Geometrie in der Ebene

Aufgabe 2

Das Dreieck $ABC$ und das Rechteck $DEFM$ haben die Punkte $D, B, G$ und $M$ gemeinsam.

Es gilt:

$\alpha = 70,0^\circ$

$\overline{AC}=14,8\;\text{cm}$

$\overline{AE}=13,6\;\text{cm}$

$\overline{AC}=\overline{BC}.$

$M$ halbiert die Strecke $\overline{AC}.$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $BEFG.$

Geometrische Darstellung eines Dreiecks und eines Rechtecks mit beschrifteten Punkten und einem Winkel.

(4 P)

(3,5 P)

Aufgabe 3

Im Rechteck $A B C D$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC} & = &4,6 \mathrm{~cm} \\ \overline{CE} & =& 7,2 \mathrm{~cm} \\ \varepsilon & =& 49,0^{\circ} \end{array}$

Berechne den Umfang des Vierecks $ABCD.$

(4 P)

Abschlussprüfung 2024

Aufgabe 4

Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ liegen die beiden gleichschenkligen Dreiecke $ABD$ und $BCD.$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&6,3\,\text{cm}\\ \gamma&=&41,8^{\circ}\\ \overline{AD}&=&\overline{BD}\\ \overline{BD}&=&\overline{CD} \end{array}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $ABD.$
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABD.$

(3,5 P)

Abschlussprüfung 2023

Aufgabe 5

Im rechtwinkligen Dreieck $A B C$ gilt:

$\begin{aligned} \overline{AC} &=9,5 \mathrm{~cm} \\ \alpha &=40,0^{\circ} \\ \overline{BC} &=\overline{BD} \end{aligned}$

realschule baden-württemberg mathe pflichtteil a2

Berechne den Umfang des Dreiecks $ADC.$

(4 P)

Abschlussprüfung 2022

Aufgabe 6

Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ und das Quadrat $ADEF$ überdecken sich teilweise.

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit einem Quadrat und verschiedenen Punkten und Winkeln.

Es gilt:

$\overline{BD}=10,0\,\text{cm}$

$\beta=67,0^\circ$

$\overline{AC}=\overline{BC}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $GEC.$

(3,5 P)

Abschlussprüfung 2021

Aufgabe 7

Die Figur besteht aus den Dreiecken $ABC$ und $DEC.$

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit Winkelbezeichnungen und zusätzlichen Linien.

(Skizze nicht maßstäblich)

Davon sind gegeben:
$\overline{CD}=8\,\text{cm}$
$\overline{DE}=2,5\,\text{cm}$
$\overline{AF}=2,1\,\text{cm}$
$\overline{CE}$ ist die Winkelhalbierende von $\gamma.$

Berechne die Streckenlänge $\overline{AB.}$

(4 P)

Musterprüfung 1

Aufgabe 8

Im Viereck $ABCD$ gilt:

$\overline{AE}=7,6\,\text{cm}$
$\overline{BE}=5,9\,\text{cm}$
$\beta=52,0^\circ$
$\gamma=113,0^\circ$

Berechne die Länge $\overline{AD}$ und den Flächeninhalt des Dreiecks $ACD.$

(Skizze nicht maßstäblich)

(4 P)

Musterprüfung 2

Aufgabe 9

lm Quadrat $ABCD$ Iiegt der Streckenzug $DEFB.$

Diagramm eines Rechtecks mit markierten Winkeln und Punkten.

Es gilt:

$\overline{BF}= 8,5\,\text{cm}$
$\overline{EF}= 8,3\,\text{cm}$
$\overline{AB}= 16,7\,\text{cm}$
$\beta_1= 52,0 ^{\circ}$
$\overline{EF}$ verläuft parallel zu $\overline{AB}$

Berechne den Winkel $\delta_{1}.$

(4 P)

Aufgabe 10

Die Eckpunkte des Dreiecks $ABC$ liegen auf den Parallelen $g$ und $h.$

Geometrische Darstellung mit Linien, Punkten und Winkeln, möglicherweise zur Veranschaulichung von Dreiecken.

Es gilt:

$\overline{AB}=9,4\,\text{cm}$
$\beta= 57,0 ^{\circ}$
$d= 6,7\,\text{cm}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $ADC.$

(4,5 P)

Aufgabe 11

Geometrische Skizze mit einem Rechteck und verschiedenen Linien sowie einem Winkel.

Im Rechteck $ABCD$ gilt:

$\overline{AB} = 6,6\,\text{cm}$
$\overline{EF} = 7,2\,\text{cm}$
$\varphi = 59,0^{\circ}$

Berechne den Umfang des Vierecks $EBCF$ .

(4,5 P)

Aufgabe 12

Das Dreieck $ABC$ und das Rechteck $ABDF$ überdecken sich teilweise.

Geometrische Darstellung eines Dreiecks und Rechtecks mit Beschriftungen der Punkte.

Es gilt:

$\overline{CE} =6,3\,\text{cm}$
$\overline{DE} =5,1\,\text{cm}$
$\gamma=38,0^{\circ}$

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $ABEF.$

(4 P)

Aufgabe 13

Geometrische Darstellung eines Rechtecks mit beschrifteten Punkten und einem Winkel.

Im Rechteck $ABCD$ gilt:

$\overline{AB} = 14,5\,\text{cm}$
$\overline{AD} = 5,4\,\text{cm}$
$\delta_1= 52,0^{\circ}$

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $EBCF.$

(4 P)

Aufgabe 14

Gegeben sind das gleichschenklige Dreieck $ABC$ und das rechtwinklige Dreieck $AEC.$

Schematische Darstellung eines Dreiecks mit beschrifteten Punkten und Winkeln.

