt, muss bei der Bestimmung der Proportionalitätskonstante Formula: k ebenfalls eine Unsicherheit $Formula: \Delta k$ $Formula: \Delta k$ angegeben werden.

Abbildung 3 stellt unter Berücksichtigung der Messunsicherheiten die beiden Geraden dar, die die Steigungen $Formula: (k + \Delta k)$ $Formula: (k + \Delta k)$ und $Formula: (k - \Delta k)$ $Formula: (k - \Delta k)$ aufweisen. Aus den Steigungen kann somit auf die Unsicherheit $Formula: \Delta k$ $Formula: \Delta k$ geschlossen werden.

Abbildung 3: Geraden unter Berücksichtigung der Messunsicherheiten mit den Steigungen $Formula: \small{k \pm \Delta k}$ $Formula: \small{k \pm \Delta k}$

Material 4: Rechercheergebnisse zu elektrischen Zahnbürsten aus dem Internet

4a: Drei Aussagen eines Technik-Magazins zum Ladegerät

„Ladegeräte von elektrischen Zahnbürsten können bis zu $Formula: 45\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 45\;\mathrm{kWh}$ jährlich verbrauchen, sollten sie dauerhaft eingesteckt sein.“
„Da die Zahnbürste permanent Strom verbraucht, wenn sie in der Ladestation steht, sollten Sie die Zahnbürste nur laden, wenn sie leer ist […].“
„Befolgen Sie dies […] und der jährliche Stromverbrauch Ihrer elektrischen Zahnbürste wird Sie nicht mehr als wenige Euro kosten.“

4b: Statistische Informationen

Für den üblichen täglichen Einsatz muss dem Akku einer elektrischen Zahnbürste eine Energiemenge in der Größenordnung von $Formula: 300\;\mathrm{kJ}$ $Formula: 300\;\mathrm{kJ}$ im Monat zugeführt werden.
Je nach Vertrag können Kosten für elektrische Energie für private Haushalte etwa Cent pro $Formula: \text{kWh}$ $Formula: \text{kWh}$ betragen.
Etwa $Formula: 40 \%$ $Formula: 40 \%$ aller ca. 80 Millionen deutschen Bürger verwenden eine elektrische Zahnbürste.
Ein Großkraftwerk stellt eine elektrische Leistung von etwa einem Gigawatt bereit, eine große Windkraftanlage einige Megawatt, eine Photovoltaikanlage auf einem Einfamilienhaus einige Kilowatt.

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Sobald eine Veränderung der Stromstärke in der Primärspule auftritt, resultiert dies unmittelbar in einer sich verändernden magnetischen Flussdichte Formula: B im Bereich der Primärspule. Dies lässt sich physikalisch dadurch begründen, dass jeder elektrische Stromfluss mit einem Magnetfeld verknüpft ist, dessen magnetische Flussdichte von der Stromstärke abhängt.

Da sich dieses Magnetfeld, welches durch die Primärspule erzeugt wird, über den Eisenkern bis in den Bereich der Sekundärspule erstreckt, ändert sich auch dort die magnetische Flussdichte.

Gemäß des Induktionsgesetzes führt genau diese kontinuierliche Änderung der magnetischen Flussdichte zu einer Induktionsspannung in der Sekundärspule.

Da die vom Magnetfeld durchsetzte Querschnittsfläche Formula: A zeitlich konstant bleibt, reduziert sich das allgemeine Induktionsgesetz $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) = -N \cdot \dot{\Phi}$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) = -N \cdot \dot{\Phi}$ auf die Betrachtung der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte:

$Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) = -N \cdot A \cdot \dot{B}(t)$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) = -N \cdot A \cdot \dot{B}(t)$

Gemäß Material 2 wird von einem sinusförmigen Verlauf der magnetischen Flussdichte der Form $Formula: B(t) = B_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ $Formula: B(t) = B_{\mathrm{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t)$ ausgegangen, daraus folgt für die erste Ableitung:

$Formula: \dot{B}(t) = B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t).$ $Formula: \dot{B}(t) = B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t).$

Daraus folgt für $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) \text{:}$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) \text{:}$

$Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) = -N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t)$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) = -N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t)$

Entsprechend Abbildung 2 gilt für die Induktionsspannung außerdem $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) = -U_{\mathrm{max}} \cdot \cos(\omega \cdot t).$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}(t) = -U_{\mathrm{max}} \cdot \cos(\omega \cdot t).$

Das kann gleichgesetzt werden:

