Geometrie in der Ebene
Aufgabe 1
a)
Im rechtwinkligen Trapez 
liegt das rechtwinklige Dreieck 
Es gilt:
Berechne den Umfang des Dreiecks 
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Aufgabe 2
a)
Im Rechteck liegt das Drachenviereck 
liegt das Drachenviereck
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AB} & =& 9,4 \,\text{cm} \\
\overline{BE} & =& 5,6 \,\text{cm} \\
\varepsilon & =& 20,0^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/488cfb2f31c5098767b2a0f87a121613b56f8517d8b8bc28ae76f0ad2f80dac7_light.svg)
- Berechne den Winkel
- Berechne den Umfang des Vierecks
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2024
Aufgabe 3
a)
Das gleichschenklige Dreieck 
und das rechtwinklige Trapez 
überdecken sich teilweise.
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AC}&=&11,4\,\text{cm}\\
\overline{BD}&=&8,2\,\text{cm}\\
\gamma_1&=&37,6^\circ\\
\delta&=&39,2^\circ\\
\overline{AC}&=&\overline{BC}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/39ae3fd492617cfa9f183792abbf261def5e0f40331d608caca90085004f111b_light.svg)
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks 
und das rechtwinklige Trapez überdecken sich teilweise.
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Aufgabe 4
a)
Im Quadrat liegen die beiden gleichschenkligen Dreiecke 
und 
Es gilt:
liegen die beiden gleichschenkligen Dreiecke und
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
- Berechne den Winkel
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2022
Aufgabe 5
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Das regelmäßige Sechseck und das gleichschenklige Dreieck haben die Seite 
gemeinsam.
Es gilt: 
Berechne den Umfang des Dreiecks 
Tom behauptet: „Der Flächeninhalt des Sechsecks ist dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks 
"
haben die Seite gemeinsam.
Es gilt:
Tom behauptet: „Der Flächeninhalt des Sechsecks ist dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks "
- Hat Tom Recht?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
(5 P)
Aufgabe 6
a)
Gegeben sind das rechtwinklige Dreieck und das gleichschenklige Dreieck 
Es gilt:
Berechne die Länge von 
Berechne den Umfang des Vierecks 
und das gleichschenklige Dreieck
Berechne die Länge von
Berechne den Umfang des Vierecks
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Aufgabe 7
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Ein DIN-A4-Blatt hat die Eckpunkte 
, 
, 
und 
Die Punkte 
und 
halbieren die Seitenlängen des DIN-A4-Blatts.
Das DIN-A4-Blatt wird wie abgebildet gefaltet. Der Punkt wird zu 
und liegt nach dem Falten auf 
Der Punkt wird zum Punkt 
Die beiden Papierkanten stoßen entlang von 
aneinander.
Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks 
und des Vierecks 
.
, , und
und halbieren die Seitenlängen des DIN-A4-Blatts.
Das DIN-A4-Blatt wird wie abgebildet gefaltet. Der Punkt
wird zu und liegt nach dem Falten auf
Der Punkt
wird zum Punkt Die beiden Papierkanten stoßen entlang von aneinander.
Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks und des Vierecks .
(5 P)
Aufgabe 8
a)
Gegeben ist das Trapez 
für das gilt:
Berechne die Länge der Strecke 
für das gilt:
(Skizze nicht maßstäblich)
Berechne die Länge der Strecke
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Aufgabe 9
a)
Zwei Quadrate mit den Seitenlängen 8,0 cm und 6,0 cm werden aneinandergelegt. 
und 
sind Mittelpunkte der Diagonalen, 
ist der Mittelpunkt der Strecke 
Berechne die Länge des Streckenzuges 
und die Größe des Winkels 
und sind Mittelpunkte der Diagonalen, ist der Mittelpunkt der Strecke
(Skizze nicht maßstäblich)
und die Größe des Winkels
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.
Aufgabe 10
a)
lm Fünfeck 
gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CD}&=& 9,5\,\text{cm} \\[5pt]
\varepsilon_{1}&=& 64,0^{\circ}\\[5pt]
\gamma&=& 95,0^{\circ}\\[5pt]
\overline{AB} &\parallel& \overline{CE}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e80a6097e479600142b2d03b5cbc3abf220c2c53a7baed4d0511352e2d11da15_light.svg)
Der Abstand des Punktes 
zu beträgt 
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks 
gilt:
Der Abstand des Punktes zu beträgt
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks
(5,5 P)
b)
lm Rechteck liegen die gleichseitigen Dreiecke 
und 
Es gilt:
Weise ohne Verwendung gerundeter Werte nach, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:
liegen die gleichseitigen Dreiecke und
Es gilt:
Weise ohne Verwendung gerundeter Werte nach, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks
gilt:
(4,5 P)
Aufgabe 11
a)
Das Fünfeck besteht aus dem gleichseitigen Dreieck 
den beiden gleichschenkligen Dreiecken 
und 
sowie dem Drachenviereck 
Es gilt:
Berechne den Abstand des Punktes zur Strecke
besteht aus dem gleichseitigen Dreieck den beiden gleichschenkligen Dreiecken und sowie dem Drachenviereck
Berechne den Abstand des Punktes zur Strecke
(5,5 P)
b)
Ein DIN-A4-Blatt mit den Eckpunkten , 
und wird entlang von 
gefaltet. Dadurch entsteht der Punkt auf
Es gilt:
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks 
, und wird entlang von gefaltet. Dadurch entsteht der Punkt auf
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks
(4,5 P)
Aufgabe 12
a)
Gegeben ist das Dreieck
Es gilt:
Berechne den Winkel 
sowie den Abstand des Punktes zur Strecke
Berechne den Winkel sowie den Abstand des Punktes zur Strecke
(5,5 P)
b)
Im rechtwinkligen Dreieck liegt das gleichseitige Dreieck 
Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass die beiden Dreiecke
und 
flächengleich sind.
Der Flächeninhalt des Dreiecks soll 
betragen. Für welchen Wert von 
trifft dies zu?
liegt das gleichseitige Dreieck
Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass die beiden Dreiecke
und flächengleich sind.
Der Flächeninhalt des Dreiecks
soll betragen. Für welchen Wert von trifft dies zu?
(4,5 P)
Aufgabe 13
a)
Das rechtwinklige Dreieck 
und das gleichschenklige Dreieck haben die Seite gemeinsam.
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{BD}&=&7,2 \text{ cm} & \\[5pt]
\overline{DE}&=&3,0 \text{ cm} & \\[5pt]
\alpha&=&42,0^{\circ} & \\[5pt]
\overline{AC}&=&\overline{BC}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/173beec24dfb84acf70b77bc0c5969496211bc9cf7a25a3bb4404c07f6ac96fa_light.svg)
Berechne den Abstand des Punktes 
von sowie den Winkel 
.
und das gleichschenklige Dreieck haben die Seite gemeinsam.
Berechne den Abstand des Punktes von sowie den Winkel .
(5,5 P)
b)
Gegeben sind ein rechtwinkliges Trapez und ein regelmäßiges Sechseck.
Die Eckpunkte des Sechsecks liegen auf den Seiten des Trapezes.
Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass für den Flächeninhalt des Trapezes gilt:
Gib die Länge der Diagonale 
ohne Verwendung gerundeter Werte an.
und ein regelmäßiges Sechseck.
gilt:
Gib die Länge der Diagonale ohne Verwendung gerundeter Werte an.
(4,5 P)
Aufgabe 14
a)
Die Eckpunkte des Vierecks liegen auf den Parallelen 
und 
.
Die Parallelen haben einen Abstand von 
.
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AD}&=& 10,4\,\text{cm} &\\[5pt]
\beta&=& 70,0^{\circ}&\\[5pt]
\overline{AB}&=&\overline{AC} &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fbbc62357e70049f6187b49cfcb1b6d2ec2d5f0bbc6316661cd5a46197ccf789_light.svg)
Berechne den Umfang des Vierecks 
liegen auf den Parallelen und .
.
Es gilt:
Berechne den Umfang des Vierecks
(5,5 P)
b)
gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\gamma&=& 50,0^{\circ} \quad \\[5pt]
\overline{AC}&=& 11,4\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{AD}&=& 5,0\,\text{cm} &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4b52ce838ee3b8881b8b5d52624786fee9c7fd755eef47893411c8d40a11aed9_light.svg)
Das Dreieck wird entlang der Strecke 
gefaltet (siehe Skizze).
(4,5 P)
Aufgabe 15
a)
gilt:
Berechne den Winkel 
.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
.
(5,5 P)
b)
Von einem rechteckigen Blatt Papier wird entlang der gestrichelten Linie ein Stück abgeschnitten und an einer anderen Stelle angelegt (siehe Skizze).
Es gilt:
ist Mittelpunkt von
Bea behauptet:
„Das Viereck
hat den gleichen Umfang wie das Rechteck “.
Hat Bea recht?
Begründe deine Aussage rechnerisch oder durch Argumentation.
ist Mittelpunkt von
Bea behauptet:
„Das Viereck
hat den gleichen Umfang wie das Rechteck “.
