Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1
Familie Bauer veranstaltet anlässlich eines Kindergeburtstages ein Entenrennen.
Dabei werden zwölf gleich große Plastikenten zeitgleich in einen Bach gesetzt.
Es sind sieben rote, zwei blaue und drei gelbe Enten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
- Die ersten beiden Enten, die durchs Ziel schwimmen, sind blau.
- Die ersten beiden Enten, die durchs Ziel schwimmen, sind gelb und rot.
Am Start werden von den zwölf Enten zwei rote Enten weggenommen.
Thiara behauptet: „Jetzt liegt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei rote Enten Platz 1 und 2 belegen, bei genau 
"
SparkFun Electronics, 24079-Debugging-Duck-Side2, CC BY 2.0
- Überprüfe Thiaras Behauptung durch Rechnung oder Argumentation.
(3 P)
Abschlussprüfung 2025
Aufgabe 2
Melina und Paul besitzen Fußball-Sammelbilder. In Pauls Schuhkarton liegen 20 Sammelbilder von Nationalspielern.Die Tabelle zeigt deren Verteilung auf drei Nationalmannschaften.
| Nationalmannschaft | Anzahl der Sammelbilder |
| Frankreich | 9 |
| Deutschland | 6 |
| Portugal | 5 |
- portugiesische Spieler abgebildet sind?
- höchstens ein deutscher Spieler abgebildet ist?
- kein französischer Spieler abgebildet ist?
(3 P)
Abschlussprüfung 2024
Aufgabe 3
Auf zwei Kreiseln befinden sich die Symbole ●,▲ und ◼︎.
Die Felder eines Kreisels sind jeweils gleich groß.
Sie sind grau bzw. weiß gefärbt.
Die beiden Kreisel werden gedreht und bleiben auf einer Kante liegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
Die Felder eines Kreisels sind jeweils gleich groß.
Sie sind grau bzw. weiß gefärbt.
Die beiden Kreisel werden gedreht und bleiben auf einer Kante liegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
- zwei gleiche Symbole
- Kreis und Dreieck
- höchstens ein graues Feld
(3 P)
Aufgabe 4
Die Klasse 5c verkauft Lose beim Schulfest.
Es gibt folgende Gewinne: 12 Fußbälle und 8 Basketbälle.
Die restlichen 80 Lose sind Nieten. Francesca möchte zwei Lose ziehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie
Abschlussprüfung 2022
Es gibt folgende Gewinne: 12 Fußbälle und 8 Basketbälle.
Die restlichen 80 Lose sind Nieten. Francesca möchte zwei Lose ziehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie
- zwei Nieten zieht?
- einen Fußball und einen Basketball gewinnt?
(3 P)
Aufgabe 5
Die beiden Glücksräder werden gedreht.
Wenn sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster eine zweistellige Zahl.
Die Abbildung zeigt die Zahl 43.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster
Wenn sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster eine zweistellige Zahl.
Die Abbildung zeigt die Zahl 43.
- eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern zu sehen?
- eine durch 12 teilbare Zahl zu sehen?
- höchstens einmal die Ziffer 4 zu sehen?
(3,5 P)
Aufgabe 6
Auf einem Jahrmarkt gibt es eine Lostrommel. In dieser befinden sich 4 Lose für die Hauptgewinne, 10 Lose für Trostpreise und 10 Nieten. Mia zieht ohne hinzuschauen zwei Lose.
Abschlussprüfung 2020
Abschlussprüfung 2018
Abschlussprüfung 2015
a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht sie genau zwei Hauptgewinne?
b)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie mindestens einen Hauptgewinn?
(3 P)
Musterprüfung 1
Aufgabe 7
Ein nicht idealer Würfel wird zweimal geworfen. Die Abbildung zeigt diesen Würfel.
Musterprüfung 2
- Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Pasch (zwei gleiche Augenzahlen) gewürfelt wird.
- Wie lautet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme der beiden Würfe 5 beträgt?
- Würde man eine Augenzahl 2 durch eine 3 ersetzen, ändert sich dann die Wahrscheinlichkeit? Begründe deine Entscheidung.
(3 P)
Aufgabe 8
Ben, Laura und Emma besitzen jeweils ein Rubbel-Los. Auf jedem Los befinden sich 16 gleich große Felder.
