HT 2 — Fahrradbeleuchtung

Der Kondensator ist ein Bauteil, welches in vielen elektrischen Schaltungen verwendet wird. Bei dem Standlicht einer Fahrradbeleuchtung kann ein Kondensator verwendet werden.

Rotes Fahrradrücklicht mit Reflektoren am Gepäckträger

Abbildung 1: Rückleuchte am Fahrrad

Quelle Zugriff 22.04.2026

Teilaufgabe 1: Das elektrische Feld

In der Physik wird das Konzept des Feldes beispielsweise beim elektrischen Feld und beim Magnetfeld genutzt.

Gib jeweils eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied zwischen dem elektrischen Feld und dem Magnetfeld an.

Durch verschiedene Prozesse in der Atmosphäre beträgt in der Nähe des Erdbodens die elektrische Feldstärke $Formula: E = 100 \; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}.$ $Formula: E = 100 \; \tfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}.$

Berechne die elektrostatische Kraft $Formula: F_{\mathrm{el}}$ $Formula: F_{\mathrm{el}}$ auf ein Elektron in der Nähe des Erdbodens.
Vergleiche die elektrostatische Kraft $Formula: F_{\mathrm{el}}$ $Formula: F_{\mathrm{el}}$ auf ein Elektron in der Nähe des Erdbodens mit der auf das Elektron wirkenden Gravitationskraft $Formula: F_{\mathrm{G}}.$ $Formula: F_{\mathrm{G}}.$

6 BE

In Abbildung 2 sind idealisierte Ausschnitte elektrischer Feldlinienbilder dargestellt.

Zwei senkrechte Platten mit mehreren horizontalen Pfeilen nach rechts, beschriftet E1

Punkt Q in der Mitte mit radialen Pfeilen nach außen.

Abbildung 2: Idealisierte Darstellung eines (a) homogenen und (b) radialsymmetrischen elektrischen Feldes

Quelle (verändert; Zugriff: 22.04.2026)

Ermittle in Abbildung 2a jeweils das Ladungsvorzeichen der Kondensatorplatten.
Gib eine Formel an, mit der der Betrag des elektrischen Feldes in Abhängigkeit vom Plattenabstand der Kondensatorplatten in Abbildung 2a beschrieben werden kann.
Ermittle in Abbildung 2b die Polung der Zentralladung
Gib eine Formel an, mit der der Betrag des radialsymmetrischen elektrischen Feldes in Abhängigkeit vom Abstand von der Zentralladung in Abbildung 2b beschrieben werden kann.
Begründe, dass das radialsymmetrische elektrische Feld in Abbildung 2b ein inhomogenes elektrisches Feld ist.

7 BE

Teilaufgabe 2: Der Kondensator

Bei der Fahrradbeleuchtung kann ein Kondensator verwendet werden, um elektrische Energie zu speichern. Die kennzeichnende Größe eines Kondensators ist die Kapazität Formula: C. Die Kapazität hängt von der Spannung Formula: U und der Ladung Formula: Q wie folgt ab:

$Formula: C = \dfrac{Q}{U}$ $Formula: C = \dfrac{Q}{U}$

Beschreibe kurz ein Experiment, mit dem für einen Plattenkondensator gezeigt werden kann, dass die Ladung Formula: Q des Plattenkondensators proportional zur Ladespannung Formula: U des Plattenkondensators ist.

2 BE

Ein üblicher Plattenkondensator aus dem Physikunterricht hat eine Fläche $Formula: A = 5,1 \cdot 10^{-2} \; \mathrm{m}^2$ $Formula: A = 5,1 \cdot 10^{-2} \; \mathrm{m}^2$ und einen Plattenabstand $Formula: d = 2,0 \; \mathrm{cm}.$ $Formula: d = 2,0 \; \mathrm{cm}.$

Bestimme die Kapazität des Plattenkondensators aus dem Physikunterricht.

Für die Fahrradbeleuchtung werden Kondensatoren benötigt, die eine hohe Kapazität haben und deutlich kleiner gebaut sind als die Plattenkondensatoren aus dem Physikunterricht.

Abbildung 3 zeigt den Aufbau eines Wickelkondensators. Der Wickelkondensator ist in seinen äußeren Abmessungen kleiner als ein Plattenkondensator.

Kreisdiagramm mit mehreren konzentrischen, gestrichelten Ringen und nummerierten Markierungen 1–3

Zylindrische Spule in durchsichtigem Gehäuse mit zwei Anschlussdrähten und Beschriftung "Höhe ca. 1 cm"

Abbildung 3: Aufbau eines Wickelkondensators a) prinzipieller Aufbau: 1 – elektrisch leitender Außenbelag, 2 – elektrisch leitender Innenbelag, 3 – nichtleitendes Material; b) Ausführungsbeispiel

Quelle (verändert; Zugriff 22.04.2026)

Nenne zwei Gründe, weshalb die Kapazität eines Wickelkondensators wie in Abbildung 3 einen größeren Wert als ein Plattenkondensator aus dem Physikunterricht haben kann.