Hat Bea recht?
Begründe deine Aussage rechnerisch oder durch Argumentation.
(4,5 P)
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Lösung 1
a)
Beim Punkt 
bilden die Winkel 
und 
zusammen einen rechten Winkeln. Da 
bekannt ist:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
90^\circ-\sphericalangle \text{DAC}&=& \sphericalangle \text{CAE} \\[5pt]
90^\circ-65^\circ&=&25^\circ
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dec2f916575de952a8e4c9b9c7fab5a0a354bee0ed5bb5ba0f908addb7e168d9_light.svg)
Nun kann die Länge durch Längenbeziehungen innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks errechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\cos(\alpha_1)&=&\dfrac{\text{Ankathete}}{Hypotenuse} \\[5pt]
\cos(65^\circ)&=& \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AC}}\\[5pt]
\cos(65^\circ)&=&\dfrac{3,8\;\text{cm}}{\overline{AC}} &\mid\; \cdot \overline{AC}
\\[5pt]
\cos(65^\circ)\cdot \overline{AC}&=&3,8\;\text{cm} &\mid\; :\cos(65^\circ) \\[5pt]
\overline{AC}&=&\dfrac{3,8\;\text{cm}}{\cos(65^\circ)} \\[5pt]
&=&8,99\;\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c926b536a37d84c9f7f2e328be1af91ded192d336c08f1ac7baf8c10c1c64e2e_light.svg)
Das Gleiche Verfahren kann nun für die Strecken 
und 
verwendet werden.
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\tan(\alpha_1)&=&\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete} \\[5pt]
\tan(65^\circ)&=&\dfrac{\overline{DC}}{\overline{AD}} \\[5pt]
\tan(65^\circ)&=&\dfrac{\overline{DC}}{3,8\;\text{cm}} &\mid\; \cdot 3,8\;\text{cm} \\[5pt]
\overline{DC}&=&\tan(65^\circ)\cdot 3,8\;\text{cm} \\[5pt]
\overline{DC}&=&8,15\;\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f30d77aefebe2798a7ead6b2b9d29f6d94d29b28de2fb7804ecfb0925a8a87ce_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\tan(\sphericalangle CAE)&=&\dfrac{Gegenkathete}{Ankathete} \\[5pt]
\tan(25^\circ)&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{AC}} \\[5pt]
\tan(25^\circ)&=&\dfrac{\overline{CE}}{8,99\;\text{cm}} &\mid\; \cdot 8,99 \;\text{cm}
\\[5pt]
\overline{CE}&=&\tan(25^\circ)\cdot 8,99\;\text{cm} \\[5pt]
\overline{CE}&=&4,19\;\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c3b307f3309257acb0800581f3afac41beb763afa7514c16a320fb8b6becb3ae_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\cos(\sphericalangle CAE)&=&\dfrac{Ankathete}{Hypotenuse} \\[5pt]
\cos(25^\circ)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AE}} \\[5pt]
\cos(25^\circ)&=&\dfrac{8,99\;\text{cm}}{\overline{AE}} &\mid\; \cdot
\overline{AE}\\[5pt]
\cos(25^\circ)\cdot\overline{AE}&=& 8,99\;\text{cm} &\mid\; :\cos(25^\circ) \\[5pt]
\overline{AE}&=&\dfrac{8,99\;\text{cm}}{\cos(25^\circ)} \\[5pt]
\overline{AE}&=&9,92\;\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e1a93694fd463d73c6ee1837addf6fb57981c7b8e20b11d5927b4011092c01dd_light.svg)
Daraus folgt dann:
Um den Umfang des Dreiecks 
bestimmen zu können, muss die Strecke 
ermittelt werden.
Senkrechte durch errichten:
Durch Punkt verläuft die Senkrechte 
Sie ist ebenso lang wie die Höhe 
Hilfsstrecke bestimmen:
Rechtwinkliges Dreieck 
betrachten:
Mit Hilfe des Satz des Pythagoras 
bestimmen:
Zahlenwerte einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\overline{BC}^{2}&=&4,75^{2}+3,8^{2} &\mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\overline{BC}&=&\sqrt{4,75^{2}+3,8^{2}} \\[5pt]
\overline{BC}&=&6,08\;\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/25ea88eab55d8284e6cb6a2360fb5ba025815f9ca3ececaa4c7b31634f60883d_light.svg)
Der Umfang 
ergibt sich aus:
Der Umfang des Dreiecks beträgt 
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Lösung 2
a)
Winkel 
berechnen
Aufgrund des Symmetrie des Drachenvierecks hat der Winkel 
die gleiche Größe wie der Winkel 
Daher gilt:
Umfang des Vierecks 
berechnen
1. Schritt: 
bestimmen
Aufgrund der Symmetrie des Drachenvierecks gilt 
2. Schritt: 
berechnen
3. Schritt: 
berechnen
Aufgrund der Symmetrie des Drachenvierecks gilt 
Damit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \varepsilon&=& \dfrac{\overline{BE}}{\overline{EG}} \\[5pt]
\cos \varepsilon&=& \dfrac{\overline{BE}}{\overline{EF}} \\[5pt]
\cos 20,0°&=& \dfrac{5,6\,\text{cm}}{\overline{EF}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{EF} \\[5pt]
\cos 20,0°\cdot \overline{EF}&=& 5,6\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\cos 20,0°\\[5pt]
\overline{EF}&=& \dfrac{5,6\,\text{cm}}{\cos 20,0°} \\[5pt]
\overline{EF}&=& \underline{5,96\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/75eb9ed924378bc1792b1c1507f2436b34ff38e9e9540393c96ee244c70620dc_light.svg)
4. Schritt: 
berechnen
Zunächst muss die Länge der Strecke 
berechnet werden:
Damit folgt für die Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CF}&=& \overline{CG} \\[5pt]
&=& \overline{AD}-\overline{BG} \\[5pt]
&=& 5,6\,\text{cm}-2,04\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 3,56\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a9c412125f4629abaad1d1f1bb9539cd9015eeb45ae08469566e80f54b7812cc_light.svg)
Insgesamt gilt dann für die Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DF}&=& \overline{AB}-\overline{CF} \\[5pt]
&=& 9,4\,\text{cm}-3,56\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{5,84\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/de52816477fd78dcda7a852f8864a5a288b3480375577a1a6de01b6bb76c1d9a_light.svg)
5. Schritt: Umfang berechnen
berechnen
Aufgrund des Symmetrie des Drachenvierecks hat der Winkel die gleiche Größe wie der Winkel Daher gilt:
Umfang des Vierecks berechnen
1. Schritt: bestimmen
Aufgrund der Symmetrie des Drachenvierecks gilt
2. Schritt: berechnen
3. Schritt: berechnen
Aufgrund der Symmetrie des Drachenvierecks gilt Damit folgt:
4. Schritt: berechnen
Zunächst muss die Länge der Strecke berechnet werden:
Damit folgt für die Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin \varepsilon &=& \dfrac{\overline{BG}}{\overline{EG}} \\[5pt]
\sin 20,0° &=& \dfrac{\overline{BG}}{5,96\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 5,96\,\text{cm}
\\[5pt]
\sin 20,0°\cdot 5,96\,\text{cm} &=& \overline{BG} \\[5pt]
2,04\,\text{cm}&=& \overline{BG}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ac162885200a2c242eabe79ecb840adfe6a1776febb57bb50c1d89ba1147f45b_light.svg)
Insgesamt gilt dann für die Strecke
5. Schritt: Umfang berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
u&=&\overline{AD}+\overline{AE}+\overline{EF}+\overline{DF} \\[5pt]
&=& 5,6\,\text{cm}+3,8\,\text{cm}+5,96\,\text{cm}+5,84\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{21,2\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2be5fda7ffb0c34c520da8cd76bc2991f332c8e8181c50268c005280ee1eb60c_light.svg)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2024
Lösung 3
a)
Hilfsskizze:
1. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\gamma_1&=&\dfrac{\overline{AF}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt]
\sin\gamma_1\cdot \overline{AC}&=&\overline{AF}\\[5pt]
\overline{AF}&=&\sin\gamma_1\cdot \overline{AC}\\[5pt]
&=&\sin 37,6^\circ\cdot 11,4\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{AF}&=&\underline{6,96\,\text{cm}}=\overline{BF}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f117be89cd18c2721247be3d6cdd8dce5a70e9d1ea60ba536fac5e109adcbee0_light.svg)
2. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\delta&=&\dfrac{\overline{BH}}{\overline{BD}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BD} \\[5pt]
\sin\delta\cdot \overline{BD}&=&\overline{BH}\\[5pt]
\overline{BH}&=&\sin\delta\cdot \overline{BD}\\[5pt]
&=&\sin 39,2^\circ\cdot 8,2\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{BH}&=&\underline{5,18\,\text{cm}}=\overline{EF}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6d7867800c748f34a8a9f65c9b427166812029b8d1d338d1df3425c6ad7a6546_light.svg)
3. Schritt: Länge von 
berechnen
3.1. Schritt: Länge von 
berechnen
Es gilt: 
und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos\gamma_2&=&\dfrac{\overline{CF}}{\overline{BC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{BC}\\[5pt]
\cos\gamma_2\cdot \overline{BC}&=&\overline{CF}\\[5pt]
\overline{CF}&=&\cos\gamma_2\cdot \overline{BC}\\[5pt]
&=&\cos 37,6^\circ\cdot 11,4\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{CF}&=&9,03\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3fc464ca0829003058de304a618f444b89d070eb7b9159ab34b56c58c6893fb6_light.svg)
3.2. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CE}&=&\overline{CF}-\overline{EF}\\[5pt]
\overline{CE}&=&9,03\,\text{cm}-5,18\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{CE}&=&3,85\,\text{cm}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/15b7496483fda77f5fa342a59f42c6a589d4d504f6c80e6060728ee707bcf45e_light.svg)
3.3. Schritt: Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\gamma_2&=&\dfrac{\overline{EG}}{\overline{CE}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{CE} \\[5pt]
