Funktionen, Terme und Gleichungen

Aufgabe 2

Setze das richtige Zeichen $(\lt;=;\gt)$ ein.

$\sin\,10^\circ$  $\sin\, 110^\circ$

$\sin \,50^\circ$  $\sin \, 150^\circ$

(1 P)

Aufgabe 3

Löse die Gleichung.

$3x(x+1)-10=5+x+2x^{2}$

(2 P)

Aufgabe 4

Benjamin hat die verschobene Normalparabel $p$ mit der Funktionsgleichung $y=x^{2}+4x+6$ und die Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $y=2x-1$ falsch gezeichnet.

Welche Fehler hat Benjamin gemacht? Beschreibe die Fehler.

Graph einer Parabel und einer linearen Funktion in einem Koordinatensystem.

(1,5 P)

Aufgabe 5

Gegeben sind vier Terme in Zehnerpotenzschreibweise.

$(A)\,\,0,0025 \cdot 10^6\quad$ $(B)\,\, 0,025 \cdot 10^4\quad$ $(C)\,\, 2,5 \cdot 10^5\quad$ $(D)\,\, 250 \cdot 10^2$

Welcher Term hat den größten Wert?
Gib diesen ohne Zehnerpotenzschreibweise an.

(1 P)

Aufgabe 6

Luana hat die ersten drei Muster aus Kärtchen gelegt.

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Wie viele Kärtchen benötigt Luana für das 6 . Muster?
Begründe deine Antwort.

Luana möchte die Anzahl der Kärtchen bei jedem Muster berechnen.
Sie hat vier Formeln zur Auswahl.

Welche beiden Formeln sollte sie auswählen?
Kreuze jeweils richtig oder falsch an.

	richtig	falsch
$s=4n+4$		
$s=2n+4$		
$s=4n+2$		
$s=(n+2)^2-n^2$		

$\rightarrow n$ gibt die Stelle des jeweiligen Musters an

$\rightarrow s$ ist die Summe der Kärtchen eines Musters

(2 P)

Aufgabe 7

Welcher Sinuswert ist positiv, welcher negativ? Kreuze an.

	positiv	negativ
$\sin 25°$		
$\sin 125°$		
$\sin 225°$		

(1 P)

Aufgabe 8

Die Funktionsgleichungen von drei Parabeln sind gegeben.

$p_1:y=(x+3)^2$
$p_2:y=-\frac{1}{3}x^2-3$
$p_3:y=(x-3)^2-3$

Welche der drei Parabeln schneidet die $x$ -Achse zweimal?
Begründe deine Entscheidung.

(1 P)

Aufgabe 9

Welche Zahl muss eingesetzt werden?

$\sqrt{32}\cdot\sqrt{\square}-\sqrt{25}=3$

(1 P)

Aufgabe 10

Emily hat vier Muster aus Plättchen gelegt.

Wie viele Plättchen benötigt Emily für das 8. Muster?

Emily möchte die Anzahl der Plättchen bei jedem Muster berechnen. Sie hat vier Formeln zur Auswahl.

$n$ gibt die Stelle des jeweiligen Musters an, $s$ ist die Summe der Plättchen eines Musters.

Welche beiden Formeln kann Emily verwenden?
Kreuze jeweils richtig oder falsch an.

	richtig	falsch
$s=3n-2$		
$s=3-2n$		
$s=3(n-1)+1$		
$s=2n-1$		

(1,5 P)

Aufgabe 11

Berechne den Term.

$58 \cdot 10^{4}+42 \cdot 10^{4}$

Kreuze das zum Ergebnis zugehörige Zahlwort an.

	1 Million
	10 Millionen
	1 Milliarde

(1,5 P)

Aufgabe 12

Emma legt Muster aus Kärtchen.
Die ersten drei Muster hat sie bereits gelegt.

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Gib die Anzahl der Kärtchen für das 7. Muster an $(n=7).$

Eine der folgenden Formeln kann zur Berechnung der Anzahl der Kärtchen bei allen Mustern verwendet werden.

Welche Formel sollte Emma auswählen?

n gibt die Stelle des jeweiligen Musters an.
s ist die Summe der einzelnen Kärtchen.

(1 P)

Aufgabe 13

Löse die Gleichung.

$(x-3)(x+5)+7=8(x-2)$

(1,5 P)

Aufgabe 14

Sechs Funktionsgleichungen - drei Graphen
Welche Funktionsgleichung gehört zu welchem Graphen?

