HT 3

Nachweis und Eigenschaften extrem seltener Elemente

Insgesamt 10 chemische Elemente waren bereits in der Antike bekannt und bis zum Ende des 19. Jahrhunderts wurden 73 weitere chemische Elemente entdeckt. Zwar gelang in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts eine immer bessere Sortierung dieser Elemente aufgrund ihrer Atommasse und wiederkehrender ähnlicher chemischer Eigenschaften, aber es fehlte dem damals noch unvollständigen Periodensystem eine zuverlässige „Nummerierung“ dieser Elemente. Erst zu Beginn des 20. Jahrhunderts gelang es Physikerinnen und Physikern, durch die Entwicklung erklärungsstarker Atommodelle und neuer experimenteller Methoden die Reihenfolge der Elemente im Periodensystem durch ihre „Ordnungszahl $Z$ “ eindeutig festzulegen. Einen wesentlichen Beitrag dazu lieferte die zu dieser Zeit entwickelte Röntgenspektroskopie.

Teilaufgabe 1: Physikalische Grundlagen der Röntgenspektroskopie

Zeichne eine beschriftete Skizze zum Aufbau einer Röntgenröhre sowie ihrer elektrischen Beschaltung.
Erläutere die Funktionsweise einer Röntgenröhre, ohne dabei auf die atomaren Prozesse der Erzeugung der Röntgenstrahlung einzugehen.

Abbildung 1 zeigt ein typisches Röntgenspektrum. Es besitzt zwei spektrale Anteile: das kontinuierliche Spektrum der Bremsstrahlung sowie die Linien der charakteristischen Röntgenstrahlung.
Erkläre die Entstehung der Bremsstrahlung sowie der charakteristischen Röntgenstrahlung anhand der zugehörigen elementaren Prozesse sowie einer geeigneten Modellvorstellung vom atomaren Aufbau des Anodenmaterials.

Eine einfache Möglichkeit der Aufnahme eines Röntgenspektrums ist die Drehkristallmethode. Abbildung 2 zeigt einen typischen Aufbau zur Durchführung dieser Messmethode.

Abbildung 2: Drehkristallmethode zur Aufnahme eines Röntgenspektrums

Bei der Messung des Röntgenspektrums mit dieser Methode trifft die gebündelte Strahlung unter einem Winkel $\vartheta$ auf einen Einkristall, dessen Oberfläche parallel zu seinen Netzebenen verläuft. Unter dem Winkel $2 \vartheta$ zur Einfallsrichtung der Röntgenstrahlung misst ein Zählrohr die vom Einkristall gestreute Strahlung. Für die Wellenlänge $\lambda$ der dort nachgewiesenen Röntgenstrahlung gilt die sogenannte Bragg-Bedingung:

$n \cdot \lambda=2 \cdot d \cdot \sin \vartheta$ mit $n=1,2,3, \ldots$

Dabei bezeichnet $d$ den Abstand benachbarter Netzebenen des Einkristalls.

Leite die Bragg-Bedingung anhand einer geeigneten Skizze her.

Bei der Messung eines Röntgenspektrums mit einem typischen Schulröntgengerät wird bei der Drehkristallmethode der Einkristall in gleichmäßigen Drehschritten $\Delta \vartheta$ , beginnend bei kleinen Winkeln bis zu $\vartheta=45^{\circ}$ , bewegt. Das Zählrohr wird dabei entsprechend um den doppelten Drehwinkel mitgeführt. Nach jedem Drehschritt wird für eine immer gleiche Zeit $\Delta t$ die Zahl der Strahlungsereignisse im Zählrohr gemessen und für den jeweiligen Winkel $\vartheta$ registriert.

Erkläre, warum für die Aufnahme eines Röntgenspektrums bei jedem Messwert die Messzeit $\Delta t$ gleich sein muss.

Bei einer konkreten Messung mit einem LiF-Kristall (Netzebenenabstand $d=0,201 \,\text{nm}$ ) beträgt die Drehschrittweite $\Delta \vartheta=0,2^{\circ}$ . Die Messung beginnt bei $\vartheta=3,0^{\circ}.$

Gib an, wie viele Messpunkte bei dieser Messung erfasst werden.
Zeige, dass bei dieser Messung in erster Ordnung $n=1$ der Wellenlängenbereich zwischen $\lambda_{\min .}=2,10 \cdot 10^{-11} \,\text{m}$ und $\lambda_{\max .}=2,84 \cdot 10^{-10} \,\text{m}$ abgedeckt wird.