\tan\gamma_2\cdot \overline{CE}&=&\overline{EG}\\[5pt]
\overline{EG}&=&\tan\gamma_2\cdot \overline{CE}\\[5pt]
&=&\tan37,6^\circ\cdot 3,85\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{EG}&=&\underline{2,96\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/86cae91396842a03524c0c0133d1a192286cfc3f09a61359f628b013386f9088_light.svg)
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\dfrac{\overline{BF}+\overline{EG}}{2}\cdot\overline{EF}\\[5pt]
&=&\dfrac{6,96\,\text{cm}+2,96\,\text{cm}}{2}\cdot 5,18\,\text{cm}\\[5pt]
A&=&\underline{\underline{25,7\,\text{cm}^2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/75a4c3dd27ebbf0262b34bc2fe3863175364bb8414cd13408aae10d7feeaee9c_light.svg)
berechnen
2. Schritt: Länge von berechnen
3. Schritt: Länge von berechnen
3.1. Schritt: Länge von berechnen
Es gilt: und
3.2. Schritt: Länge von berechnen
3.3. Schritt: Länge von berechnen
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Lösung 4
a)
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
1. Schritt: Länge von 
berechnen
2. Schritt: Länge von berechnen
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Größe des Winkels 
berechnen
1. Schritt: Größe des Winkels 
berechnen
2. Schritt: Größe des Winkels 
berechnen
3. Schritt: Größe des Winkels berechnen
berechnen
2. Schritt: Länge von berechnen
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Größe des Winkels berechnen
1. Schritt: Größe des Winkels berechnen
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
3. Schritt: Größe des Winkels berechnen
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2022
Lösung 5
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
entspricht der Länge der Strecke
Damit kann die halbe Höhe 
von berechnet werden, mit der dann die Seitenlänge berechnet werden kann.
1. Schritt: berechnen
2. Schritt: berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{BC}^2&=&\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2+h^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\overline{BC}&=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2+h^2}
\\[5pt]
&=&\sqrt{\left(6,2\,\text{cm}\right)^2+(21,48\,\text{cm})^2}\\[5pt]
\overline{BC}&=&\underline{ 22,36\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1802a7ad265c6902459ae8e88d33490d5ce2ab7ca281f1ae52d243997d56c164_light.svg)
3. Schritt: Umfang berechnen
Beurteilen, ob Tom Recht hat und begründen
Argumentativ:
Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Grundseite 
und der Höhe 
. Das Dreieck hat ebenfalls die Grundseite und die Höhe 
.
Dadurch ist der Flächeninhalt des Dreiecks 
doppelt so groß wie der eines der sechs gleichseitigen Dreiecke.
Damit ist der Flächeninhalt des Sechsecks dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks .
Rechnerisch:
was dem Dreifachen entspricht.
Weitere mögliche Lösung:
Lösung 6
a)
Länge der Strecke berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Dazu wird zunächst die Länge der Strecke berechnet:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AC}\;\\[5pt]
\cos(\alpha)\cdot \overline{AC}&=&\overline{AB} \quad \scriptsize \mid\; :\cos(\alpha) \\[5pt]
\overline{AC}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\cos(\alpha)}\\[5pt]
\overline{AC} &=&\dfrac{13,2\,\text{cm}}{\cos(55^\circ)}\\[5pt]
\overline{AC} &=& 23,01\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c3d5204d2ec558c4dcc216970b07a6a102b170f63aede46b10f96486cd75b543_light.svg)
Damit kann nun die Länge der Strecke berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AE}&=& \overline{AC}-\overline{CE} \\[5pt]
&=& 23,01\,\text{cm}-8,0\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{ 15,01\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/23e52ccdfce04b53322bfcdd6d292c12543a8b6a4fbbb6c7cb3f56cf4dc220d3_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Das Dreieck 
ist gleichschenklig.
Begründung:
1.
2.
3.
4.
Daraus folgt: 
Da das Dreieck 
gleichschenklig ist, gilt: 
Damit kann nun die Länge der Strecke 
berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DF}&=& \overline{DE}-\overline{EF} \\[5pt]
&=& \overline{AE}-\overline{EF} \\[5pt]
&=& 15,01\,\text{cm}-8,0\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 7,01\,\text{cm}\\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 7\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f442d6c586f7ceed40a2c62e2ed229ff65b9eb637998beee9d8e69756df7832e_light.svg)
Umfang des Vierecks 
berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BF}}{\overline{DF}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{DF} \\[5pt]
\sin(\alpha)\cdot\overline{DF} &=& \overline{BF}\\[5pt]
\sin(55^\circ)\cdot 7\,\text{cm} &=& \overline{BF}\\[5pt]
5,73\,\text{cm} &\approx& \overline{BF}\\
\overline{BF} &\approx&\underline{ 5,73\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e7d829a371a9c767d08542e54dec5a8eb3d0bffd0da533cdb1bb9df15e6770b5_light.svg)
2. Schritt: Umfang berechnen
berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Dazu wird zunächst die Länge der Strecke berechnet:
Damit kann nun die Länge der Strecke berechnet werden:
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Das Dreieck ist gleichschenklig.
Begründung:
1.
2.
3.
4.
Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt:
Damit kann nun die Länge der Strecke berechnet werden:
Umfang des Vierecks berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke berechnen
2. Schritt: Umfang berechnen
![\( \begin{array}[t]{rll}
u&=&\overline{AB}+\overline{BF}+\overline{EF}+\overline{AE} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 41,9\,\text{cm} }}\end{array} \)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bb552fb2dc62bab0b866292f4f6e2353224433ed3bbfbecf8019bb9aa1929c63_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
u&=&\overline{AB}+\overline{BF}+\overline{EF}+\overline{AE} \\[5pt]
&=& 13,2\,\text{cm}+5,73\,\text{cm}+8\,\text{cm}+15,01\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 41,94\,\text{cm}
\\[5pt]
u&=& \underline{\underline{ 41,9\,\text{cm}}} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/03be420c57176b0856ffaf3e927460cd8aaba9e47da0b07098f3f7138e94d3fe_light.svg)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Lösung 7
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Flächeninhalt des Dreicks 
berechnen
Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: 
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{M_1D}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{CD} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 29,7\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{ 14,85\,\text{cm} }
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e9d4ece7e27455a9444a5c015172586a4bfb47e29caee49ae3128785716d7013_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Länge der Strecke 
berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{M_2C}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 21\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 10,5\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d04f309714c430572e655507f40ca0f01735f1f07e7b492cb055c95fb1f5f41f_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CM_1}&=& \overline{M_1D}\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 14,85\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ee7970f59d0829619da6a01bff18d34e70855c5515ae3b55951dd6849700d28b_light.svg)
Größe des Winkels 
berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha_1)&=& \dfrac{\overline{M_2C}}{\overline{CM_1}} \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt]
\alpha_1&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{\overline{M_2C}}{\overline{CM_1}}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt]
\alpha_1&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{10,5}{14,85}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt]
\alpha_1&=& 35,26^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/af7fffc5616f491f0f500bef3ce5c3312b48bd32cc097d6eb8c6a8bcc718a87a_light.svg)
Größe des Winkels berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha&=& 2\cdot \alpha_1 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 2\cdot 35,26^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 70,52^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2b2ec0b2d012e556731e707974db4e68d713a2a2bf3e68d0d7959b7d741bd2db_light.svg)
Größe des Winkels 
berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\beta&=& 180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 180^{\circ}-90^{\circ}- 70,52^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 19,48^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1a8717e0557daf10dba456795cc590c662c34a83b3e1dc04ad22eed8def5eaed_light.svg)
Länge der Strecke berechnen:
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{EM_1D}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{M_1D}\cdot \overline{DE} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 14,85\,\text{cm} \cdot 5,25\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 38,98\,\text{cm} ^2
\\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 39\,\text{cm} ^2 }}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/328894f12375f29894e45cadd5b67aaad932b783464ae443e2a19873ef6d3d56_light.svg)
Flächeninhalt des Vierecks 
berechnen
Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: 
1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{M_1M_2C}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{M_2C}\cdot \overline{CM_1} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 10,5\,\text{cm} \cdot 14,85\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&= & \underline{ 77,96 \,\text{cm}^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d57533c299534bf11b564966c2cb537f253f2ee57d8b00dd69dee2f30ccae0d4_light.svg)
2. Schritt: Flächeninhalt des Trapezes 
berechnen
Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: 
Länge der Strecke berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha) &=&\dfrac{\overline{FR}}{\overline{RM_1}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{RM_1} \\[5pt]
\tan(\alpha)\cdot \overline{RM_1} &=& \overline{FR} \quad \scriptsize \mid\; : \tan(\alpha) \\[5pt]
\overline{RM_1} &=& \dfrac{\overline{FR} }{\tan(\alpha)} \quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{RM_1} &=& \dfrac{21\,\text{cm} }{\tan(70,52^{\circ} )} \quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{RM_1}&=& 7,43\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2ef0d1956fce75632e57ffb41699572a434364cd88937a182b95fc582752c114_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CR}&=&\overline{CM_1}-\overline{RM_1} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 14,85\,\text{cm} - 7,43\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 7,42\,\text{cm} = \overline{BF}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8f51288e66b6bd3f069f48523f68332770343ee5b9c3c494e7f18c6ee3359129_light.svg)
Es gilt also:
3. Schritt: Flächeninhalt des Vierecks berechnen
berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Länge der Strecke berechnen:
Länge der Strecke berechnen:
Größe des Winkels berechnen:
Größe des Winkels berechnen:
Größe des Winkels berechnen:
Länge der Strecke berechnen:
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{M_1D}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot
\overline{M_1D} \\[5pt]
\tan(\beta) \cdot \overline{M_1D}&=& \overline{DE} \quad \scriptsize \\[5pt]
\tan(19,48^{\circ} ) \cdot 14,85\,\text{cm} &=& \overline{DE} \quad \scriptsize \\[5pt]
5,25\,\text{cm} &=& \overline{DE}\\
\overline{DE} &=& \underline{ 5,25\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/15cdb1aa6e46645627648fadf7bdd878b773ff6f9e3cd7712a1ad38d1adb7dcf_light.svg)
Flächeninhalt des Vierecks berechnen
Formel zur Berechnung des Flächeninhalts:
1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
2. Schritt: Flächeninhalt des Trapezes berechnen
Formel zur Berechnung des Flächeninhalts:
Länge der Strecke berechnen:
Es gilt also:
3. Schritt: Flächeninhalt des Vierecks
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{FBCM_1}&=&\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{CM_1}+\overline{BF})\cdot \overline{BC} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2}\cdot (14,85\,\text{cm}+ 7,42\,\text{cm})\cdot 21\,\text{cm} &\quad \scriptsize
\\[5pt]
&=& 233,84\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/57dae390e99725cfe06a4c452122c96387ec412f4f18765c86d7dd7431222c15_light.svg)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{FBM_2C](https://www.schullv.de/resources/formulas/d25ae121a380c295fa6054720dfeb2562b8f62235062f51d3121232bb43fe9b2_light.svg)
Lösung 8
a)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{BF}}{\overline{BC}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{BC}\\[5pt]
\cos(\beta)\cdot\overline{BC}&=&\overline{BF}\\[5pt]
\overline{BF}&=&\cos(60^\circ)\cdot 4,8\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{BF}&=&\underline{ 2,4\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a05be29573d42c967eb294545a16fc6569f223204d55e75b22c9ee8c6b8785c_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CF}^2+\overline{BF}^2&=&\overline{BC}^2 \quad\quad\quad\quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\;
-\overline{BF}^2\\[5pt]
\overline{CF}^2&=&\overline{BC}^2-\overline{BF}^2 \quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt]
\overline{CF}&=&\sqrt{\overline{BC}^2-\overline{BF}^2} \\[5pt]
&=&\sqrt{(4,8\,\text{cm})^2-(2,4\,\text{cm})^2} \\[5pt]
\overline{CF}&=&\underline{ 4,16\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4434674e68c931b52ab28236e991006d26dba0ee8527b650341a629aa824c376_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{AE}\quad \scriptsize
\mid\; :\tan(\alpha)\\[5pt]
\overline{AE}&=&\dfrac{\overline{DE}}{\tan(\alpha)}\\[5pt]
\overline{AE} &=&\dfrac{4,16\,\text{cm}}{\tan(70^\circ)}\\[5pt]
\overline{AE}&=&\underline{ 1,51\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/027e7becd7be30033bdac40fbee6de6f36c34720dac3e1a6ed986d19e87606dd_light.svg)
4. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CD}&=&\overline{AB}-\overline{BF}-\overline{AE}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 6,0\,\text{cm}-2,4\,\text{cm}-1,51\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 2,09\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f2ef4b7a5cacef2a80ac67bfdaaf3f85f91689a6797d7d1d197e4911982f444b_light.svg)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Musterprüfung 1
Lösung 9
a)
Länge des Streckenzugs berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AR}^2&=& (4 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\overline{AR}&=& \sqrt{(4 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 } \\[5pt]
&=& \underline{ 5,66 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f9ad5ac534a05e6d4ff294fdc92d9267d7f96c82610e97ac30177b2ef95a3fdf_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{RS}^2&=& (4 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\overline{RS}&=& \sqrt{(4 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 } \\[5pt]
&=& \underline{ 5 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7050c29b7c6b9217cf22ff15aca12056e6c0c6bd4cdc633e43c4acb1f35c59fb_light.svg)
4. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{ST}^2&=& (3 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\overline{ST}&=& \sqrt{(3 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 } \\[5pt]
&=& \underline{ 5 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a87ac3fc1815f17348789ff2e83cfe320c021ffbaa29e11fb2ee8b6ee7f00695_light.svg)
5. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{TB}^2&=& (3 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
\overline{TB}&=& \sqrt{(3 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 } \\[5pt]
&=& \underline{ 4,24 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/81de60fa3b1a6093edc433686041f61df47a45ad28a79a9e8c1795a4ccb18d15_light.svg)
6. Schritt: Gesamten Streckenzug berechnen
Größe des Winkels berechnen
1. Schritt: Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\gamma)&=& \dfrac{3\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}\\[5pt]
\gamma&=& \underline{ 36,9^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/79908b405a3920cc9cbf187d6f61791ebc797d6f3d64af6ba457e590d8f8eed5_light.svg)
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\beta)&=& \dfrac{4\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}\\[5pt]
\beta&=& \underline{ 53,1^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0424f537bb82a1f05ff97832c5572ec6432f7d073ff53a4c66ee9ff2a73febd8_light.svg)
3. Schritt: Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha&=& 180^{\circ} -\gamma - \beta &\quad \scriptsize \\[5pt]
\alpha&=& 180^{\circ} -36,9^{\circ} - 53,1^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 90^{\circ}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ae9c1fa8af94f4229bbc65b1ca8964c437d128be989406ee2771855a244b940a_light.svg)
berechnen
berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
4. Schritt: Länge der Strecke berechnen
5. Schritt: Länge der Strecke berechnen
6. Schritt: Gesamten Streckenzug berechnen
Größe des Winkels 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{ARSTB}&=& \overline{AR} + \overline{RS} + \overline{ST} + \overline{TB} &\quad
\scriptsize \\[5pt]
&=& 5,7 \,\text{cm} + 5 \,\text{cm} + 5 \,\text{cm} + 4,2 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 19,9 \,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a29ff0faa370694a2024ac0f9df94a8e53722c145879fe9a9a43d124a6bdcedf_light.svg)
berechnen
berechnen
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
3. Schritt: Größe des Winkels berechnen
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.