4 BE

In einem Versuch wird die Entladung eines Kondensators untersucht. Dazu wird der durch die Spannung Formula: U_0 geladene Kondensator mit der Kapazität Formula: C in Schalterstellung 2 über einem Widerstand Formula: R entladen. Dabei wird die Stromstärke Formula: I in Abhängigkeit von der Zeit Formula: t gemessen. In Abbildung 4 ist die Schaltung dargestellt.

Schaltbild: Batterie U0, Schalter mit Positionen 1/2, Kondensator C, Widerstand R und Strommesser I

Abbildung 4: Schaltung zur Entladung eines Kondensators

Die aufgenommenen Messwerte sind in der folgenden Tabelle notiert:

$Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$

Tabelle 1: Messwerte des Versuchs zur Entladung eines Kondensators

Zeichne ein geeignetes $Formula: t\text{-}I\text{-}$ $Formula: t\text{-}I\text{-}$ Diagramm aller Messwerte.
Begründe mithilfe einer grafischen Auswertung aller Messwerte, dass die Stromstärke exponentiell mit der Zeit abnimmt.

Für den Zusammenhang zwischen der Stromstärke Formula: I und der Zeit Formula: t gilt:

$Formula: I(t) = I_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C}\cdot t}$ $Formula: I(t) = I_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C}\cdot t}$

Bestimme mithilfe aller Messwerte die Kapazität des verwendeten Kondensators, wenn der Widerstand $Formula: R = 2500\;\Omega$ $Formula: R = 2500\;\Omega$ groß ist.

8 BE

Wird der Entladevorgang eines Kondensators theoretisch betrachtet, dann ergibt sich folgende Gleichung für die zeitliche Ableitung der Ladung $Formula: \dot{Q}_{{C}}$ $Formula: \dot{Q}_{{C}}$ des Kondensators und der Ladung $Formula: Q_{{C}}$ $Formula: Q_{{C}}$ des Kondensators:

$Formula: \dot{Q}_{{C}}(t) = - \left( \dfrac{1}{R \cdot C} \right) \cdot Q_{{C}}(t)$ $Formula: \dot{Q}_{{C}}(t) = - \left( \dfrac{1}{R \cdot C} \right) \cdot Q_{{C}}(t)$

Leite ausgehend vom Ansatz diesen Zusammenhang her, wenn die Spannung am Widerstand und die Spannung am Kondensator ist (vgl. Abbildung 4).
Beschreibe die physikalische Aussage dieser Gleichung beim Entladen eines Kondensators.

Eine Lösung der oben genannten Gleichung für die zeitliche Ableitung der Ladung $Formula: \dot{Q}_{{C}}$ $Formula: \dot{Q}_{{C}}$ des Kondensators und der Ladung Formula: Q_C des Kondensators ist:

$Formula: Q_{{C}}(t) = - C \cdot U_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C}\cdot t}$ $Formula: Q_{{C}}(t) = - C \cdot U_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C}\cdot t}$

Begründe, dass sich mit dieser Lösung der Gleichung die oben genannte Formel für die Stromstärke $Formula: I(t) = I_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C}\cdot t}$ $Formula: I(t) = I_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C}\cdot t}$ ergibt.

8 BE

Teilaufgabe 3: Die Fahrradbeleuchtung

Bei der Fahrradbeleuchtung soll das Standlicht besonders lange leuchten, um eine höchstmögliche Sicherheit zu bieten. In einer Messung wurden die Entladestromstärken I von zwei verschiedenen Kondensatoren A und B aufgenommen. Die Kondensatoren haben die Kapazitäten von $Formula: C_{\mathrm{1}} = 1\; \mathrm{F}$ $Formula: C_{\mathrm{1}} = 1\; \mathrm{F}$ bzw. $Formula: C_{\mathrm{2}} = 2\; \mathrm{F}.$ $Formula: C_{\mathrm{2}} = 2\; \mathrm{F}.$ Abbildung 5 zeigt die entsprechenden Diagramme:

Diagramm: Zwei abklingende Kurven über der Zeit; durchgezogene Kurve 'Kondensator A', gestrichelt 'Kondensator B'.

Abbildung 5: Zeitlicher Verlauf der Entladestromstärken von zwei verschiedenen Kondensatoren A und B in willkürlichen Einheiten

Begründe, welche der beiden Entladekurven zum Kondensator mit der Kapazität von $Formula: C_{\mathrm{1}} = 1\; \mathrm{F}$ $Formula: C_{\mathrm{1}} = 1\; \mathrm{F}$ bzw. $Formula: C_{\mathrm{2}} = 2\; \mathrm{F}$ $Formula: C_{\mathrm{2}} = 2\; \mathrm{F}$ gehört.

