Geometrie im Raum
Aufgabe 1
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Von einer regelmäßigen achtseitigen Pyramide sind bekannt:
(Grundkante)
(Höhe der Pyramide)
- Berechne den Flächeninhalt des Manteldreiecks
Der Punkt 
liegt auf der Höhe 
Der Flächeninhalt des Dreiecks 
beträgt 
- Berechne die Länge der Strecke
(5 P)
Abschlussprüfung 2025
Aufgabe 2
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Parabel 
mit der Funktionsgleichung 
geht durch den Punkt 
- Berechne die Funktionsgleichung von
Die Parabel 
ist eine verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel mit den beiden Punkten 
und 
Sie hat den Scheitelpunkt 
- Berechne die Funktionsgleichung von
Die Parabel 
mit dem Scheitelpunkt 
hat die Funktionsgleichung 
Die Punkte 
, und bilden das Dreieck 
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Der Punkt bewegt sich auf der Parabel
Dadurch entsteht der Punkt 
und somit das Dreieck 
- Für welchen Punkt hat das Dreieck
den kleinsten Flächeninhalt?
Gib die Koordinaten von an. Begründe.
(5 P)
Aufgabe 3
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Die Abbildung zeigt den Achsenschnitt eines zusammengesetzten Körpers und den Parallelschnitt einer quadratischen Pyramide.
Der zusammengesetzte Körper besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel. Es gilt:![\(\begin{array}[t]{rll}
s & =& 14,4 \mathrm{~cm} \\
\delta & =& 42,0^{\circ} \\
h_{\text {ges }} & =& h_{\text {Pyr }}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cce294c1fecb55312e9c1199aa5392433c17466f98bfc99b7b425376404e0b1f_light.svg)
Der zusammengesetzte Körper besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel. Es gilt:
des zusammengesetzten Körpers ist genauso lang wie die Grundkante 
der quadratischen Pyramide.
- Berechne die Differenz der Oberflächeninhalte der beiden Körper.
(5 P)
Aufgabe 4
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Aus einem Kegel wird eine regelmäßige fünfseitige Pyramide herausgearbeitet (siehe Abbildung).
Die Eckpunkte der Grundfläche der fünfseitigen Pyramide liegen auf der Kreislinie der Grundfläche des Kegels.
Es gilt:
(Grundkante der Pyramide)
(Körperhöhe des Kegels)
(Körperhöhe der Pyramide)
Um wie viele
unterscheiden sich die Inhalte der Mantelflächen des Kegels und der Pyramide?
Die Eckpunkte der Grundfläche der fünfseitigen Pyramide liegen auf der Kreislinie der Grundfläche des Kegels.
(Grundkante der Pyramide)
(Körperhöhe des Kegels)
(Körperhöhe der Pyramide)
Um wie viele
unterscheiden sich die Inhalte der Mantelflächen des Kegels und der Pyramide?
(5 P)
Aufgabe 5
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Auf einem regelmäßigen achtseitigen Prisma liegt der Streckenzug 
mit der Länge 
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AR}&=&14,2\,\text{cm}\\
\varepsilon&=&23,0^\circ
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/86bace01aeef13653cea60bb3f7cc0d884d7030b051c516697fe275db44c6592_light.svg)
Berechne die Höhe des achtseitigen Prismas.
mit der Länge
Berechne die Höhe des achtseitigen Prismas.
(5 P)
Aufgabe 6
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem regelmäßigen Fünfecksprisma mit aufgesetzter regelmäßiger fünfseitiger Pyramide.
Es gilt:
Berechne den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.
Berechne den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.
(5 P)
Aufgabe 7
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
In einer quadratischen Pyramide liegt das gleichschenklige Dreieck 
Es gilt:
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
- Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide.
Aufgabe 8
a)
Die Abbildung zeigt einen zusammengesetzten Körper, der aus einem Quader mit aufgesetzter Pyramide besteht.
Es gilt:
(Skizze nicht maßstäblich)
(5,5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in kein Thema eingeordnet.
Aufgabe 9
a)
Aus einem großen Zylinder ist ein weiterer schmalerer Zylinder herausgefräst worden.
Es gilt:
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Aufgabe 10
a)
Von einer regelmäßigen achtseitigen Pyramide sind bekannt:
Der Punkt liegt auf der Höhe 
der Pyramide. Das Dreieck soll den gleichen Flächeninhalt haben wie eines der Manteldreiecke.
Berechne die Länge von
liegt auf der Höhe der Pyramide. Das Dreieck soll den gleichen Flächeninhalt haben wie eines der Manteldreiecke.
Berechne die Länge von
(5,5 P)
b)
Von einem DIN-A4-Blatt 
werden die vier eingefärbten Dreiecke abgeschnitten.
Mit diesen vier Dreiecken werden die Diagonalschnittfläche
und die Grundfläche einer halben massiven quadratischen Pyramide vollständig beklebt.
Lena behauptet: „Die beiden Manteldreiecke 
und 
haben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie die Restfläche des DlN-A4-Blatts.“
Hat Lena Recht? Begründe durch Rechnung.
werden die vier eingefärbten Dreiecke abgeschnitten.
Mit diesen vier Dreiecken werden die Diagonalschnittfläche
und die Grundfläche einer halben massiven quadratischen Pyramide vollständig beklebt.
und haben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie die Restfläche des DlN-A4-Blatts.“
Hat Lena Recht? Begründe durch Rechnung.
(4,5 P)
Aufgabe 11
a)
In einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide liegt das gleichschenklige Dreieck 
Es gilt:
Der Punkt
bewegt sich auf der Höhe der Pyramide.
Dadurch entsteht das Dreieck
Berechne den minimalen und den maximalen Flächeninhalt, den das Dreieck 
annehmen kann.
- halbiert die Höhe der Pyramide.
Der Punkt
bewegt sich auf der Höhe der Pyramide.
Dadurch entsteht das Dreieck
Berechne den minimalen und den maximalen Flächeninhalt, den das Dreieck annehmen kann.
(5,5 P)
b)
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel (siehe Achsenschnitt).
Zeige, dass für das Volumen des zusammengesetzten Körpers gilt:
(4,5 P)
Aufgabe 12
a)
(5 P)
b)
Aus einem quadratischen Blatt Papier wird das Netz einer quadratischen Pyramide hergestellt.
Es gilt:
(5 P)
Aufgabe 13
a)
Für einen Zylinder gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
r&=&3,5 \text{ cm} \\[5pt]
h&=&12,0 \text{ cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2c534d08b688773bd3b31d717264990557acd6e3a5ca8eee5aea091d8ff3540b_light.svg)
Die Mantelfläche des Zylinders wird abgerollt.
).png)
Mit den Einzelteilen dieses Rechtecks wird die Mantelfläche einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide vollständig beklebt.
Berechne das Volumen dieser Pyramide.
Die Mantelfläche des Zylinders wird abgerollt.
(5 P)
b)
Die Eckpunkte des gleichschenkligen Trapezes 
liegen auf den Kanten bzw. Eckpunkten einer quadratischen Pyramide.
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
O_{Pyr}&=&357 \text{ cm}^2 \\[5pt]
a&=&10,0 \text{ cm} \\[5pt]
\overline{AB}&=&\overline{BS}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/56d299627bc9a11e1fc26a2ec4417351d9def064c6aa852d07869165be0357c5_light.svg)
Berechne den Umfang des Trapezes 
liegen auf den Kanten bzw. Eckpunkten einer quadratischen Pyramide.
Berechne den Umfang des Trapezes
(5 P)
Aufgabe 14
a)
Aus einer Kreisfläche wird die Mantelfläche einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide ausgeschnitten.
Der Kreis hat einen Radius von 
.
Berechne das Volumen der Pyramide.
.
Berechne das Volumen der Pyramide.
(5,5 P)
b)
Eine quadratische Pyramide ist zweimal abgebildet.
In der linken Abbildung ist das Dreieck markiert und in der rechten das Dreieck 
.
Die Punkte und 
halbieren jeweils die Grundkante.
Welche der folgenden Formeln gehört zur Dreiecksfläche und welche zur Dreiecksfläche ? Begründe deine Entscheidung ohne Verwendung gerundeter Werte.
(1) 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{3e^2}{8} &\quad \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5f48ee989f04a418fe86ce37a008a17061dd5c4da246e3ebae0814e3aeb4cc4a_light.svg)
(2) ![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{e^2}{4}\sqrt{6} &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8bd0d4ee068ccdbc0079a9468613005ce1aa52418733a59d84a74e188f55e9c2_light.svg)
(3) ![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{e^2}{4}\sqrt{5} &\quad \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6e1df4168764250fba0b2725d9885f2358d4fa19f452befe7ad026a7f80decb0_light.svg)
markiert und in der rechten das Dreieck .
Die Punkte
und halbieren jeweils die Grundkante.
Welche der folgenden Formeln gehört zur Dreiecksfläche und welche zur Dreiecksfläche ? Begründe deine Entscheidung ohne Verwendung gerundeter Werte.
(1)
(2)
(3)
(4,5 P)
Aufgabe 15
a)
Gegeben sind zwei Dreiviertelkreise.