Lösung 10
a)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\varepsilon_1 )&=&\dfrac{\overline{CD}}{\overline{EC}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\sin(64^{\circ} )&=&\dfrac{9,5\,\text{cm}}{\overline{EC}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{EC} \\[5pt]
\sin(64^{\circ} )\cdot \overline{EC} &=& 9,5\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; : \sin(64^{\circ} ) \\[5pt]
\overline{EC}&=&\dfrac{9,5\,\text{cm}}{\sin(64^{\circ})} \\[5pt]
\overline{EC}&= &\underline{ 10,57\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/21d327c8ef5f391b877bbe963403454b0f35ef406d1c3e838670aff27447999b_light.svg)
Länge der Strecke berechnen
1. Schritt: Größe des Winkels 
berechnen
2. Schritt: Länge der Seite 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\gamma_1)&=&\dfrac{\overline{FD}}{\overline{CD}} \quad \scriptsize
\\[5pt]
\sin(26 ^{\circ} )&=&\dfrac{\overline{FD}}{9,5\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 9,5\,\text{cm} \\[5pt]
\sin(26 ^{\circ} )\cdot 9,5\,\text{cm} &=& \overline{FD} & \\[5pt]
\overline{FD} &=& \sin(26 ^{\circ} )\cdot 9,5\,\text{cm} & \\[5pt]
\overline{FD} &= &\underline{ 4,16\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6fb9c79a8f7ac80201dc811f29cab58abb83774455652709ad27684271da2fe2_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AE}&=& \overline{HD}-\overline{FD} \\
&=& 12,9\,\text{cm}-4,16\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{ 8,74\,\text{cm} }
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/432009508e251492ca921e092b7599c448cacb17977fdcfc48ba1f85799017a5_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
1. Schritt: Größe des Winkels 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\gamma_2&=& \gamma-\gamma_1 \\[5pt]
&=& 95^{\circ}-26^{\circ} \\[5pt]
&=& \underline{ 69^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4ef11eb799682b4d4748d3af087ecbc9db6b28016f768bf6d9db466c65781ba3_light.svg)
2. Schritt: Länge der Seite 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\gamma_2)&=&\dfrac{\overline{BG}}{\overline{CG}} \\[5pt]
\tan(69^{\circ} )&=&\dfrac{8,74\,\text{cm}}{\overline{CG}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{CG} \\[5pt]
\tan(69^{\circ} ) \cdot \overline{CG} &=&8,74 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; : \tan(69^{\circ} ) \\[5pt]
\overline{CG}&=&\dfrac{8,74\,\text{cm}}{\tan(69^{\circ})} \\[5pt]
\overline{CG}&= &\underline{ 3,35\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/94d5c9aeb0e2f9fadc55e6ac159cb536fd09b8ea759c93b859d2267f63132ba0_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AB}&=& \overline{EC}-\overline{CG}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 10,57\,\text{cm}-3,35\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{ 7,22\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1d1feb42cf7ab370247d7cf348626658efeeb15a5f3d4c3faf06bc9aceae542d_light.svg)
Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{AB}+\overline{EC})\cdot \overline{AE}\\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot (7,22\,\text{cm}+10,57\,\text{cm}) \cdot 8,74\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 77,74\,\text{cm}^2
\\[5pt]
A&=&\underline{\underline{ 77,7\,\text{cm}^2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/97dc776be09ae896b647dfe8d9ba773b5e6e71621dfeb951ba71f29a5f69ac40_light.svg)
b)
Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: 
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 
groß:
1. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(60^{\circ})&=&\dfrac{\overline{HF}}{2\mathrm{e}\sqrt{3}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3}
\\[5pt]
\tan(60^{\circ}) \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3} &=& \overline{HF}\\[5pt]
\overline{HF} &=&\tan(60^{\circ}) \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3}\\[5pt]
\overline{HF}&=&\underline{ 6\mathrm{e}} \quad = \overline{AD} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b3240df0881a1e23d75721ce5c157bb5fd89e7fc72b5d158f5fca43dac2b89d3_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Da in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, gilt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(30^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{DG}}{\overline{DF}} \\[5pt]
\cos(30^{\circ}) &=& \dfrac{6\mathrm{e}}{\overline{DF}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DF}\\[5pt]
\cos(30^{\circ}) \cdot \overline{DF} &=& 6\mathrm{e} \quad \scriptsize \mid\; :\cos(30^{\circ}) \\[5pt]
\overline{DF} &=& \dfrac{6\mathrm{e}}{\cos(30^{\circ})} \\[5pt]
\overline{DF} &=& \underline{ 4 \mathrm{e}\sqrt{3}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/55cb1b844e283fafe8b9a711d28431f86e4f09b6b632ffa2eb2a5210848c5055_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DC}&=& \overline{DF} + \overline{FC}\\[5pt]
&=& 4 \mathrm{e}\sqrt{3} + 2 \mathrm{e}\sqrt{3}\\[5pt]
&=& \underline{ 6\mathrm{e}\sqrt{3}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/11562293c7100cef302115bd5f35553c93623463a60b4911390ee9250e07b738_light.svg)
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \overline{AD} \cdot \overline{DC} \\[5pt]
&=& 6\mathrm{e} \cdot 6\mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 36\mathrm{e}^2\sqrt{3}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ecff40f0f903c480e387d5f3f2b9833c731639c50af2a768776d904803f80a21_light.svg)
Damit ist die Aussage bewiesen.
Abschlussprüfung 2020
In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel groß:
berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Da in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, gilt
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Damit ist die Aussage bewiesen.
Lösung 11
a)
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
Satz des Pythagoras anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AF}^2&=& \overline{AG}^2+\overline{FG}^2\quad \scriptsize \mid\;-\overline{AG}^2 \\[5pt]
\overline{FG}^2&=&\overline{AF}^2-\overline{AG}^2\\[5pt]
\overline{FG}^2&=&(3,4\,\text{cm})^2-(1,7\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
\overline{FG}&=& \sqrt{(3,4\,\text{cm})^2-(1,7\,\text{cm})^2}\\[5pt]
\overline{FG}&=& \underline{ 2,94\,\text{cm} }
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/47c200cf3f30cf6086e2fa21d9012ee60085c5b41d5f81b7c61017dfb94cbb14_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Größe des Winkels berechnen
Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{FI}}{\overline{CF}} &\quad \\[5pt]
\cos(\beta)&=&\dfrac{1,7\,\text{cm} }{7,0\,\text{cm} } \\[5pt]
\beta&=&\underline{ 75,94^{\circ}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f47829dc4bc7131cff114d726532cc7a3d55f2ba86cbe66f98e54209d381000e_light.svg)
Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\gamma&=&180^{\circ}-\beta-\dfrac{\alpha}{2} \\[5pt]
\gamma&=&180^{\circ}-75,94^{\circ}-\dfrac{60^{\circ}}{2} \\[5pt]
\gamma&=&\underline{ 74,06^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/72ff6465ef5ece0b0a912047d3a488cfcf4a9e5390fa17154e7dca784c1f09ce_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\gamma)&=&\dfrac{\overline{HF}}{\overline{CF}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CF} \\[5pt]
\overline{HF}&=&\overline{CF}\cdot \cos(\gamma) \\[5pt]
\overline{HF}&=&7,0\,\text{cm}\cdot \cos(74,06^{\circ}) \\[5pt]
\overline{HF}&=&\underline{ 1,92\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8db02f0d87cd45c689719dc60f3a8be45e4b6870b6d44bece549ea30b24d0b8d_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\gamma)&=&\dfrac{\overline{CH}}{CF} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CF} \\[5pt]
\overline{CH}&=&\overline{CF}\cdot \sin(\gamma) \\[5pt]
\overline{CH}&=&7,0\,\text{cm}\cdot \sin(74,06^{\circ}) \\[5pt]
\overline{CH}&=&\underline{ 6,73\,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7b9a3cddf7b716c276bb1781c596c67b2ec89b456ba6bfe64a1e87792f354721_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{CH}}{\overline{DH}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot
\overline{DH} \\[5pt]
\overline{DH}\cdot \tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right) &=& \overline{CH}&\quad\scriptsize
\mid\;:\tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right) \\[5pt]
\overline{DH}&=&\dfrac{\overline{CH}}{\tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right)} \\[5pt]
\overline{DH}&=&\dfrac{6,73\,\text{cm}}{\tan(59^{\circ})} \\[5pt]
\overline{DH}&=&\underline{ 4,04\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5394a66daf68c0e9247f976c3ecbaeb15022a3b334a2596795e99f8679e03b4f_light.svg)
3. Schritt: Abstand des Punktes 
zur Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DG}&=&\overline{DH}+\overline{HF}+\overline{FG} & \\[5pt]
\overline{DG}&=&4,04\,\text{cm}+1,92\,\text{cm}+2,94\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{DG}&=&\underline{\underline{ 8,9\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/249199456a9a8cc30ec1111d7ee985dccd0a5037a45caef03fe4f3392c347bca_light.svg)
berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
berechnen
Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt
Größe des Winkels berechnen
Länge der Strecke berechnen
Länge der Strecke berechnen