Nur zwei der 16 Felder werden freigerubbelt. Die beiden Beträge, die dadurch sichtbar werden, werden addiert und ergeben den Gewinn. Auf acht Feldern steht der Betrag 
auf sechs Feldern steht der Betrag 
und auf zwei Feldern der Betrag 
auf sechs Feldern steht der Betrag und auf zwei Feldern der Betrag
- Ben hat auf seinem Los zwei Felder freigerubbelt (siehe Abbildung).
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Gewinn
". - Laura überlegt sich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, den Hauptgewinn von
zu erhalten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit. - Emma möchte mehr als gewinnen.
Berechne diese Wahrscheinlichkeit.
(4 P)
Aufgabe 9
In einem Kaugummiautomaten befinden sich 10 rote, 9 weiße und 6 grüne Kaugummis.
Betätigt man den Drehgriff, erhält man einen Kaugummi. Luisa dreht zweimal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie
Abschlussprüfung 2019
Betätigt man den Drehgriff, erhält man einen Kaugummi. Luisa dreht zweimal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie
- zuerst einen roten, dann einen weißen Kaugummi?
- keinen grünen Kaugummi?
(3,5 P)
Aufgabe 10
In einer Schale liegen rote, grüne und weiße Gummibärchen. Insgesamt sind es 12 Stück. Sofia nimmt, ohne hinzusehen, gleichzeitig zwei Gummibärchen aus der Schale.
Die Grafik zeigt ein unvollständiges Baumdiagramm dieses Zufallsversuchs.
Vervollständige dieses Baumdiagramm.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht Antonetta bei diesem Zufallsversuch
- genau ein rotes Gummibärchen?
- höchstens ein weißes Gummibärchen?
(3,5 P)
Aufgabe 11
Max und Nele spielen ein Würfelspiel.
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen.
Die beiden Augenzahlen werden addiert (Augensumme).
Gewonnen hat der Spieler mit der größeren Augensumme. Überprüfe die Aussage:
„Die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 6 ist größer als die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 9.“
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung oder Argumentation. Max hat eine 5 und eine 3 geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf das Spiel gewinnt?
Abschlussprüfung 2017
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen.
Die beiden Augenzahlen werden addiert (Augensumme).
Gewonnen hat der Spieler mit der größeren Augensumme. Überprüfe die Aussage:
„Die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 6 ist größer als die Wahrscheinlichkeit für Augensumme 9.“
Begründe deine Antwort durch eine Rechnung oder Argumentation. Max hat eine 5 und eine 3 geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf das Spiel gewinnt?
(3,5 P)
Aufgabe 12
Hannah legt Buchstabenkärtchen.
Auf dem Tisch liegen bereits folgende vier Buchstabenkärtchen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit den beiden gezogenen Buchstaben
Abschlussprüfung 2016
In einem Beutel befinden sich die abgebildeten zehn Buchstabenkärtchen.
Daraus zieht Hannah zwei Buchstabenkärtchen gleichzeitig.
(3,5 P)
Aufgabe 13
In einem Behälter liegen 20 Kugeln. Sie sind rot, blau und grün gefärbt.
Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen.
Im Baumdiagramm fehlt eine Wahrscheinlichkeitsangabe.
Ergänze diese. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine grüne Kugel zu ziehen? In einem anderen Behälter liegen von jeder Farbe doppelt so viele Kugeln, also insgesamt 40 Kugeln.
Es werden ebenfalls zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Uli sagt: „Die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine grüne Kugel zu ziehen, ist gleich.“
Hat Uli recht?
Begründe durch Rechnung.
Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen.
Ergänze diese. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine grüne Kugel zu ziehen? In einem anderen Behälter liegen von jeder Farbe doppelt so viele Kugeln, also insgesamt 40 Kugeln.
Es werden ebenfalls zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Uli sagt: „Die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine grüne Kugel zu ziehen, ist gleich.“
Hat Uli recht?
Begründe durch Rechnung.
(4 P)
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Wahrscheinlichkeiten:
, 
, 
Wahrscheinlichkeit, dass zuerst zwei blaue Enten durchs Ziel schwimmen:
Für das Ereignis "Die ersten beiden Enten, die durchs Ziel schwimmen, sind gelb und rot" gibt es zwei Möglichkeiten:
Daraus folgt:
Thiaras Behauptung stimmt nicht, denn:
Rechnerische Begründung:
[Wahrscheinlichkeit nach Abzug der beiden roten Enten]
Argumentative Begründung:
Es handelt sich um einen Zufallsversuch ohne Zurücklegen.