Die Messung erfolgt bei einer Beschleunigungsspannung an der Röntgenröhre von $U_{ B }=25,0 \,\text{kV}.$

Untersuche begründet, ob das kurzwellige Ende des Röntgenspektrums unter den Bedingungen dieser Messung erfasst werden kann.

(6 + 4 + 14 Punkte)

Teilaufgabe 2: Sortierung des Periodensystems durch Bestimmung der Ordnungszahlen der Elemente

Nachdem sich in den 1910er-Jahren das Kern-Hülle-Atommodell etabliert hatte, gelang es, den Aufbau des Periodensystems mit der schrittweisen Auffüllung von Elektronenschalen in der Atomhülle zu verstehen. Die Ordnungszahl $Z$ eines Elements bezeichnete dabei die Zahl der Elektronen in der Atomhülle und damit die Zahl der positiven Elementarladungen im Atomkern.

Anhand der zu dieser Zeit erstmals systematisch untersuchten charakteristischen Röntgenstrahlung verschiedener Elemente konnten die Energiedifferenzen zwischen den inneren Elektronenschalen eines Elements bestimmt werden. Damals wurde die heute noch verwendete Bezeichnung „K-, L-, M- .. Schale“ für die inneren Elektronenschalen eines Atoms eingeführt.

Abbildung 3 zeigt das Spektrum der Röntgenstrahlung des Kupfers. Die beiden Linien in dem Spektrum sind die $K _\alpha$ - und die $K _\beta$ -Linie des Kupfers. Die genaue Wellenlänge der $K _\alpha$ -Linie in diesem Spektrum beträgt $\lambda_{ K \alpha}=0,154 \,\text{nm}.$ Abbildung 4 zeigt das vereinfachte Niveauschema eines Atoms mit den Übergängen der charakteristischen Röntgenlinien.

Abbildung 3

Abbildung 4: Vereinfachtes Niveauschema eines Atoms

Bestimme anhand von $\lambda_{ K \beta}$ aus Abbildung 3 die Energiedifferenz zwischen der L-Schale und der M-Schale im Kupferatom in der Einheit $\text{keV}.$

Dem britischen Physiker H. Moseley gelang es bereits 1914 empirisch, den folgenden Zusammenhang zwischen den Wellenlängen der $K _\alpha$ -Röntgenlinien der chemischen Elemente (bis zum Zirkon) und deren Ordnungszahl $Z$ zu finden:

$\sqrt{\dfrac{1}{\lambda_{K \alpha}}}=\sqrt{C} \cdot(Z-1).$

Dabei bezeichnet $\sqrt{ C }$ eine empirisch gefundene Proportionalitätskonstante mit der Maßeinheit $[\sqrt{C}]=1 \dfrac{1}{\sqrt{\text m}}$ .

Tabelle 1 beinhaltet die von $H$ . Moseley gemessenen Wellenlängen der $K _\alpha$ -Röntgenlinien einiger Elemente.

Tabelle anzeigen

Element:	Aluminium	Kalzium	Chrom	Kobalt	Zink	Zirkon
$\color{#fff}{Z}$ :	13	20	24	27	30	40
$\color{#fff}{\lambda_{ K \alpha}}$ in $\color{#fff}{\text m}$ :	$8,36\cdot 10^{-10}$	$3,37\cdot 10^{-10}$	$2,30\cdot 10^{-10}$	$1,80\cdot 10^{-10}$	$1,45\cdot 10^{-10}$	$0,794\cdot 10^{-10}$

Zeige anhand einer grafischen Auswertung, dass die Messwerte in Tabelle 1 den oben angegebenen Zusammenhang bestätigen.
Bestimme anhand dieser grafischen Auswertung einen Wert für die Proportiona- litätskonstante $\sqrt{C}.$
Bestimme anhand dieser Auswertung und der Informationen aus Teilaufgabe 2a die Ordnungszahl $Z$ von Kupfer.