Aus ihnen werden der Mantel eines Kegels und der Mantel einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide gefertigt.
Berechne die Differenz der beiden Körperhöhen.
Berechne die Differenz der beiden Körperhöhen.
(5,5 P)
b)
Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem gleichschenkligen Dreiecksprisma und einem halben Kegel (siehe Skizze).
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AC}&=& \overline{BC}\\[5pt]
\overline{AB}&=& 11,4 \,\text{cm} \\[5pt]
\beta&=& 62,0 ^{\circ} \\[5pt]
V_{\,\text{ges}}&=& 1 \,280 \,\text{cm}^3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7a5d7545751b391cbf2ef6c0986486a5c390935cad222eb9eb5f35fa5765e4dd_light.svg)
(Volumen des zusammengesetzten Körpers)
Berechne die Gesamtlänge
des zusammengesetzten Körpers.
(Volumen des zusammengesetzten Körpers)
Berechne die Gesamtlänge
des zusammengesetzten Körpers.
(4,5 P)
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Lösung 1
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
1. Schritt: Radius 
berechnen
2. Schritt: 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan \dfrac{\delta}{2}&=& \dfrac{r}{h_\text{Ke}} \\[5pt]
\tan 21,0°&=& \dfrac{5,16\,\text{cm}}{h_\text{Ke}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot h_\text{Ke} \\[5pt]
\tan 21,0°\cdot h_\text{Ke}&=& 5,16\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\tan 21,0° \\[5pt]
h_\text{Ke}&=& \dfrac{5,16\,\text{cm}}{\tan 21,0°} \\[5pt]
h_\text{Ke}&=& \underline{13,44\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6ab9291788cccfaa613582c36b6ebde0406de8d91b876346973321fb0941bca5_light.svg)
3. Schritt: 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_{\text{Pyr}}&=& h_{\text{Ke}}+r \\[5pt]
&=& 13,44\,\text{cm}+5,16\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{18,60\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/04bfb092bbc691a7b96fb361a666292f56bc1de811f9689ffb9df04b3077a732_light.svg)
4. Schritt: Höhe 
der Seitenflächen der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2&=& h_\text{Pyr}^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt]
h_s^2&=& (18,60\,\text{cm})^2+(5,16\,\text{cm})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt]
h_s&=& \sqrt{(18,60\,\text{cm})^2+(5,16\,\text{cm})^2} \\[5pt]
h_s&=& \underline{19,30\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7f305ea327b6668ec828d60f3ae15e688015c66aab35cb322d9732793100e70c_light.svg)
5. Schritt: Differenz der Oberflächeninhalte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O_\text{Diff}&=& 505\,\text{cm}^2-401\,\text{cm}^2 \\[5pt]
&=& \underline{\underline{104\,\text{cm}^2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c33b38fb516b39f18faac0cd15cefb836577f11edfdf4f7ffb8d7623f469f3ba_light.svg)
Abschlussprüfung 2024
berechnen
2. Schritt: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin \dfrac{\delta}{2}&=& \dfrac{r}{s} \\[5pt]
\sin 21,0°&=& \dfrac{r}{14,4\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 14,4\,\text{cm} \\[5pt]
\sin 21,0°\cdot 14,4\,\text{cm}&=& r \\[5pt]
\underline{5,16\,\text{cm}}&=& r
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8c3d47d1e113558b6b18cdc7c01e4aa1a2f16684e585d1933ddb100add1fbe9e_light.svg)
berechnen
3. Schritt: berechnen
4. Schritt: Höhe der Seitenflächen der Pyramide berechnen
5. Schritt: Differenz der Oberflächeninhalte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O_\text{zgs}&=& \pi\cdot r\cdot s+2\cdot \pi\cdot r^2 \\[5pt]
&=& \pi\cdot 5,16\,\text{cm}\cdot 14,4\,\text{cm}+2\cdot \pi\cdot (5,16\,\text{cm})^2 \\[5pt]
&=& \underline{401\,\text{cm}^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a3bf46736ac73bc0b1a36824c2a7c1157063bc4499041c33b68acd3da0e74de_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
O_\text{Pyr}&=& a^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_s \\[5pt]
&=& (2\cdot 5,16\,\text{cm})^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot (2\cdot 5,16\,\text{cm})\cdot
19,30\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{505\,\text{cm}^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a22d6272ee00a0de08f06b1ffda60dda84741178716fa1a3614331a74af82920_light.svg)
Lösung 2
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
1. Schritt: Radius 
des Kegels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin 36^\circ&=&\dfrac{\frac{a}{2}}{r} \quad \scriptsize \mid\;\cdot r \\[5pt]
\sin 36^\circ\cdot r&=&\dfrac{a}{2} \quad \scriptsize \mid\;: \sin 36^\circ \\[5pt]
r&=&\dfrac{a}{2\cdot \sin 36^\circ} \\[5pt]
&=&\dfrac{8,6\,\text{cm}}{2\cdot \sin 36^\circ} \\[5pt]
r&=&\underline{7,32\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cb6efe4204681d639ba01c17c08ec25bba625057e96a2325d82198759628ce83_light.svg)
2. Schritt: Höhe 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_a^2&=&r^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt]
h_a&=&\sqrt{r^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} \\[5pt]
&=&\sqrt{(7,32\,\text{cm})^2-\left(\frac{8,6\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt]
h_a&=&\underline{5,92\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0f1122b122983e79f6ad188b8c84e7d6a2999d4efa9700f3a311e0bee132ad54_light.svg)
3. Schritt: Höhe 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2&=&h_P^2+h_a^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
h_s&=&\sqrt{h_P^2+h_a^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(7,6\,\text{cm})^2+(5,92\,\text{cm})^2}\\[5pt]
h_s&=&\underline{9,63\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aec683cdfd79420cd65cda154e46cf3f8383357fc761deecc3fe94a55c84b33e_light.svg)
4. Schritt: Länge von 
berechnen
ist die Mantellinie des Kegels.
![\(\begin{array}[t]{rll}
s_K^2&=&r^2+h_K^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
s_K&=&\sqrt{r^2+h_K^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(7,32\,\text{cm})^2+(15,2\,\text{cm})^2}\\[5pt]
s_K&=&\underline{16,87\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a8a95129e546f25accb25bb1785e2d5cf1f331af20a853d6a4e25b5b81196762_light.svg)
5. Schritt: Mantelflächeninhalt der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_P&=&5\cdot A_\text{Seitenfläche} \\[5pt]
&=&5\cdot \dfrac{a\cdot h_s}{2} \\[5pt]
&=&5\cdot \dfrac{8,6\,\text{cm}\cdot 9,63\,\text{cm}}{2}\\[5pt]
M_P&=&\underline{207,05\,\text{cm}^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d5960501382cbd89ae7919678c038208928ca722be4d24945716ee979206d76c_light.svg)
6. Schritt: Mantelflächeninhalt des Kegels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_K&=&\pi\cdot r\cdot s_K \\[5pt]
&=&\pi\cdot 7,32\,\text{cm}\cdot 16,87\,\text{cm}\\[5pt]
M_K&=&\underline{387,95\,\text{cm}^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/06305ce5b6fc60d92d2342f37af4b54a01d33d9e3a05aa0cb4a0b00843b2a9da_light.svg)
7. Schritt: Differenz der Mantelflächeninhalte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_\text{Differenz}&=&M_K-M_P\\[5pt]
&=&387,95\,\text{cm}^2-207,05\,\text{cm}^2\\[5pt]
M_\text{Differenz}&=&\underline{\underline{180,9\,\text{cm}^2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/69dc54315b8f68e540b07dff3646172ad0d59bf1ad63050f2b1594364051dd4a_light.svg)
des Kegels berechnen
2. Schritt: Höhe berechnen
3. Schritt: Höhe berechnen
4. Schritt: Länge von berechnen
ist die Mantellinie des Kegels.