(1) $y=-3x+3$

(2) $y=-\frac{1}{2}x^2+3$

(3) $y=x^2-4x+3$

(4) $y=3x+3$

(5) $y=x^2+4x+3$

(6) $y=-\dfrac{1}{4}x^2+3$

Pflichtteil A1 Koordinatensystem Graphen

Die Gerade $h$ hat die Funktionsgleichung $y=-\frac{1}{2}x+2.$
Zeichne die Gerade $h$ in das abgebildete Koordinatensystem.

(2 P)

Aufgabe 15

Weise nach, dass gilt:

$\dfrac{10^6}{5^4\cdot 5^2}:2^4=4$

(1 P)

Aufgabe 16

Ben legt drei Muster mit quadratischen Kärtchen.

Drei grafische Muster in Form von Kreuzungen aus schwarzen Quadraten.

Er behauptet: „Das zehnte Muster besteht aus 43 Kärtchen."
Hat Ben recht? Begründe deine Aussage.

(1 P)

Aufgabe 17

Vereinfache soweit wie möglich:

$\dfrac{0,001\cdot 10^6}{2^3}$

(1 P)

Aufgabe 18

Die Gerade $g$ mit $g:y=2x+2$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $A$ und die $y$ -Achse im Punkt $B.$ Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Punkte $A$ und $B$ mit dem Koordinatenursprung $O$ bilden.

(1,5 P)

Aufgabe 19

Weise nach, dass gilt: $\dfrac{2^4\cdot 5^4}{0,001\cdot 10^7}=1$

(1 P)

Aufgabe 20

Gegeben sind die Parabel $p$ mit $p:y=x^2+6x+4$ und die Gerade $g$ mit $g:y=2x-4.$
Berechne den Scheitelpunkt $S$ der Parabel $p.$ Liegt $S$ auf der Geraden $g$ ?

(1,5 P)

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Lösung 1

Die Formel $s=4n+12$ kann nicht verwendet werden.

Rechnerische Begründung (Für das 2. Muster):

$\begin{array}[t]{rlll} s &=& 4n+12 \\[5pt] s(2) &=& 4\cdot 2+12 &=& 20 \\[5pt] 20 &\neq& 28 \end{array}$

Argumentative Begründung:

Bei dieser Formel kämen immer nur $4$ anstatt $12$ Stäbchen hinzu.

Lösung 2

$\sin(10^\circ)\lt\sin(110^\circ)$

$\sin(50^\circ)\gt\sin(150^\circ)$

Lösung 3

Rechenweg anzeigen

$x_1=3 \quad x_2=-5$

Lösung 4

Ergebnis anzeigen

Lösung 5

$(C)\,\, 2,5\cdot 10^5=250\,000$

Lösung 6

Bei jedem Muster kommen vier weitere Kärtchen hinzu. Im ersten Bild sind es acht Kärtchen. Für das 6. Muster gilt also:

$8+5\cdot 4=\underline{\underline{28\,\text{Kärtchen}}}$

	richtig	falsch
$s=4n+4$		
$s=2n+4$		
$s=4n+2$		
$s=(n+2)^2-n^2$		

Lösung 7

	positiv	negativ
$\sin 25°$		
$\sin 125°$		
$\sin 225°$		

Lösung 8

Die Parabel $p_3$ schneidet die $x$ -Achse zweimal.
Mögliche Begründung: Die Parabel $p3$ ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt $S_3(3\mid -3)$ liegt unterhalb der $x$ -Achse.

Lösung 9

Zahl $2$

$\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{25}$ $=\sqrt{64}-\sqrt{25}$ $=8-5=3$

Lösung 10

22 Plättchen

[0,5 P]

	richtig	falsch
$s=3n-2$		
$s=3-2n$		
$s=3(n-1)+1$		
$s=2n-1$		

Vier richtige Antworten: 1 P
Zwei oder drei richtige Antworten: 0,5 P

Lösung 11

$\quad 58 \cdot 10^{4}+42 \cdot 10^{4}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& (58+42)\cdot 10^4 \\[5pt] &=& 100\cdot 10^4 \\[5pt] &=& 10^2\cdot 10^4 \\[5pt] &=& 10^6 \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 1000000}} \end{array}$

	1 Million
	10 Millionen
	1 Milliarde

Lösung 12

49 Kärtchen

$s=n^2$

Lösung 13

Rechenweg anzeigen

$\mathbb{L}=\{2;4\}$

Lösung 14

(4) wird $\boldsymbol{g}$ zugeordnet.
Denn $g$ ist eine Gerade mit folgenden Eigenschaften:

$c_g=3$ ist der $y$ -Achsenabschnitt
$m=\dfrac{3}{1}=3$ ist die Steigung
Die dazugehörige Funktionsgleichung hat die Form $y=mx+c_g.$

(2) wird $\boldsymbol{p_1}$ zugeordnet.
Denn $p_1$ ist eine Parabel mit folgenden Eigenschaften:

Nach unten geöffnet
Die dazugehörige Funktionsgleichung ist eine quadratische Gleichung der Form $y=ax^2+c.$

Und die Punktprobe mit dem Punkt $P(2|1)$ zeigt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\dfrac{1}{2}x^2+3 \quad \scriptsize \mid\;P(2|1) \\[5pt] 1&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 2^2+3 \\[5pt] 1&=& -2+3 \\[5pt] 1&=& 1 \\[5pt] \end{array}$

(3) wird $\boldsymbol{p_2}$ zugeordnet.
Denn $p_2$ ist eine Parabel mit folgenden Eigenschaften:

Nach oben geöffnet
Nach rechts verschoben
Scheitelpunkt $S_2(2|-1)$
Die dazugehörige Funktionsgleichung ist eine quadratische Gleichung der Form $y=a(x-d)^2+e.$

Und durch Umformung der Funktionsgleichung (3) in die Scheitelpunktform lässt sich der richtige Scheitelpunkt ablesen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-4x+3 \\[5pt] &=&x^2-2\cdot 2x+2^2-2^2+3 \\[5pt] &=&(x-2)^2-4+3 \\[5pt] &=&(x-2)^2-1 \end{array}$

Lösung 15

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10^6}{5^4\cdot 5^2}:2^4&=& 4&\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{10^6}{5^6}:2^4&=& 4&\quad \scriptsize \\[5pt] 2^6:2^4&=& 4&\quad \scriptsize \\[5pt] 2^2&=& 4&\quad \scriptsize \\[5pt] 4&=& 4 \end{array}$

Lösung 16

Ben hat nicht recht. Das 10. Muster besteht aus 41 Kärtchen.
Der Term $4n+1$ beschreibt die Anzahl der Kärtchen für das n-te Muster, da in der Mitte immer ein weiteres Kärtchen ist. Für $n=10$ erhält man also 41.

Lösung 17

$\quad \dfrac{0,001\cdot 10^6}{2^3}$

$\begin{array}[t]{rll} &=&\dfrac{10^{-3}\cdot 10^6}{2^3} \\[5pt] &=&\dfrac{10^{3}}{2^3} \\[5pt] &=&\left(\dfrac{10}{2}\right)^3 \\[5pt] &=&5^3 \\[5pt] &=&\underline{\underline{ 125}} \end{array}$

Lösung 18

Koordinaten des Punktes $A$ berechnen

Für die $y$ -Koordinate gilt: $y=0$
Für die $x$ -Koordinate gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x+2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 2x&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt: $A(-1\mid 0)$

Koordinaten des Punktes $B$ berechnen

Für die $x$ -Koordinate gilt: $x=0$
Für die $y$ -Koordinate gilt: $y=2\cdot 0+2=2$

Daraus folgt: $B(0\mid 2)$

Flächeninhalt berechnen

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Skizze zur Veranschaulichung

$A=\dfrac{1}{2}\cdot 1\,\text{LE}\cdot 2\,\text{LE}=\underline{\underline{ 1\,\text{FE}}}$

Lösung 19

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2^4\cdot 5^4}{0,001\cdot 10^7}&=&1 \quad \scriptsize \text{Zähler zusammenfassen} \\[5pt] \dfrac{10^4}{0,001\cdot 10^7}&=&1 \quad \scriptsize 0,001\text{ als Zehnerpotenz} \\[5pt] \dfrac{10^4}{10^{-3}\cdot 10^7}&=&1\quad \scriptsize \text{Nenner zusammenfassen} \\[5pt] \dfrac{10^4}{10^4}&=&1\\[5pt] 1&=&1 \end{array}$

Lösung 16

Die Scheitelpunktform der Parabel $p$ lautet: $p:y=(x+3)^2-5$ . Diese erhältst du durch quadratische Ergänzung:

$y=x^2+6x+4=(x^2+6x+9)-9+4$ $=(x+3)^2-5$

Daraus lässt sich der Scheitelpunkt $S$ mit $\underline{\underline{ S(-3\mid -5)}}$ ablesen.

$S$ in $g$ eingesetzt ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} -5&=&2\cdot(-3)-4 \\[5pt] -5&\neq &-10 \end{array}$

Also liegt der Scheitelpunkt $S$ nicht auf der Geraden $g.$