Neben der Kapazität Formula: C könnte auch der Widerstand Formula: R im Entladestromkreis verändert werden (vgl. Abbildung 4).

Erläutere, wie sich der Verlauf der Entladestromstärke von Kondensator A im Diagramm aus Abbildung 5 verändern würde, wenn der Widerstand im Entladestromkreis verdoppelt würde, die Anfangsstromstärke aber gleich bliebe.

4 BE

Eine übliche Fahrradbeleuchtung wird bei einer Spannung $Formula: U_{\mathrm{0}} = 6,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{0}} = 6,0\;\mathrm{V}$ betrieben. Eine Fahrradlampe hat eine Leistung von $Formula: P_{\mathrm{L}} = 0,60\;\mathrm{W}.$ $Formula: P_{\mathrm{L}} = 0,60\;\mathrm{W}.$ Die Fahrradlampe leuchtet bis zu einer Spannung von $Formula: U = 3,0\;\mathrm{V}.$ $Formula: U = 3,0\;\mathrm{V}.$

Im Folgenden wird idealisiert davon ausgegangen, dass der elektrische Widerstand Formula: R der Fahrradlampe konstant ist.

Zeige ausgehend von dem Zusammenhang $Formula: U = R \cdot I$ $Formula: U = R \cdot I$ und der Definition der elektrischen Leistung $Formula: P = U \cdot I,$ $Formula: P = U \cdot I,$ dass für den Widerstand der Lampe gilt:

$Formula: R = \dfrac{U_{\mathrm{0}}^2}{P_{\mathrm{L}}}$ $Formula: R = \dfrac{U_{\mathrm{0}}^2}{P_{\mathrm{L}}}$
Bestimme die Kapazität eines Kondensators, sodass die Fahrradlampe noch Minuten im Stand weiter leuchtet.

6 BE

In Abbildung 6 ist der idealisierte zeitliche Verlauf der Leistung beim Entladen des Kondensators einer Fahrradbeleuchtung dargestellt.

Graph: Exponentiell abklingende Kurve P/W gegen t/s, von ~0,6 bei 0 s auf nahe 0 bei 600 s.

Abbildung 6: Idealisierter zeitlicher Verlauf der Leistung beim Entladen eines Kondensators

Beschreibe das Diagramm in Abbildung 6.
Begründe den Verlauf des Diagramms in Abbildung 6.
Erläutere, weshalb die Energiespeicherung mit einem Kondensator nicht für die Dauerbeleuchtung eines Fahrrades beim Stehen geeignet ist.

5 BE

Für den Ladevorgang eines Kondensators gilt für die Spannung Formula: U(t) am Kondensator die folgende Gleichung:

$Formula: U(t) = U_{\mathrm{0}} \cdot (1 - \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C}\cdot t})$ $Formula: U(t) = U_{\mathrm{0}} \cdot (1 - \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C}\cdot t})$

Bestimme die Zeit, die benötigt wird, um den ungeladenen Kondensator der Fahrradbeleuchtung so weit zu laden, dass $Formula: U(t) = 3,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U(t) = 3,0\;\mathrm{V}$ beträgt, wenn der Widerstand der Lampe $Formula: R = 60,0\;\Omega$ $Formula: R = 60,0\;\Omega$ und die Kapazität des Kondensators $Formula: C = 3,0\;\mathrm{F}$ $Formula: C = 3,0\;\mathrm{F}$ und $Formula: U_{\mathrm{0}} = 6,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{0}} = 6,0\;\mathrm{V}$ sind.
Bestimme die Energie, die am Ende des obigen Ladeprozesses in dem Kondensator gespeichert ist.
Ermittle die Spannung, bei der der Kondensator doppelt so viel Energie gespeichert hat.

6 BE

In Abbildung 7 ist der idealisierte zeitliche Verlauf der aufzubringenden elektrischen Leistung für das Laden des Kondensators der Fahrradbeleuchtung dargestellt.

Diagramm: Kurve P (W) gegen t (s), schneller Anstieg zu ~0,15 W bei ~100 s, dann langsamer Abfall bis 600 s.

Abbildung 7: Idealisierter zeitlicher Verlauf der aufzubringenden elektrischen Leistung zum Laden des Kondensators der Fahrradbeleuchtung

Beschreibe den Verlauf des Diagramms in Abbildung 7.
Begründe, weshalb die elektrische Leistung beim Laden des Kondensators der Fahrradbeleuchtung einen Maximalwert annimmt.

Ein normaler Mensch kann beim Fahrradfahren über eine längere Strecke eine Leistung von $Formula: P_{\mathrm{M}} = 200\;\mathrm{W}$ $Formula: P_{\mathrm{M}} = 200\;\mathrm{W}$ aufbringen.

Beurteile mithilfe von Abbildung 7, ob ein Radfahrer bei der Fahrt durch das Laden der Fahrradbeleuchtung spürbar beeinflusst wird.