5. Schritt: Mantelflächeninhalt der Pyramide berechnen
6. Schritt: Mantelflächeninhalt des Kegels berechnen
7. Schritt: Differenz der Mantelflächeninhalte berechnen
Lösung 3
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\varepsilon&=&\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{AR}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AR}\\[5pt]
\tan\varepsilon\cdot \overline{AR}&=&\overline{AQ}\\[5pt]
\overline{AQ}&=&\tan\varepsilon\cdot \overline{AR}\\[5pt]
&=&\tan 23^\circ\cdot 14,2\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{AQ}&=&6,03\,\text{cm}=a
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6db813042cd9945e62b7816ceb0f295ad07746e951b1aaa003b3107b0c4f82f5_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin 22,5^\circ&=&\dfrac{\frac{a}{2}}{r} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot r \\[5pt]
\sin 22,5^\circ\cdot r &=&\dfrac{a}{2}&\quad \scriptsize \mid\;: \sin 22,5^\circ \\[5pt]
r &=&\dfrac{a}{2\cdot \sin 22,5^\circ} \\[5pt]
&=&\dfrac{6,03\,\text{cm}}{2\cdot \sin 22,5^\circ}\\[5pt]
r &=&7,88\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bc30ddd8441224e1639ce3b52e0349b8885553f9d7bdb833003bc3ffe9cf42ff_light.svg)
2. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{QR}^2&=&a^2+\overline{AR}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\overline{QR}&=&\sqrt{a^2+\overline{AR}^2} \\[5pt]
&=&\sqrt{(6,03\,\text{cm})^2+(14,2\,\text{cm})^2} \\[5pt]
\overline{QR}&=&\underline{15,43\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/51e578db015087785785dc05ebc107c3d8c397ed6ad41173cf15dea7578ee095_light.svg)
3. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{RS}&=&38\,\text{cm}-\overline{PQ}-\overline{QR}\\[5pt]
&=&38\,\text{cm}-15,76\,\text{cm}-15,43\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{RS}&=&\underline{6,81\,\text{cm}}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/60001eea401858fb620a838731238ae2028ff3b2dcc38b473d959d9dfd87ef38_light.svg)
4. Schritt: Länge von 
berechnen
Es gilt: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{RT}^2&=&\overline{RS}^2-a^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\overline{RT}&=&\sqrt{\overline{RS}^2-a^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(6,81\,\text{cm})^2-(6,03\,\text{cm})^2}\\[5pt]
\overline{RT}&=&\underline{3,16\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/68087251cb2b81c19636d4d854ca2cf86cfc576f2382f0537dca7111148ea747_light.svg)
5. Schritt: Höhe 
des Prismas berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h&=&\overline{AR}+\overline{RT} \\[5pt]
&=&14,2\,\text{cm}+3,16\,\text{cm} \\[5pt]
h&=&17,36\,\text{cm}\\[5pt]
h&=&\underline{\underline{17,4\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e1265ca3ab534d7318df02a6ec76b7336e56df687eb16ddba6b0e63749041ba5_light.svg)
Lösung 4
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
1. Schritt: Mantelflächeninhalt 
berechnen
Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\epsilon)&=&\dfrac{h_1}{s}\quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt]
\cos(\epsilon)\cdot s&=&h_1\\[5pt]
h_1&=&\cos(33,0^\circ)\cdot 12,6\,\text{cm}\\[5pt]
h_1&=&10,57\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1e1058a822b0e8ef72c21faa9be5ec61cf9967b91a6a26d7c65cd452485109ab_light.svg)
Länge von berechnen
Länge von berechnen
Der Innenwinkel eines Fünfecks ist 
groß. Der halbe Innenwinkel ist 
groß.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(36^\circ)&=&\dfrac{\frac{a}{2}}{r}\quad \scriptsize \mid\;\cdot r \\[5pt]
\sin(36^\circ)\cdot r&=&\dfrac{a}{2}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt]
2\cdot \sin(36^\circ)\cdot r&=&a\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/326f0b07b45e29b6b01166cf0f9a775744f6b0ba9152292a6b78535837b81279_light.svg)
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2&=&s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
h_s&=&\sqrt{s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(12,6\,\text{cm})^2-\left(4,03\,\text{cm}\right)^2}\\[5pt]
h_s&=&11,94\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e8db6823316a84557ac770c680a5bf292720f29755c6b3ae8c0ba321b630081e_light.svg)
Mantelflächeninhalt berechnen
2. Schritt: Mantelflächeninhalt 
berechnen
3. Schritt: Grundfläche 
berechnen
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_a^2&=&r^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
h_a&=&\sqrt{r^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(6,86\,\text{cm})^2-\left(\dfrac{8,06\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt]
h_a&=&5,55\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/05ced3064be2551a4760153e0d7712e5747bc624216ff0d4dff5023e83597a18_light.svg)
Grundflächeninhalt berechnen
4. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen
Lösung 5
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
b)
Flächeninhalt des Dreiecks 
berechnen
Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: 
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{EG}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{EF}\\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2}\cdot 12,6\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{ 6,3\,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/20afef6af243453aaff185c6ce3a9a2eaa83202c0726c1f507c1947dd810b76f_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{EFS}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 12,6\,\text{cm}\cdot 19,39\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt]
& =& 122,16\,\text{cm}^2
\\[5pt]
& =& \underline{\underline{ 122,2\,\text{cm}^2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/47210a17fecef8be80d6a5befbe8d4197f2e90ad4cd50e45d3cef2788728b8c2_light.svg)
Volumen der quadratischen Pyramide berechnen
Formel zur Berechnung des Volumens: 
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AC}^2&=& \overline{AB}^2+\overline{BC}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
\overline{AC} &=& \sqrt{\overline{AB}^2+\overline{BC}^2} \\[5pt]
\overline{AC} &=& \sqrt{(12,6\,\text{cm})^2+(12,6\,\text{cm})^2} \\[5pt]
\overline{AC}&=& \underline{ 17,82\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4a044b6772b74799edcb9b22bbf394cfe10935de575814a482b4c2aa1eadbb62_light.svg)
2. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{MB}=\overline{AM}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC}&\\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 17,82 \,\text{cm} \\[5pt]
&=&\underline{ 8,91 \,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9f300756fe4114e5b985764ea557c48725aec84a3c25b2ddf8301f8035e81a4c_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke 
mit dem Zweiten Strahlensatz berechnen
4. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{MG}&=& \overline{MB}-\overline{GB} \\[5pt]
&=& 8,91\,\text{cm}-6,3\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{ 2,61\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a2c930df38a49eee70325f6464d99a6d084ada18581de1440dfdbbbf6ab3841f_light.svg)
5. Schritt: Länge der Strecke berechnen
6. Schritt: Volumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V &=& \dfrac{1}{3}\cdot \overline{AB}^2\cdot h \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3}\cdot (12,6\,\text{cm})^2\cdot 19,21\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 1016,59\,\text{cm}^3
\\[5pt]
V &=& \underline{\underline{ 1016,6\,\text{cm}^3}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6d2ff1fd7589a92c7413e4003ab6d5b6e1d45c97eb9cc3a1b8985b689711c9df_light.svg)
berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha)&=&\dfrac{h_G}{\overline{EG}} \\[5pt]
\tan(72,0^\circ)&=&\dfrac{h_G}{6,3\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 6,3\,\text{cm}
\\[5pt]
\tan(72,0^\circ)\cdot 6,3\,\text{cm} &=& h_G \\[5pt]
19,39\,\text{cm} &=& h_G \\
h_G &=& 19,39\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e2a465fa0e79616ec91e0983d59907bfcac699a960abbdddbfbfc611be24ea72_light.svg)
Volumen der quadratischen Pyramide berechnen
1. Schritt: Länge der Strecke berechnen
2. Schritt: Länge von berechnen
3. Schritt: Länge der Strecke mit dem Zweiten Strahlensatz berechnen
4. Schritt: Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\overline{AC}}{\overline{EF}}&=&\dfrac{\overline{MB}}{\overline{GB}} \quad \scriptsize
\mid\; \text{Kehrbruch bilden} \\[5pt]
\dfrac{\overline{EF}}{\overline{AC}}&=&\dfrac{\overline{GB}}{\overline{MB}} \quad
\scriptsize\mid\;\cdot \overline{MB} \\[5pt]
\dfrac{\overline{EF}}{\overline{AC}}\cdot\overline{MB} &=& \overline{GB} \\[5pt]
\dfrac{12,6\,\text{cm}}{17,82\,\text{cm}}\cdot 8,91\,\text{cm} &=& \overline{GB}\\[5pt]
6,3\,\text{cm} &=& \overline{GB} \\
\overline{GB} &=& 6,3\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/19e7d1460b5a28a914b1951326e21a04cf4314d1f8cece6c7fdedb8843367aad_light.svg)
berechnen
5. Schritt: Länge der Strecke berechnen
6. Schritt: Volumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h^2+\overline{MG}^2 &=& h_G^2 \quad \scriptsize \mid\; -\overline{MG}^2\\[5pt]
h^2&=& h_G^2-\overline{MG}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
h&=&\sqrt{h_G^2-\overline{MG}^2} \\[5pt]
h&=&\sqrt{(19,39\,\text{cm})^2-(2,61\,\text{cm})^2} \\[5pt]
h&=&19,21\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0930b4ffe2abd93e9ad712e192d4c569186ffd8055777c435973ad8ba64ecf42_light.svg)
Lösung 6
a)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
d^2&=&a^2+a^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt]
d&=& \sqrt{a^2+a^2}\\[5pt]
d&=& \sqrt{(2e)^2+(2e)^2}\\[5pt]
d&=& \sqrt{4e^2+4e^2}\\[5pt]
d&=& \sqrt{8e^2}\\[5pt]
d&=&e\sqrt{8} \\[5pt]
d&=&2e\sqrt{2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5be0cf94ad1bbf90d03a44f64874e893f1f3603236571b478be51c68dc9759b3_light.svg)
Länge der Seite 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\frac{d}{2}}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot s\;\mid\;:\cos(\alpha) \\[5pt]
s&=&\dfrac{\frac{d}{2}}{\cos(\alpha)}\\[5pt]
s &=&\dfrac{\frac{1}{2}2e\sqrt{2}}{\cos(60^\circ)}\\[5pt]
s&=&\dfrac{e\sqrt{2}}{\dfrac{1}{2}}\\[5pt]
s&=&\underline{2e\sqrt{2} }
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/56f45efe2569795a505b1e219196682c79a61aaee89d7a5c35b22e5cdfaf005e_light.svg)
Länge der Seite berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
(h_a)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2&=&s^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \scriptsize
\mid\;-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \\[5pt]
(h_a)^2&=&s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
h_a&=&\sqrt{s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\\[5pt]
h_a &=&\sqrt{(2e\sqrt{2})^2-\left(\dfrac{2e}{2}\right)^2}\\[5pt]
h_a &=&\sqrt{4e^2\cdot 2-e^2}\\[5pt]
h_a &=&\sqrt{7e^2}\\[5pt]
h_a&=&\underline{ e\sqrt{7}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/277bca3c7031bc0efc09704b44540d6361eaef577d57bdc2e27ab2265bc3ad30_light.svg)
Mantelflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_P&=& 4\cdot\dfrac{1}{2}a\cdot h_a&\quad \scriptsize \\[5pt]
M_P &=& 4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2\text{e}\cdot e\sqrt{7} &\quad \scriptsize \\[5pt]
M_P &=& \underline{ 4\text{e}^2\sqrt{7}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2fd51c75e3e0d723b499608a5d5a5d3603e7c0b77a5df85fcbe8c722faa169cb_light.svg)
Oberflächeninhalt des Quaders berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O_Q&=& 4\cdot a\cdot 2a+a\cdot a &\quad \scriptsize \\[5pt]
O_Q &=& 8a^2+a^2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
O_Q &=& 8\cdot (2\text{e})^2+(2\text{e})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
O_Q &=& 8\cdot 4\text{e}^2+4\text{e}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
O_Q &=& \underline{ 36\text{e}^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/982ece86e7356ac079077a7e59cf6e6cb76f7fe39e471560f2c59f920b3885b9_light.svg)
3. Schritt: Oberflächeninhalt des Körpers berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O&=& M_P+O_Q &\quad \scriptsize \\[5pt]
O &=& 4\text{e}^2\sqrt{7}+36\text{e}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
O &=& 4\text{e}^2(\sqrt{7}+9)&\quad \scriptsize \\[5pt]
O &=& \underline{\underline{ 4\text{e}^2(9+\sqrt{7})}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c79ebb317a81ba7f6fc1448338db3aa7e02dfe7038c57552e1d77384269c90c6_light.svg)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in kein Thema eingeordnet.