Die Wahrscheinlichkeit für die erste rote Ente beträgt nun 
und für die zweite rote Ente weniger als 
Somit ist das Produkt kleiner als 
Lösung 2
![\(\begin{array}[t]{rll}
& P(\text{zwei portugiesische Spieler}) \\[5pt]
=& \dfrac{5}{20}\cdot \dfrac{4}{19} \\[5pt]
=& \underline{\underline{\dfrac{1}{19}=5,3\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b3f8ac1a548ce49077b0715fdbdc473949bcc4cb02ed7a630e476edd4b7e586c_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
& P(\text{höchstens ein deutscher Spieler}) \\[5pt]
=& 1-P(\text{zwei deutsche Spieler}) \\[5pt]
=& 1-\dfrac{6}{20}\cdot \dfrac{5}{19} \\[5pt]
=& \underline{\underline{\dfrac{35}{38}=92,1\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9695416ab64f5af497891d8e7d3751bd2dd82926a103a7ac0385f5ee2270ac25_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
& P(\text{kein französischer Spieler}) \\[5pt]
=& \dfrac{5+6}{20}\cdot \dfrac{5+6-1}{19} \\[5pt]
=& \underline{\underline{\dfrac{11}{38}=28,9\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/46462209845ebc7db8005d746c0133a4e48a95aca48d0a3f6bcc66d1e968ae5c_light.svg)
Abschlussprüfung 2024
Lösung 3
bzw. 
bzw. 
bzw. 
Lösung 4
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{zwei Nieten})&=&\dfrac{80}{100}\cdot \dfrac{79}{99} \\[5pt]
&=& 0,638
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9c86dc9e80e2d27d85fa4d2d35efd93dd83ee27b3bb3a9fbbb5f7c20fe2f2cd1_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Nieten zu ziehen, liegt also bei 
.
![\(\begin{array}[t]{rll}
&=&\dfrac{12}{100}\cdot \dfrac{8}{99}+\dfrac{8}{100}\cdot \dfrac{12}{99} \\[5pt]
&= & 0,019
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6604e8d461c7273ff898320c60e7d01bb8c226964fb345a2a0d67dfac39a6913_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit, einen Fußball und einen Basketball zu gewinnen, liegt also bei 
.
Abschlussprüfung 2022
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Nieten zu ziehen, liegt also bei .
Die Wahrscheinlichkeit, einen Fußball und einen Basketball zu gewinnen, liegt also bei .
Lösung 5
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern zu sehen?
![\(\begin{array}[t]{rll}
&P(\text{zwei gleiche Ziffern}) \\[5pt]
&= P(2;2)+P(3;3)+P(4;4)+P(5;5) \\[5pt]
&= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{4}
\cdot \dfrac{1}{5} \\[5pt]
&= \dfrac{5}{20}\\[5pt]
&= \dfrac{1}{4}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6af9d8b805302c486fdc6e980b40f4a01ff5703facd58613aed15d943de794ad_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine durch 12 teilbare Zahl zu sehen?
Die einzige Zahl, die durch 12 teilbar ist und im Sichtfenster zu sehen sein kann, ist 24.
![\(\begin{array}[t]{rll}
&P(\text{durch 12 teilbar}) \\[5pt]
&=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{5} \\[5pt]
&=\dfrac{2}{20}= \dfrac{1}{10}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6f3a8f069dced4f1f86ff2f25b19c216d61f7f045b6086368638ac08b6b0f6a8_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster höchstens einmal die Ziffer 4 zu sehen?
![\(\begin{array}[t]{rll}
&P(\text{höchstens eine 4}) \\[5pt]
&= 1-P(\text{zweimal vier}) \\[5pt]
&= 1-\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{2}{5} \\[5pt]
&= 1-\dfrac{1}{10} \\[5pt]
&=\dfrac{9}{10}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b403be76282b97d4a9ffd48495382453bcd650a55a57d0628bef6caf122a17f3_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 
Abschlussprüfung 2021
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine durch 12 teilbare Zahl zu sehen?