$Formula: \begin{array}{rcl} -U_{\mathrm{max}} \cdot \cos(\omega \cdot t) & = & -N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt] U_{\mathrm{max}} & = & N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} -U_{\mathrm{max}} \cdot \cos(\omega \cdot t) & = & -N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \\[5pt]&\phantom{=}& \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t) \\[5pt] U_{\mathrm{max}} & = & N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcl} -U_{\mathrm{max}} \cdot \cos(\omega \cdot t) & = & -N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t) \quad&\mid \cdot \dfrac{-1}{\cos(\omega \cdot t)} \\[5pt] U_{\mathrm{max}} & = & N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} -U_{\mathrm{max}} \cdot \cos(\omega \cdot t) & = & -N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t) \quad&\mid \cdot \dfrac{-1}{\cos(\omega \cdot t)} \\[5pt] U_{\mathrm{max}} & = & N \cdot A \cdot B_{\mathrm{max}} \cdot \omega \end{array}$

Aus Abbildung 2 können die Periodendauer der Schwingung und die Amplitude der Spannung mit ca. $Formula: T = 20 \;\mathrm{ms}$ $Formula: T = 20 \;\mathrm{ms}$ und $Formula: U_{\mathrm{max}} = 0,17 \;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{max}} = 0,17 \;\mathrm{V}$ bestimmt werden.

Zusätzlich sind die Windungszahl Formula: N = 100 sowie die Querschnittsfläche $Formula: A = 15 \;\mathrm{cm}^2$ $Formula: A = 15 \;\mathrm{cm}^2$ gegeben, während sich die Kreisfrequenz über den Zusammenhang $Formula: \omega = \tfrac{2\pi}{T}$ $Formula: \omega = \tfrac{2\pi}{T}$ bestimmen lässt:

$Formula: \begin{array}{rcl} B_{\max} & = & \dfrac{U_{\max}}{N \cdot A \cdot \omega} = \dfrac{U_{\max}}{N \cdot A \cdot \tfrac{2\pi}{T}} \\[5pt] & = & \dfrac{0,17 \; \mathrm{V}}{100 \cdot 15 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{m}^{2} \cdot \tfrac{2\pi}{20 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{s}}} \\[5pt] & \approx & 3,6 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{T} = 3,6 \; \mathrm{mT} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} B_{\max} & = & \dfrac{U_{\max}}{N \cdot A \cdot \omega} = \dfrac{U_{\max}}{N \cdot A \cdot \tfrac{2\pi}{T}} \\[5pt] & = & \dfrac{0,17 \; \mathrm{V}}{100 \cdot 15 \cdot 10^{-4} \; \mathrm{m}^{2} \cdot \tfrac{2\pi}{20 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{s}}} \\[5pt] & \approx & 3,6 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{T} = 3,6 \; \mathrm{mT} \end{array}$

Schaltskizze:

Schematische Darstellung eines Transformators mit Primär- und Sekundärspule, Eisenkern, Frequenzgenerator und Voltmeter.

Im Experiment werden schrittweise verschiedene Werte für die Frequenz Formula: f am Frequenzgenerator der Primärspule eingestellt und die jeweils resultierende Maximalspannung $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ an der Sekundärspule gemessen und protokolliert.

Diagramm:

Durch die Messpunkte kann eine Ausgleichsgerade gelegt werden, die zu einer Ursprungsgeraden passt. Das deutet auf einen proportionalen Zusammenhang zwischen der Frequenz Formula: f und dem Maximalwert $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ $Formula: U_{\mathrm{max}}$ der Spannung hin.

Mithilfe eines grafikfähigen Taschenrechners (GTR) kann eine grafische Auswertung mit einer linearen Regression durchgeführt werden, diese liefert für die Proportionalitätskonstante $Formula: k\text{:}$ $Formula: k\text{:}$

$Formula: k = 3,4 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V \cdot s}$ $Formula: k = 3,4 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V \cdot s}$

Erläuterung der Unsicherheit

Aufgrund unvermeidbarer Messunsicherheiten bei der Messung der Frequenz Formula: f sowie der maximalen Spannung $Formula: U_{\mathrm{max}},$ $Formula: U_{\mathrm{max}},$ ergibt sich bei der Bestimmung der Proportionalitätskonstante Formula: k eine gewisse Unsicherheit. Diese muss bei der Bestimmung von zwingend berücksichtigt werden, daraus resultiert zwangsläufig eine spezifische Unsicherheit $Formula: \Delta k$ $Formula: \Delta k$ für den berechneten Proportionalitätsfaktor Formula: k.