Es gilt:

$\overline{AE}=9,4\,\text{cm}$
$\epsilon = 55,0^{\circ}$
$\overline{AC} = \overline{BC}$

Berechne die Länge von $\overline{BE}.$

(4 P)

Aufgabe 15

Gegeben ist das rechtwinklige Dreieck $ABC$ .

Diagramm eines Dreiecks mit den Punkten A, B, C und den Winkeln β und einem kleinen Punkt in der Mitte.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}&=&5,8 \text{ cm} \\[5pt] \overline{BF}&=&6,6 \text{ cm} \end{array}$

$\overline{BF}$ halbiert den Winkel $\beta$ .

Berechne den Umfang des Dreiecks $ABF$ .

(4 P)

Aufgabe 16

Im Quadrat $ABCD$ liegen das rechtwinklige Dreieck $BCE$ und das gleichschenklige Dreieck $ABF$ .

Diagramm eines Quadrats mit markierten Punkten und einem Winkel.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}&=&11,8 \text{ cm} \\[5pt] \epsilon&=&72,0^{\circ} \\[5pt] \overline{AB}&=&\overline{AF} \end{array}$

Berechne die Länge von $\overline{EF}$ .

(4 P)

Aufgabe 17

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ .

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit verschiedenen Winkeln und Punkten.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}&=& 9,0\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AD}&=& 7,3\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \beta\hspace{.385cm}&=& 55,0^\circ \\[5pt] \delta_1\hspace{.385cm}&=& 69,4^\circ \end{array}$

Berechne die Länge von $\overline{CD}$ und den Flächeninhalt des Dreiecks $ADC$ .

(4 P)

Aufgabe 18

Im rechtwinkligen Trapez $ABCD$ sind gegeben:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=& 3,1\,\text{cm} &\\[5pt] \overline{BE}&=& 8,4\,\text{cm} & \\[5pt] \overline{AB}&=& \overline{BC} & \end{array}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $ACD$ .

(4,5 P)

Aufgabe 19

Geometrisches Diagramm eines Dreiecks mit den Punkten A, B, C, D und E sowie den Winkeln α und β.

Im Dreieck $ABC$ gilt:

$\overline{AC}=\overline{CE}=9,2\,\text{cm}$
$\alpha\hspace{.37cm}=64,0^{\circ}$
$\beta\hspace{.385cm}=40,0^{\circ}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $EBC$ .

(4 P)

Aufgabe 20

Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat.

Diagramm eines Quadrats mit einem eingezeichneten Winkel und den Punkten A, B, C, D, und E.

Es gilt:

$\overline{AE}=7,8\,\text{cm}$
$\alpha_1\hspace{.135cm}=34,0^{\circ}$

Berechne die Länge von $\overline{CE}$ .

(4 P)

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Lösung 1

Da der Kegel im Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $s$ bildet und der Winkel $\epsilon$ gegeben ist, können der Radius und die Höhe des Kegels wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rlll} r&=&s\cdot \cos(\epsilon) \\[5pt] &=& 7,45\cdot \cos(20^\circ)\\[5pt] &=& 7,0\;\text{m} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} h_K&=&s\cdot \sin(\epsilon) \\[5pt] &=& 7,45\cdot \sin(20^\circ)\\[5pt] &=& 2,55\;\text{m} \end{array}$

Zylinderhöhe $h_Z$ durch das gegebene Gesamtvolumen berechnen:

Rechenweg anzeigen

$h_z=2,40\;\text{m}$

Planenfläche berechnen:

Mantel Zylinder:

$\begin{array}[t]{rlll} A_Z&=& 2\pi\cdot r\cdot h_Z \\[5pt] &=& 2\pi\cdot 7,0\;\text{m}\cdot 2,40\;\text{m} \\[5pt] &=&105,6\;\text{m}^2 \end{array}$

Mantel Kegel:

$\begin{array}[t]{rlll} A_K&=& \pi\cdot r \cdot s \\[5pt] &=&\pi\cdot 7,0\;\text{m}\cdot 7,45\;\text{m} \\[5pt] &=&163,8\;\text{m}^2 \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$A_{ges}=269,4\;\text{m}^{2}$

Es werden etwa $269,4\;\text{m}^2$ Kunststoffplane für Seitenwand und Dach benötigt.

Lösung 2

$\overline{AM}=\frac{1}{2}\cdot \overline{AC}=\frac{1}{2}\cdot 14,8\;\text{cm}=7,4\;\text{cm}$

$\cos(\alpha)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AM}}$

$\begin{array}[t]{rlll} \cos(70^\circ)&=&\dfrac{\overline{AD}}{7,4\;\text{cm}} &\mid\;\cdot 7,4\;\text{cm} \\[5pt] \overline{AD}&=&2,53\;\text{cm} \end{array}$

Für $\overline{DM}$ kann gleich vorgegangen werden:

$\sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{\overline{DM}}{\overline{AM}}$

$\begin{array}[t]{rlll} \sin(70^\circ)&=&\dfrac{\overline{DM}}{7,4\;\text{cm}} &\mid\;\cdot 7,4\;\text{cm} \\[5pt] \overline{DM}&=&6,95\;\text{cm} \end{array}$

Da $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck ist, folgt:

$\overline{AB}=2\cdot \overline{AC}\cdot \cos(\alpha)$

$\overline{AC}$ einsetzen ergibt:

$\overline{AB}=2\cdot 14,8\;\text{cm}\cdot \cos(70^\circ)=10,12\;\text{cm}$

Weitere benötigte Strecken:

$\overline{BE}=\overline{AE}-\overline{AB}=3,48\;\text{cm}$

$\overline{MG}=\frac{\overline{AB}}{2}=5,06\;\text{cm}$

Rechenweg anzeigen

$\overline{DB}=7,59\;\text{cm} \quad \overline{DE}=11,07\;\text{cm}$

Flächeninhalt Rechteck:

Rechenweg anzeigen

$A_{DEFM}=76,97\;\text{cm}^{2}$

Flächeninhalt Trapez:

Rechenweg anzeigen

$A_{DBGM}=44,0\;\text{cm}^{2}$

Gesuchte Fläche des Vierecks $BEFG:$

Rechenweg anzeigen

$A_{BEFG}=33,0\;\text{cm}^{2}$

Lösung 3

1. Schritt: $\boldsymbol{\overline{CF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin \varepsilon&=& \dfrac{\overline{CF}}{\overline{CE}} \\[5pt] \sin 49,0°&=& \dfrac{\overline{CF}}{7,2\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7,2\,\text{cm} \\[5pt] \sin 49,0°\cdot 7,2\,\text{cm}&=& \overline{CF} \\[5pt] \underline{5,43\,\text{cm}}&=& \overline{CF} \end{array}$

2. Schritt: $\boldsymbol{\gamma_2}$ berechnen

$\gamma_2=180,0°-49,0°-90,0°=\underline{41,0°}$

3. Schritt: $\boldsymbol{\gamma_3}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos \gamma_3&=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{CF}} \\[5pt] \cos \gamma_3&=& \dfrac{4,6\,\text{cm}}{5,43\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \gamma_3&=& \underline{32,1°} \end{array}$

4. Schritt: $\boldsymbol{\gamma_1}$ berechnen

$\gamma_1=90,0°-41,0°-32,1°=\underline{16,9°}$

5. Schritt: $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos \gamma_1&=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{CE}} \\[5pt] \cos 16,9°&=& \dfrac{\overline{CD}}{7,2\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 7,2\,\text{cm} \\[5pt] \cos 16,9°\cdot 7,2\,\text{cm}&=& \overline{CD} \\[5pt] \underline{6,89\,\text{cm}}&=& \overline{CD} \end{array}$

6. Schritt: Umfang des Rechtecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& 2\cdot \overline{BC}+2\cdot \overline{CD} \\[5pt] &=& 2\cdot 4,6\,\text{cm}+2\cdot 6,89\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{\underline{23,0\,\text{cm}}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2024

Lösung 4

Umfang Dreieck $ABD$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=&\overline{AD}+\overline{CD} \quad \scriptsize \overline{AD}=\overline{BD}=\overline{CD} \\[5pt] &=&\overline{CD}+\overline{CD}\\[5pt] &=&6,3\,\text{cm}+6,3\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AC}&=&12,6\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin\gamma&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt] \sin\gamma\cdot \overline{AC}&=&\overline{AB} \\[5pt] \overline{AB}&=&\sin\gamma\cdot \overline{AC} \\[5pt] &=&\sin41,8^\circ\cdot 12,6\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AB}&=&\underline{8,40\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u_{ABD}&=&\overline{AB}+\overline{BD}+\overline{AD} \\[5pt] &=&\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{CD} \\[5pt] &=&8,4\,\text{cm}+6,3\,\text{cm}+6,3\,\text{cm}\\[5pt] u_{ABD}&=&\underline{\underline{21,0\,\text{cm}}} \end{array}$

Flächeninhalt Dreieck $ABD$ berechnen

1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_\overline{AB}^2&=&\overline{AD}^2-\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h_\overline{AB}&=&\sqrt{\overline{AD}^2-\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(6,3\,\text{cm})^2-(4,2\,\text{cm})^2}\\[5pt] h_\overline{AB}&=&\underline{4,70\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABD}&=&\dfrac{1}{2}\overline{AB}\cdot h_\overline{AB}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 8,4\,\text{cm}\cdot 4,7\,\text{cm}\\[5pt] A_{ABD}&=&\underline{\underline{19,7\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2023

Lösung 5

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{tan}(\alpha)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{BC}&=&\text{tan}(\alpha)\cdot \overline{AC} \\[5pt] &=&\text{tan}(40^{\circ})\cdot 9,5\,\text{cm} \\[5pt] \overline{BC}&=&\underline{ 7,97\,\text{cm}}=\overline{BD} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AB} \quad\scriptsize \mid\;:\text{cos}(\alpha) \\[5pt] \overline{AB}&=&\dfrac{\overline{AC}}{\text{cos}(\alpha)} \\[5pt] &=&\dfrac{9,5\,\text{cm}}{\text{cos}(40^{\circ})} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{ 12,40\,\text{cm} } \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}&=&\overline{AB}-\overline{BD} \\[5pt] &=& 12,40\,\text{cm} -7,97\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AD}&=& \underline{ 4,43\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha \\[5pt] \beta&=& 180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ} \\[5pt] \beta&=& \underline{ 50^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}\left(\dfrac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{\overline{DM}}{\overline{BD}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BD} \\[5pt] \overline{DM}&=&\text{sin}\left(\dfrac{\beta}{2}\right)\cdot \overline{BD} \\[5pt] &=& \text{sin}(25^{\circ})\cdot 7,97\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DM}&=& \underline{ 3,37\,\text{cm}} \end{array}$