(4 + 12 Punkte)

Teilaufgabe 3: Extrem seltene Elemente und ihre Entstehung

Aufgrund immer besserer chemischer Analyse- und Synthesemethoden sowie einer weiter verbesserten Röntgenspektroskopie gelang es bis 1930, fast alle chemischen Elemente mit einer Ordnungszahl kleiner als der des Wismut $(Z\lt83)$ in natürlich vorkommenden Mineralien zu entdecken und in das Periodensystem der Elemente einzusortieren. Lediglich die chemischen Elemente mit den Ordnungszahlen $Z=43$ und $Z=61$ konnten damals noch nicht nachgewiesen werden.

Heute ist bekannt, dass das Element mit der Ordnungszahl $Z=43$ (Technetium $Tc$ ) ausschließlich Isotope besitzt, welche radioaktiv zerfallen. Abbildung 5 zeigt einen Ausschnitt aus einer heutigen Nuklidkarte.

Gib die Zerfallsgleichungen der beiden $Tc$ -Isotope mit den längsten Halbwertszeiten an.

Tabelle anzeigen

Ruthenium $Z = 44$	Ru-96 stabil	Ru-97 $\beta+$ $69,9 \,\text h$	Ru-98 stabil	Ru-99 stabil	Ru-100 stabil	Ru-101 stabil
Technetium $Z = 43$	Tc-95 $\beta+$ $20,0 \,\text h$	Tc-96 $\beta+$ $4,28 \,\text d$	Tc-97 $\beta+$ $2,60\cdot 10^6\,\text a$	Tc-98 $\beta-$ $4,20\cdot 10^6 \,\text a$	Tc-99 $\beta-$ $2,11\cdot 10^5 \,\text a$	Tc-100 $\beta-$ $15,8 \,\text s$
Molybdän $Z=42$	Mo-94 stabil	Mo-95 stabil	Mo-96 stabil	Mo-97 stabil	Mo-98 stabil	Mo-99 $\beta-$ stabil

Man nimmt an, dass bei der Entstehung der Erdmaterie vor etwa $t_{ E }=5,0 \cdot 10^9 a$ eine gewisse Menge an Technetium mitentstanden ist.

Bestimme, welcher Anteil des Technetiumisotops mit der längsten Halbwertszeit nach „nur“ $\dfrac{1}{20} t_{ E }$ von der ursprünglichen Menge noch existiert hat.

Im Jahr 1937 wurde das Element Technetium erstmals aus einer Molybdän-Folie chemisch extrahiert und röntgenspektroskopisch identifiziert. Diese Molybdän-Folie war zuvor an einem Teilchenbeschleuniger über einen langen Zeitraum mit hochenergetischen Deuteriumkernen ( ${ }^2 H-$ Kernen) beschossen worden.

Gib die Reaktionsgleichung einer möglichen Kernreaktion an, mit der ein Technetiumisotop in der Molybdän-Folie entstanden sein kann.

Erst 24 Jahre später konnte das natürliche Vorkommen von Technetium in winzigen Spuren in Uranerzen nachgewiesen werden. Es entsteht dort infolge einer extrem selten vorkommenden Spontanspaltung (sf) eines ${ }^{238} U$ -Kerns. Abbildung 6 zeigt die Zerfallsgleichung dieses natürlichen Vorgangs sowie die daraus resultierende Zerfallsreihe bis zum Technetium. Die in der Zerfallsreihe angegebenen Zeiten sind die Halbwertszeiten der entsprechenden Nuklide.

Abbildung 6: Entstehung von Technetium in der Natur

Erkläre qualitativ, warum zwar das ${ }^{99}Tc$ im Uranerz nachweisbar ist, die anderen Nuklide der Zerfallsreihe aus Abbildung 6 jedoch nicht.

Genauso wie Technetium besitzt auch das Element mit $Z=61$ (Promethium $Pm$ ) keine stabilen Isotope. Die $Pm$ -Isotope mit den längsten Halbwertszeiten sind:

Isotop:	${ }^{145}\text{Pm}$	${ }^{146}\text{Pm}$	${ }^{147}\text{Pm}$
Halbwertszeit $\color{#fff}{t_H}$ :	$17,71\,\text a$	$5,534\,\text a$	$2,625\,\text a$

Tabelle 2: $\scriptsize Pm$ -Isotope mit den längsten Halbwertszeiten

Dieses Element wurde erst 1947 im Zuge der chemischen Untersuchung der Spaltprodukte aus den ersten Kernreaktoren entdeckt. Abbildung 7 zeigt die relative Häufigkeit $H$ der Spaltprodukte eines typischen Kernreaktors als Funktion von deren Massenzahl $A.$

nrw physik abi lk 2022 ht 3 abbildung 7 relative häufigkeit der spaltprodukte bei der kernspaltung von 235u

Abbildung 7: Relative Häufigkeit der Spaltprodukte bei der Kernspaltung von $\scriptsize {}^{235}U$

Beurteile anhand von Abbildung 7 qualitativ die relative Häufigkeit, mit der das Element Promethium in den Spaltprodukten eines Kernreaktors zu erwarten ist.