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Teilaufgabe 1: Das elektrische Feld

Angeben einer Gemeinsamkeit und eines Unterschieds

Gemeinsamkeiten:
- Sowohl das elektrische als auch das magnetische Feld können durch Feldlinienbilder beschrieben werden.
- Ebenso vermitteln beide Felder Kraftwirkungen auf geladene Objekte.
- Die elektrische Feldstärke und die Stärke des magnetischen Feldes nehmen mit zunehmendem Abstand vom Verursacher ab.
Unterschied:
- Elektrische Felder werden von ruhenden und bewegten Ladungsträgern erzeugt, magnetische Felder hingegen ausschließlich von bewegten Ladungsträgern.
- Zudem sind magnetische Feldlinien immer in sich geschlossen, was bei elektrischen Feldlinien nicht der Fall ist.
- Die Richtung der Magnetfeldlinien geht vom magnetischen Nordpol zum magnetischen Südpol, die elektrischen Feldlinien verlaufen vom positiv geladenen Körper in Richtung zum negativ geladenen Körper.
- Die elektrische Feldstärke nimmt mit steigender Spannung zu, die Stärke des magnetischen Feldes nimmt mit zunehmender Stromstärke zu.

Berechnung der elektrostatischen Kraft:

Die Kraft $Formula: F_{\mathrm{el}}$ $Formula: F_{\mathrm{el}}$ auf ein Elektron im vorgegebenen elektrischen Feld berechnet sich wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{el}} & = & q \cdot E \\[5pt] & = & 1,60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 100\;\mathrm{\dfrac{V}{m}} \\[5pt] & = & 1,60 \cdot 10^{-17}\;\mathrm{N} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{el}} & = & q \cdot E \\[5pt] & = & 1,60 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C} \cdot 100\;\mathrm{\dfrac{V}{m}} \\[5pt] & = & 1,60 \cdot 10^{-17}\;\mathrm{N} \end{array}$

Vergleich mit der Gravitationskraft:

Zunächst wird die Gravitationskraft $Formula: F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{G}}$ auf das Elektron über seine Masse Formula: m und den Ortsfaktor Formula: g berechnet:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{G}} & = & m \cdot g \\[5pt] & = & 9,11 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\mathrm{\dfrac{m}{s^2}} \\[5pt] & = & 8,94 \cdot 10^{-30}\;\mathrm{N} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{G}} & = & m \cdot g \\[5pt] & = & 9,11 \cdot 10^{-31}\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\mathrm{\dfrac{m}{s^2}} \\[5pt] & = & 8,94 \cdot 10^{-30}\;\mathrm{N} \end{array}$

Werden beide Ergebnisse verglichen, so zeigt sich, dass die elektrostatische Kraft auf das Elektron etwa um den Faktor $Formula: 1,79 \cdot 10^{12}$ $Formula: 1,79 \cdot 10^{12}$ größer ist als die einwirkende Gravitationskraft.

Polung der Kondensatorplatten und Angeben einer Formel

Da elektrische Feldlinien immer vom positiven zum negativen Pol verlaufen, ist die linke Platte positiv und die rechte Platte negativ geladen.

Die elektrische Feldstärke $Formula: E_{1}$ $Formula: E_{1}$ lässt sich in Abhängigkeit von der anliegenden Spannung Formula: U und dem Plattenabstand Formula: d durch folgende Formel beschreiben:

$Formula: E_{1} = \frac{U}{d}$ $Formula: E_{1} = \frac{U}{d}$

Ermitteln der Polung der Zentralladung und Angeben einer Formel

Die eingezeichneten Feldlinien sind von der Zentralladung Formula: Q weggerichtet. Folglich ist diese Ladung positiv.

Für die elektrische Feldstärke dieses radialsymmetrischen Feldes $Formula: E_{2}$ $Formula: E_{2}$ gilt:

$Formula: E_{2} = \frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_{\mathrm{0}}} \cdot \frac{Q}{r^2}$ $Formula: E_{2} = \frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon_{\mathrm{0}}} \cdot \frac{Q}{r^2}$

Begründung zur Inhomogenität

Die Formel zeigt, dass die elektrische Feldstärke im radialsymmetrischen Feld vom Abstand Formula: r abhängt und somit nicht in jedem Raumpunkt den gleichen, konstanten Wert aufweist. Folglich ist das radialsymmetrische Feld kein homogenes Feld.