Daraus folgt:
$\overline{CD}=2\cdot 3,37\,\text{cm} =\underline{ 6,74\,\text{cm}}$

6. Schritt: Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AD}+\overline{CD}+\overline{AC} \\[5pt] &=& 4,43\,\text{cm} +6,74\,\text{cm} +9,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 20,67\,\text{cm}\\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 20,7\,\text{cm}}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2022

Lösung 6

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CE}}$ berechnen

Zunächst muss die Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{CD}}{\overline{BD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{BD}\\[5pt] \tan(\beta)\cdot \overline{BD} &=&\overline{CD}\\[5pt] \tan({67^\circ})\cdot 10,0\,\text{cm} &=&\overline{CD}\\[5pt] 23,56\,\text{cm}&=&\overline{CD}\\ \overline{CD}&=&23,56\,\text{cm} \end{array}$

Als nächstes muss die Länge der Strecke $\overline{DE}$ bestimmt werden. Diese entspricht der Länge der Strecke $\overline{AD},$ da es sich um ein Quadrat handelt. Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig, deshalb sind die Strecken $\overline{AD}$ und $\overline{BD}$ gleich lang.

Also gilt:
$\overline{DE}=\overline{BD}=\overline{AD}=10,0\,\text{cm}.$

Damit folgt für die Länge der Strecke $\overline{CE}:$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{CE}&=& \overline{CD}-\overline{DE} \\[5pt] &=& 23,56\,\text{cm}-10,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 13,56\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EG}}$ berechnen

Anwendung des Zweiten Strahlensatzes:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AD}}{\overline{EG}}&=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{CE}} \quad \scriptsize \mid \text{Kehrbruch bilden} \\[5pt] \dfrac{\overline{EG}}{\overline{AD}}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}} \quad \scriptsize \mid\cdot\overline{AD} \\[5pt] \overline{EG}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CD}}\cdot\overline{AD} \\[5pt] \overline{EG}&=&\dfrac{13,56\,\text{cm}}{23,56\,\text{cm}}\cdot 10,0\,\text{cm} \\[5pt] \overline{EG}&=&\underline{ 5,76\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CG}}$ berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CG}^2&=&\overline{EG}^2+\overline{CE}^2 \quad \scriptsize \mid \sqrt{.} \\[5pt] \overline{CG}&=&\sqrt{\overline{EG}^2+\overline{CE}^2 }\\[5pt] \overline{CG}&=&\sqrt{(5,76\,\text{cm})^2+(13,56\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{CG}&=&\underline{ 14,73\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& \overline{CE}+\overline{EG}+\overline{CG}\\[5pt] &=& 13,56\,\text{cm}+5,76\,\text{cm}+14,73\,\text{cm}\\[5pt] &=& 34,05\,\text{cm}\\[5pt] u&=& \underline{\underline{ 34,1\,\text{cm}}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2021

Lösung 7

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen

Anwendung des 2. Strahlensatzes

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AF}}&=&\dfrac{\overline{CD}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \text{Kehrbruch bilden} \\[5pt] \dfrac{\overline{AF}}{\overline{DE}}&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CD}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CD} \\[5pt] \dfrac{\overline{AF}}{\overline{DE}}\cdot\overline{CD}&=&\overline{AC} \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{2,1\,\text{cm}}{2,5\,\text{cm}}\cdot 8\,\text{cm}&\\[5pt] \overline{AC}&=&\underline{ 6,72\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\gamma$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{CD}} \\[5pt] \tan\left(\dfrac{\gamma}{2}\right)&=&\dfrac{2,5\,\text{cm}}{8\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \dfrac{\gamma}{2}&=&17,4^\circ\\[5pt] \gamma&=&\underline{ 34,8^\circ}\\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AC} \\[5pt] \tan(\gamma)\cdot\overline{AC}&=&\overline{AB}\\[5pt] \overline{AB}&=&\tan(34,8^\circ)\cdot 6,72\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AB}&=&\underline{\underline{ 4,7\,\text{cm}}} \end{array}$

Musterprüfung 1

Lösung 8

Länge der Strecke $\overline{AD}$ berechnen

1. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\gamma_2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma_2&=&180^{\circ}-\beta-90^{\circ} \\[5pt] \gamma_2&=&180^{\circ}-52^{\circ}-90^{\circ} \\[5pt] \gamma_2&=&\underline{ 38^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\gamma_1}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma_1&=&\gamma-\gamma_2 & \\[5pt] \gamma_1&=&113^{\circ}-38^{\circ} \\[5pt] \gamma_1&=&\underline{ 75^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{BE} \\[5pt] \overline{CE}&=&\tan(\beta)\cdot \overline{BE} \\[5pt] &=&\tan(52^{\circ})\cdot 5,9\,\text{cm} \\[5pt] \overline{CE}&=&\underline{ 7,55\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CG}}$ berechnen