Im Vergleich zum Element Technetium ist das Element Promethium in der Erdkruste noch einmal deutlich seltener anzutreffen. Es entsteht auf natürlichem Wege in Uranerzen durch einen ähnlichen Spalt- und Zerfallsmechanismus wie in Abbildung 6. Man geht heute davon aus, dass es in der ganzen Erdkruste insgesamt lediglich $m=0,570\,\text{kg}$ Promethium natürlichen Ursprungs gibt. Es handelt sich dabei praktisch ausschließlich um das Isotop ${ }^{147} Pm$ .

Bestimme die Gesamtaktivität $A_{\text {ges }}$ des natürlichen Promethiums in der Erdkruste in der Einheit $Bq.$

Hinweis: Du kannst davon ausgehen, dass $147\text g$ natürliches Promethium etwa $6,02\cdot10^{23}Pm$ -Atomen entsprechen.

(12 + 7 Punkte)

Teilaufgabe 4: Das extraterrestrische Vorkommen von Promethium

Heute ist bekannt, dass Promethium auf der Erde und damit wahrscheinlich auch in unserem Sonnensystem nur in verschwindend geringen Mengen natürlich vorkommt.
Durch Untersuchungen der optischen Absorptionsspektren einiger sehr spezieller Sterne weiß man heute aber auch, dass Promethium sowie die im Periodensystem benachbarten Elemente im Bereich der Oberfläche und der nahen Umgebung dieser Sterne in messbarer Menge vorhanden sind. Das Alter dieser seltenen speziellen Sterne ist etwa dem unserer Sonne vergleichbar (ca. $5 \cdot 10^9 a$ ).

Begründe qualitativ, dass der Nachweis des Promethiums in diesen Sternen nur damit erklärt werden kann, dass dieses Element dort ständig neu erzeugt wird.

Eine der Theorien, die das dortige „viel häufigere“ Vorkommen der bei uns sehr seltenen chemischen Elemente erklären soll, geht davon aus, dass im Bereich der Oberfläche dieser besonderen Sterne eine hohe Konzentration von langlebigen Uranisotopen vorhanden ist. Diese langlebigen Uranisotope existieren dort seit der Sternentstehung und werden durch die dort reichlich vorhandenen freien Neutronen aus dem Inneren des Sterns permanent gespalten. Als Spaltprodukte bleiben dabei u.a. die seltenen Elemente in messbarer Menge zurück.

Erläutere qualitativ, wie es experimentell möglich wäre, diese Theorie durch Beobachtungen zu bestätigen oder zu widerlegen.

(3 +3 Punkte)

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Teillösung 1: Physikalische Grundlagen der Röntgenspektroskopie

Skizzierung des Aufbaus einer Röntgenröhre

Röntgengerät mit eingezeichneter Polung der jeweiligen Spannung

Erläuterung der Funktionsweise einer Röntgenröhre

Beim Betrieb der Röntgenröhre werden an der Glühkathode durch den glühelektrischen Effekt Elektronen ausgelöst und dann aufgrund der anliegenden Spannung $U_B$ zur Anode hin beschleunigt. Beim Auftreffen dieser Elektronen auf das Anodenmaterial entsteht dann die Röntgenstrahlung, welche die Röntgenröhre verlassen kann.

Das Spektrum der Röntgenstrahlung setzt sich aus dem kontinuierlichen Spektrum der Bremsstrahlung und den für das Anodenmaterial charakteristischen Linien zusammen. Die Bremsstrahlung entsteht, wenn ein schnelles Elektron nach dem Eintreten ins Anodenmaterial durch die Wechselwirkung mit einem Atomkern stark abgelenkt wird und dabei einen Teil seiner kinetischen Energie in Form eines Strahlungsquants abgibt.