Die einzige Zahl, die durch 12 teilbar ist und im Sichtfenster zu sehen sein kann, ist 24.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster höchstens einmal die Ziffer 4 zu sehen?
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also
Lösung 6
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\text{H};\text{H})&=&\dfrac{4}{24}\cdot \dfrac{3}{23} \\[5pt]
&=& 0,0217 \\[5pt]
&=& 2,17\,\% \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/390dda38b2a0f6e95db873269e5b4cd2efcf80f26d8d1f319650b3cdbe84f201_light.svg)
b)
Das Gegenereignis von „mindestens ein Hauptgewinn“ ist „kein Hauptgewinn“:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\text{mind. 1x H})&=& 1-P(\text{kein H}) \\[5pt]
&=& 1-\dfrac{20}{24}\cdot \dfrac{19}{23}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,3116\\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 31,16\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/42806deb55d501dedc5819dbee791126a7c03aa49eaa315e8a531bfcb9587ff5_light.svg)
Musterprüfung 1
Lösung 7
.png)
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{Pasch})&=&\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{2}{6}
\\[5pt]
&=&\dfrac{1}{36}+\dfrac{9}{36}+\dfrac{4}{36} \\[5pt]
&=&\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18} \\[5pt]
&=&0,389=\underline{\underline{ 38,9\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a85e57f2fd33a1d515b8f6c9a9b3d65de7f5a5bdc2b18357fa9b60a4733fcdb7_light.svg)
Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 5 berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{Augensumme 5})&=&\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{3}{6} & \\[5pt]
&=&\dfrac{6}{36}+\dfrac{6}{36} \\[5pt]
&=&\dfrac{12}{36} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3}= \underline{\underline{ 33,3\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7b649caab135a83a91aa02ad6b1a0f528fd7bbf24283d941a3a00ee7dbc591fc_light.svg)
Würde man eine Augenzahl 2 durch eine 3 ersetzen, ändert sich dann die Wahrscheinlichkeit?
Nein, sie verändert sich nicht, da die Augenzahl 2 und die Augenzahl 3 nur ihre Wahrscheinlichkeiten tauschen.
Dabei wird die Wahrscheinlichkeit einen Pasch oder die Augensumme 5 zu würfeln, nicht verändert.
Lösung 8
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\text{Gewinn }10\,€)&=& P(0\,€ ;10\,€) + P(10\,€;0\,€ ) \\[5pt]
&=&\dfrac{8}{16} \cdot \dfrac{2}{15}+\dfrac{2}{16} \cdot \dfrac{8}{15} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{15}\\[5pt]
&=&\dfrac{2}{15} \\[5pt]
&=&0,133=\underline{\underline{ 13,3\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/956850776695fcc41b12736a2656e7a61f3a0ad1601207f6563bc65ea9bb380d_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\text{Gewinn }20\,€)&=&P(10\,€ ;10\,€)\\[5pt]
&=&\dfrac{2}{16} \cdot \dfrac{1}{15} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{120} \\[5pt]
&=& 0,008=\underline{\underline{ 0,83\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3c130493fee1a0735f331bf3d2b5d71ed9f0b1e5c338856ae85ac7115e2386f4_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\text{Gewinn}\gt10\,€)&=& P(1\,€ ;10\,€) + P(10\,€ ;1\,€) + P(10\,€ ;10\,€) \\[5pt]
&=&\dfrac{6}{16} \cdot \dfrac{2}{15}+\dfrac{2}{16} \cdot \dfrac{6}{15}+\dfrac{2}{16} \cdot
\dfrac{1}{15} \\[5pt]
&=&\dfrac{13}{120} \\[5pt]
&=&0,1083 =\underline{\underline{ 10,83\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5bdcbcf530c03e78f3ef2c6004974e3111ff608f734bf7a49fc813a94525cb5a_light.svg)
Lösung 9
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie zuerst einen roten, dann einen weißen Kaugummi?
