HT 3 — Ein Interferenzexperiment mit Atomstrahlen

In einem Experiment sollen die Welleneigenschaften von langsamen Rubidium-Atomen mit der Masse $Formula: m = 1,4 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg}$ $Formula: m = 1,4 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg}$ und der Geschwindigkeit $Formula: v = 2,0\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v = 2,0\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ untersucht werden.

Zeige rechnerisch, dass den in dem Experiment verwendeten Rubidium-Atomen eine De-Broglie-Wellenlänge von $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = 2,4\;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = 2,4\;\mathrm{nm}$ zugeordnet werden kann.

Erläutere einen Vorteil von diesen langsamen (im Vergleich zu deutlich schnelleren) Rubidium-Atomen im Hinblick auf die Möglichkeit, Welleneigenschaften in Interferenzexperimenten nachzuweisen.

8 BE

In dem Experiment soll das Verhalten der Rubidium-Atome als Quantenobjekte untersucht werden. Dazu wechselwirken diese Atome mit einer stehenden Lichtwelle. Diese stehende Lichtwelle wird zunächst betrachtet.

Beschreibe anhand von Material 1 die Entstehung der stehenden Lichtwelle.

Ermittle die Wellenlänge des Lasers zur Erzeugung der stehenden Lichtwelle aus Material 1.

7 BE

An der stehenden Lichtwelle kann das Phänomen der Bragg-Reflexion der Rubidium-Atome beobachtet werden. Material 2 zeigt dies schematisch.

Leite die Bragg-Gleichung $Formula: 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi_{{k}}) = k \cdot \lambda_{\mathrm{DB}}$ $Formula: 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi_{{k}}) = k \cdot \lambda_{\mathrm{DB}}$ für das $Formula: k\text{-}$ $Formula: k\text{-}$ te Maximum her.

Der Winkel, den die beiden Teilstrahlen Formula: B und Formula: C bei dem $Formula: k\text{-}$ $Formula: k\text{-}$ ten Maximum einschließen, wird mit $Formula: \beta_k$ $Formula: \beta_k$ bezeichnet.

Ermittle unter Zuhilfenahme der Bragg-Gleichung den kleinsten Wert für den Winkel $Formula: \beta_k.$ $Formula: \beta_k.$

11 BE

Durch Hinzufügen einer weiteren stehenden Lichtwelle unterhalb der bisher betrachteten entsteht ein Interferometer. Material 3 enthält Informationen zu diesem Interferometer.

Werte das Interferenzmuster in Abbildung 3b (in Material 3) im Hinblick auf die Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}}$ der verwendeten Rubidium-Atome aus.

Die Rubidium-Atome befinden sich während der Durchführung des Experiments im Gravitationsfeld der Erde.

Begründe, dass die De-Broglie-Wellenlänge der Rubidium-Atome beim Auftreffen auf dem Detektor kleiner ist als beim Eintritt in das Interferometer.

10 BE

Das hier behandelte Interferenzexperiment mit Atomstrahlen gehört zur Grundlagenforschung im Bereich der Quantenphysik.

Bewerte den Nutzen weiterer Grundlagenforschung im Bereich der Quantenphysik anhand der Informationen aus Material 4.

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Material 1

Zur Erzeugung einer stehenden Lichtwelle wird ein Laser verwendet, der monochromatisches Licht einer bestimmten Wellenlänge $Formula: \lambda_\text{L}$ $Formula: \lambda_\text{L}$ aussendet. Der Strahl des Lasers wird senkrecht auf einen Spiegel gerichtet. An diesem wird der Strahl reflektiert. Abbildung 1 stellt dies schematisch dar.

Schematische Darstellung einer stehenden Lichtwelle zwischen Laser und Spiegel

Abbildung 1: Schematische Darstellung der stehenden Lichtwelle

In dem Bereich zwischen Laser und Spiegel gibt es benachbarte Orte maximaler Helligkeit im Abstand von $Formula: d = 390\;\mathrm{nm}.$ $Formula: d = 390\;\mathrm{nm}.$

Material 2

Der Strahl aus Rubidium-Atomen fällt unter einem geeigneten Winkel $Formula: \varphi_{{k}}$ $Formula: \varphi_{{k}}$ in die stehende Lichtwelle und wird dort an ihr gebeugt (einfallender Atomstrahl). Entsprechend der Interferenz an einem Kristallgitter wird ein Teil des einfallenden Atomstrahls an den „Netzebenen“ der stehenden Lichtwelle Bragg-reflektiert (Teilstrahl Formula: B ). Der andere Teil des einfallenden Atomstrahls passiert die stehende Lichtwelle ohne Ablenkung (Teilstrahl Formula: C ) und schließt mit dem Teilstrahl den Winkel $Formula: \beta_k = 2\cdot \varphi_{{k}}$ $Formula: \beta_k = 2\cdot \varphi_{{k}}$ ein. Abbildung 2 zeigt diesen Prozess schematisch.