Die charakteristische Röntgenstrahlung entsteht, wenn ein schnelles Elektron nach Eintritt ins Anodenmaterial dort ein Elektron aus einer inneren Schale eines Atoms herausschlägt und dann ein anderes Elektron aus einer äußeren Schale auf diesen freien Platz übergeht. Dabei wird die für den Übergang charakteristische Energie abgestrahlt.

herausgelöstes Elektron und Bremsstrahlung

Herleitung der Bragg-Bedingung anhand einer geeigneten Skizze

Bragg-Bedingung in Zeichnung dargestellt

Die einlaufenden Röntgenwellen werden an den Netzebenen des Einkristalls gestreut. Der Wegunterschied, den eine einlaufende Wellenfront bis zur Streuung an der nächst tieferen Netzebene des Kristalls zurücklegen muss, ist $\Delta s.$ Wie aus der Skizze ersichtlich, gilt für diesen Wegunterschied der Zusammenhang $\Delta s=d \cdot \sin \vartheta.$ Dabei bezeichnet $d$ den Abstand benachbarter Netzebenen. Nach Streuung an der nächst tieferliegenden Netzebene muss die auslaufende Wellenfront unter Berücksichtigung der Reflexionsbedingung (Einfallswinkel $=$ Ausfallswinkel $=\vartheta$ ) erneut den Wegunterschied $\Delta$ s zusätzlich zurücklegen, sodass der Gesamtgangunterschied zwischen den an benachbarten Netzebenen reflektierten Wellenfronten $2 \cdot \Delta s=2 \cdot d \cdot \sin \vartheta$ beträgt. Zu einer konstruktiven Interferenz der reflektierten Wellenfronten kann es in einer solchen Situation nur kommen, wenn der Gesamtgangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist: $n \cdot \lambda=2 \cdot d \cdot \sin \vartheta \quad$ mit $\quad n=1,2,3, \ldots.$

Erklärung, warum für die Aufnahme eines Röntgenspektrums bei jedem Messwert die Messzeit $\Delta t$ gleich sein muss

Bei der Aufnahme eines Röntgenspektrums mit der Drehkristallmethode muss die Messzeit $\Delta t$ für jede Winkeleinstellung gleich sein, damit die erfasste Zahl der Strahlungsereignisse und damit die gemessene Intensität bei allen Winkeleinstellungen miteinander vergleichbar ist.

Angabe der Anzahl der Messpunkte

Bei einem erfassten Winkelbereich von $3^{\circ} \leq \vartheta \leq 45^{\circ}$ und einer Schrittweite von $\Delta \vartheta=0,2^{\circ}$ gilt für die Anzahl der Messerte:

$\begin{array}[t]{rll} n&=& \dfrac{\vartheta_{\text{max}}-\vartheta_{\text{min}}}{\Delta \vartheta} + 1&\quad \scriptsize \\[5pt] n &=& \dfrac{45^{\circ}-3^{\circ}}{0,2^{\circ}}+1&\quad \scriptsize \\[5pt] n&=& 211 \end{array}$

Es werden insgesamt also 211 Messwerte aufgenommen.

Zeigen, dass bei dieser Messung in erster Ordnung $n=1$ der Wellenbereich zwischen $\lambda_{\text{min}}=2,10\cdot 10^{-11}\;\text{m}$ und $\lambda_{\text{max}}=2,84\cdot 10^{-10}\;\text{m}$ liegt

Der LiF-Kristall hat eine Dicke von $d=0,201 \;\text{nm}=2,01 \cdot 10^{-10} \;\text{m}.$ Es gilt für diesen LiF-Kristall in erster Ordnung $n=1:$

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_{\min .}&=& 2 \cdot d \cdot \sin\left( \vartheta_{\text{min}}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda_{\max .}&=& 2 \cdot d \cdot \sin\left( \vartheta_{\text{max}}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte für $\lambda_{\min .}$ , $\lambda_{\max .}$ und $d$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_{\min .}&=& 2 \cdot 2,01 \cdot 10^{-10} \;\text{m} \cdot \sin\left( 3^{\circ}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,10 \cdot 10^{-11} \;\text{m} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_{\max .}&=& 2 \cdot 2,01 \cdot 10^{-10} \;\text{m} \cdot \sin\left( 45^{\circ}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,84 \cdot 10^{-10} \;\text{m} \end{array}$