Länge der Strecke berechnen
3. Schritt: Abstand des Punktes zur Strecke berechnen
b)
berechnen
Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DF}&=&\overline{DA}-\overline{AF} & \\[5pt]
\overline{DF}&=&21,0\,\text{cm}-13,3\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{DF}&=&\underline{ 7,70\,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/129a7793847a2743ebf1a395a75cf6874379ca5d7671a1ceb1fa6281e2e1aafb_light.svg)
Länge der Srecke 
mit dem Satz des Pythagoras berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{A](https://www.schullv.de/resources/formulas/df950dfe69650dd3d39a541694d35689323330fe9a1843dfc93dcddc50278979_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CA](https://www.schullv.de/resources/formulas/ba28a459984ea378c17ecc1fa44cf8905cc41ac10829a9c95d9f92aa6097192b_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
Größe des Winkels 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\epsilon)&=&\dfrac{\overline{A](https://www.schullv.de/resources/formulas/c667875bd025cc090648161fb8e1afd79b3db80efb91373d2e01ee0dad1a8475_light.svg)
Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
180^{\circ}&=&2\cdot \varphi+\epsilon &\quad \scriptsize \mid\;-\epsilon \\[5pt]
2\cdot \varphi&=&180^{\circ}-\epsilon &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt]
\varphi&=&(180^{\circ}-\epsilon):2 \\[5pt]
\varphi&=&(180^{\circ}-54,61^{\circ}):2 \\[5pt]
\varphi&=&\underline{ 62,70^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6c51ef5bc2315aeb7a70c9c772c0ae4ff55b4e1a7d3216c3aec562728be1ece1_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\varphi)&=&\dfrac{\overline{AG}}{\overline{AF}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AF} \\[5pt]
\overline{AG}&=&\overline{AF}\cdot \tan(\varphi) \\[5pt]
\overline{AG}&=&13,3\,\text{cm}\cdot \tan(62,70^{\circ}) \\[5pt]
\overline{AG}&=&\underline{ 25,77\,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ec93cfb1ba331a91a71ee9ea2d9e0b00292866fb63f17828b4f86afeba743dc7_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{GB}&=&\overline{AB}-\overline{AG} & \\[5pt]
\overline{GB}&=&29,7\,\text{cm}-25,77\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{GB}&=&\underline{ 3,93\,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e5f51b8061a67f0141152540fe5796aa3d9ce01b1e8614c85f3cca49e1805ffa_light.svg)
3. Schritt: Flächeninhalt des Vierecks berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\frac{1}{2}\cdot (\overline{GB}+\overline{CA](https://www.schullv.de/resources/formulas/f36d9905383800b50b19d220ceb2bdca48897a4e314faf0f6bd5db139643fb14_light.svg)
Lösung 12
a)
Hilfsskizze
Winkel berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
Die Strecke ist die Höhe des Dreiecks zur Grundseite 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[5pt]
A_{ABC}&=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{AD}\\[5pt]
54\,\text{cm}^2 &=& \dfrac{1}{2} \cdot 11,6\,\text{cm} \cdot \overline{AD} \\[5pt]
54\,\text{cm}^2 &=& 5,8\,\text{cm} \cdot \overline{AD} \quad\scriptsize \mid\; :5,8\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{AD} &=& \underline{ 9,31 \,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/44aa4385ee1b0cf84b4cd6b7213128df627295167aa2b46bd2b062f02d9c9cf3_light.svg)
2. Schritt: Winkel berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha_1)&=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\cos(\alpha_1) &=& \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\cos(\alpha_1) &=& \dfrac{9,31\,\text{cm}}{12,0\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha_1&=& \underline{ 39,12^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bfd85f3ddf45460d6cb525dcbc9807f3a0617853c22b31f0f4421af0ae98f368_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
4. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CD} &=& \overline{BC} - \overline{BD} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 11,6 \,\text{cm} - 7,57 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{CD} &=& \underline{ 4,03 \,\text{cm}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1abf4b7d12ab945378b510ab89ef87e6b8852e4f08ef23e7385d4f20bb09551e_light.svg)
5. Schritt: Winkel 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha_2)&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\tan(\alpha_2) &=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AD}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\tan(\alpha_2) &=& \dfrac{4,03\,\text{cm}}{9,31\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt]
\alpha_2&=& \underline{ 23,41^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c18002303fbf07c784f58ed3b56a3af2194a108a1414c12102bbdc3dc81326ae_light.svg)
6. Schritt: Winkel berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha &=& \alpha_1 + \alpha_2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 39,12^{\circ} + 23,41^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 62,53^{\circ} \\[5pt]
\alpha&=&\underline{\underline{ 62,5^{\circ}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3e84023eee33a74411e0b0af0f39ea05e44d21dc329f8561f48b1fb26f939422_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &=& \sin(\alpha_1)&\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9b90173eaaf7cf48022ec7f5e1c5a6c665b75f99168ae73edf5bb63a7ae6e2e4_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}} &=& \sin(\alpha_1)\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD}\\[5pt]
\overline{DE} &=& \sin(\alpha_1)\cdot \overline{AD} &\quad \scriptsize\\[5pt]
&=& \sin(39,12^{\circ}) \cdot 9,31\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 5,87\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{DE} &=& \underline{\underline{ 5,9\,\text{cm}}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ce682426264a8a382be338094066401832d5de12bc97833363090ed479fd761a_light.svg)
berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Die Strecke ist die Höhe des Dreiecks zur Grundseite
2. Schritt: Winkel berechnen
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
4. Schritt: Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AD}^2 + \overline{BD}^2 &=& \overline{AB}^2 \quad \scriptsize \mid\; - \overline{AD}^2
\\[5pt]
\overline{BD}^2 &=& \overline{AB}^2 - \overline{AD}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{BD}^2 &=& (12\,\text{cm})^2-(9,31\,\text{cm})^2 \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt]
\overline{BD} &=& \underline{ 7,57 \,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1e7f3de09c3378f4c61974c05f5ccf1869da748e962151b37e478e3c4fcb82f4_light.svg)
berechnen
5. Schritt: Winkel berechnen
6. Schritt: Winkel berechnen
Länge der Strecke berechnen
b)
Nachweis, dass die Dreiecke flächengleich sind
1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{BC}\\[5pt]
\tan(\beta)\cdot \overline{BC}&=&\overline{AC}\quad \scriptsize \mid\;:\tan(\beta)\\[5pt]
\overline{BC}&=&\dfrac{\overline{AC}}{\tan(\beta)}\quad \scriptsize \mid\;:\tan(\beta)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c9e0702db9731170fe7bcf713757aeaabe5cd3fb44fa970a128b6890fc344548_light.svg)
Da das Dreieck gleichseitig ist, gilt:
Flächeninhalt 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{DBC}&=&\dfrac{\overline{BC}^2}{4}\sqrt{3}\\[5pt]
&=&\dfrac{(4e)^2}{4}\sqrt{3}\\[5pt]
&=&\dfrac{16e^2}{4}\sqrt{3}\\[5pt]
A_{DBC}&=&\underline{ 4e^2\sqrt{3}}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/21db4228ec8f1f6f60fc93775ad45d36c7e63426eca22aaa0c291cd7057b3608_light.svg)
2. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Flächeninhalt 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot \overline{AC}\\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot4e\cdot 4e\sqrt{3}\\[5pt]
A_{ABC}&=&8e^2\sqrt{3}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6d2af57c670997cb703f04c167d926b0c1ceccaa619d60d8575a69471526bd1f_light.svg)
Flächeninhalt 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ADC}&=&A_{ABC}-A_{DBC}\\[5pt]
&=&8e^2\sqrt{3}-4e^2\sqrt{3}\\[5pt]
A_{ADC}&=&\underline{ 4e^2\sqrt{3}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d441d231c5ac86101c5ebf31651d2dc8461772163c926b06c1d59f6df27b7483_light.svg)
Damit ist gezeigt, dass beide Dreiecke flächengleich sind.
Wert von berechnen
Der Flächeninhalt des Dreiecks lautet (s.o.) 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABC}&=& 200 \\[5pt]
8e^2\sqrt{3}&=& 200 \quad \scriptsize \mid\;:(8\sqrt{3}) \\[5pt]
e^2&=&\dfrac{25}{\sqrt{3}}\\[5pt]
&=&\dfrac{25\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}\\[5pt]
e^2&=&\dfrac{25\cdot \sqrt{3}}{3}\\[5pt]
e_1&=&5\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}
\\[5pt]
e_2&=&-5\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9cc9a156c90157bd6048039b9576282d1f0fe01f2f8e9fc6afd00d4ee0f6a8b8_light.svg)
ist negativ und scheidet somit als Ergebnis aus.
Für 
beträgt der Flächeninhalt 
Abschlussprüfung 2018
berechnen
Länge von berechnen
Da das Dreieck gleichseitig ist, gilt:
Flächeninhalt berechnen
2. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Flächeninhalt berechnen
Flächeninhalt berechnen
Damit ist gezeigt, dass beide Dreiecke flächengleich sind.
Wert von berechnen
Der Flächeninhalt des Dreiecks lautet (s.o.)
ist negativ und scheidet somit als Ergebnis aus.