Abbildung 2: Schematische Darstellung der Bragg-Reflexion des Atomstrahls

Material 3

Abbildung 3a stellt das Interferometer schematisch dar. Die obere stehende Lichtwelle teilt den Atomstrahl Formula: A gemäß der in Material 2 dargestellten Prozesse in zwei gleich intensive Teilstrahlen Formula: B und Formula: C auf. Diese beiden Teilstrahlen werden mit einer zweiten stehenden Lichtwelle in gleicher Weise erneut in jeweils zwei Komponenten aufgeteilt, wobei in der Abbildung nur die beiden sich nach links ausbreitenden Strahlen, Formula: D und Formula: E, eingezeichnet sind.

Abbildung 3b zeigt das durch die sich in einem Abstand von $Formula: e = 25\;\mathrm{cm}$ $Formula: e = 25\;\mathrm{cm}$ überlappenden Strahlen Formula: D und entstehende Interferenzmuster. Dieses Interferenzmuster kann mit dem Modell des Doppelspalts erklärt werden. Für den in Abbildung 3a eingezeichneten Abstand gilt $Formula: g = 3,1\;\mathrm{\mu m}.$ $Formula: g = 3,1\;\mathrm{\mu m}.$

Das Maximum 0. Ordnung befindet sich bei der Detektorposition $Formula: 0\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 0\;\mathrm{mm}.$


Abbildung 3a	Abbildung 3b
Schematische Darstellung der Entstehung der vier Teilstrahlen (D) bis (G) und am Detektor gemessene Interferenzmuster (Quelle: S. Dürr, T. Nonn & G. Rempe: Origin of quantum-mechanical complementarity probed by a ‚which-way‘ experiment in an atom interferometer, in: Nature, 395 (1998), S. 34; verändert)

Schematische Darstellung: einfallender Strahl, Beugung an zwei Gitterlinien, zwei abgelenkte Strahlen treffen Detektorebene

Interferenzmuster von (D) und (E): Messpunkte und Kurve mit drei Maxima; Achsen: Detektorposition (mm) und registrierte Atome/ms.

Abbildung 3a

Abbildung 3b

Schematische Darstellung der Entstehung der vier Teilstrahlen (D) bis (G) und am Detektor gemessene Interferenzmuster

(Quelle: S. Dürr, T. Nonn & G. Rempe: Origin of quantum-mechanical complementarity probed by a ‚which-way‘ experiment in an atom interferometer, in: Nature, 395 (1998), S. 34; verändert)

Material 4

Auszug aus einem Beitrag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften (veröffentlicht am 05.08.2021):

Was haben quantenphysikalische Anwendungen mit Grundlagenforschung zu tun?

Es gibt keine technologische Innovation ohne das Fundament der Grundlagenforschung. Es gibt noch eine Menge zu entdecken. Etwa, wie man ein einzelnes Teilchen nicht nur verstehen, sondern kontrollieren und einsetzen kann. Der Fortschritt geht sehr schnell voran und die wissenschaftlichen Instrumente, die wir jetzt zur Verfügung haben, sind im Vergleich zu vor 30 Jahren erstaunlich. Es gibt zwei Arten von Durchbrüchen. Den unerwarteten, der aus heiterem Himmel eine neue Entdeckung bringt. Und den erwarteten Durchbruch, der eine bislang offene Frage beantwortet. Ich hoffe ganz klar auf den ersten. Etwas, das so überraschend ist, dass wir das, was wir über die Natur wissen, völlig neu denken müssen.

(Quelle Zugriff: 10.03.2026)

Auszug aus einem Beitrag der Süddeutschen Zeitung (veröffentlicht am 07.05.2024):

Liefert die Grundlagenforschung in der Quantenphysik noch neue Erkenntnisse?