Einsetzen der Werte für $\lambda$ in $\lambda_{\text {min. }} \leq \lambda \leq \lambda_{\text {max. }}$ zeigt, dass die Messungen in dem Wellenbereich zwischen $\lambda_{\text{min}}=2,10\cdot 10^{-11}\;\text{m}$ und $\lambda_{\text{max}}=2,84\cdot 10^{-10}\;\text{m}$ liegen :

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_{\min .}&\leq& \lambda \leq \lambda_{\text {max. }}&\quad \scriptsize \\[5pt] 2,10 \cdot 10^{-11} \;\text{m}&\leq& \lambda \leq 2,84 \cdot 10^{-10} \;\text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Untersuchung, ob das kurzwellige Ende des Röntgenspektrums unter den Bedingungen dieser Messung erfasst werden kann

Die Röntgenstrahlung am kurzwelligen Ende des Röntgenspektrums entsteht, wenn ein Elektron nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung $U_{\text{B}}$ seine komplette kinetische Energie $e \cdot U_{\text{B}}$ in einem Strahlungsquant der Grenzwellenlänge $\lambda_{\text {Gr. }}$ abstrahlt. Es gilt dann:

$\begin{array}[t]{rll} e \cdot U_{\text{B}}&=& h \cdot f&\quad \scriptsize \mid\; f= \dfrac{c}{\lambda_{\text{Gr} .}} \\[5pt] e \cdot U_{\text{B}}&=& h \cdot \dfrac{c}{\lambda_{\text{Gr} .}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \lambda_{\text{Gr} .} \\[5pt] e \cdot U_{\text{B}}\cdot \lambda_{\text{Gr} .}&=& h \cdot c&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{1}{e\cdot U_{\text{B}}} \\[5pt] \lambda_{\text{Gr} .}&=& \dfrac{h \cdot c}{e \cdot U_{\text{B}}} \end{array}$

Wenn eine Röntgenröhre mit $U_{\text{B}}=25 \text{kV} =2.50 \cdot 10^4\;\text{V}$ betrieben wird, gilt für die Grenzwellenlänge:

Rechenweg anzeigen

$\lambda_{\text{Gr} .} = 4,97 \cdot 10^{-11} \text{m}$

Diese Grenzwellenlänge liegt innerhalb des bei der Messung erfassten Wellenlängenbereichs: $\lambda_{\min.} \leq 4,97 \cdot 10^{-11} \;\text{m} \leq \lambda_{\text {max.}}.$

Teillösung 2: Sortierung des Periodensystems durch Bestimmung der Ordnungszahlen der Elemente

Aus dem Röntgenspektrum des Kupfers in Abbildung 3 ergibt sich durch Ablesen die folgenden Wellenlänge der $\text{K}_\beta$ -Linie:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_{\text{K} \beta}&=& 0,140 \;\text{nm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,40 \cdot 10^{-10} \;\text{m} \end{array}$

Die Wellenlänge der $\text{K}_\alpha$ -Linie beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_{\text{K} \alpha}&=& 0,154 \;\text{nm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,54 \cdot 10^{-10} \;\text{m} \end{array}$

Die Energiedifferenz $\Delta E_{\text{ML}}$ zwischen der L- und M-Schale entspricht der Energiedifferenz der $\text{K}_\beta$ - und der $\text{K}_\alpha$ -Linie. Daraus ergibt sich mit:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta E_{\text{ML}}&=& E_{\text{K} \beta}-E_{\text{K} \alpha} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& h\cdot f_{\text{K} \beta}- h\cdot f_{\text{K} \alpha} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& h\cdot \dfrac{c}{\lambda_{\text{K} \beta}}-h\cdot \dfrac{c}{\lambda_{\text{K} \alpha}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& h \cdot\left(\dfrac{c}{\lambda_{\text{K} \beta}}-\dfrac{c}{\lambda_{\text{K} \alpha}}\right) \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

Rechenweg anzeigen

$\Delta E_{\text{ML}}=...$

Bestätigung der Messwerte des Zusammenhangs

Die Messwerte:

Z-1	$\color{#fff}{\lambda_{\text{K} \alpha}}$ in $\color{#fff}{\;\text{m}}$	$\color{#fff}{\dfrac{1}{\sqrt{\lambda_{\text{K} \alpha}}}}$ in $\color{#fff}{\; \dfrac{1}{\sqrt{\text{m}}}}$
12	8,36	3,46
19	3,37	5,45
23	2,30	6,59
26	1,80	7,45
29	1,45	8,30
39	0,794	11,2

Graphische Darstellung:

Bestimmung der Proportionalitätskonstante

Das Auftragen der gemessenen Werte von $\dfrac{1}{\sqrt{\lambda_{\text{K} \alpha}}}$ gegen $(\text{Z-1})$ zeigt den proportionalen Zusammenhang dieser beiden Größen.

