• Ermittle für anhand der Nuklidkarte die ersten drei Tochternuklide für den jeweils häufigsten Zerfallszweig und das stabile Endnuklid der Zerfallsreihe (Angabe der Zerfallsarten sowie der Massen- und Ordnungszahlen).

• Begründe qualitativ anhand der in der Zerfallsreihe auftretenden Halbwertszeiten, dass die und Zerfälle der Tochterkerne fast keinen Beitrag zur Gesamtaktivität eines Präparats leisten.

Das Präparat emittiert in Folge des Zerfalls auch Strahlung.

• Erläutere die Entstehung der Strahlung.

Das Präparat sendet Teilchen mit einer kinetischen Anfangsenergie von aus. Bei einer anschließenden Bewegung in Luft ist die kinetische Energie der Teilchen von der zurückgelegten Wegstrecke x abhängig. In Abbildung 2 ist eine Modellierung dieser Abhängigkeit für die Teilchen aus dem Zerfall von dargestellt.

Abbildung 2: Kinetische Energie der Teilchen in Luft

• Erkläre qualitativ den in Abbildung 2 dargestellten Kurvenverlauf.

• Gib anhand von Abbildung 2 den theoretischen Wert für die Reichweite der Teilchen in Luft an.

Die kinetische Energie der Teilchen in Luft soll in Abhängigkeit von der zurückgelegten Wegstrecke näherungsweise durch die lineare Funktion

beschrieben werden.

• Zeichne den zugehörigen Graphen in Abbildung 2 ein.

• Beurteile anhand der ergänzten Abbildung 2 die Aussage, dass die kinetische Energie der Teilchen in Luft um rund pro abnimmt.

Die Reichweite der Teilchen des Präparats wird mithilfe eines Geiger-Müller-Zählrohr bestimmt. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 3 dargestellt.

Abbildung 3: Versuchsaufbau: links das Präparat, rechts das Zählrohr und dazwischen ein Stück Papier als Absorber

Hierbei werden die Zählraten der vom Präparat ausgehenden Strahlung in unterschiedlichen Abständen zwischen Präparat und Zählrohr gemessen. Die Messung wird zunächst ohne und dann mit einem Absorber in Form eines Stücks Papier durchgeführt. Das Papier deckt das Austrittsfenster des Präparats vollständig in Richtung Zählrohr ab.

Abbildung 4 zeigt in einem Diagramm für beide Messungen jeweils die Messpunkte unter Berücksichtigung der Nullrate sowie eine Ausgleichskurve.

Abbildung 4: Zählraten ohne und mit Absorber

• Erkläre, dass die Zählraten mit wachsendem Abstand unabhängig von der Absorption von Strahlung durch Luft abnehmen.

Die ebenfalls emittierte Strahlung wird auch vom Zählrohr gemessen.

• Entscheide, welche der Ausgleichskurven 1 und 2 in Abbildung 4 jeweils der Messung ohne den bzw. mit dem Absorber zuzuordnen ist.

• Erkläre, wie sich anhand der beiden Messungen Zählraten nur für die Strahlung und damit dann die Reichweite der Teilchen ermitteln lassen.

Aus den theoretischen Überlegungen in Teilaufgabe 2 ist bekannt, dass die Reichweite R einen bestimmten Wert zwischen und annimmt. Stochastisch bedingte Unterschiede beim Abbremsen der einzelnen Teilchen führen aber dazu, dass die Werte der Reichweite um einen mittleren Wert streuen. Eine Bestimmung dieses Wertes anhand von Abbildung 4 ist nur sehr ungenau möglich, da die Zählraten noch zu starken stochastischen Schwankungen unterliegen.

• Begründe die Notwendigkeit einer längeren Messzeit im Hinblick auf die Bestimmung der mittleren Reichweite der Teilchen.

Für eine jeweils längere Messzeit sind die Zählraten für Abstände unterhalb des theoretischen Wertes für die Reichweite in der folgenden Tabelle 1 dargestellt.

Tabelle 1

• Bestimme anhand einer grafischen Auswertung der drei Messwertpaare eine lineare Gleichung, um den Zusammenhang zwischen der Zählrate und dem Abstand näherungsweise zu beschreiben.

• Bestimme anhand der Gleichung rechnerisch den Wert für die mittlere Reichweite der Teilchen in Luft.

Das Absorptionsverhalten von Strahlung in Materie zeigt sich im Vergleich zur Strahlung grundsätzlich anders.

• Beschreibe, inwiefern sich das Absorptionsverhalten von Strahlung gegenüber dem von Strahlung unterscheidet.

Bei monoenergetischer Strahlung lässt sich die Zählrate jeweils in Abhängigkeit von der Absorberdicke durch die Gleichung

beschreiben, wobei die Zählrate ohne Absorber und der material- und energieabhängige Absorptionskoeffizient ist.