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{rot, dann weiß})&=& \dfrac{10}{25} \cdot \dfrac{9}{24}\\[5pt]
&=& \dfrac{3}{20} = 0,15 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a6a1700b55b54dd3d0aba025ffc91dfb3e782476cd734fbce795cac1be19ad30_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 
![\(\begin{array}[t]{rll}
&&P(\,\text{keinen grünen Kaugummi}) \\[5pt]
&=& \dfrac{10}{25} \cdot \dfrac{9}{24}+\dfrac{10}{25} \cdot \dfrac{9}{24}+\dfrac{9}{25} \cdot
\dfrac{10}{24}+\dfrac{9}{25} \cdot \dfrac{8}{24} \\[5pt]
&=& \dfrac{57}{100} = 0,57\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d5596af29debb8f2c530053687b49f9a7e7efec0fb629ce8c8b1942e47709814_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{zweimal Brause}) &=& \dfrac{8}{25} \cdot\dfrac{7}{24} \\[5pt]
&=& \dfrac{7}{75}\\[5pt]
&=& 0,093
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d35d926314862a35625c21dc03785074d510978c659845cc8d99cb61204c13d0_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 
Abschlussprüfung 2019
Lösung 10
Baumdiagramm vervollständigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\,\text{P (genau ein rotes Gb)} &=& P(\,\text{r};\,\text{g}) + P(\,\text{r};\,\text{w}) +
P(\,\text{g};\,\text{r}) + P(\,\text{w};\,\text{r}) \\[5pt]
&=& \dfrac{3}{12}\cdot \dfrac{5}{11} + \dfrac{3}{12}\cdot \dfrac{4}{11} + \dfrac{5}{12}\cdot
\dfrac{3}{11}+ \dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{3}{11} \\[5pt]
&=& \dfrac{9}{22}= 41\%\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/468a147aca3fbf179125da34826d86f835e4cc01714efb595e0bf148ed61409d_light.svg)
zieht Sofia genau ein rotes Gummibärchen.
Dass Sofia höchstens ein weißes Gummibärchen zieht, ist das Gegenereignis dazu, dass sie genau zwei weiße Gummibärchen zieht.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\,\text{P (zwei weiße Gb)} &=& P(\,\text{w};\,\text{w}) \\[5pt]
&=& \dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{3}{11} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{11}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/98be4b774780af44f05b77594945a52a05bb9eb94ec701335b1551c752a5f4cc_light.svg)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 
zieht Sofia höchstens ein weißes Gummibärchen.
Abschlussprüfung 2018
Lösung 11
Begründung durch Rechnung Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 6
Die Wahrscheinlichkeit jedes Pfades beträgt 
Damit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&P(\text{Augensumme 6})&=& \left(\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}\right) \cdot 5 \\[5pt]
&&=& \dfrac{5}{36} \\[5pt]
&&\approx& 0,1389
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/444a1e92865cd8d0c29130f60941612747fd6c3b2ad3429a47244e7226fb132f_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 6 zu würfeln, beträgt also 
Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 9
Damit folgt:
Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 6 zu würfeln, beträgt also
Die Wahrscheinlichkeit jedes Pfades beträgt Damit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&P(\text{Augensumme 9})&=& \left(\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}\right) \cdot 4 \\[5pt]
&&=& \dfrac{4}{36} \\[5pt]
&&\approx& 0,1111
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/691e2a834a5f03cc99aebf65beb56ade24e63e1bdf82bef156795b502ef12ae0_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 9 zu würfeln, beträgt also 
Somit stimmt die Aussage.
Begründung durch Argumentation
Damit folgt:
Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 9 zu würfeln, beträgt also
Somit stimmt die Aussage.
Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 6
Es gibt insgesamt fünf Möglichkeiten, die Augensumme 6 zu würfeln:
- 1 und 5
- 2 und 4
- 3 und 3
- 4 und 2
- 5 und 1
Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 9
Um die Augensumme 9 zu würfeln, gibt es allerdings nur vier Möglichkeiten:
Für jede dieser Möglichkeiten ist die Wahrscheinlichkeit gleich. Somit reicht es, die Anzahl der Möglichkeiten zu vergleichen, um die Aussage zu bewerten. Für die Augensumme 6 gibt es mehr Möglichkeiten, also stimmt die Aussage.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Nele mit dem nächsten Wurf das Spiel gewinnt?
Nele gewinnt dann das Spiel, wenn sie eine größere Augenzahl als 8 würfelt.