Aus dem Steigungsdreieck ergibt sich die Steigung:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\Delta \dfrac{1}{\sqrt{\lambda_{\text{K} \alpha}}}}{\Delta \text{Z}}&=& \dfrac{40000 \;\dfrac{1}{\sqrt{\text{m}}}}{14} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2860 \;\dfrac{1}{\sqrt{\text{m}}} \end{array}$

Demnach beträgt die Proportionalitätskonstanten $\sqrt{\text{C}}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\text{C}}&=& \dfrac{\Delta \dfrac{1}{\sqrt{\lambda_{\text{K} \alpha}}}}{\Delta \text{Z}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2860 \; \dfrac{1}{\sqrt{\text{m}}} & \end{array}$

Bestimmung der Ordnungszahl Z von Kupfer

Für Kupfer beträgt die Wellenlänge der $\text{K}_\alpha$ -Linie: $\lambda_{\text{K} \alpha}=1,54 \cdot 10^{-10} \text{m}.$ Daraus ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{\sqrt{\lambda_{\text{K} \alpha}}}&=& \dfrac{1}{\sqrt{1,54 \cdot 10^{-10} \text{m}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 8,06 \cdot 10^4 \dfrac{1}{\sqrt{\text{m}}} \end{array}$

Im Diagramm lässt sich damit für Kupfer ablesen: $\text{Z}-1=28.$ Daher besitzt Kupfer die Ordnungszahl $\text{Z}=29.$

Teillösung 3: Extrem seltene Elemente und ihre Entstehung

Angabe der Zerfallsgleichungen

Das Isotop ${ }^{98}$ Tc zerfällt wie folgt zu ${ }^{98} \text{Ru}:$

${ }^{98} \text{Tc} \stackrel{\beta^3}{\longrightarrow}{ }^{98} \text{Ru}+{ }_{-1}^0 e+v_{\text{e}}$ .

Das Isotop ${ }^{97}$ Tc zerfällt wie folgt zu ${ }^{97} \text{Mo}:$

${ }^{97} \text{Tc} \stackrel{\beta^{+}}{\longrightarrow}{ }^{97} \text{Mo}+{ }_{+1}^0 e+v_{\text{e}}$

Anteil des nach $\dfrac{1}{20}t_E$ noch existierenden Technetiumisotops

Nach dem Zerfallsgesetz gilt:

$\begin{array}[t]{rll} N\left(t \right)&=& N_0\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{ T_{1 / 2}}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{1}{N_0} \\[5pt] \dfrac{N\left(t \right)}{N_0}&=& \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t}{ T_{1 / 2}}} & \end{array}$

Das Technetiumisotop mit der längsten Halbwertszeit ${ }^{98}\text{Tc}$ besitzt eine Halbwertszeit von $T_{1 / 2}=4,20 \cdot 10^6$ a.Ein Zwanzigstel des Erdalters beträgt $\dfrac{1}{20} t_{\text{E}}=2,5 \cdot 10^8 \;\text{a}.$ Aus dem Zerfallsgesetz ergibt sich damit ein Anteil der noch nicht zerfallenen ${ }^{98}$ Tc -Kerne nach dieser Zeit von:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{N\left(t \right)}{N_0}&=& \dfrac{N\left(\dfrac{1}{20} t_{\text{E}}\right)}{N_0} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{\dfrac{1}{20} t_{\text{E}}}{T_{1 / 2}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{t_{\text{E}}}{20\cdot T_{1 / 2}}} \end{array}$

Einsetzen der Werte liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{N\left(\dfrac{1}{20} t_{\text{E}}\right)}{N_0}&=& \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{2,5\cdot 10^8 \;\text{a}}{4,2\cdot 10^6 \;\text{a}} } &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,2 \cdot 10^{-18} \end{array}$

$1,2 \cdot 10^{-18}$ ist der Anteil des Technetiumisotops mit der längsten Halbwertszeit,der nach "nur" $\dfrac{1}{20} t_{\text{E}}$ von der ursprünglichen Menge noch existiert hat.