Es gilt: $\overline{DG}=\overline{AE}=7,6\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma_1)&=&\dfrac{\overline{DG}}{\overline{CG}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{CG} \quad \scriptsize \mid\;:\tan(\gamma_1) \\[5pt] \overline{CG}&=&\dfrac{\overline{DG}}{\tan(\gamma_1)} \\[5pt] &=&\dfrac{7,6\,\text{cm}}{\tan(75^{\circ})} \\[5pt] \overline{CG}&=&\underline{ 2,04\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{EG}&=&\overline{CE}-\overline{CG} \\[5pt] &=&7,55\,\text{cm}-2,04\,\text{cm} \\[5pt] \overline{EG}&=& 5,51\,\text{cm}\\[5pt] \overline{EG}&=&\underline{\underline{ 5,5\,\text{cm}=\overline{AD}}}\\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ACD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AD}\cdot \overline{DG} \quad \scriptsize\; \overline{DG}=\overline{AE}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 5,5\,\text{cm} \cdot 7,6\,\text{cm} \\[5pt] A&=&\underline{\underline{ 20,9\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Musterprüfung 2

Lösung 9

Skizze Quadrat - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{GB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta_1)&=&\dfrac{\overline{GB}}{\overline{BF}} \\[5pt] \cos(52^{\circ})&=&\dfrac{\overline{GB}}{8,5\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 8,5\,\text{cm} \\[5pt] \cos(52^{\circ})\cdot 8,5\,\text{cm}&=& \overline{GB} \\[5pt] \overline{GB} &=& \cos(52^{\circ})\cdot 8,5\,\text{cm} \\[5pt] \overline{GB}&=& \underline{ 5,23\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{LE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{LE}&=& \overline{AB}-\overline{EF}-\overline{GB} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 16,7\,\text{cm}-8,3\,\text{cm}-5,23\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 3,17\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{GF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta_1)&=&\dfrac{\overline{GF}}{\overline{BF}} \\[5pt] \sin(52^{\circ})&=&\dfrac{\overline{GF}}{8,5\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 8,5\,\text{cm} \\[5pt] \sin(52^{\circ})\cdot 8,5\,\text{cm} &=& \overline{GF}\\[5pt] \overline{GF} &=& \sin(52^{\circ})\cdot 8,5\,\text{cm}\\[5pt] \overline{GF}&=&\underline{ 6,70\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DL}}$ berechnen

Da es sich um ein Quadrat handelt, gilt $\overline{AD}=\overline{AB}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DL}&=& \overline{AD}-\overline{GF} \\[5pt] &=& 16,7\,\text{cm}-6,70\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 10\,\text{cm}} \end{array}$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\delta_1}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\delta_1)&=&\dfrac{\overline{LE}}{\overline{DL}} \\[5pt] \tan(\delta_1)&=&\dfrac{3,17\,\text{cm}}{10\,\text{cm}} \\[5pt] \delta_1&=&\underline{\underline{ 17,6^{\circ}}} \end{array}$

Lösung 10

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=& \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}\quad \scriptsize \\[5pt] \sin(57^{\circ})&=& \dfrac{\overline{AD}}{9,4\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot\,9,4\,\text{cm} \\[5pt] \sin(57^{\circ})\cdot\,9,4\,\text{cm} &=& \overline{AD} \\[5pt] \overline{AD} &=& \sin(57^{\circ})\cdot\,9,4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AD} &=& \underline{ 7,88\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CB}$ berechnen

Umfang Dreieck - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{CB}}\\[5pt] \sin(57^{\circ})&=&\dfrac{6,7\,\text{cm}}{\overline{CB}} \qquad \scriptsize \mid\; \cdot\,\overline{CB} \\[5pt] \sin(57^{\circ})\cdot \overline{CB}&=&6,7\,\text{cm} \qquad \scriptsize \mid\; : \sin(57^{\circ})\\[5pt] \overline{CB}&=&\dfrac{6,7\,\text{cm}}{\sin(57^{\circ})} \\[5pt] \overline{CB}&=&\underline{ 7,99\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{DB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{DB}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \\[5pt] \cos(57^{\circ})&=&\dfrac{\overline{DB}}{9,4\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 9,4\,\text{cm} \\[5pt] \cos(57^{\circ})\cdot9,4\,\text{cm} &=& \overline{DB} \\[5pt] \overline{DB} &=& \cos(57^{\circ})\cdot9,4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DB}&=&\underline{ 5,12\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=& \overline{CB}-\overline{DB}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,99\,\text{cm}-5,12\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 2,87\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=&\overline{AD}^2+\overline{CD}^2 \\[5pt] \overline{AC}^2&=&(7,88\,\text{cm})^2+(2,87\,\text{cm})^2 \; \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AC}&=&\sqrt{(7,88\,\text{cm})^2+(2,87\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AC}&= & \underline{ 8,39\,\text{cm}} \end{array}$

Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& \overline{AD}+\overline{CD}+\overline{AC}\\[5pt] &=&7,88\,\text{cm}\,+2,87\,\text{cm}+8,39\,\text{cm}\\[5pt] &=&19,14\,\text{cm}\\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 19,1\,\text{cm} }} \end{array}$

Lösung 11

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BE}}$ berechnen

Geometrische Darstellung eines Rechtecks mit verschiedenen Winkeln und Linien.