Für beträgt der Flächeninhalt
Lösung 13
a)
Abstand von 
zu berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BD}}{\overline{AD}} \\[5pt]
\sin(42,0^{\circ})&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\overline{AD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD}\\[5pt]
\sin(42,0^{\circ})\cdot \overline{AD}&=& 7,2 \,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; : \sin(42,0^{\circ}) \\[5pt]
\overline{AD}&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\sin(42,0^{\circ})} \\[5pt]
\overline{AD}&=& \underline{10, 76 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/48e31b07d7554a9560d9a9d6822a6e5d188ec4cc71ba0a05160a8816138e73fc_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AE}&=& \overline{AD}-\overline{DE} \\[5pt]
&=& 10,76 \,\text{cm} - 3,0 \,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{7,76 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9d25c2675ddaf6bda0d1b0ddf2ec19def2ef52e85f3f4ce618923289e5b17337_light.svg)
3. Schritt: Abstand bestimmen
Größe des Winkels berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}} \\[5pt]
\tan(42,0^{\circ})&=& \dfrac{7,2\,\text{cm}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \\[5pt]
\tan(42,0^{\circ})\cdot \overline{AB} &=& 7,2\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; : \tan(\alpha) \\[5pt]
\overline{AB}&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\tan(42,0^{\circ})} \\[5pt]
\overline{AB}&=& 8,00 \,\text{cm} \\[5pt]
\overline{AB}&=& \underline{8\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/290c165c9d47e588e4e19b9655c727a90bbac7a6c2faf7d35da4958f6dff33c3_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke 
bestimmen
3. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{BS}&=& \overline{AB} - \overline{AS} \\[5pt]
&=& 8 \,\text{cm} - 5,77 \,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{2,23 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d5b351aff2815f26b297353b725af0c828da674f5a530b53160679cabcac8a6a_light.svg)
4. Schritt: Größe des Winkels 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan (\beta)&=&\dfrac{\overline{ES}}{\overline{BS}} \\[5pt]
\tan (\beta)&=&\dfrac{5,19\text{ cm}}{2,23 \,\text{cm} } &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt]
\beta&=& \underline{66,75^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8d3fa08a5b7a68213960f2756ffe16afcbb4f3b10d7f87998424472a1db4b2ba_light.svg)
5. Schritt: Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\gamma&=& 180^{\circ}-2\cdot \beta \\[5pt]
&=& 180^{\circ}-2\cdot 66,75^{\circ} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 46,5^{\circ}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5c2cb8e02eebe1ead9b561d8cef36348a09f9266065da608338c902833945696_light.svg)
zu berechnen
bestimmen
2. Schritt: Länge der Strecke bestimmen
3. Schritt: Abstand bestimmen
Größe des Winkels 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{ES}}{\overline{AE}}\\[5pt]
\sin(42,0^{\circ})&=&\dfrac{\overline{ES}}{7,76 \,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 7,76
\,\text{cm}\\[5pt]
\sin(42,0^{\circ}) \cdot 7,76 \,\text{cm} &=& \overline{ES} \\[5pt]
\overline{ES} &=& \sin(42,0^{\circ}) \cdot 7,76 \,\text{cm} \\[5pt]
\overline{ES} &=& \underline{\underline{5,2 \,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/deaf2e2e8a04c171821eb3f1e457107e53cff631428c241e6809bd13be4a651b_light.svg)
berechnen
bestimmen
2. Schritt: Länge der Strecke bestimmen
3. Schritt: Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=& \dfrac{\overline{AS}}{\overline{AE}} \\[5pt]
\cos(42,0^{\circ})&=& \dfrac{\overline{AS}}{7,76 \,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 7,76
\,\text{cm} \\[5pt]
\cos(42,0^{\circ})\cdot 7,76 \,\text{cm} &=& \overline{AS}\\[5pt]
\overline{AS}&=& \cos(42^{\circ}) \cdot 7,76 \,\text{cm} \\[5pt]
\overline{AS}&=& \underline{5,77 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d58a25826357edd9d2b2be4d191a574ca200e1bbfc26da1ee323de9333b57806_light.svg)
berechnen
4. Schritt: Größe des Winkels berechnen
5. Schritt: Größe des Winkels berechnen
b)
In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.
2. Schritt: Höhe des Trapezes berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\beta) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{EF}} \\[5pt]
\sin (60^{\circ})&=& \dfrac{\overline{AE}}{2e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2e \\[5pt]
\sin (60^{\circ}) \cdot 2e &=& \overline{AE}\\[5pt]
\overline{AE}&=& \sin (60^{\circ}) \cdot 2e\\[5pt]
\overline{AE}&=& \sqrt{3}e \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dc70271460724d70193e3fae58c813ee37662c7f1c10e81ff64a38ca9985d955_light.svg)
3. Schritt: Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AE}^2+\overline{AF}^2&=&\overline{EF}^2 \\[5pt]
\left(\sqrt{3}e\right)^2+\overline{AF}^2 &=& (2e)^2\\[5pt]
3e^2+\overline{AF}^2 &=& 4e^2 &\quad \scriptsize \mid \; -3e^2\\[5pt]
\overline{AF}^2 &=& e^2&\quad\scriptsize\mid \;\sqrt{\;}\\[5pt]
\overline{AF} &=& \underline{ e}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1e77480bed83f02b243d1917bd6236e282b91abf378b59a152ab160aee765d07_light.svg)
4. Schritt: Strecke bestimmen
Im Dreieck 
sind zwei der Innenwinkel Nebenwinkel zu jeweils einem der Innenwinkel des Sechsecks und somit genau wie groß.
Somit sind alle Innenwinkel von
gleich groß und es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 
5. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DC}&=&\overline{DI} + \overline{IC} \\[5pt]
&=& e + 2e \\[5pt]
&=& \underline{ 3e}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b1c30ef471465bf18f3ffe2816f875d12f53e5b9afafa7bae8f02ae89f4482ab_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AB}&=& \overline{AF} + \overline{FG}+ \overline{GB} \\[5pt]
&=& e + 2e + 2e \\[5pt]
&=& \underline{ 5e}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/37aefe956bceec1709ae04fcaf5b0854b2928e85bc4332a843dbd5ff0a11006c_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABCD}&=&\frac{1}{2}\cdot \left(\overline{AB} + \overline{DC} \right) \cdot \overline{AD} \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left(5e + 3e \right) \cdot 2\cdot \sqrt{3}e \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 8 e^2\sqrt{3}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a59c343d2fc0dc841874d1c36acf5c3a258c746fed1e49f208d1a78ad3c150fc_light.svg)
Länge der Diagonale 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AC}^2 &=& \overline{AD}^2 +\overline{DC}^2 \\[5pt]
\overline{AC}^2&=& \left( 2\cdot \sqrt{3}e\right)^2 + \left( 3e\right)^2\\[5pt]
\overline{AC}^2 &=& 21e^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
\overline{AC} &=& \underline{\underline{ \sqrt{21}e}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1c8c4b2f5d8bba7a7557eef43162106b2b6927fcbc5f502118bb61947930c52a_light.svg)
Lösung 14
a)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{sin}(\beta)&=&\dfrac{CE}{BC} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{BC}\;\mid\; : \text{sin}(\beta)\\[5pt]
\overline{BC}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\sin(\beta)} \\[5pt]
\overline{BC}&=&\dfrac{9,0\,\text{cm}}{\sin(70^{\circ})} \\[5pt]
\overline{BC} &=& \underline{ 9,58\text{ cm}}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ee6e5f7609ea37b9f86397b06e0bb9496a8966809db8c5273c9e76ad8d30650d_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
180^{\circ}&=&\alpha+\beta+\gamma \quad \scriptsize \mid\;-\,\beta\, -\,\gamma \\[5pt]
\alpha&=&180^{\circ}-\beta-\gamma \\[5pt]
\alpha&=&180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ} \\[5pt]
\alpha&=&\underline{ 40^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5cc919066cb7d0383170a5be601df31b462b051ae6768213be378f54796ceffe_light.svg)
Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{CE}}{AC} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\,\overline{AC}\; \mid\;:\,\sin(\alpha)
\\[5pt]
\overline{AC}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\sin(\alpha)} \\[5pt]
\overline{AC}&=&\dfrac{9,0\,\text{cm}}{\sin(40^{\circ})} \\[5pt]
\overline{AC}&=&\underline{ 14,00\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ca5ac11a4ca388660fc53d91e2d89cf41e193fecb9426cb2fbc1fd1a6cf49ef1_light.svg)
Es gilt: 
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{FD}^2+\overline{AF}^2&=&\overline{AD}^2 \quad\scriptsize \mid\;-\,\overline{FD}^2 \\[5pt]
\overline{AF}^2&=&\overline{AD}^2-\overline{FD}^2 \;\quad\scriptsize \mid\;\,\sqrt{\,\,\,}\\[5pt]
\overline{AF}&=&\sqrt{\overline{AD}^2-\overline{FD}^2} \\[5pt]
\overline{AF}&=&\sqrt{(10,4\,\text{cm})^2-(9\,\text{cm})^2} \\[5pt]
\overline{AF}&=&\underline{ 5,21\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/572089fec6f995c7cadf64b7d2b22dba74b40bdec95740eecb7519851b061bc3_light.svg)
4. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta)&=& \dfrac{\overline{CE}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\,\overline{BE}\, \mid\;
:\tan(\beta) \\[5pt]
\overline{BE} &=& \dfrac{\overline{CE}}{\tan(\beta)} \\[5pt]
\overline{BE} &=& \dfrac{9,0\,\text{cm}}{\tan(70^{\circ})} \\[5pt]
\overline{BE} &=& \underline{ 3,28\text{ cm}}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/034c07716357cccc8c62481ddc0eb6e2cf3bbd621ea7a28624b6820639c6e077_light.svg)
5. Schritt: Länge der Strecke 
ermitteln
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{FE}&=& \overline{AB} - \overline{AF} - \overline{BE} \\[5pt]
&=& 14,00\,\text{cm} - 5,21\,\text{cm} - 3,28\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{FE}&=& \underline{ 5,51\,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2f1eb8db8198de92fa19b990c63bba2c1bd5a5da725dfadb32b211a59816e0eb_light.svg)
Es gilt: 