Musterprüfung 1
Lösung 7
a)
1. Schritt: Oberfläche des großen Zylinders berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O_{\,\text{großer Zyl.}}&=& 2 \pi \cdot r_{\,\text{groß}} \cdot (r_{\,\text{groß}} + h) \\[5pt]
&=& 2 \pi \cdot \frac{16}{2} \cdot (\frac{16}{2} + 12) \\[5pt]
&= & \underline{ 1005,31\,\text{cm}^2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/36a2112d74bd4d36e0a387f660e08bb2cb4673c9b5d3d60dc5f54c4209aa1851_light.svg)
2. Schritt: Deckfläche des kleinen Zylinders berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
D_{\,\text{kleiner Zyl.}}&=& \pi \cdot r_{\,\text{klein}}^2\\[5pt]
&=& \pi \cdot 2,5^2 \\[5pt]
&= & \underline{ 19,63\,\text{cm}^2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8f406e4ccf5372fa3853fde0b702aceae2d037c371e3bb3706eed4544e17dd83_light.svg)
3. Schritt: Mantelfläche des kleinen Zylinders berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_{\,\text{kleiner Zyl.}}&=& 2 \cdot \pi \cdot r_{\,\text{klein}} \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 2 \cdot \pi \cdot 2,5 \cdot 12 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&= & \underline{ 188,50\,\text{cm}^2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/91e78497c2894587748217af2b465ebb3fa14cc280eadcbbb2fa6490c4693b79_light.svg)
4. Schritt: Oberfläche des gesamten Körpers berechnen
2. Schritt: Deckfläche des kleinen Zylinders berechnen
3. Schritt: Mantelfläche des kleinen Zylinders berechnen
4. Schritt: Oberfläche des gesamten Körpers berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
O_{\,\text{Körper}}&=& 1005,31 \,\text{cm}^2 - 2\cdot 19,63\,\text{cm}^2 + 188,50 \,\text{cm}^2
&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 1\,154,55 \,\text{cm}^2
\\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 1\,155 \,\text{cm}^2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/49c9e35a856377677ab24f5a7c23a90dabf12528707d1bec4d0178b9b8ab68d0_light.svg)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.
Lösung 8
a)
1. Schritt: Flächeninhalt des Manteldreiecks berechnen
Da die Pyramide regelmäßig ist, sind die Manteldreiecke gleichschenklig und es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{Manteldreieck}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_s \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2} \cdot 6,2\,\text{cm} \cdot 31,85\,\text{cm} \\[5pt]
&= &\underline{ 98,74\,\text{cm}^2}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5773a36406d736df0ff7e08280734fdd70f910d0750637c1590d29de68f13d4c_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
Die Grundfläche der Pyramide lässt sich in acht gleichschenklige Dreiecke einteilen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha&=& 360^{\circ}:8 \\[5pt]
&=& 45^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/169f1c978386a23d1f681004f12d8ec5569df2c61818fdcfaa08c6eadb2e4b55_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=&\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\overline{AM}} \\[5pt]
\sin(22,5°)&=&\dfrac{3,1\,\text{cm}}{\overline{AM}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AM}\\[5pt]
\sin(22,5°)\cdot \overline{AM} &=& 3,1\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; : \sin(22,5^{\circ} ) \\[5pt]
\overline{AM} &=& \dfrac{3,1\,\text{cm}}{ \sin(22,5^{\circ}) } \\[5pt]
\overline{AM} &= &8,1\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4091ba10961f29a60cdfac2b48ed1c362a7c5abd1c479cb2976fbb376ee6edd5_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AB}&=& \overline{AM}\cdot 2 \\[5pt]
&=& 8,1\,\text{cm} \cdot 2 \\[5pt]
&=& \underline{ 16,2\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/49b323d1c7a27e609d61d064c446594f0f07ff50891dfd80e508ead346a816f3_light.svg)
3. Schritt: Höhe des Dreiecks 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{MC} \\[5pt]
98,74\,\text{cm}^2&=&\dfrac{1}{2} \cdot 16,2\,\text{cm} \cdot \overline{MC} \\[5pt]
98,74\,\text{cm}^2&=& 8,1\,\text{cm} \cdot \overline{MC} \quad \scriptsize \mid\; :8,1 \,\text{cm} \\[5pt]
\dfrac{ 98,74\,\text{cm}^2}{ 8,1\,\text{cm}} &=& \overline{MC} \\[5pt]
\overline{MC} &=& \dfrac{ 98,74\,\text{cm}^2}{ 8,1\,\text{cm}}\\[5pt]
\overline{MC} &=& \underline{ 12,19\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/15da2abdbf984628a946a4930d34bdbd49772476e396705f27567836f96c27a5_light.svg)
4. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen
5. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{SC}&=& h-\overline{MC} \\[5pt]
&=& 30,96\,\text{cm}-12,19\,\text{cm} \\[5pt]
&=&18,77\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{SC}&=& \underline{\underline{ 18,8\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ac467f10f444286119f65f8df176362d8469f94c576de3904772ee63642c20e5_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
s^2&=& \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+ h_s^2 \\[5pt]
(32\,\text{cm})^2&=&(3,1\,\text{cm})^2+h_s^2 &\quad \scriptsize \mid\; - (3,1\,\text{cm})^2 \\[5pt]
1014,39\,\text{cm}^2&=& h_s^2 \\[5pt]
h_s^2&=& 1014,39\,\text{cm}^2 &\quad\scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt]
h_s^2 &=& \sqrt{1014,39\,\text{cm}^2} \\[5pt]
h_s &= & 31,85\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/70dff437887d33afec82e19e86f7c74b181c98194388fc80cf30657249ca376d_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
Die Grundfläche der Pyramide lässt sich in acht gleichschenklige Dreiecke einteilen:
3. Schritt: Höhe des Dreiecks berechnen
4. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
s^2&=&(\overline{AM})^2+h^2 \\[5pt]
(32\,\text{cm})^2&=&(8,1\,\text{cm})^2+ h^2 & \quad \scriptsize \mid\; - (8,1\,\text{cm})^2 \\[5pt]
958,39\,\text{cm}^2&=& h^2 \\[5pt]
h^2 &=& 958,39\,\text{cm}^2 \\[5pt]
h &\approx & \underline{ 30,96\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e22c171b6acd65711609d9780251e96d58ca43f5000b65ca9e736ab0b6dab1d6_light.svg)
berechnen
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_R &=& \frac{1}{2}\cdot l \cdot b \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot 29,7\,\text{cm} \cdot 21\,\text{cm}\\[5pt]
&=& \underline{ 311,85 \,\text{cm}^2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/253508594031e191a10838dcf8649498d734fd4f2606ce4c9f6f7ebf31ce0e0b_light.svg)
Flächeninhalt der Manteldreiecke berechnen
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2&=&(10,5\,\text{cm})^2+(10,5\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\[5pt]
a&=& \sqrt{(10,5\,\text{cm})^2+(10,5\,\text{cm})^2} \\[5pt]
a&= &\underline{ 14,85\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/523b8a9d0752ec341c73821fa568864bd4c2a5b7e10df287ca69bbee85d75752_light.svg)
2. Schritt: berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2 &=& h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \\[5pt]
h_s^2 &=& \left(19,2\,\text{cm} \right)^2 + \left(\frac{14,85\,\text{cm}}{2} \right)^2 \quad \scriptsize
\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
h_s &=& \sqrt{\left(19,2\,\text{cm} \right)^2 + \left(\frac{14,85\,\text{cm}}{2} \right)^2} \\[5pt]
h_s &=&\underline{ 20,59\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0275c4c83bd30c3bd86c7f9f698696d4ba273c35bab6ab3989349f8d5bf228fa_light.svg)
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{BCS}&=&\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_s \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2} \cdot 14,85\,\text{cm} \cdot 20,59\,\text{cm} \\[5pt]
&= & \underline{ 152,9\,\text{cm}^2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ca609470cd23e977810057cb08f24f57b614b1a87b72d9457f79e8a31153b0a2_light.svg)
Da es sich um eine gerade quadratische Pyramide handelt, gilt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{M}&=& 152,9\,\text{cm}^2 \cdot 2 \\[5pt]
&=& 305,8\,\text{cm}^2 \neq 311,85\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d34e4807b6fa452c56a16798ddb151e339c3aaf1f6c216d74da2a42cc428148a_light.svg)
Da die Restfläche größer als die Fläche der zwei Manteldreiecke ist, hat Lena nicht recht.