In einem Versuch wird der Absorptionskoeffizient für Aluminium als Absorber und für Strahlung aus einem Präparat mit einer Energie von rund bestimmt.

In Abbildung 5 sind die Ergebnisse der Messung der Zählrate in Abhängigkeit von der Schichtdicke des Aluminiums sowie eine Ausgleichskurve mit exponentiellem Verlauf dargestellt.

Abbildung 5: Zählraten und Ausgleichskurve

• Bestimme anhand von Abbildung 5 den Absorptionskoeffizienten

  [Literaturwert: ]

Der Aluminiumcontainer in Abbildung 1 besitzt eine Wand- und Bodendicke von mindestens

• Bestimme den Anteil der Strahlung, der durch den Container mindestens absorbiert wird.

Es wird angenommen, dass Teilchen in einem evakuierten Raum senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes magnetisches Feld eintreten.

• Begründe, dass die Teilchen auf eine kreisförmige Bahnkurve abgelenkt werden.

In einem Feld der Stärke wird der Radius der Kreisbahn durch die Gleichung

beschrieben. Hierbei bezeichnet die Masse und die Ladung eines Teilchens.

• Leite die Gleichung für den Radius mit einem klassischen Ansatz her.

Teilchen besitzen die Masse Zur Ablenkung der Teilchen des Präparats mit einer Anfangsenergie von wird ein Hufeisenmagnet verwendet, der im Innenbereich zwischen den beiden Schenkeln eine Stärke von aufweist.

• Berechne den maximalen Radius den die Teilchen am Anfang ihrer Bahnkurve besitzen.

  [Kontrollergebnis: (gerundet)]

Bewegen sich die Teilchen in Luft, so ist die Bahnkurve im homogenen magnetischen Feld nicht mehr kreisförmig.

• Begründe diese Aussage.

Zum experimentellen Nachweis der Ablenkung der Teilchen des Präparats im Feld des Hufeisenmagneten soll der Versuchsaufbau in Abbildung 6 dienen.

Abbildung 6: Versuchsaufbau: links das radioaktive Präparat und rechts das Zählrohr

Hierbei werden die Zählraten der vom Präparat ausgehenden Strahlung unter verschiedenen Winkeln gemessen. Zu beachten sind die vorgegebene -Stellung des Zählrohrs und die positive Richtung des Zählrohrwinkels entgegen dem Uhrzeigersinn.

• Bestimme die Richtung, in welche die Teilchen in Abbildung 6 unabhängig von der dargestellten Position des Zählrohrs abgelenkt werden.

Bei einer Messung innerhalb ihrer Reichweite konnte im Rahmen der Messgenauigkeit keine Ablenkung der Teilchen des Präparats nachgewiesen werden.

• Erkläre dieses Ergebnis mithilfe von Teilaufgabe b.

Wird dieser Versuch stattdessen mit einem Radium-226-Präparat () durchgeführt, so ergibt sich die in Abbildung 7 dargestellten Zählraten in Abhängigkeit vom Zählrohrwinkel

Abbildung 7: Winkelverteilung der Zählraten; durchgezogene Linie ohne bzw. gestrichelte Linie mit Hufeisenmagnet

Zum Vergleich sind die Werte bei einer Messung ohne bzw. mit Hufeisenmagnet dargestellt, auch hier wieder innerhalb der Reichweite der Teilchen aufgenommen. Ohne Hufeisenmagnet zeigt sich eine symmetrische Winkelverteilung in etwa bezüglich der -Stellung.

• Erläutere die Ursache für die Aufhebung dieser Symmetrie beim Präparat unter dem Einfluss des Hufeisenmagneten.

Ermitteln der Zerfallsreihe

Aus der Nuklidkarte lassen sich die ersten drei Tochternuklide für den häufigsten Zerfallszweig sowie das stabile Endnuklid ablesen:

Hinweis: Bismut-209 ist hier als Endnuklid aufgeführt, zerfällt jedoch theoretisch über einen weiteren Prozess mit einer extrem langen Halbwertszeit von weiter. Daher ist auch die Angabe von Thallium-205 () als stabiles Endnuklid korrekt.

Qualitativ Begründen

Americium-241 zerfällt durch einen Zerfall mit einer Halbwertszeit von zu Neptunium-237. Das entstandene Neptunium-237 zerfällt anschließend weiter zu Protactinium-233. Für diesen zweiten Schritt beträgt die Halbwertszeit jedoch

Werden diese beiden Werte verglichen, fällt die zweite Halbwertszeit extrem viel größer aus. Aufgrund dieser enormen Zeitspanne finden die nachfolgenden Zerfallsprozesse in jedem praxisrelevanten Beobachtungszeitraum so selten statt, dass sie kaum messbare Strahlung erzeugen. Folglich leisten die weiteren Zerfälle fast keinen Beitrag zur Gesamtaktivität des Präparats und sind zu vernachlässigen.