6. Schritt: Umfang des Trapezes berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
u&=&\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD} \\[5pt]
&=&14\,\text{cm}+9,58\,\text{cm}+5,51\,\text{cm}+10,4\,\text{cm} \\[5pt]
u&=&\underline{\underline{ 39,5\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/370f6e1ffb9f28bfdb5f00a874af592cec3c1ae88e5aefcb01db3d3a1d7df194_light.svg)
b)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\beta&=&180^{\circ}-90^{\circ}-\gamma \\[5pt]
&=&180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ} \\[5pt]
\beta&=&\underline{ 40^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b6b44a5e9792822a54c41969aef4e9864563dd670a6b9459d9bfe23b5ef0eddf_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\gamma)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt]
\overline{AB}&=& \tan(\gamma) \cdot \overline{AC} \\[5pt]
\overline{AB}&=& \tan(50^{\circ}) \cdot 11,4\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{AB}&=& \underline{ 13,59\,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7728bb7298b777a348b7558a6ae85f3494135db402f10eecc7d854d614abd3dd_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DB}&=& \overline{AB}-\overline{AD}& \\[5pt]
&=& 13,59\,\text{cm}-5,0\,\text{cm}& \\[5pt]
\overline{DB}&=& \underline{ 8,59\,\text{cm}}& \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3c3a996ca464ff84fc7d0dd0872b51f35937129d4f9c79d1df79e6aaf59a81da_light.svg)
Es gilt: 
4. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{DB}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{DB} \\[5pt]
\overline{DE}&=& \tan(\beta)\cdot \overline{DB} \\[5pt]
\overline{DE}&=& \tan(40^{\circ})\cdot 8,59\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{DE}&=& \underline{ 7,21\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dd85a607649ecc1e160a5a25cb9fb23cec5b4a2a64e17db211c818c0992f1f1a_light.svg)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AB](https://www.schullv.de/resources/formulas/751a3642adafc79fbb51241bd9167acaffe16dd4cbe5fd9a1ea1ecbcd59d5dd4_light.svg)
6. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta](https://www.schullv.de/resources/formulas/aeeecb284f6869c85f97e22fc9b5f2baf76bcc8195cac87e6b6301c4f54b31ec_light.svg)
7. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{DE}+\overline{AF})\cdot \overline{AD} & \\[5pt]
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (7,21\,\text{cm}+3,01\,\text{cm})\cdot 5,0\,\text{cm} & \\[5pt]
A&=&\underline{\underline{ 25,6\,\text{cm}^2}} & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a8156298c69a96fa0d8af8dd0db06fde0615b70f22563140a34894fd7018269b_light.svg)
Lösung 15
a)
Größe des Winkels 
berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{DR}}{\overline{AD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD} \\[5pt]
\overline{DR} &=& \sin(\alpha)\cdot \overline{AD} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{DR} &=& \sin(50^{\circ}) \cdot 8,4 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{DR} &=& \underline{ 6,43 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1987b228e97235c3568be38bc01eaf1b06f3cf82e6fea408ec469e77f65dd7a9_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AR}}{\overline{AD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD} \\[5pt]
\overline{AR} &=& \cos(\alpha) \cdot \overline{AD} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{AR} &=& \cos(50^{\circ}) \cdot 8,4\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{AR} &= & \underline{ 5,40\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e4919c57b8807028c393e440d6b6bdfeb94679d03bd777b3b4c23c476345ef09_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{ER}&=&\overline{AE}-\overline{AR} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{ER}&=& 7,8\,\text{cm}- 5,40\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{ER}&=& \underline{ 2,40 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3b45589ae0d2ca6288cc60602ccc12881d530686c913887478de909dc1507166_light.svg)
4. Schritt: Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{ER}}{\overline{DR}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\tan(\beta)&=&\dfrac{2,4\,\text{cm}}{6,43\,\text{cm} } \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt]
\beta&=& \underline{ 20,5^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2f8bb38486a0b3dd314f5c0a3cd31fc8e56f7dff1b8149e0aa9f06e71a0c9487_light.svg)
5. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\beta)&=& \dfrac{\overline{ER}}{\overline{DE}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DE} \\[5pt]
\sin(\beta)\cdot \overline{DE}&=& \overline{ER}\quad \scriptsize \mid\; : \sin(\beta) \\[5pt]
\overline{DE}&=&\dfrac{\overline{ER}}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{DE}&=&\dfrac{2,4\,\text{cm}}{\sin(20,5^{\circ} )} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{DE}&=& \underline{ 6,85\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a1fbc9840d79e61f0aad612dae437b3007610fa48749dbf9969bdb4e754d0300_light.svg)
6. Schritt: Größe des Winkels 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\delta_2)&=&\dfrac{\overline{BR}}{\overline{DR}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\tan(\delta_2)&=&\dfrac{\overline{BE}+\overline{ER}}{\overline{DR}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\tan(\delta_2)&=& \dfrac{6,85\,\text{cm}+2,4\,\text{cm}}{6,43\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt]
\delta_2&=& \underline{ 55,2^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2fe23ba1ba509d1e46adea26775a538991a18a6c2480fbb06f3d46e3c153c981_light.svg)
7. Schritt: Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\delta_1&=&90^{\circ}-\delta_2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&90^{\circ}- 55,2^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\delta_1 &=& \underline{\underline{ 34,8^{\circ}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/02c91e46bf8e6a1d122db870cedff0b0ccc2ab9f065eea3af49ada667d74d7dc_light.svg)
Flächeninhalt des Dreiecks 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{EBD}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{EB}\cdot \overline{DR} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 6,86 \,\text{cm}\cdot 6,43 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
A_{EBD}&=& \underline{\underline{ 22,1 \,\text{cm}^2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/867cfdfdea74ed4ec0bf41dcfee30ee404dfe96e9c888bd7c8cf72671316849b_light.svg)
berechnen
berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
4. Schritt: Größe des Winkels berechnen
5. Schritt: Länge der Strecke berechnen
6. Schritt: Größe des Winkels berechnen
7. Schritt: Größe des Winkels berechnen
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
b)
Beas Aussage prüfen
![\(\begin{array}[t]{rll}
u_{\,\text{Rechteck}}&=& 2\cdot 6e+2\cdot 3e &\quad \scriptsize \\[5pt]
u_{\,\text{Rechteck}}&=& 18e
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ed736c0083a450677b5fbd11e4209ed03638a21278bb103580c5d46e2c26831c_light.svg)
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AG}&=& 2\cdot \overline{BC}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 2\cdot 3e &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{AG}&=& \underline{ 6e}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0bdf4536cc0727fa9526103c135eec9069f5f50736286a8459b9e044ec9640c3_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{BE}&=&\dfrac{\overline{CM}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{3e}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{BE}&=& \underline{ 1,5e }=\overline{FG}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/50c468a26dee9e5460fdedcb0ae250a6764859ed7fea9bc085d0da4337312a93_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AE}&=&\overline{AB}-\overline{BE} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 6e-1,5e &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{AE}&=&\underline{ 4,5e}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b08f965fcaba5069261bba816bd75130a640247aa4367222a9a378e0097b5cfd_light.svg)
4. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(30^{\circ})&=&\dfrac{\overline{MR}}{\overline{EM}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{EM} \\[5pt]
\cos(30^{\circ}) \cdot \overline{EM}&=& \overline{MR}\quad \scriptsize \mid\; :\cos(30^{\circ})\\[5pt]
\overline{EM}&=&\dfrac{\overline{MR}}{\cos(30^{\circ})} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{EM}&=&\dfrac{3e}{\cos(30^{\circ})} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{EM}&=& 2\cdot \sqrt{3}e
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4f335d2edc1a2ff5445c94b73531128c00174427587e4e864e86b1c7a0cf2736_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{EF}&=& 2 \cdot \overline{EM} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 2 \cdot 2\cdot \sqrt{3}e &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{EF}&=& \underline{ 4\sqrt{3}e}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/34fecb05e03372d9805faca69cddbccd1473dc584575580faabf77311e1dc238_light.svg)
5. Schritt: Umfang des Vierecks 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
u_{AEFG}&=& \overline{AG}+\overline{FG}+\overline{AE}+\overline{EF} \quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 6e+1,5e+4,5e+4\cdot \sqrt{3}e \\[5pt]
u_{AEFG}&=& \underline{ 18,93e}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8add193e45da3ec668d212f13fe372d3e147e02ece5460313afd0e901797484d_light.svg)
Beas Aussage ist nicht richtig, da 
gilt.
Abschlussprüfung 2015
berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
3. Schritt: Länge der Strecke berechnen
4. Schritt: Länge der Strecke berechnen
5. Schritt: Umfang des Vierecks berechnen
Beas Aussage ist nicht richtig, da gilt.