Größe des Winkels $\epsilon_2$ mit $\epsilon_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \epsilon_1&=& 180^\circ-90^\circ-\varphi \\[5pt] &=& 180^\circ-90^\circ-59^\circ \\[5pt] &=& \underline{ 31^\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \epsilon_2&=& 180^\circ-90^\circ-\epsilon_1 \\[5pt] &=& 180^\circ-90^\circ-31^\circ \\[5pt] &=& \underline{ 59^\circ} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{BE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\epsilon_2)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{BE}} & \scriptsize \mid\;\cdot\overline{BE}\quad\mid\;:\sin(\epsilon_2) \\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\sin(\epsilon_2)}\\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{6,6\, \,\text{cm}}{\sin(59^\circ)}\\[5pt] \overline{BE}&=& \underline{ 7,70\,\,\text{cm}}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\epsilon_2)&=&\dfrac{\overline{AE}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BE} \\[5pt] \overline{AE} &=& \cos(\epsilon_2)\cdot\overline{BE}\\[5pt] \overline{AE} &=& \cos(59^\circ)\cdot 7,70\,\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AE} &=& \underline{ 3,97\, \,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varphi)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{EF}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{EF} \\[5pt] \overline{DE} &=& \sin(\varphi)\cdot\overline{EF}\\[5pt] \overline{DE} &=& \sin(59^\circ)\cdot 7,20\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DE} &=& \underline{ 6,17\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{BC}$ berechnen

$\overline{BC}=3,97\,\text{cm}+6,17\,\text{cm}=\underline{ 10,14\,\text{cm}}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CF}}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{DF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\varphi)&=&\dfrac{\overline{DF}}{\overline{EF}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{EF} \\[5pt] \overline{DF} &=& \cos(\varphi)\cdot\overline{EF}\\[5pt] \overline{DF} &=&\cos(59^\circ)\cdot 7,20\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DF} &=& \underline{ 3,71 \,\text{cm} }\\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen

$\overline{CF}=6,6\,\text{cm}-3,71\,\text{cm}=\underline{ 2,89\,\text{cm}}$

4. Schritt: Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& \overline{BE} + \overline{BC} + \overline{CF} + \overline{EF} \\[5pt] &=& 7,7\,\text{cm} + 10,14\,\text{cm} +2,89\,\text{cm}+7,2\,\text{cm} \\[5pt] &=& 27,93\,\text{cm}\\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 27,9\,\text{cm}}} \end{array}$

Lösung 12

Geometrische Darstellung eines Rechtecks mit einem diagonalen Dreieck und mehreren markierten Winkeln.

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\gamma)&=&\dfrac{\overline{EF}}{\overline{CE}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CE}\\[5pt] \overline{EF} &= & \sin(\gamma)\cdot \overline{CE} \\[5pt] \overline{EF} &= &\sin(38^{\circ})\cdot 6,3 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{EF} &= & \underline{ 3,88 \,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

Es gilt: $\overline{AB} = \overline{DF}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DF}&=& \overline{DE}+\overline{EF} \\[5pt] &=& 5,1 \,\text{cm} + 3,88 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 8,98 \,\text{cm}} \\[5pt] &=& \overline{AB} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{FA}}$ berechnen

Es gilt: $\epsilon_2=\epsilon_1$

$\begin{array}[t]{rll} \epsilon_1&=& 180^{\circ} -90^{\circ}-38^{\circ} \\[5pt] &=& 52 ^{\circ} \\[5pt] &=& \epsilon_2 \end{array}$

Es gilt: $\overline{FA} = \overline{BD}$

$\begin{array}[t]{rll} \,\text{tan}(\epsilon_2)&=& \dfrac{\overline{BD}}{\overline{DE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DE} \\[5pt] \overline{BD} &=& \,\text{tan}(\epsilon_2) \cdot \overline{DE} \\[5pt] \overline{BD} &=& \,\text{tan}(52^{\circ}) \cdot 5,1 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{BD} &=& \underline{ 6,53 \,\text{cm}}\\[5pt] &=& \overline{FA} \end{array}$

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A &=&\dfrac{1}{2}\cdot(\overline{AB}+\overline{EF})\cdot \overline{FA} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (8,98\,\text{cm} + 3,88\,\text{cm}) \cdot 6,53\,\text{cm}\\[5pt] &=& \underline{\underline{ 42,0 \,\text{cm}^2}} \end{array}$

Lösung 13

$A_{\,\text{Trapez}}=\dfrac{(a+c)}{2} \cdot h$

$A_{\,\text{EBCF}}=\dfrac{(\overline{EB}+\overline{FC)}}{2} \cdot \overline{BC}$

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EB}}$ berechnen
Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan (\delta_1) &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] \tan (52,0^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}} \\[5pt] \tan (52,0^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{AE}}{5,4\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 5,4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AE}&=& \underline{ 6,91\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{EB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{EB} &=& \overline{AB} - \overline{AE} \\[5pt] &=& 14,5\,\text{cm} - 6,91\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 7,59\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{FC}}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen

Satz des Pythagoras im Dreieck $AED$ :

Rechenweg anzeigen

$\overline{DE} = 8,8\,\text{cm}$

Länge der Strecke $\overline{DF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \delta_2&=& 90^{\circ} - \delta_1 \\[5pt] &=& 90^{\circ} - 52,0^{\circ} \\[5pt] &=& 38,0^{\circ} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\delta_2) &=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \cos (38^{\circ}) &=& \dfrac{8,77\,\text{cm}}{\overline{DF}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DF}\\[5pt] \cos (38^{\circ}) \cdot \overline{DF} &=& 8,77\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\cos (38^{\circ}) \\[5pt] \overline{DF} &= & \underline{ 11,13\,\text{cm}} \end{array}$

Geometrische Darstellung eines Rechtecks mit Winkeln und Längenangaben.