Lösung 9
a)
Berechnung der Höhe der Pyramide
1. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{AM}}{\overline{BM}} &\quad \scriptsize
\mid\;\cdot\overline{BM} \\[5pt]
\overline{AM}&=&\overline{BM}\cdot \cos\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) \\[5pt]
\overline{AM}&=&8,0 \,\text{cm}\cdot \cos\left(\dfrac{48^{\circ}}{2}\right)\\[5pt]
\overline{AM}&=&\underline{ 7,31 \,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/069a9b8e56963eb680fac0e0c50c944ff7bc75dd2b759693a89823d00859d18c_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{AB}}{BM} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{BM} \\[5pt]
\overline{AB}&=&\overline{BM}\cdot \sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) \\[5pt]
\overline{AB}&=&8,0 \,\text{cm} \cdot \sin\left(\dfrac{48^{\circ}}{2}\right) \\[5pt]
\overline{AB}&=&\underline{ 3,25 \,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/99bfdedcc20b3fcd9b2254abe95af21a448245ebedc2ef995c908674613cbb6c_light.svg)
3. Schritt: Größe des Mittelpunktswinkels 
berechnen
4. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{AB}}{AH} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AH} \\[5pt]
\overline{AH}\cdot \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) &=&\overline{AB}&\quad \scriptsize \mid\;:
\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \\[5pt]
\overline{AH}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} \\[5pt]
\overline{AH}&=&\dfrac{3,25 \,\text{cm}}{\tan\left(\dfrac{72^{\circ}}{2}\right)} \\[5pt]
\overline{AH}&=&\underline{ 4,47 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d881c156c75af415d030dabb18d0aac5c204b7452aff2aef8112bfd993e108e5_light.svg)
5. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AM}^2&=&\overline{MH}^2+\overline{AH}^2 \quad \scriptsize \mid\;-\overline{AH}^2 \\[5pt]
\overline{MH}^2&=&\overline{AM}^2-\overline{AH}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,}\\[5pt]
\overline{MH}&=& \sqrt{(7,31\,\text{cm})^2-(4,47\,\text{cm})^2}\\[5pt]
\overline{MH}&=&\underline{ 5,78\,\text{cm} }\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/24465c102376a47c9ea69d6c0cf363650d0cf6a35ce47b22d6d6cfcddd81b3f2_light.svg)
6. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{SH}&=&2\cdot \overline{MH} & \\[5pt]
&=& 2\cdot 5,78\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 11,56\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{SH}&=&\underline{\underline{ 11,6\,\text{cm}}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4b331d918cb1a0e97e9131550323a0f7ccca5575f24d3cdf49ea8fd8a197a07a_light.svg)
Berechnung des minimalen Flächeninhalts
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{min}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AM](https://www.schullv.de/resources/formulas/328f7c393124fcc90ced3648474ffc865be4d5fee4fcc4d015f02730b8cc0627_light.svg)
Berechnung des maximalen Flächeninhalts
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AS}^2&=&\overline{SH}^2+\overline{AH}^2 & \\[5pt]
\overline{AS}^2&=&(11,6\,\text{cm})^2+(4,47\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\quad} \\[5pt]
\overline{AS}&=& \sqrt{(11,6\,\text{cm})^2+(4,47\,\text{cm})^2} \\[5pt]
\overline{AS}&=&\underline{ 12,43\,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b28e60c5b0133b15ffe15265b2a4cc1178b19886e71e5a8a4e08fcd1cdadcb83_light.svg)
Somit gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{max}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AS} & \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot (2\cdot \overline{AB})\cdot \overline{AS} & \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot (2\cdot 3,25\,\text{cm}) \cdot 12,43\,\text{cm} \\[5pt]
A_{\,\text{max}}&=&\underline{\underline{ 40,4\,\text{cm}^2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/64fce64b239ad34ebcb52c1b36420c768c33049863698009a078d0d228f8e3ab_light.svg)
berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke berechnen
3. Schritt: Größe des Mittelpunktswinkels berechnen
4. Schritt: Länge der Strecke berechnen
5. Schritt: Länge der Strecke berechnen
6. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen
Berechnung des minimalen Flächeninhalts
Berechnung des maximalen Flächeninhalts
Länge der Strecke berechnen
Somit gilt:
b)
.png)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
r_1&=& 6\mathrm{e}:2\\[5pt]
r_1&=& \underline{ 3\mathrm{e}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9acb37863a4c3ad7f1eb68e83229b1cf1bfb521107472c19e882b970c1882f49_light.svg)
2. Schritt: Höhe 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\dfrac{60^{\circ}}{2}\right)&=&\dfrac{r_1}{h_{\text{ges}}} & \scriptsize \mid\;\cdot h_{\text{ges}}
\\[5pt]
h_{\text{ges}}\cdot \tan(30^{\circ}) &=& r_1 & \scriptsize \mid\;: \tan(30^{\circ}) \\[5pt]
h_{\text{ges}}&=&\dfrac{r_1}{\tan(30^{\circ})} &\\[5pt]
&=&\dfrac{3\mathrm{e}}{\tan(30^{\circ})} &\\[5pt]
&=&\dfrac{3\mathrm{e}}{\dfrac{1}{3}\sqrt{3}}&\\[5pt]
h_{\text{ges}}&=&\dfrac{3\cdot 3\mathrm{e}}{\sqrt{3}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ddd12ac994ebc2dcce57deda28becc5c05b5d17b290256f3864667e23031499a_light.svg)
Nenner rational machen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_{\text{ges}}&=&\dfrac{9\mathrm{e}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} &\\[5pt]
&=&\dfrac{9\mathrm{e}\sqrt{3}}{3}&\scriptsize \mid\; \text{mit 3 kürzen} \\[5pt]
&=&\dfrac{3\mathrm{e}\sqrt{3}}{1} &\\[5pt]
h_{\text{ges}}&=&\underline{ 3\mathrm{e}\sqrt{3}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b212a08049c66c698915a86f1119d424f8893c61a79432f9b520c88d5c8733f4_light.svg)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_2&=&\,\text{h}_{\text{ges}}-\mathrm{e}\sqrt{3} &\\[5pt]
&=&3\mathrm{e}\sqrt{3}-\mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt]
h_2&=&\underline{ 2\mathrm{e}\sqrt{3}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8be1292cc83c7ab021119b6e5b154418d738be5b264b507a0e9305c272cb6087_light.svg)
4. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\dfrac{60^{\circ}}{2}\right)&=&\dfrac{r_2}{h_2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot h_2 \\[5pt]
r_2&=&h_2\cdot \tan(30^{\circ}) \\[5pt]
&=&2\mathrm{e}\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\[5pt]
&=&\dfrac{2\mathrm{e}\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3} \\[5pt]
&=&\dfrac{2\mathrm{e}\cdot 3}{3} \\[5pt]
r_2&=&\underline{ 2\mathrm{e}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4b1e2be75d1ea73456606219cfc72492e89320d28a4bc83c7967d39936d58ebf_light.svg)
5. Schritt: Volumen des zusammengesetzten Körpers berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll} V_{\text{ges}}&=&\text{V}_{\text{Zylinder}}+\text{V}_{\text{Kegel}} & \\[5pt]
&=&\pi\cdot r_1^2\cdot h_1+\dfrac{1}{3}\pi \cdot r_2^2\cdot h_2 \\[5pt]
&=&\pi\cdot (3\mathrm{e})^2\cdot \mathrm{e}\sqrt{3}+\dfrac{1}{3}\pi \cdot (2\mathrm{e})^2\cdot 2\mathrm{e}\sqrt{3}
\\[5pt]
&=&\pi\cdot 9\mathrm{e}^2\cdot \mathrm{e}\sqrt{3}+\dfrac{1}{3}\pi \cdot 4\mathrm{e}^2\cdot 2\mathrm{e}\sqrt{3}
\\[5pt]
&=&9\pi \mathrm{e}^3\sqrt{3}+\dfrac{8}{3}\pi \mathrm{e}^3\sqrt{3} \\[5pt]
&=&\dfrac{27}{3}\pi \mathrm{e}^3\sqrt{3}+\dfrac{8}{3} \mathrm{e}^3\sqrt{3} \\[5pt]
V_{\text{ges}}&=&\underline{\underline{ \dfrac{35}{3}\pi \mathrm{e}^3\sqrt{3}}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9dc2b2164ebda79cd726390a63c7e1584ee1ec61e2c5ee3c9433ad5b3d5009f7_light.svg)
Somit ist gezeigt, dass das Volumen des zusammengesetzten Körpers 
beträgt.