Teilaufgabe 2: Der Kondensator

Ein Plattenkondensator wird nacheinander mit unterschiedlichen Ladespannungen Formula: U aufgeladen. Nach dem jeweiligen Aufladevorgang wird die gespeicherte Ladung Formula: Q des Plattenkondensators (beispielsweise über einen Messverstärker) bestimmt. Die Auswertung dieser Messwertpaare zeigt anschließend die Proportionalität zwischen der Ladung und der Ladespannung auf

Bestimmen der Kapazität

Für die Kapazität Formula: C des beschriebenen (luftgefüllten) Plattenkondensators gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & = & 8,9 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot \dfrac{5,1 \cdot 10^{-2}\;\mathrm{m}^2}{0,020\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 2,3 \cdot 10^{-11}\;\mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \varepsilon_{0} \cdot \dfrac{A}{d} \\[5pt] & = & 8,9 \cdot 10^{-12}\;\mathrm{\dfrac{As}{Vm}} \cdot \dfrac{5,1 \cdot 10^{-2}\;\mathrm{m}^2}{0,020\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 2,3 \cdot 10^{-11}\;\mathrm{F} \end{array}$

Nennen zweier Gründe

Ein Wickelkondensator kann im Vergleich zum Plattenkondensator einen deutlich größeren Kapazitätswert erreichen. Das liegt an seinem Aufbau.

Durch die enge Wicklung des elektrisch leitenden Innenbelags und Außenbelags wird eine enorm große Fläche in Bezug auf das Volumen des Kondensators erzielt. Das führt zu einer höheren Kapazität
Der Abstand zwischen diesen beiden elektrisch leitenden Belägen ist extrem klein. Das führt ebenfalls zu einer höheren Kapazität

Zeichnen des Diagramms

Die gemessenen Wertepaare können in ein Formula: t - Formula: I -Diagramm eingetragen werden:

Diagramm: Exponentiell fallende Stromstärke (I/mA) über Zeit (t/s) mit Messpunkten und Fit.

Begründen der exponentiellen Abnahme

In dem Formula: t - Formula: I -Diagramm lässt sich eine exponentielle Ausgleichskurve durch die Datenpunkte legen. Die Passgenauigkeit dieser Ausgleichskurve ist hervorragend (das Bestimmtheitsmaß liegt hier bei Formula: R^2 = 1 ), was bestätigt, dass die Stromstärke tatsächlich exponentiell mit der Zeit abnimmt.

Die ermittelte Stromstärkefunktion lautet:

$Formula: I(t) = 502,6\;\mathrm{mA} \cdot \text{e}^{-0,402\;\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot t}$ $Formula: I(t) = 502,6\;\mathrm{mA} \cdot \text{e}^{-0,402\;\frac{1}{\mathrm{s}} \cdot t}$

Ein Vergleich der Exponenten liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{R \cdot C} & = & 0,402\;\mathrm{\dfrac{1}{s}} &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{C}{0,402\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}} \\[5pt] C & = & \dfrac{1}{2500\;\Omega \cdot 0,402\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}} \\[5pt] & = & 9,95 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{R \cdot C} & = & 0,402\;\mathrm{\dfrac{1}{s}} &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{C}{0,402\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}} \\[5pt] C & = & \dfrac{1}{2500\;\Omega \cdot 0,402\;\mathrm{\tfrac{1}{s}}} \\[5pt] & = & 9,95 \cdot 10^{-4}\;\mathrm{F} \end{array}$

Herleitung der Differentialgleichung

Als Ausgangspunkt für den Entladestromkreis dient die Maschenregel:

$Formula: U_{{R}}(t) + U_{{C}}(t) = 0$ $Formula: U_{{R}}(t) + U_{{C}}(t) = 0$

Da die gesuchte Differenzialgleichung am Ende aber nur von Formula: Q_C(t) und $Formula: \dot{Q_C}(t)$ $Formula: \dot{Q_C}(t)$ abhängen soll, müssen die Spannungen umgeformt werden:

$Formula: U_R(t) = R \cdot I(t) = R \cdot \dot{Q_C}(t)$ $Formula: U_R(t) = R \cdot I(t) = R \cdot \dot{Q_C}(t)$

$Formula: U_C(t) = \dfrac{Q_C(t)}{C}$ $Formula: U_C(t) = \dfrac{Q_C(t)}{C}$

Einsetzen in die Maschenregel ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{{R}}(t) + U_{{C}}(t) & = & 0 \\[5pt] R \cdot \dot{Q}_{{C}}(t) + \dfrac{Q_{{C}}(t)}{C} & = & 0 &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{1}{R} \\[5pt] \dot{Q}_{{C}}(t) + \dfrac{1}{R \cdot C} \cdot Q_{{C}}(t) & = & 0 &\quad\scriptsize\mid - \dfrac{1}{R \cdot C} \cdot Q_{{C}}(t) \\[5pt] \dot{Q}_{{C}}(t) & = & - \left( \dfrac{1}{R \cdot C} \right) \cdot Q_{{C}}(t) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} U_{{R}}(t) + U_{{C}}(t) & = & 0 \\[5pt] R \cdot \dot{Q}_{{C}}(t) + \dfrac{Q_{{C}}(t)}{C} & = & 0 &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{1}{R} \\[5pt] \dot{Q}_{{C}}(t) + \dfrac{1}{R \cdot C} \cdot Q_{{C}}(t) & = & 0 &\quad\scriptsize\mid - \dfrac{1}{R \cdot C} \cdot Q_{{C}}(t) \\[5pt] \dot{Q}_{{C}}(t) & = & - \left( \dfrac{1}{R \cdot C} \right) \cdot Q_{{C}}(t) \end{array}$

Das entspricht der gesuchten Differenzialgleichung.