Unsere Teilchenbeschleuniger funktionieren blendend. Trotzdem kommt die Grundlagenforschung seit Jahrzehnten nicht wirklich weiter. Der Large Hadron Collider im Cern, der derzeit größte Teilchenbeschleuniger, der für mehr als drei Milliarden Euro und unter Mitarbeit von 10 000 Wissenschaftlern aus 100 Ländern gebaut wurde, hat seit seiner Inbetriebnahme 2008 ein einziges Teilchen entdeckt: das Higgs-Boson. Der Large Hadron Collider wurde auch gebaut, um das Standardmodell abzulösen, mit einer Theorie, die mehr, am besten alles, erklärt. Dafür müsste er Teilchen finden, die andere Theorien plausibler machen. Tut er aber nicht.

(Quelle Zugriff: 10.03.2026)

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Die Bestimmung der De-Broglie-Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}}$ erfolgt über die De-Broglie-Beziehung durch Einsetzen der Werte:

$Formula: \begin{array}{rcl} \lambda_{\mathrm{DB}} & = & \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m \cdot v} \\[5pt] & = & \dfrac{6,6 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}}{1,4 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg} \cdot 2,0\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} \\[5pt] & \approx & 2,4 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \lambda_{\mathrm{DB}} & = & \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m \cdot v} \\[5pt] & = & \dfrac{6,6 \cdot 10^{-34}\;\mathrm{J \cdot s}}{1,4 \cdot 10^{-25}\;\mathrm{kg} \cdot 2,0\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} \\[5pt] & \approx & 2,4 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \end{array}$

Die De-Broglie-Wellenlänge der verwendeten Rubidium-Atome beträgt somit circa $Formula: 2,4 \cdot 10^{-9} \;\mathrm{m}.$ $Formula: 2,4 \cdot 10^{-9} \;\mathrm{m}.$

Für eine erfolgreiche experimentelle Bestätigung von Welleneigenschaften sind Spalte mit einer Breite erforderlich, die in etwa der Größenordnung der De-Broglie-Wellenlänge der Teilchen entsprechen.

Wie aus der Gleichung $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = \tfrac{h}{m \cdot v}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = \tfrac{h}{m \cdot v}$ hervorgeht, ist die Wellenlänge antiproportional zur Geschwindigkeit der Atome. Folglich weisen langsame Rubidium-Atome eine wesentlich größere De-Broglie-Wellenlänge auf als Atome mit höherer Geschwindigkeit. Dieser Umstand erlaubt die Nutzung von größeren Beugungsobjekten für die Interferenzexperimente, welche in der Praxis deutlich unkomplizierter zu fertigen sind.

Ein Laser sendet aufgrund seiner monochromatischen Lichtemission eine Lichtwelle mit einer konstanten Wellenlänge aus. Diese Lichtwelle wird am Spiegel reflektiert und läuft dann entgegen der ursprünglichen Lichtwelle mit gleicher Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit. Beide Wellen überlagern sich, wodurch eine stehende Welle entsteht.

Für den Abstand zweier benachbarter Maxima einer stehenden Welle gilt folgende Beziehung:

$Formula: d = \frac{\lambda_{\mathrm{L}}}{2} \Rightarrow \lambda_{\mathrm{L}} = 2 \cdot d$ $Formula: d = \frac{\lambda_{\mathrm{L}}}{2} \Rightarrow \lambda_{\mathrm{L}} = 2 \cdot d$

Aus Material 1 lässt sich zudem ein Abstand von $Formula: d = 390 \;\mathrm{nm}$ $Formula: d = 390 \;\mathrm{nm}$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Orten maximaler Helligkeit entnehmen, der eingesetzt werden kann:

$Formula: \Rightarrow \lambda_{\mathrm{L}} = 2 \cdot 390 \;\mathrm{nm} = 780 \;\mathrm{nm}$ $Formula: \Rightarrow \lambda_{\mathrm{L}} = 2 \cdot 390 \;\mathrm{nm} = 780 \;\mathrm{nm}$

Die Interferenzerscheinungen resultieren aus der Überlagerung von Elementarwellen, welche von unterschiedlichen Erregerzentren, die im Abstand Formula: d zueinander liegen, ausgehen. Die Gesamtintensität der reflektierten Wellen wird dabei durch den Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ zwischen zwei benachbarten Wellen bestimmt.

