Geometrie im Raum

Aufgabe 1

Gegeben ist die abgebildete quadratische Pyramide.

Vervollständige die Gleichungen.

$\sin \gamma=\quad$
	$\overline{AS}$

$\quad = \dfrac{\overline{SE}}{\overline{BE}}$

$\cos\alpha=\quad$	$\overline{AB}$

Diagramm eines geometrischen Problems mit einem Dreieck und verschiedenen Linien und Winkeln.

(1,5 P)

Abschlussprüfung 2025

Aufgabe 2

Das Volumen eines Quaders und das Volumen einer quadratischen Pyramide sind gleich groß.

Für den Quader gilt:

$\begin{aligned} & a=4 \,\text{cm} \\ & b=3 \,\text{cm} \\ & c=2 \,\text{cm} \end{aligned}$

Für die quadratische Pyramide gilt:

$a_{\text {Pyr }}=3 \,\text{cm}$

Berechne die Höhe der quadratischen Pyramide.

(1,5 P)

Abschlussprüfung 2024

Aufgabe 3

Auf der Oberfläche des Dreiecksprismas ist ein Streckenzug eingezeichnet. Die Grund- und die Deckfläche sind gleichseitige Dreiecke.

Auf welchem Netz ist der Streckenzug richtig abgebildet? Kreuze an.

(Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu)

(A)



(B)



(C)



(D)



(1 P)

Abschlussprüfung 2023

Aufgabe 4

Eine quadratische Pyramide mit der Grundkante $a=6 \,\text{cm}$ und der Körperhöhe $h=4 \,\text{cm}$ wird vollständig mit Wasser gefüllt.

Berechne das Volumen der Wassermenge.

Die Wassermenge wird in ein quadratisches Prisma umgefüllt.
Die Grundkante des quadratischen Prismas beträgt $4 \,\text{cm}.$

Wie hoch steht das Wasser im Prisma?

(1,5 P)

Abschlussprüfung 2022

Aufgabe 5

Auf der Mantelfläche der quadratischen Pyramide ist ein Streckenzug eingezeichnet.
Auf welchem der vier abgebildeten Netze wird der Streckenzug richtig dargestellt?

Dreidimensionales geometrisches Objekt mit Kanten und Ecken, Darstellung eines Pyramidenmodells.

Grafische Darstellung von vier verschiedenen geometrischen Mustern in schwarz-weiß.

Die Grundkante $a$ der quadratischen Pyramide ist $5$ $\text{cm}$ lang.
Die Körperhöhe $h$ beträgt $6$ $\text{cm}$ .
Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide.

(1,5 P)

Abschlussprüfung 2021

Aufgabe 6

Welches Würfelnetz passt zum abgebildeten Würfel?

(2 P)

Musterprüfung 1

Aufgabe 7

In einen mit Wasser gefüllten Quader mit quadratischer Grundfläche wird ein Würfel mit der Kantenlänge $a=2\,\text{cm}$ gelegt.
Berechne, wie hoch das Wasser dann im Quader steht.

Abbildung eines Quaders mit einer Kantenlänge von 4 cm, dargestellt in 3D mit farblichen Akzenten.

(2 P)

Musterprüfung 2

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Lösung 1

$\sin \gamma=\quad$	$\overline{AM}$
	$\overline{AS}$

$\tan\beta$

$\quad = \dfrac{\overline{SE}}{\overline{BE}}$

$\cos\alpha=\quad$	$\overline{AB}$
	$\overline{AC}$

Abschlussprüfung 2025

Lösung 2

Volumen des Quaders berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_Q&=& 4\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 2\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{24\,\text{cm}^3} \end{array}$

Die Pyramide hat das gleiche Volumen wie der Quader. Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyr}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot a_{\text{Pyr}}^2\cdot h \\[5pt] 24\,\text{cm}^3&=& \dfrac{1}{3}\cdot (3\,\text{cm})^2 \cdot h \\[5pt] 24\,\text{cm}^3&=& 3\,\text{cm}^2 \cdot h \quad \scriptsize \mid\; :3\,\text{cm}^2\\[5pt] \underline{\underline{8\,\text{cm}}}&=& h \end{array}$

Abschlussprüfung 2024

Lösung 3

Netz (C)

Abschlussprüfung 2023

Lösung 4

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot (6\,\text{cm})^2\cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] V&=& \underline{\underline{ 48\,\text{cm}^3}} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} V&=&a^2\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:a^2 \\[5pt] h&=& \dfrac{V}{a^2} & \\[5pt] &=& \dfrac{48\,\text{cm}^3}{(4\,\text{cm})^2} \\[5pt] h&=& \underline{\underline{ 3\,\text{cm} }} \end{array}$

Abschlussprüfung 2022

Lösung 5

Netz (B)

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3} \cdot a^2\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot\left(5\,\text{cm}\right)^2\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot 25\,\text{cm}^2\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot 150\,\text{cm}^3 \\ &=&\underline{\underline{ 50\,\text{cm}^3}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2021

Lösung 6

Netz 2 ist das passende Würfelnetz.

Musterprüfung 1

Lösung 7

Das Volumen des Würfels beträgt $V=a^3=(2\,\text{cm})^3=8\,\text{cm}^3.$
Das Wasservolumen beträgt $V_{\text{Wasser}}=(4\,\text{cm})^3=64\,\text{cm}^3.$
Das neue Wasservolumen beträgt $V_{\text{Wasser_neu}}=8\,\text{cm}^3+64\,\text{cm}^3=72\,\text{cm}^3.$

Die Wassergrundfläche bleibt gleich mit $A=\text{4cm}\cdot 4\text{cm}=16\,\text{cm}^2.$

Damit lässt sich die neue Wasserhöhe berechnen:

$72\,\text{cm}^3=16\,\text{cm}^2\cdot h$

$h= \dfrac{72}{16}\,\text{cm}=\dfrac{9}{2}\,\text{cm}$ $=\underline{\underline{ 4,5\,\text{cm}}}$

Musterprüfung 2

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