Beschreiben der physikalischen Aussage

Physikalisch besagt diese Gleichung, dass die Änderungsrate der Ladung $Formula: \dot{Q}_{{C}}(t)$ $Formula: \dot{Q}_{{C}}(t)$ beim Entladevorgang stets proportional zur noch auf dem Kondensator vorhandenen Ladung $Formula: Q_{{C}}(t)$ $Formula: Q_{{C}}(t)$ ist.

Nachweis des angegebenen Lösungsansatzes

Die Stromstärke ist die erste Ableitung der Ladung:

$Formula: I(t) = \dot{Q}_{{C}}(t) = -\frac{1}{R \cdot C} \cdot Q_{{C}}(t)$ $Formula: I(t) = \dot{Q}_{{C}}(t) = -\frac{1}{R \cdot C} \cdot Q_{{C}}(t)$

Hier kann die gegebene Lösung für die Ladung eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} I(t) & = & -\dfrac{1}{R \cdot C} \cdot \left(-C \cdot U_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t}\right) \\[5pt] I(t) & = & \dfrac{U_{0}}{R} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t} \\[5pt] I(t) & = & I_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} I(t) & = & -\dfrac{1}{R \cdot C} \cdot \left(-C \cdot U_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t}\right) \\[5pt] I(t) & = & \dfrac{U_{0}}{R} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t} \\[5pt] I(t) & = & I_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t} \end{array}$

Teilaufgabe 3: Die Fahrradbeleuchtung

Zuordnen der Entladekurven

Die Entladekurven folgen folgender Gleichung:

$Formula: I(t) = I_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t}$ $Formula: I(t) = I_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t}$

Ein kleinerer Wert der Kapazität Formula: C führt zu einem größeren Bruch $Formula: \tfrac{1}{R \cdot C}$ $Formula: \tfrac{1}{R \cdot C}$ im Exponenten und bewirkt dadurch einen steileren Abfall der Stromstärke. Folglich gehört die tiefer liegende Kurve von Kondensator A zur kleineren Kapazität $Formula: C_{\mathrm{1}} = 1\;\mathrm{F}$ $Formula: C_{\mathrm{1}} = 1\;\mathrm{F}$ und die flachere Kurve von Kondensator B zur größeren Kapazität $Formula: C_{\mathrm{2}} = 2\;\mathrm{F}.$ $Formula: C_{\mathrm{2}} = 2\;\mathrm{F}.$

Erläutern des Verlaufs der Entladestromstärke

Wird der Widerstand im Entladestromkreis von Kondensator A verdoppelt, halbiert sich der Bruch $Formula: \tfrac{1}{R \cdot C}$ $Formula: \tfrac{1}{R \cdot C}$ im Exponenten. Der Ausdruck $Formula: \tfrac{1}{2 \cdot R \cdot C_{\mathrm{1}}}$ $Formula: \tfrac{1}{2 \cdot R \cdot C_{\mathrm{1}}}$ nimmt dann exakt den gleichen Wert an wie der Ausdruck $Formula: \tfrac{1}{R \cdot C_{\mathrm{2}}}$ $Formula: \tfrac{1}{R \cdot C_{\mathrm{2}}}$ für den Kondensator B. Somit ergäbe sich für Kondensator A exakt derselbe Kurvenverlauf wie für Kondensator B.

Zeigen des Zusammenhangs

Aus dem ohmschen Gesetz $Formula: I = \tfrac{U}{R}$ $Formula: I = \tfrac{U}{R}$ und der Formel für die elektrische Leistung $Formula: P = U \cdot I$ $Formula: P = U \cdot I$ folgt durch Einsetzen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P & = & U \cdot I \\[5pt] & = & \dfrac{U^2}{R} &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{R}{P} \\[5pt] R & = & \dfrac{U^2}{P_{}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P & = & U \cdot I \\[5pt] & = & \dfrac{U^2}{R} &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{R}{P} \\[5pt] R & = & \dfrac{U^2}{P_{}} \end{array}$

Für die Fahrradlampe gilt entsprechend:

$Formula: R=\frac{U_0^2}{P_{\mathrm{L}}}$ $Formula: R=\frac{U_0^2}{P_{\mathrm{L}}}$

Bestimmen der Kapazität

Mit der gerade hergeleiteten Beziehung kann zunächst der Widerstand Formula: R berechnet werden:

$Formula: R = \frac{(6,0\;\mathrm{V})^2}{0,60\;\mathrm{W}} = 60\;\Omega$ $Formula: R = \frac{(6,0\;\mathrm{V})^2}{0,60\;\mathrm{W}} = 60\;\Omega$

Für die am Kondensator abfallende Spannung gilt der exponentielle Zusammenhang $Formula: U(t) = U_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}.$ $Formula: U(t) = U_{\mathrm{0}} \cdot \text{e}^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}.$ Nach Ablauf von $Formula: t = 120\;\mathrm{s}$ $Formula: t = 120\;\mathrm{s}$ soll noch eine Restspannung von $Formula: U = 3,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U = 3,0\;\mathrm{V}$ anliegen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 3,0\;\mathrm{V} & = & 6,0\;\mathrm{V} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{60\;\Omega \cdot C} \cdot 120\;\mathrm{s}} &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{1}{6,0\;\mathrm{V}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} & = & \mathrm{e}^{-\dfrac{120\;\mathrm{s}}{60\;\Omega \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid \ln(\;) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) & = & -\dfrac{120\;\mathrm{s}}{60\;\Omega \cdot C} &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{C}{\ln(\tfrac{1}{2})} \\[5pt] C & = & \dfrac{-120\;\mathrm{s}}{60\;\Omega \cdot \ln(\tfrac{1}{2})} \\[5pt] & \approx & 2,9\;\mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 3,0\;\mathrm{V} & = & 6,0\;\mathrm{V} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{60\;\Omega \cdot C} \cdot 120\;\mathrm{s}} &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{1}{6,0\;\mathrm{V}} \\[5pt] \dfrac{1}{2} & = & \mathrm{e}^{-\dfrac{120\;\mathrm{s}}{60\;\Omega \cdot C}} &\quad\scriptsize\mid \ln(\;) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) & = & -\dfrac{120\;\mathrm{s}}{60\;\Omega \cdot C} &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{C}{\ln(\tfrac{1}{2})} \\[5pt] C & = & \dfrac{-120\;\mathrm{s}}{60\;\Omega \cdot \ln(\tfrac{1}{2})} \\[5pt] & \approx & 2,9\;\mathrm{F} \end{array}$

Beschreiben des Diagramms

Das Diagramm zeigt, dass die Leistung zum Startzeitpunkt Formula: t = 0 einen Anfangswert von $Formula: P = 0,6\;\mathrm{W}$ $Formula: P = 0,6\;\mathrm{W}$ besitzt. Anschließend nimmt sie stetig exponentiell ab und nähert sich ab etwa $Formula: t = 500\;\mathrm{s}$ $Formula: t = 500\;\mathrm{s}$ der Zeitachse (dem Wert null) an.

Begründen des Verlaufs

Dieser Verlauf begründet sich dadurch, dass während der Entladung sowohl die Spannung als auch die Stromstärke exponentiell abfallen. Für die elektrische Leistung gilt das Produkt dieser beiden exponentiell abnehmenden Funktionen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(t) & = & U(t) \cdot I(t) \\[5pt] & = & U_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t} \cdot I_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t} \\[5pt] & = & U_{0} \cdot I_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{2}{R \cdot C} \cdot t} \\[5pt] & = & P_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{2}{R \cdot C} \cdot t} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(t) & = & U(t) \cdot I(t) \\[5pt] & = & U_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t} \cdot I_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{1}{R \cdot C} \cdot t} \\[5pt] & = & U_{0} \cdot I_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{2}{R \cdot C} \cdot t} \\[5pt] & = & P_{0} \cdot \mathrm{e}^{-\tfrac{2}{R \cdot C} \cdot t} \end{array}$

Folglich nimmt die Leistung Formula: P(t)

Erläutern der Energiespeicherung mit einem Kondensator

Für eine Dauerbeleuchtung des Fahrrades beim Stehen ist diese Art der Energiespeicherung absolut ungeeignet, da die verfügbare Leistung extrem schnell absinkt. Die Fahrradlampe würde rapide an Helligkeit verlieren und nach relativ kurzer Zeit komplett erlöschen, sobald die erforderliche Schwellenspannung unterschritten ist.