Lösung 10
a)
Um das Volumen berechnen zu können, werden folgende Größen benötigt:
- Flächeninhalt der Pyramidengrundfläche, also des regelmäßigen Achtecks.
- Die Höhe der Pyramide.
bestimmen
Die Schenkel dieses Dreiecks reichen vom Kreismittelpunkt bis zur Kreislinie und haben daher die Länge des Kreisradius:
2. Schritt: Innenwinkel berechnen
Die Innenwinkel der acht Dreiecke, die am Kreismittelpunkt liegen, bilden gemeinsam 
3. Schritt: Pyramidenhöhe über Kegelhöhe berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_{\,\text{Kegel}}&=&\dfrac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h_{\,\text{Ke}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 3 \\[5pt]
V_{\,\text{Kegel}}\cdot 3 &=& \pi r^2 \cdot h_{\,\text{Ke}}\quad \scriptsize \mid\; :(\pi r^2) \\[5pt]
\dfrac{3\cdot V_{\,\text{Kegel}}}{\pi r^2} &=& h_{\,\text{Ke}}&\quad \scriptsize \\[5pt]
\dfrac{3\cdot 500\,\text{cm}^3}{\pi \cdot (6,5\,\text{cm}) ^2} &=& h_{\,\text{Ke}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
h_{Ke} &= & \underline{ 11,30\,\text{cm} }
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d7827dfb5f459da68dfab5102cddd4b7def368ede5b78dd5636050f1c1120c16_light.svg)
4. Schritt: Pyramidenvolumen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{8\cdot r^2}{2}\cdot \sin(\alpha)\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{8\cdot (6,5\,\text{cm})^2}{2}\cdot \sin(45^{\circ})\cdot
11,3\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
V&=& 450\,\text{cm}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8ab26e570ac05ed498158e673e3233da2a15e20b314854e52fb0e9520826960c_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{b}{2}}{s} \quad \scriptsize \mid\; \cdot s\\[5pt]
s \cdot \sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) &=& \dfrac{b}{2} \quad \scriptsize \mid\;
:\sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) \\[5pt]
s &=& \dfrac{b}{2 \cdot \sin\left(\frac{\epsilon}{2}\right)} \quad \scriptsize \mid\;
\frac{\epsilon}{2}=\frac{140^{\circ}}{2}= 70^{\circ} \\[5pt]
s &=&\dfrac{20}{2\cdot \sin(70^{\circ} )} &\quad \scriptsize \\[5pt]
s&=& \underline{ 10,64\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/735b3b7c2b383c29c9aad869227c93f687b2259d453295d579868a92b2fa609d_light.svg)
2. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
Verhältnis im Dreieck
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)&=&\dfrac{\frac{b}{2}}{\overline{RB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot
\overline{RB} \\[5pt]
\overline{RB}\cdot \tan\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) &=& \dfrac{b}{2} \quad \scriptsize \mid\; :
\tan\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) \\[5pt]
\overline{RB} &=& \dfrac{b}{2\cdot \tan\left(\frac{\epsilon}{2}\right)} \\[5pt]
\overline{RB} &=& \dfrac{20}{2\cdot \tan(70^{\circ} )} \\[5pt]
\overline{RB} &=& \underline{ 3,64 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4bf2fd8d98e454f4eac84f82ed0b9972cc399f670dd8026b660ca1221b1fb15b_light.svg)
3. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{d}{2} &=& \overline{MR}-\overline{RB}&\quad \scriptsize \\[5pt]
\dfrac{d}{2} &=& 10-3,64 &\quad \scriptsize \\[5pt]
\dfrac{d}{2}&=& \underline{ 6,36 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/438aa367f33c0b36d16324d5731fe63f22d960adfd8551a165f0d98aa80ad880_light.svg)
4. Schritt: Länge der Pyramidenhöhe h berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2&=& s^2 \quad \scriptsize \mid\; - \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \\[5pt]
h^2 &=& s^2- \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
h^2 &=& 10,64^2 - 6,36^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
h &=& \sqrt{10,64^2 - 6,36^2 } \\[5pt]
h &= & \underline{\underline{ 8,5 \,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ac17fbd72a893d94a4b805a4721dcafe5323d3dcc43058cac2dd293f6951846e_light.svg)
Lösung 11
a)
der Zylindergrundfläche berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
u &=& 2\cdot \pi\cdot r \\[5pt]
&=& 2\cdot \pi \cdot 3,5\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 7\pi\,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{ 21,99\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/46bbf88409f7835a2380f231bb4913ca700b8cd731d27d6df0a12ae6161d70d2_light.svg)
2. Schritt: Pyramidengrundkante 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
2,5\cdot g &=& u \\[5pt]
2,5\cdot g &=& 21,99\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :2,5 \\[5pt]
g &=& \underline{ 8,80\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5249f205e4bb5bf2673c93254cab2326ad801f41355dc61a8c23dac2d76a0147_light.svg)
3. Schritt: Höhe 
bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha&=& \dfrac{360^{\circ}}{5} \\[5pt]
&=& 72^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4459a5299c89ced48a606ad89c25190257a3a7dd02a116905b80c03e29ba22ab_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{g}{2}}{h_g}\\[5pt]
\tan\left(\frac{72^{\circ}}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{ 8,80\,\text{cm}}{2}}{h_g} \\[5pt]
\tan\left(36^{\circ}\right)&=& \dfrac{ 4,40\,\text{cm}}{h_g} \quad \scriptsize \mid\; \cdot h_g\\[5pt]
\tan\left(36^{\circ}\right)\cdot h_g &=& 4,40\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\;
:\tan\left(36^{\circ}\right)\\[5pt]
h_g &=& \dfrac{4,40 \,\text{cm}}{\tan(36^{\circ})} \\[5pt]
h_g &=&\underline{6,06 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9077102dc2f1ce1102827f401fe1b262a892d8acc94ad49eddb34547634cc686_light.svg)
4. Schritt: Höhe der Pyramide 
bestimmen
5. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_g^2+h_P^2&=& h^2&\quad \scriptsize \mid\;-h_g^2 \\[5pt]
\left(6,06 \,\text{cm} \right)^2+h_P^2&=& \left( 12,0\,\text{cm}\right)^2&\quad \scriptsize
\mid\;-\left(6,06 \,\text{cm} \right)^2 \\[5pt]
h_P^2&=& \left( 12,0\,\text{cm}\right)^2 - \left(6,06 \,\text{cm} \right)^2 &\quad \scriptsize
\mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt]
h_P&=& \underline{ 10,36 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b34d896d153b62dc72da277479e90b85fb265aa49f13933208c37d1d8cf39dc9_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_P \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot 5\cdot \dfrac{ g\cdot h_g}{2} \cdot h_P \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5\cdot 8,80\,\text{cm}\cdot 6,06 \,\text{cm}}{2} \cdot 10,36 \,\text{cm} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 460 \,\text{cm}^3}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b77a9ba513b740fa0d59a65ae77c821abc6e3599b1b4e32b9721e823ee09b6a0_light.svg)
b)
der Pyramide berechnen
2. Schritt: Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
O_{\text{Pyr}}&=& a^2+2\cdot a\cdot h_s\\[5pt]
357\,\text{cm}^2&=& \left(10,0\,\text{cm} \right)^2+2\cdot 10,0\,\text{cm}\cdot h_s \\[5pt]
357\,\text{cm}^2&=& 100,00\,\text{cm}^2+ 20,0\,\text{cm}\cdot h_s \quad \scriptsize \mid\;
-100,00\,\text{cm}^2\\[5pt]
257\,\text{cm}^2&=& 20,0\,\text{cm}\cdot h_s \quad \scriptsize \mid\; :20,0\,\text{cm}\\[5pt]
12,85\,\text{cm}&=& h_s \\[5pt]
h_s&=& \underline{ 12,85\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ca1c98363a9b0946cbcd0b6a3f80966896d6387c0aecd9eeaeee5c88e5054e9d_light.svg)
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AS}^2&=& h_s^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt]
\overline{AS}^2&=& (12,85\text{ cm})^2 + \left(\frac{10,0\,\text{cm}}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\;
\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\overline{AS}&=& \underline{ 13,79 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/734b9f6cd94439f500a75d68c3147ed166ce268d15cb8618fe2ab99eff27b15e_light.svg)
3. Schritt: Größe des Winkels 
bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{a}{2}}{h_s} \\[5pt]
\tan\left(\frac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{10,0\,\text{cm}}{2}}{12,85 \,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\;
\tan^{-1} \\[5pt]
\frac{\beta}{2}&=& 21,26 ^{\circ} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2\\[5pt]