Prüfen der angegebenen Unsicherheit

Zur konkreten Berechnung der minimalen und maximalen Steigung (Grenzgeraden) werden jeweils zwei geeignete Datenpaare einer Geraden aus Abbildung 3 herausgelesen:

Für die untere Grenzsteigung ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rcl} (k - \Delta k) & = & \dfrac{(1,50 - 0,70) \;\mathrm{V}}{(45 - 20) \;\mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & \dfrac{0,80 \;\mathrm{V}}{25 \;\mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & 3,2 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V \cdot s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} (k - \Delta k) & = & \dfrac{(1,50 - 0,70) \;\mathrm{V}}{(45 - 20) \;\mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & \dfrac{0,80 \;\mathrm{V}}{25 \;\mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & 3,2 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V \cdot s} \end{array}$

Für die obere Grenzsteigung folgt analog:

$Formula: \begin{array}{rcl} (k + \Delta k) & = & \dfrac{(1,70 - 1,00) \;\mathrm{V}}{(50 - 30) \;\mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & \dfrac{0,70 \;\mathrm{V}}{20 \;\mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & 3,5 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V \cdot s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} (k + \Delta k) & = & \dfrac{(1,70 - 1,00) \;\mathrm{V}}{(50 - 30) \;\mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & \dfrac{0,70 \;\mathrm{V}}{20 \;\mathrm{Hz}} \\[5pt] & = & 3,5 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V \cdot s} \end{array}$

Daraus lässt sich die Unsicherheit $Formula: \Delta k$ $Formula: \Delta k$ ermitteln:

$Formula: \begin{array}{rcl} \Delta k & = & \dfrac{(k + \Delta k) - (k - \Delta k)}{2} \\[5pt] & = & \dfrac{(3,5 - 3,2) \cdot 10^{-2}}{2} \; \mathrm{V \cdot s} \\[5pt] & = & \dfrac{0,3 \cdot 10^{-2}}{2} \; \mathrm{V \cdot s} \\[5pt] & = & 1,5 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{V \cdot s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \Delta k & = & \dfrac{(k + \Delta k) - (k - \Delta k)}{2} \\[5pt] & = & \dfrac{(3,5 - 3,2) \cdot 10^{-2}}{2} \; \mathrm{V \cdot s} \\[5pt] & = & \dfrac{0,3 \cdot 10^{-2}}{2} \; \mathrm{V \cdot s} \\[5pt] & = & 1,5 \cdot 10^{-3} \; \mathrm{V \cdot s} \end{array}$

Eine großzügige Abschätzung dieser Unsicherheit nach oben auf den Wert $Formula: \Delta k = 2 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{V \cdot s}$ $Formula: \Delta k = 2 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{V \cdot s}$ ist somit vollkommen gerechtfertigt.

Fachsprache: „Stromverbrauch“, „ $Formula: 45\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 45\;\mathrm{kWh}$ [Energie] jährlich verbrauchen“ und „leere Zahnbürste“ sind fachsprachlich nicht korrekt.
Inhaltlich: Gemäß 4b werden dem Akku einer elektrischen Zahnbürste in zwölf Monaten eine Energiemenge von insgesamt circa $Formula: 3600\;\mathrm{kJ}$ $Formula: 3600\;\mathrm{kJ}$ an elektrischer Energie zugeführt, also circa $Formula: 1\;\mathrm{kWh}.$ $Formula: 1\;\mathrm{kWh}.$ Die angegebenen $Formula: 45\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 45\;\mathrm{kWh}$ sind damit nicht vereinbar.
Inhaltlich: Mit $Formula: 1\;\mathrm{kWh}$ $Formula: 1\;\mathrm{kWh}$ und angenommenen Cent pro $Formula: \mathrm{kWh}$ $Formula: \mathrm{kWh}$ betragen die Jahreskosten Cent. Die Angabe von wenigen Euro liegt deutlich darüber und ist damit nicht sinnvoll.

Zur Abschätzung der Gesamtleistungsaufnahme in Deutschland werden von $Formula: 32 \cdot 10^6$ $Formula: 32 \cdot 10^6$ elektrischen Zahnbürsten ausgegangen ( $Formula: 40 \mathrm{\%}$ $Formula: 40 \mathrm{\%}$ der Gesamtbevölkerung von $Formula: 80 \cdot 10^6$ $Formula: 80 \cdot 10^6$ Menschen).

In zwölf Monaten werden einer elektrischen Zahnbürste durchschnittlich $Formula: 3600 \;\mathrm{kJ}$ $Formula: 3600 \;\mathrm{kJ}$ an elektrischer Energie zugeführt (siehe Aufgabe 5a)), das entspricht $Formula: 3600 \; \tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{Jahr}}=114 \; \mathrm{mW}.$ $Formula: 3600 \; \tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{Jahr}}=114 \; \mathrm{mW}.$ Multipliziert mit der Gesamtzahl der Geräte in Deutschland ergibt sich eine benötigte Gesamtleistung in der Größenordnung von $Formula: 114 \; \mathrm{mW}\cdot 32 \cdot 10^6 \approx 3,6 \;\mathrm{MW}.$ $Formula: 114 \; \mathrm{mW}\cdot 32 \cdot 10^6 \approx 3,6 \;\mathrm{MW}.$ Diese Leistungsanforderung lässt sich mit einer einzigen Windkraftanlage decken.

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