Angabe der Reaktionsgleichung

Eine mögliche Kernreaktion für die Erzeugung von Technetium in diesem Experiment in der Folie wäre zum Beispiel:

${ }^{97} \text{Mo}+{ }^2 \text{H} \quad \rightarrow \quad{ }^{98} \text{Tc}+{ }^1 \text{n}$ .

Erlärung der Nachweisbarkeit von ${ }^{99} \text{Tc}$

Bei dem angegebenen natürlichen Entstehungsprozess von ${ }^{99} \text{Tc}$ , ausgehend von der spontanen Spaltung eines Urankerns, ist die maximale Halbwertszeit aller anderen vorkommenden Nuklide in der Zerfallsreihe ca. 65 Stunden. Das ${ }^{99} \text{Tc}$ am Ende dieser Zerfallsreihe besitzt hingegen eine Halbwertszeit von $T_{1 / 2}=2,11 \cdot 10^5 \text{a}$ . Im Uranerz werden alle Nuklide dieses sehr seltenen Prozesses mit kurzen Halbwertszeiten nicht auffindbar sein, da sie nur sehr kurz dort existieren, bis sie in das erheblich langlebigere ${ }^{99}$ Tc zerfallen sind.

Beurteilung der relativen Häufigkeit

Die Massenzahlverteilung der Spaltprodukte bei einer Kernspaltung in Abbildung 7 zeigt, dass im Massenzahlbereich um 140 ein Maximum dieser Verteilung liegt. Da die langlebigsten Promethiumisotope ( ${ }^{145} \text{Pm}$ bis ${ }^{147} \text{Pm}$ ) Massenzahlen in diesem Bereich besitzen, treten sie relativ häufig in den Spaltprodukten eines Kernreaktors auf.

Bestimmung der Gesamtaktivität des Promethiums

In der Erdkruste gibt es insgesamt $m=0,570 \text{kg}$ auf natürlichem Weg entstandenes ${ }^{147} \text{Pm}$ . Aus dieser Masse lässt sich die Anzahl der ${ }^{147} \mathrm{Pm}$ -Atomkerne bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} N &=& 6,20\cdot 10^{23} \cdot \dfrac{0,570 \;\text{kg}}{01147 \;\text{kg}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,33 \cdot 10^{24} \end{array}$

Diese Masse entpricht folglich $2,33 \cdot 10^{24}$ ${ }^{147} \mathrm{Pm}$ -Atomkerne.

Die Halbwertszeit von ${ }^{147} \text{Pm}$ beträgt $T_{1 / 2}=2,625 \;\text{a}=8,28 \cdot 10^7 \;\text{s}.$

Für die Aktivität $A_{\text{ges}}$ einer radioaktiven Quelle eines einzelnen Nuklids mit Halbwertszeit $T_{1 / 2}$ und Teilchenzahl $N$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ges}}&=& \dfrac{\ln (2)}{T_{1 / 2}} \cdot N &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Werte in die Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ges}}&=& \dfrac{\ln (2)}{T_{1 / 2}} \cdot N &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\ln (2)}{8,28 \cdot 10^7 \;\text{s}} \cdot\left(2,33 \cdot 10^{24}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1,95 \cdot 10^{16} \;\text{Bq} \end{array}$

Teillösung 4:Das extraterrestrische Vorkommen von Promethium

Das in dem Stern nachgewiesene Promethium kann aufgrund seiner kurzen Halbwertszeit von nur maximal $17,7 \;\text{a}$ , nicht seit der Entstehung des Sterns vor etwa $5 \cdot 10^9 \;\text{a}$ , dort vorhanden sein. Es muss demnach durch einen permanenten Prozess „nachproduziert“ werden, um in nennenswerter Menge dort zu existieren.

Wenn das nachgewiesene Element Promethium und die anderen im Periodensystem benachbarten seltenen Elemente durch die Spaltung großer Mengen langlebiger Uranisotope an der Sternoberfläche entstehen, müssten die Spektrallinien dieses Urans in den optischen Spektren des Sterns ebenfalls deutlich nachweisbar sein.

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