Direkt nach dem Zerfall von Americium-241 befindet sich der neu entstandene Atomkern des Neptunium-237 zunächst in einem energetisch angeregten Zustand. Um in den stabileren Grundzustand überzugehen, gibt der Kern diese überschüssige Energie ab. Dies geschieht durch die Emission von Strahlung.

Das Diagramm verdeutlicht, dass die kinetische Energie der Teilchen entlang der in Luft zurückgelegten Wegstrecke kontinuierlich von der Anfangsenergie bis auf null abfällt.

Sobald dieser Nullwert erreicht ist, sind die Teilchen vollständig abgebremst.

Dieser stetige Energieverlust entsteht dadurch, dass die Teilchen auf ihrem Weg durch die Luft wiederholt mit Luftteilchen zusammenstoßen (inelastische Stöße) und diese dabei ionisieren.

Angeben der theoretischen Reichweite

Die Reichweite entspricht genau der Wegstrecke, bei der die kinetische Energie null beträgt. Ein Ablesen dieses Punktes auf der -Achse des Diagramms liefert den Wert

Ergänzen des Graphens der linearen Funktion

Beurteilung der linearen Näherung

Die beschriebene lineare Funktion geht von einer konstanten Abnahmerate der Energie aus. Eine Berechnung mit den gegebenen Werten bestätigt den in der Aufgabe vorgeschlagenen Richtwert:

Ein Vergleich dieser idealisierten linearen Abnahme (eine Gerade vom Start- zum Endpunkt im Diagramm) mit der vorgegebenen Kurve zeigt, dass der Wert von rund im mittleren Wegstreckenbereich eine sehr gute Näherung darstellt.

Bei kleineren Wegstrecken am Anfang der Flugbahn verläuft die Kurve flacher, dort fällt die tatsächliche Abnahmerate zunächst kleiner als der Durchschnitt aus.

Bei größeren Wegstrecken gegen Ende der Flugbahn fällt die Energiekurve hingegen deutlich steiler ab, sodass die Abnahmerate dort größer ist als der lineare Durchschnittswert.

Abnahme der Zählraten mit wachsendem Abstand:

Die Zählraten sinken mit wachsendem Abstand da die Strahlung ausgehend vom Präparat in einen immer breiter werdenden Raumbereich emittiert wird. Dadurch wird der vom Zählrohr erfasste Winkelbereich mit zunehmendem Abstand immer kleiner (geometrischer Effekt). Eine Absorption der Strahlung durch die Luft ist für diese Abnahme zunächst nicht hauptverantwortlich.

Zuordnung der Ausgleichskurven:

• Die Ausgleichskurve 1 gehört zur Messung ohne Absorber, da das Zählrohr in diesem Fall sowohl die als auch die Strahlung erfasst.

• Sobald das Stück Papier als Absorber in den Aufbau eingefügt wird, blockiert dieses die Strahlung vollständig. Daher zeigt die Ausgleichskurve 2 ausschließlich die noch verbleibende Strahlung.

Ermittlung der Zählraten und der Reichweite:

Die Zählrate der reinen Strahlung ergibt sich für jeden Abstand aus der Differenz der zugehörigen Werte der beiden Ausgleichskurven. Um die Reichweite zu ermitteln, lässt sich der Schnittpunkt der beiden Ausgleichskurven im Diagramm betrachten. Die zugehörige -Koordinate dieses Schnittpunktes entspricht der Reichweite.

Alternativ lassen sich die berechneten Differenzwerte in einem neuen Diagramm gegen den Abstand auftragen; der Schnittpunkt der entstehenden Kurve mit der -Achse liefert dann ebenfalls die Reichweite.

Notwendigkeit einer längeren Messzeit

Stochastisch bedingte Unterschiede beim Abbremsen der einzelnen Teilchen führen im Bereich nahe der maximalen Reichweite zu sehr geringen Zählraten Diese ohnehin kleinen Werte unterliegen verhältnismäßig großen statistischen Schwankungen. Eine Verlängerung der Messzeit reduziert diese relativen Schwankungen deutlich, wodurch sich die mittlere Reichweite erheblich präziser bestimmen lässt.

Bestimmen einer linearen Gleichung

Die grafische Auswertung liefert die folgende Regressionsgerade:

Die zugehörige lineare Gleichung zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen der Zählrate und dem Abstand lautet:

Berechnung der mittleren Reichweite

Der Wert für die mittlere Reichweite der Teilchen entspricht der Nullstelle dieser linearen Funktion, da dort keine Teilchen mehr das Zählrohr erreichen (). Durch Gleichsetzen mit null und Umstellen nach (bzw. ) ergibt sich:

Dieser experimentell ermittelte Wert stimmt sehr gut mit dem aus dem Graphen abgelesenen theoretischen Wert überein.