- 3 und 6
- 4 und 5
- 5 und 4
- 6 und 3
Dafür gibt es insgesamt zehn Möglichkeiten:
- 3 und 6
- 4 und 5
- 4 und 6
- 5 und 4
- 5 und 5
- 5 und 6
- 6 und 3
- 6 und 4
- 6 und 5
- 6 und 6
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{Augenzahl > 8})&=& \left(\dfrac{1}{6} \cdot\dfrac{1}{6}\right) \cdot 10 \\[5pt]
&=& \dfrac{5}{18} \\[5pt]
&=& 0,278 \\[5pt]
&=& \underline{\underline{27,8\,\%}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/95260ea1407bc95564516b1fc26274e60706ec5652376393ebc490275fbbad1a_light.svg)
Abschlussprüfung 2017
Lösung 12
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\text{SCHALL})&=& \dfrac{6}{10}\,\cdot\,\dfrac{5}{9}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3} \\[5pt]
P(\text{SCHALL})&=&\underline{\underline{ 33,3\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c0de93a06858717413201045d46b8bfa9269016e6aa6413e665ee4c5cf7f03ef_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit mit den beiden gezogenen Buchstaben das Wort „SCHALL“ zu legen, liegt bei .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Wort „SCHATZ“ legen zu können?
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\text{SCHATZ})&=& \dfrac{3}{10}\,\cdot\,\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{10}\,\cdot\,\dfrac{3}{9} &\quad \scriptsize
\\[5pt]
&=& \dfrac{1}{15} \\[5pt]
P(\text{SCHATZ})&=& \underline{\underline{ 6,7\,\% }}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c91f714c89f3b890cd2b5c65303bf1e1e06324a47986d14dfd1b2cf4dae81475_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit mit den beiden gezogenen Buchstaben das Wort „SCHATZ“ zu legen, liegt bei 
.
Lösung 13
Fehlende Angabe ergänzen 1. Schritt: Anzahl rote und blaue Kugeln berechnen![\(\begin{array}[t]{rll}
P(r)&=& 20\,\% \cdot 20 &\quad \scriptsize \\[5pt]
P(r)&=& 4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/70ead36399afeeba74da4b4699caf9ecf170f79ddafa1c29b89bce78c646ee2c_light.svg)
Es sind also vier rote Kugeln.
Es sind demnach sechs blaue Kugeln.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit für grün im ersten Zug berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(g)&=& \dfrac{20}{20}-\dfrac{4}{20}-\dfrac{6}{20} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{10}{20}\\[5pt]
P(g)&=&\underline{ \dfrac{1}{2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3f7dd64b49eb37fc5ff3f87bc2956db23dbc5223d447faae0099b39aa5b6e32b_light.svg)
Die fehlende Wahrscheinlichkeitsangabe entspricht also 
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine grüne Kugel zu ziehen?
Die Wahrscheinlichkeit von höchstens einer grünen Kugel kann über das Gegenereignis von genau zwei grünen Kugeln berechnet werden.
Es gilt also: Da nach der Ziehung der ersten grünen Kugel nur noch 19 Kugeln im Behälter sind, liegt die Wahrscheinlichkeit für die zweite grüne Kugel bei
Daraus folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{2 grüne Kugeln})&=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{19}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,237
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e9720ffa66820751509dbe0627e314ba9c5ddfdd16f90531a4884bdee28e73eb_light.svg)
Für die schlussendliche Wahrscheinlichkeit gilt also:
Ulis Aussage überprüfen
Die neue Wahrscheinlichkeit kann wie in der letzten Aufgabe über das Gegenereignis berechnet werden.
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{höchstens eine grüne Kugel})&=& 1- 0,237 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,763 = \underline{\underline{ 76,3\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9223d98d6dc78d09c17ce3c5810fd2cf1e5c477df8e604f3129e935d4eddeee7_light.svg)
Die Wahrscheinlichkeit für die erste grüne Kugel liegt noch immer bei
jedoch liegt die Wahrscheinlichkeit für die zweite grüne Kugel bei 
Da die Ergebnisse unterschiedlich sind, ist Ulis Aussage falsch.
Abschlussprüfung 2015
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(\,\text{höchstens eine grüne Kugel})&=& 1 - P(\,\text{2 grüne Kugeln}) &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 1- \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{19}{39}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 0,7564 = \underline{\underline{ 75,64\,\%}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/84e8e7263376dea2490ade0ba35d8e21749d7d861605b63efe9be6b028972eb3_light.svg)