Länge der Strecke $\overline{FC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DC}&=& \overline{AB} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{FC}&=& \overline{DC} - \overline{DF} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 14,5\,\text{cm} - 11,13\,\text{cm}\\[5pt] &=& \underline{ 3,37\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\overline{BC} = \overline{AD} = 5,4 \,\text{cm}$

Rechenweg anzeigen

$A_{EBCF}\approx 29,6\,\text{cm}^2$

Der Flächeninhalt des Trapezes $EBCF$ beträgt ca. $29,6\,\text{cm}^2.$

Lösung 14

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin (\epsilon) &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \sin (55^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{AC}}{9,4\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 9,4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AC} &=& \underline{ 7,70\,\text{cm}}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Die Winkelsumme im Dreieck $\,\text{AEC}$ beträgt $180^{\circ}.$

$\begin{array}[t]{rll} \alpha + \epsilon + 90^{\circ} &=& 180^{\circ} \\[5pt] \alpha + 55^{\circ}+ 90^{\circ} &=& 180^{\circ} \\[5pt] \alpha + 145^{\circ} &=& 180^{\circ} &\quad \scriptsize \mid\; -145^{\circ}\\[5pt] \alpha &=& \underline{ 35^{\circ}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AM}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \cos(35^{\circ} ) &=& \dfrac{\overline{AM}}{7,7\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 7,7\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AM} &=& \underline{ 6,31 \,\text{cm}}= \overline{BM} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \overline{AM} + \overline{BM}\\[5pt] &=& 6,31 \,\text{cm} + 6,31 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{ 12,62\,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Seitenlänge $\boldsymbol{\overline{BE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BE}&=& \overline{AB} - \overline{AE} \\[5pt] &=& 12,62\,\text{cm} - 9,4\,\text{cm}\\[5pt] &=& 3,22\,\text{cm}\\[5pt] \overline{BE}&=& \underline{\underline{ 3,2\,\text{cm}}} \end{array}$

Die Seite $\overline{BE}$ ist ca. $3,22\,\text{cm}$ lang.

Lösung 15

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos\left(\dfrac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{BF}}\\[5pt] \cos\left(\dfrac{\beta}{2}\right)&=& \dfrac{5,8\,\text{cm}}{6,6 \,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \dfrac{\beta}{2}&=& 28,50 ^{\circ} \\[5pt] \beta&=& \underline{57 ^{\circ}} \end{array}$

Schematische Darstellung eines Dreiecks mit beschrifteten Winkeln und Linien.

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=& \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \,\,\,\, \mid\;:\cos(\beta) \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{\overline{BC}}{\cos(\beta)} \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{ 5,8 \,\text{cm}}{\cos(57^{\circ})} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{10,65 \,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CF}^2+\overline{BC}^2&=&\overline{BF}^2 \qquad \scriptsize \mid\;-\overline{BC}^2 \\[5pt] \overline{CF}^2&=& \overline{BF}^2 - \overline{BC}^2 \\[5pt] \overline{CF}^2&=& (6,6 \,\text{cm})^2 - (5,8 \,\text{cm})^2 \\[5pt] \overline{CF}&=& \underline{3,15 \,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=& \dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BC}\\[5pt] \overline{AC}&=& \tan(\beta) \cdot \overline{BC} \\[5pt] \overline{AC}&=& \tan(57^{\circ}) \cdot 5,8 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{AC}&=& \underline{8,93 \,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AF}&=& \overline{AC}-\overline{CF} \\[5pt] \overline{AF}&=& 8,93 \,\text{cm} - 3,15 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{AF}&=& \underline{5,78 \,\text{cm}} \end{array}$

6. Schritt: Umfang $\boldsymbol{u}$ bestimmmen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AB}+\overline{BF}+\overline{AF} \\[5pt] &=& 10,65 \,\text{cm} + 6,6 \,\text{cm} + 5,78 \,\text{cm} \\[5pt] &=& 23,03 \,\text{cm} \\[5pt] u&=& \underline{\underline{23 \,\text{cm}}} \\[5pt] \end{array}$

Lösung 16

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varepsilon)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BE} \,\,\, \mid\;:\sin(\varepsilon) \\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\varepsilon)} \\[5pt] \overline{BE}&=& \dfrac{11,8 \text{ cm}}{\sin(72^{\circ})} \\[5pt] \overline{BE}&=& \underline{12,41\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Größe der gesuchten Winkel bestimmen

$\boldsymbol{\beta_2}$ mit der Winkelsumme bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \beta_2&=& 180^{\circ}- 90^{\circ}-\varepsilon \\[5pt] &=& 180^{\circ}- 90^{\circ}-72^{\circ}\\[5pt] &=& \underline{18^{\circ}} \end{array}$

$\boldsymbol{\beta_1}$ , $\boldsymbol{\gamma}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen

Da das Dreieck $ABE$ gleichschenklig ist, gilt: $\beta_1=\gamma$

$\begin{array}[t]{rll} \beta_1&=& 90^{\circ}-\beta_2 \\[5pt] &=& 90^{\circ}- 18^{\circ} \\[5pt] &=& \underline{72^{\circ}} = \gamma \\[5pt] \end{array}$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 180^{\circ}-\beta_1-\gamma \\[5pt] &=& 180^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ} = \underline{36 ^{\circ}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BL}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta_1)&=& \dfrac{\overline{BL}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB}\\[5pt] \overline{BL}&=& \cos(\beta_1) \cdot \overline{AB} \\[5pt] \overline{BL}&=& \cos(72^{\circ}) \cdot 11,8 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{3,65 \,\text{cm} } \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BF}&=& \overline{BL} + \overline{LF} \\[5pt] &=& 2 \cdot\overline{BL} \\[5pt] &=& 2 \cdot 3,65 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{7,30 \,\text{cm} } \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{EF}&=& \overline{BE}-\overline{BF} \\[5pt] &=&12,41\text{ cm}-7,30\text{ cm} \\[5pt] &=&5,11\text{ cm}\\[5pt] \overline{EF}&=&\underline{\underline{5,1\text{ cm}}} \end{array}$