• Im Gegensatz zur Strahlung besitzt die Strahlung keine endliche Reichweite, nach deren Überschreiten die Intensität exakt auf null absinkt.

• Vielmehr fällt die Intensität der Strahlung mit zunehmender Schichtdicke des Absorbers lediglich exponentiell ab.

• Um einen nennenswerten Absorptionseffekt zu erzielen, sind bei Strahlung zudem spezielle, dichte Materialien wie beispielsweise Aluminium oder Blei zwingend erforderlich.

Aus der Ausgleichskurve in Abbildung 5 lässt sich die Halbwertsdicke ablesen. Sie gibt an, nach welcher Strecke sich die Zählrate halbiert hat. Der abgelesene Wert beträgt

Mit diesem Wert berechnet sich der Absorptionskoeffizient wie folgt:

Das entspricht exakt dem angegebenen Literaturwert.

Der Aluminiumcontainer besitzt eine Dicke von mindestens was entspricht. Um den Anteil der Strahlung zu berechnen, der maximal noch durch die Wand hindurchgelassen wird, wird dieser Wert in den exponentiellen Teil der gegebenen Transmissionsgleichung eingesetzt:

Dieses Ergebnis bedeutet, dass der Container höchstens der ursprünglichen Strahlung hindurchlässt. Im Umkehrschluss werden somit mindestens der auftreffenden Strahlung durch das Aluminium absorbiert.

Begründen der Kreisbahn

Die Lorentzkraft wirkt stets senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung der Teilchen. Aus diesem Grund ändert sich der Betrag der Bahngeschwindigkeit nicht. Da die Teilchen in ein homogenes Magnetfeld eintreten, ist auch die magnetische Flussdichte konstant. Folglich bleibt der Betrag der Lorentzkraft ebenfalls konstant, somit wirkt diese als Zentripetalkraft, die die Teilchen auf eine kreisförmige Bahnkurve zwingt.

Herleitung der Gleichung für den Radius

Da die Lorentzkraft die für die Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft aufbringt, lautet der Kräfteansatz:

Eingesetzt ergibt das:

Mit der klassischen Formel für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der kinetischen Energie () ergibt sich durch Einsetzen die gesuchte Gleichung:

Berechnung des maximalen Radius

Der maximale Radius liegt ganz am Anfang der Flugbahn vor, da die Teilchen zu diesem Zeitpunkt noch ihre Anfangsenergie (maximale Energie) besitzen. Unter Berücksichtigung der Ladung eines Teilchens () und der gegebenen Werte für die Anfangsenergie sowie die magnetische Flussdichte ergibt sich:

Begründen der Bahnkurve in Luft

Bewegen sich die Teilchen nicht im Vakuum, sondern in Luft, verlieren sie auf ihrem Weg durch inelastische Stöße kontinuierlich an kinetischer Energie Da die kinetische Energie im Zähler der Radiusformel steht, wird der Bahnradius mit zunehmender Flugstrecke ebenfalls immer kleiner. Folglich beschreibt die Flugbahn keine Kreisbahn mehr, sondern dreht sich spiralförmig ein.

Bestimmen der Ablenkungsrichtung

Die Teilchen sind positiv geladen. Mithilfe der Drei-Finger-Regel der rechten Hand lässt sich die Richtung der wirkenden Lorentzkraft ermitteln. Daraus folgt, dass die Teilchen in Richtung der positiven Werte des Zählrohrwinkels abgelenkt werden.

Erklärung zur fehlenden messbaren Ablenkung

Das Feld des Hufeisenmagneten kann die Teilchen auf der relativ kurzen Wegstrecke in der Luft (begrenzt durch ihre Reichweite) kaum ablenken. Aufgrund des sehr großen Anfangsradius von verläuft die Bahnkurve auf den ersten Zentimetern nahezu geradlinig. Der Bahnradius sinkt zwar stetig, bleibt aber über die gesamte gemessene Strecke so enorm groß, dass die resultierende Ablenkung extrem klein bleibt und experimentell im Rahmen der Messgenauigkeit nicht erfasst werden kann.

Erläuterung der Ursache für die asymmetrische Winkelverteilung

Beim Präparat wird die symmetrische Winkelverteilung durch das Magnetfeld deutlich aufgehoben. Auffällig ist, dass die Zählraten besonders bei den negativen Winkeln stark erhöht sind. Dies deutet auf den Nachweis von vermehrt negativ geladenen Teilchen hin. Bei diesen Teilchen handelt es sich um Strahlung aus der Zerfallskette des Radium-226. Diese negativ geladenen Elektronen werden durch das Magnetfeld gemäß der Drei-Finger-Regel der linken Hand in die negative Winkelrichtung abgelenkt und verursachen dort die erhöhten Zählraten.