\beta&=& \underline{ 42,52 ^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4d3b7d3c240d04626bd42eb8e5c2ecd78fc60cdf261fbf6a7f4734548d830c0d_light.svg)
4. Schritt: Länge der Strecke mit Hilfe der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{SM}&=& \overline{AS}:2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 13,79 \,\text{cm}:2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{ 6,90\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/09c0ed0f6250a0c845fed6478a219e1339473242fc54716a4454ffb2922b8f94_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\beta)&=& \dfrac{\overline{SM}}{\overline{BS}} \\[5pt]
\cos(42,52 ^{\circ})&=& \dfrac{ 6,90\,\text{cm}}{\overline{BS}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot
\overline{BS} \\[5pt]
\cos(42,52 ^{\circ})\cdot \overline{BS} &=& 6,90\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\cos(42,52
^{\circ})\\[5pt]
\overline{BS} &=& \dfrac{6,90\,\text{cm}}{\cos(42,52 ^{\circ})} \\[5pt]
\overline{BS} &=& \underline{ 9,36 \,\text{cm}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/567c6e6e5f387472442dd8f9f2d8ede52ed5da2803be3e425959e9c44d952670_light.svg)
5. Schritt: Länge der Strecke 
berechnen
Es gilt:
Wegen des Strahlensatzes gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\overline{BC}}{\overline{EF}} &=&\dfrac{\overline{BS}}{\overline{SE}}\\[5pt]
\dfrac{\overline{BC}}{10,0\,\text{cm}} &=&\dfrac{9,36 \,\text{cm}}{13,79 \,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot
10,0\,\text{cm}\\[5pt]
\overline{BC}&=& \dfrac{9,36\,\text{cm}}{13,79\,\text{cm}}\cdot 10,0\,\text{cm} \\[5pt]
\overline{BC}&=& \underline{ 6,79 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ff4dfd1c850e8d8fe07582fa8d94f600f8f79c7b258be178b73727e4c3bd1af6_light.svg)
6. Schritt: Umfang 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
& u_{ABCD}\\[5pt]
=&\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD} \\[5pt]
=& 9,36\,\text{cm}+6,79\,\text{cm}+9,36\,\text{cm}+10,0\,\text{cm} \\[5pt]
=& \underline{\underline{ 35,5 \,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/00e164b2981ef1f6131f40adbeb88d87faa550bbfbfb6a9f417bd37580d4b4b3_light.svg)
Lösung 12
a)
Skizze der Pyramide
Skizze der Grundfläche
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\gamma&=& \dfrac{360^{\circ}-110^{\circ}}{5} \\[5pt]
\gamma&=& \underline{ 50^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c8e4d53921fa4807bf3dbc03d457ea0f2036aae66e3a0b90c8745a48307e8e38_light.svg)
2. Schritt: Größe des Winkels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha&=& \dfrac{360^{\circ}}{5} \\[5pt]
\alpha&=& \underline{ 72^{\circ}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d99216396e59d789eaba715f10b2cfc068ebffdc9994276074869cfe8cfa41a2_light.svg)
3. Schritt: Länge der Seite 
des Fünfecks berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)&=&\dfrac{b}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\, s \\[5pt]
b&=&\sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)\cdot s \\[5pt]
b&=&\sin\left(\dfrac{50^{\circ}}{2}\right)\cdot 8,3\,\text{cm} \\[5pt]
b &=&\underline{ 3,51 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/51eea873eac394916c7dc5797c4653467657ce98184de77268e53fe3a3723cb2_light.svg)
4. Schritt: Länge der Seite 
des Fünfecks berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=&\dfrac{b}{a} \quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;\cdot\,
a\;\mid\;:\,\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\\[5pt]
a&=&\dfrac{b}{\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)} \\[5pt]
a&=&\dfrac{ 3,51\,\text{cm}}{\sin\left(\dfrac{72^{\circ}}{2}\right) } \\[5pt]
a&=&\underline{ 5,97\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/718885b4b4763df7969a2a4c4147f3a2890104ebb7278d720be9862daea0bc22_light.svg)
5. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h^2+a^2&=&s^2 \;\quad \scriptsize \mid\; - a^2\\[5pt]
h^2&=& s^2-a^2 \quad\scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt]
h&=& \sqrt{s^2-a^2} \\[5pt]
h&=&\sqrt{(8,3\,\text{cm})^2-(5,97\,\text{cm})^2} \\[5pt]
h &=& \underline{ 5,77\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2b0384e03e0cbd69ba2ccfe526799e1b10bdfdf7b42a86600bfed477f5fe1bf9_light.svg)
5. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot n\cdot a^2\cdot \sin(\alpha) \cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{6}\cdot 5\cdot (5,97\,\text{cm})^2\cdot \sin(72^{\circ}) \cdot 5,77\,\text{cm} \\[5pt]
V&=&\underline{\underline{ 163,0\,\text{cm}^3 }}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2eecc30567ce76a452fea12e3a227a35d306323b12620138fed1516c97edd736_light.svg)
b)
Flächeninhalt des Dreiecks 
berechnen
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{SD}^2 &=& e^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt]
\overline{SD} &=&\sqrt{e^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2} \\[5pt]
\overline{SD} &=&\sqrt{e^2+\dfrac{e^2}{4}} \\[5pt]
\overline{SD} &=&\sqrt{\dfrac{5}{4}e^2} \\[5pt]
\overline{SD} &=&\underline{ \dfrac{e}{2}\sqrt{5}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9d75a3df42a8f3a892f8103d9271b8104888a32161734f55d772048878bc7963_light.svg)
Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABS}&=& \dfrac{1}{2}\cdot\text{e}\cdot \overline{SD}\\[5pt]
A_{ABS}&=&\dfrac{1}{2}\cdot e \cdot \dfrac{e}{2}\sqrt{5}\\[5pt]
A_{ABS}&=&\underline{ \dfrac{e^2}{4}\cdot\sqrt{5}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/155647f3e5890721fa16a91aa6ee189d1294c3aa37dcd8e8c3b67b6824131992_light.svg)
Somit gehört Formel (3) zur Dreiecksfläche 
Flächeninhalt des Dreiecks 
berechnen
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CD}^2&=& \overline{CA}^2+\overline{AD}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt]
\overline{CD}&=& \sqrt{\overline{CA}^2+\overline{AD}^2} &\\[5pt]
\overline{CD}&=& \sqrt{\left(\dfrac{e}{2}\right)^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2}\\[5pt]
\overline{CD}&=& \sqrt{\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{e^2}{4}}\\[5pt]
\overline{CD}&=&\sqrt{\dfrac{2e^2}{4}}\\[5pt]
\overline{CD}&=&\underline{ \dfrac{1}{2}e\sqrt{2}}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f38593d7a23302a43ee5af91e50849aa63a3808c5c5f995a5a38dd7ea45e2d55_light.svg)
Länge der Strecke 
mit der Diagonale berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
d^2&=&e^2+e^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt]
d&=& \sqrt{e^2+e^2} & \\[5pt]
d&=& \sqrt{2e^2} & \\[5pt]
d&=& e\sqrt{2} & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4f6167e9cb7e7efc690db1fa0717078b89afd92f7896751a4bf20ff7e0bb97ef_light.svg)
Daraus folgt: 
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\overline{FG}}{\overline{FA}}&=&\dfrac{\overline{DB}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot
\overline{FA} \\[5pt]
\overline{FG}&=&\dfrac{\overline{DB}}{\overline{AB}}\cdot \overline{FA} & \\[5pt]
\overline{FG}&=&\dfrac{\dfrac{e}{2}}{e} \cdot \dfrac{1}{2}e\sqrt{2}& \\[5pt]
\overline{FG}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}e\sqrt{2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{FG}&=&\underline{ \dfrac{1}{4}e\sqrt{2}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e8e6bf2ad43e1549636410a71c1f5c116618cedcdc1c51d6d61191eff38cccd0_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{SG}^2&=&\overline{SF}^2+\overline{FG}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\overline{SG}&=&\sqrt{\overline{SF}^2+\overline{FG}^2 }& \\[5pt]
\overline{SG}&=&\sqrt{e^2+\left(\dfrac{1}{4}e\sqrt{2}\right)^2 }& \\[5pt]
\overline{SG}&=&\sqrt{e^2+\dfrac{1}{16}e^2\cdot 2 }& \\[5pt]
\overline{SG}&=&\sqrt{\dfrac{9}{8}e^2}& \\[5pt]
\overline{SG}&=&\dfrac{3}{2\sqrt{2}}e \quad \scriptsize \mid\; \text{Nenner rational machen} \\[5pt]
\overline{SG}&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}e&\\[5pt]
\overline{SG}&=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2\cdot 2}e&\\[5pt]
\overline{SG}&=&\underline{ \dfrac{3\sqrt{2}}{4}e}&\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/98c0760769487346515447ff24234d0449a7299058954794cf78deb33167dc86_light.svg)
Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{CDS}&=& \dfrac{1}{2}\cdot\overline{CD}\cdot \overline{SG}\\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}e\sqrt{2}\cdot \dfrac{3\sqrt{2}}{4}e\\[5pt]
&=& \dfrac{1}{4}e^2\cdot \dfrac{3\cdot 2}{4}\\[5pt]
A_{CDS}&=& \underline{ \dfrac{3}{8}e^2}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f17e1e4b90e426a13f426b489408db07dc6a6946b04394f9c57ae8c2e9ccab40_light.svg)
Somit gehört Formel (1) zur Dreiecksfläche
Abschlussprüfung 2016
berechnen
berechnen
Flächeninhalt berechnen
Somit gehört Formel (3) zur Dreiecksfläche
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
berechnen
Länge der Strecke mit der Diagonale berechnen
Daraus folgt:
Länge der Strecke berechnen
Länge der Strecke berechnen
Flächeninhalt berechnen
Somit gehört Formel (1) zur Dreiecksfläche
Lösung 13
a)
Höhe des Kegels berechnen
1. Schritt: Radius der Grundfläche berechnen
Umfang Dreiviertelkreis:
![\(\begin{array}[t]{rll}
U_{\,\text{Dr}}&=& \dfrac{3}{4}\cdot 2\cdot \pi \cdot r_K &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{3}{4}\cdot 2\cdot \pi \cdot 21,2\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
U_{\,\text{Dr}}&=& \dfrac{159}{5}\cdot \pi \,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2dcc6f2295bcc3377e9cacf8f557808899e923d58d74e3abe3e18f600b3a306e_light.svg)
Umfang Dreiviertelkreis = Umfang Grundfläche
Umfang Grundfläche
![\(\begin{array}[t]{rll}
U_G&=&2\cdot \pi \cdot r_K \quad \scriptsize \mid\; : 2\pi \\[5pt]
r_K&=&\dfrac{U_G}{2\pi} \quad \scriptsize \mid\; U_G=\dfrac{159}{5}\cdot \pi \,\text{cm} \\[5pt]
r_K&=& \dfrac{\dfrac{159}{5}\cdot \pi \,\text{cm} }{2\pi} &\quad \scriptsize \\[5pt]
r_K&=& \underline{ 15,9\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/87f04519070e63f5e25033692956dcffea0a8f7ba519a31e1cecf47df44e5214_light.svg)
2. Schritt: Höhe des Kegels berechnen
Höhe der Pyramide berechnen
1. Schritt: Seitenlänge der Grundfläche berechnen
Größe des Winkels 
berechnen
Die Winkelsumme eines Dreiviertelkreis wird in sechs regelmäßige Dreiecke aufgeteilt. Für 
gilt also:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\gamma&=&\dfrac{360^{\circ} \cdot \dfrac{3}{4}}{6} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\gamma&=&\dfrac{270^{\circ}}{6} \\[5pt]
\gamma&=& 45^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3523ae6c57ec40af62b0aae4cd1d4fa0a654e664db23b03740cd41802a7ac5e6_light.svg)
Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)&=& \dfrac{\dfrac{a}{2}}{s_P}\quad \scriptsize \mid\;\cdot s_P \\[5pt]
\dfrac{a}{2}&=&\sin\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) \cdot s_P &\quad \scriptsize \\[5pt]
\dfrac{a}{2}&=&\sin(22,5^{\circ})\cdot 21,2\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt]
a&=& \underline{ 16,2\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4380a515f80254d68827def38d26e935a8af8fedfb9c092a229551fe2c3166a7_light.svg)
2. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
d&=& h_K-h_P &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 14\,\text{cm}-13,7\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
d&=& \underline{\underline{ 0,3\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/40e3f11ea8fea6df859a75876e25f9638976964e5a6be2c6b1f41748a7b38a5a_light.svg)
Umfang Dreiviertelkreis = Umfang Grundfläche
Umfang Grundfläche
2. Schritt: Höhe des Kegels berechnen
Höhe der Pyramide berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
s_K^2&=& h_K^2+r_K^2 &\quad \scriptsize \mid\; -r_K^2\\[5pt]
s_K^2-r_K^2&=& h_K^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt]
h_K&=& \sqrt{s_K^2-r_K^2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
h_K&=& \sqrt{(21,2\,\text{cm})^2-(15,9\,\text{cm})^2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
h_K&=& \underline{ 14\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/01e8fe9801e9ee13d75199874904854f2a3619c9902f12d33adf401555c1600c_light.svg)
berechnen
Die Winkelsumme eines Dreiviertelkreis wird in sechs regelmäßige Dreiecke aufgeteilt. Für gilt also:
Länge von berechnen
2. Schritt: Höhe der Pyramide berechnen
Vogelsicht der Pyramide:
Querschnitt der Pyramide:
Differenz D der Körperhöhen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
s_P^2&=& h_P^2+a^2 &\quad \scriptsize \mid\;-a^2 \\[5pt]
s_P^2-a^2&=& h_P^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
h_P&=&\sqrt{s_P^2-a^2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
h_P&=& \sqrt{(21,2\,\text{cm})^2-(16,2\,\text{cm})^2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
h_P&=& \underline{ 13,7\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/00a26eb8b38f531b3780086fdfb967854a1f0b0f35082c834087605966d6d310_light.svg)
b)
Kegelvolumen berechnen
Volumenformel für einen halben Kegel: 
2. Schritt: Kegelhöhe berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\beta)&=&\dfrac{h}{\overline{BM}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BM} \\[5pt]
h&=&\tan(\beta)\cdot \overline{BM} &\quad \scriptsize \\[5pt]
h&=&\tan(62^{\circ})\cdot 5,7\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
h &= & \underline{ 10,72 \,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0e6201670e4a9924968dafd82a6b8a741b58061ad28050f630c71a28d4a3100d_light.svg)
3. Schritt: Volumen des halben Kegels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_K&=&\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot (5,7\,\text{cm})^2\cdot 10,72\,\text{cm} }{2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
V_K&=&\underline{ 182,37 \,\text{cm}^3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/75edff4ed7f8a011cce1ac25d764cd0c10f1803f6846e66d70d2abbd6fe187b7_light.svg)
Differenz der bekannten Volumina berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_P&=&V_{\,\text{Ges}}-V_K &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 1280\,\text{cm}^3-182,37\,\text{cm}^3&\quad \scriptsize \\[5pt]
V_P&=& \underline{ 1\,097,63 \,\text{cm}^3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ab1689bb736fc7c6765407f77e31bc84ab1b43f23696287e091f01d03cc3ee0a_light.svg)
Volumen des Dreiecksprismas berechnen
1. Schritt: Grundfläche 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
G&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 11,4\,\text{cm}\cdot 10,72\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt]
G&=&\underline{ 61,10\,\text{cm}^3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/756502a865c62687eb1f94271a2bb2de1f7b567de013ba78409544bcbf06c3ac_light.svg)
2. Schritt: Länge des Dreiecksprismas berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_P&=&G\cdot l_P \quad \scriptsize \mid\; :G \\[5pt]
l_P&=&\dfrac{V_P}{G} &\quad \scriptsize \\[5pt]
l_P&=& \dfrac{1097,63\,\text{cm}^3}{61,1\,\text{cm}^2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
l_P&= & \underline{ 17,96\,\text{cm}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/01e7c6b98398637c4338af285756be7c54c30d28ca45d437375fa21a4ce975a8_light.svg)
Gesamtlänge des Körpers berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
l_{\,\text{Ges}}&=& l_K+l_P&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& r_K+l_P&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 5,7\,\text{cm}+17,96\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt]
l_{\,\text{Ges}}&=& \underline{\underline{ 23,7\,\text{cm}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/af2ebcd414d4f505c21b505c75fd615ef24c2b4d9ac5430513c6e2d1c5ecd771_light.svg)
Abschlussprüfung 2015
1. Schritt: Kegelradius berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{BM}&=&\dfrac{\overline{AB}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{BM}&=& \dfrac{11,4\,\text{cm}}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
\overline{BM} &=& \underline{ 5,70\,\text{cm}} = r
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/274b8fc61dab4cf6c8b2a8a12fae513ec4bd76f11cdd9cbec234c929bfef75ce_light.svg)
3. Schritt: Volumen des halben Kegels berechnen
Differenz der bekannten Volumina berechnen
Volumen des Dreiecksprismas berechnen
1. Schritt: Grundfläche berechnen
2. Schritt: Länge des Dreiecksprismas berechnen
Gesamtlänge des Körpers berechnen
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