Bestimmen der benötigten Zeit

Mit der Formel für die Spannung während des Ladevorgangs $Formula: U(t) = U_{\mathrm{0}} \cdot (1 - \text{e}^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t})$ $Formula: U(t) = U_{\mathrm{0}} \cdot (1 - \text{e}^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t})$ und den geforderten Werten $Formula: U(t) = 3,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U(t) = 3,0\;\mathrm{V}$ sowie der Ladespannung $Formula: U_{\mathrm{0}} = 6,0\;\mathrm{V}$ $Formula: U_{\mathrm{0}} = 6,0\;\mathrm{V}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 3,0\;\mathrm{V} & = & 6,0\;\mathrm{V} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{60\;\Omega \cdot 3,0\;\mathrm{F}}}) &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{1}{6,0\;\mathrm{V}} \\[5pt] 0,5 & = & 1 - \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{180\;\mathrm{s}}} &\quad\scriptsize\mid + \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{180\;\mathrm{s}}} - 0,5 \\[5pt] \dfrac{1}{2} & = & \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{180\;\mathrm{s}}} &\quad\scriptsize\mid \ln(\;) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) & = & -\dfrac{t}{180\;\mathrm{s}} &\quad\scriptsize\mid \cdot (-180\;\mathrm{s}) \\[5pt] t & = & -180\;\mathrm{s} \cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] & \approx & 125\;\mathrm{s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 3,0\;\mathrm{V} & = & 6,0\;\mathrm{V} \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{60\;\Omega \cdot 3,0\;\mathrm{F}}}) &\quad\scriptsize\mid \cdot \dfrac{1}{6,0\;\mathrm{V}} \\[5pt] 0,5 & = & 1 - \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{180\;\mathrm{s}}} &\quad\scriptsize\mid + \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{180\;\mathrm{s}}} - 0,5 \\[5pt] \dfrac{1}{2} & = & \mathrm{e}^{-\tfrac{t}{180\;\mathrm{s}}} &\quad\scriptsize\mid \ln(\;) \\[5pt] \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) & = & -\dfrac{t}{180\;\mathrm{s}} &\quad\scriptsize\mid \cdot (-180\;\mathrm{s}) \\[5pt] t & = & -180\;\mathrm{s} \cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] & \approx & 125\;\mathrm{s} \end{array}$

Bestimmen der Energie

Die am Ende des Ladezeitraums gespeicherte elektrische Energie beträgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} E & = & \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 \\[5pt] & = & 0,5 \cdot 3,0\;\mathrm{F} \cdot (3,0\;\mathrm{V})^2 \\[5pt] & \approx & 14\;\mathrm{J} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} E & = & \dfrac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 \\[5pt] & = & 0,5 \cdot 3,0\;\mathrm{F} \cdot (3,0\;\mathrm{V})^2 \\[5pt] & \approx & 14\;\mathrm{J} \end{array}$

Ermitteln der Spannung

Da die im Kondensator gespeicherte Energie proportional zum Quadrat der anliegenden Spannung ist ( $Formula: E \sim U^2$ $Formula: E \sim U^2$ ), berechnet sich die benötigte Spannung für die doppelte Energiemenge über den Faktor $Formula: \sqrt{2}\text{:}$ $Formula: \sqrt{2}\text{:}$

$Formula: U = \sqrt{2} \cdot 3,0\;\mathrm{V} \approx 4,2\;\mathrm{V}$ $Formula: U = \sqrt{2} \cdot 3,0\;\mathrm{V} \approx 4,2\;\mathrm{V}$

Beschreiben des Verlaufs des Diagramms

Beim Ladevorgang beginnt die aufzubringende Leistung zum Zeitpunkt Formula: t = 0 exakt bei dem Wert Formula: P = 0. Anschließend steigt sie stark an, erreicht bei etwa $Formula: t = 120\;\mathrm{s}$ $Formula: t = 120\;\mathrm{s}$ ihr Maximum und fällt danach wieder ab und nähert sich asymptotisch der Zeitachse.

Begründung des Maximalwerts der elektrischen Leistung

Das Leistungsmaximum resultiert aus dem gegenläufigen Verhalten von Spannung und Stromstärke. Ganz zu Beginn ist der Kondensator vollständig ungeladen, weshalb die anliegende Spannung Formula: U = 0 und somit auch die Ladeleistung null ist. Am Ende des Ladeprozesses ist der Kondensator hingegen voll aufgeladen, wodurch kein Strom mehr fließt ( Formula: I = 0 ) und die Leistung ebenfalls wieder auf null zurückgeht. Im dazwischenliegenden Zeitraum nehmen beide physikalischen Größen Werte deutlich größer als null an, sodass ihr Produkt $Formula: P(t) = U(t) \cdot I(t)$ $Formula: P(t) = U(t) \cdot I(t)$ zwingend einen Maximalwert durchlaufen muss.

Beurteilen der Auswirkungen auf den Radfahrer

Das gegebene Diagramm zeigt sehr deutlich, dass diese maximale Ladeleistung bei etwa $Formula: P = 0,15\;\mathrm{W}$ $Formula: P = 0,15\;\mathrm{W}$ liegt. Verglichen mit den durchschnittlich $Formula: 200\;\mathrm{W},$ $Formula: 200\;\mathrm{W},$ die beim Fahrradfahren auf längere Strecken durch Muskelkraft erbracht werden, ist dieser kleine Ladebedarf verschwindend gering. Der zusätzliche Kraftaufwand durch das Laden der Kondensatorbeleuchtung wird bei der Fahrt somit nicht spürbar behindern.

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