Anhand von Abbildung 2 entspricht dieser Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ der doppelten Länge der Strecke $Formula: |\overline{QR}|,$ $Formula: |\overline{QR}|,$ für die die trigonometrische Beziehung $Formula: |\overline{QR}|= |\overline{PR}| \cdot \sin(\varphi_{{k}})$ $Formula: |\overline{QR}|= |\overline{PR}| \cdot \sin(\varphi_{{k}})$ gilt. ergibt sich unter Anwendung trigonometrischer Funktionen die Beziehung $Formula: 2 \cdot |\overline{PR}| \cdot \sin(\varphi_{{k}})$ $Formula: 2 \cdot |\overline{PR}| \cdot \sin(\varphi_{{k}})$ . Da die Strecke $Formula: |\overline{PR}|$ $Formula: |\overline{PR}|$ dem Gitterabstand Formula: d entspricht, folgt für den Gangunterschied:

$Formula: \Delta s = 2\cdot |\overline{QR}| = 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi_{{k}})$ $Formula: \Delta s = 2\cdot |\overline{QR}| = 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi_{{k}})$

Zwei von benachbarten Erregerzentren ausgehenden Elementarwellen interferieren genau dann konstruktiv, wenn der Gangunterschied $Formula: \Delta s$ $Formula: \Delta s$ einem ganzzahligen Vielfachen Formula: k der De-Broglie-Wellenlänge entspricht, also $Formula: \Delta s = k \cdot \lambda_{\mathrm{DB}}$ $Formula: \Delta s = k \cdot \lambda_{\mathrm{DB}}$ gilt.

Durch Gleichsetzen dieser Bedingungen ergibt sich die Bragg-Beziehung für das $Formula: k\text{-}$ $Formula: k\text{-}$ te Maximum:

$Formula: 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi_{k}) = k \cdot \lambda_{\mathrm{DB}}$ $Formula: 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi_{k}) = k \cdot \lambda_{\mathrm{DB}}$

Der kleinste Wert für den Winkel $Formula: \beta_{{k}} = 2 \cdot \varphi_{{k}}$ $Formula: \beta_{{k}} = 2 \cdot \varphi_{{k}}$ ergibt sich mit Hilfe der Bragg-Beziehung für Formula: k=1. Die Umformung der Bragg-Beziehung nach $Formula: \varphi_{\mathrm{1}}$ $Formula: \varphi_{\mathrm{1}}$ führt zu folgender Formel:

$Formula: \begin{array}{rcl} 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi_{k}) & = & k \cdot \lambda_{\mathrm{DB}} \quad&\mid k = 1 \,\, ; \,\, : (2 \cdot d) \\[5pt] \sin(\varphi_{1}) & = & \dfrac{\lambda_{\mathrm{DB}}}{2 \cdot d} \quad&\mid \sin^{-1}(\;) \\[5pt] \varphi_{1} & = & \sin^{-1} \left( \dfrac{\lambda_{\mathrm{DB}}}{2 \cdot d} \right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} 2 \cdot d \cdot \sin(\varphi_{k}) & = & k \cdot \lambda_{\mathrm{DB}} \quad&\mid k = 1 \,\, ; \,\, : (2 \cdot d) \\[5pt] \sin(\varphi_{1}) & = & \dfrac{\lambda_{\mathrm{DB}}}{2 \cdot d} \quad&\mid \sin^{-1}(\;) \\[5pt] \varphi_{1} & = & \sin^{-1} \left( \dfrac{\lambda_{\mathrm{DB}}}{2 \cdot d} \right) \end{array}$

Unter Verwendung der gegebenen Werte für die De-Broglie-Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = 2,4 \;\mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = 2,4 \;\mathrm{nm}$ und den Abstand $Formula: d = 390 \;\mathrm{nm}$ $Formula: d = 390 \;\mathrm{nm}$ lässt sich der Winkel $Formula: \beta_{\mathrm{1}}$ $Formula: \beta_{\mathrm{1}}$ berechnen:

$Formula: \beta_{\mathrm{1}} = 2 \cdot \varphi_{\mathrm{1}} = 2 \cdot \sin^{-1}\left(\frac{2,4 \;\mathrm{nm}}{2 \cdot 390 \;\mathrm{nm}}\right) = 0,35^{\circ}$ $Formula: \beta_{\mathrm{1}} = 2 \cdot \varphi_{\mathrm{1}} = 2 \cdot \sin^{-1}\left(\frac{2,4 \;\mathrm{nm}}{2 \cdot 390 \;\mathrm{nm}}\right) = 0,35^{\circ}$

Der kleinste Winkel für $Formula: \beta_k$ $Formula: \beta_k$ beträgt somit $Formula: \beta_{\mathrm{1}} = 0,35^{\circ}.$ $Formula: \beta_{\mathrm{1}} = 0,35^{\circ}.$

Für das Maximum 2. Ordnung am Doppelspalt gilt die Bedingung:

$Formula: \begin{array}{rcl} \dfrac{2 \cdot \lambda_{\mathrm{DB}}}{g} & = & \sin(\alpha_{2}) \quad&\mid \cdot \dfrac{g}{2} \\[5pt] \lambda_{\mathrm{DB}} & = & \dfrac{g}{2} \cdot \sin(\alpha_{2}) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \dfrac{2 \cdot \lambda_{\mathrm{DB}}}{g} & = & \sin(\alpha_{2}) \quad&\mid \cdot \dfrac{g}{2} \\[5pt] \lambda_{\mathrm{DB}} & = & \dfrac{g}{2} \cdot \sin(\alpha_{2}) \end{array}$

Für den Winkel $Formula: \alpha_{\mathrm{2}}$ $Formula: \alpha_{\mathrm{2}}$ zwischen dem Maximum 2. Ordnung und dem Maximum 0. Ordnung auf dem Schirm gilt $Formula: \alpha_{\mathrm{2}} = \tan^{-1}\left(\tfrac{a_{\mathrm{2}}}{e}\right).$ $Formula: \alpha_{\mathrm{2}} = \tan^{-1}\left(\tfrac{a_{\mathrm{2}}}{e}\right).$ Das kann in obige Formel eingesetzt werden:

$Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = \frac{g}{2} \cdot \sin\left(\tan^{-1}\left(\frac{a_{\mathrm{2}}}{e}\right)\right)$ $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = \frac{g}{2} \cdot \sin\left(\tan^{-1}\left(\frac{a_{\mathrm{2}}}{e}\right)\right)$

Aus Abbildung 3b ergibt sich ein Abstand von $Formula: a_{\mathrm{2}} \approx 0,5 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{m}$ $Formula: a_{\mathrm{2}} \approx 0,5 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{m}$ . Unter Verwendung der weiteren gegebenen Werte ( $Formula: g = 3,1 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{m}$ $Formula: g = 3,1 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{m}$ und $Formula: e = 25 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{m}$ $Formula: e = 25 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{m}$ ) folgt:

$Formula: \begin{array}{rcl} \lambda_{\mathrm{DB}} & = & \dfrac{3,1 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{2} \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \sin\left(\tan^{-1}\left(\dfrac{0,5 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}}{25 \cdot 10^{-2}\;\mathrm{m}}\right)\right) \\[5pt] & \approx & 3,1 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcl} \lambda_{\mathrm{DB}} & = & \dfrac{3,1 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{2} \\[5pt] &\phantom{=}& \cdot \sin\left(\tan^{-1}\left(\dfrac{0,5 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}}{25 \cdot 10^{-2}\;\mathrm{m}}\right)\right) \\[5pt] & \approx & 3,1 \cdot 10^{-9}\;\mathrm{m} \end{array}$

Die berechnete De-Broglie-Wellenlänge der Rubidium-Atome beträgt somit circa $Formula: 3 \cdot 10^{-9} \;\mathrm{m}.$ $Formula: 3 \cdot 10^{-9} \;\mathrm{m}.$

Die sich im Gravitationsfeld der Erde befindenden Rubidium-Atome erfahren eine stetige Beschleunigung in vertikaler Richtung. Infolgedessen nimmt die Geschwindigkeit Formula: v der Atome auf ihrem Weg zum Detektor zu.

Gemäß der De-Broglie-Beziehung ( $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = \tfrac{h}{m \cdot v}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}} = \tfrac{h}{m \cdot v}$ ) besteht ein antiproportionaler Zusammenhang zwischen der Wellenlänge und der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit Formula: v der Atome auf ihrem Weg zum Detektor nimmt zu, folglich nimmt ihre De-Broglie-Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{DB}}$ ab.

Beispielantwort:

Der Nutzen weiterer Grundlagenforschung im Bereich der Quantenphysik lässt sich als sinnvoll bewerten. Zwar verdeutlicht das Beispiel des Large Hadron Collider (LHC), dass Grundlagenforschung im Bereich der Quantenphysik trotz enormer finanzieller Investitionen gelegentlich hinter den ursprünglichen Erwartungen zurückbleiben können.

Das mindert jedoch nicht die grundsätzliche Relevanz dieser Arbeit. Ein wesentliches Argument für die Fortsetzung besteht darin, dass nahezu jede technologische Innovation ihren Ursprung in einer vorangegangenen Grundlagenforschung hat. Somit besteht die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse gegenwärtiger oder künftiger Experimente zu technologischen Entwicklungen führen, die aus heutiger Sicht noch vollkommen unvorhersehbar sind.

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