Lösung 17

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\delta_1)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{AD} \\[5pt] \overline{DE}&=&\cos(\delta_1)\cdot \overline{AD} \\[5pt] \overline{DE}&=&\cos(69,4^{\circ})\cdot 7,3\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DE}&=&\underline{ 2,57\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{\overline{CE}}{\overline{BC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{BC} \\[5pt] \overline{CE}&=&\sin(\beta)\cdot \overline{BC} \\[5pt] \overline{CE}&=&\sin(55^{\circ})\cdot 9,0\,\text{cm} \\[5pt] \overline{CE}&=&\underline{ 7,37\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&\overline{CE}-\overline{DE} & \\[5pt] &=&7,37\,\text{cm}-2,57\,\text{cm} \\[5pt] \overline{CD}&=&\underline{\underline{ 4,8\,\text{cm}}} \end{array}$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{ADC}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}^2+\overline{DE}^2&=&\overline{AD}^2 \quad \scriptsize \mid\;-\,\overline{DE}^2 \\[5pt] \overline{AE}^2&=&\overline{AD}^2-\overline{DE}^2 \quad \scriptsize \mid\;\,\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{AE}&=&\sqrt{\overline{AD}^2-\overline{DE}^2} \\[5pt] \overline{AE}&=&\sqrt{(7,3\,\text{cm})^2-(2,57\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AE}&=&\underline{ 6,83\,\text{cm}} \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{CD}\cdot \overline{AE} & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 4,8\,\text{cm}\cdot 6,83\,\text{cm} \\[5pt] &=&16,39\,\text{cm}^2 \\[5pt] A&=& \underline{\underline{ 16,4\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Lösung 16

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\epsilon}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\epsilon)&=&\dfrac{\overline{AE}}{\overline{BE}} \\[5pt] \cos(\epsilon)&=& \dfrac{3,1\,\text{cm}}{8,4\,\text{cm} } \\[5pt] \epsilon&=& \underline{ 68,34^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\epsilon)&=&\dfrac{\overline{AF}}{\overline{AE}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AE} \\[5pt] \overline{AF}&=& \sin(\epsilon)\cdot \overline{AE} \\[5pt] \overline{AF}&=& \sin(68,34^{\circ})\cdot 3,1\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AF}&=& \underline{ 2,88\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=& 2\cdot \overline{AF} \\[5pt] &=& 2\cdot 2,88\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AC}&=& \underline{ 5,76\,\text{cm} }\\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=&180^{\circ}-90^{\circ}-\epsilon \\[5pt] &=&180^{\circ}-90^{\circ}-68,34^{\circ} \\[5pt] \alpha&=& \underline{ 21,66^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{CD}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{CD}&=& \sin(\alpha)\cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{CD}&=& \sin(21,66^{\circ})\cdot 5,76\,\text{cm} \\[5pt] \overline{CD}&=& \underline{ 2,13\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

6. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\overline{CD}^2+\overline{AD}^2=\overline{AC}^2 \quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;-\overline{CD}^2$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}^2&=& \overline{AC}^2-\overline{CD}^2 \quad\quad\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{AD}&=& \sqrt{\overline{AC}^2-\overline{CD}^2 }&\\[5pt] \overline{AD}&=& \sqrt{(5,76\,\text{cm})^2-(2,13\,\text{cm})^2 }&\\[5pt] \overline{AD}&=& \underline{ 5,35\,\text{cm}}&\\[5pt] \end{array}$

7. Schritt: Umfang des Dreiecks $\boldsymbol{ACD}$

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AC}+\overline{CD}+\overline{AD} \\[5pt] &=& 5,76 \,\text{cm}+2,13\,\text{cm}+5,35\,\text{cm} \\[5pt] &=& 5,76 \,\text{cm}+2,13\,\text{cm}+5,35\,\text{cm} \\[5pt] &=& 13,24\,\text{cm} \\[5pt] u&=& \underline{\underline{ 13,2\,\text{cm}}} \end{array}$

Lösung 18

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{CD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AC}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AC}\\[5pt] \overline{CD}&=& \sin(\alpha) \cdot \overline{AC} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{CD}&=&\sin(64^{\circ})\cdot 9,2\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{CD}&=& \underline{ 8,27 \,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{BC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{BC}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BC} \\[5pt] \sin(\beta) \cdot \overline{BC} &=&\overline{CD} \quad \scriptsize \mid\; : \sin(\beta)\\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{\overline{CD}}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{8,27\,\text{cm}}{\sin(40^{\circ})} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{BC}&=& \underline{ 12,87\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{DE}}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\overline{DE}= \underline{ 4,03\,\text{cm} }$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{BD}}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\overline{BD}= \underline{ 9,86\,\text{cm}}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{BE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BE}&=& \overline{BD}-\overline{DE} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 9,86 \,\text{cm}-4,03\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{BE}&=& \underline{ 5,83 \,\text{cm}} \end{array}$

6. Schritt: Umfang des Dreiecks $\boldsymbol{EBC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& \overline{BE}+\overline{BC}+\overline{CE}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5,83\,\text{cm}+12,87\,\text{cm}+9,2\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] u&=& \underline{\underline{ 27,9 \,\text{cm}}} \end{array}$

Lösung 18

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha_1)&=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \\[5pt] \cos(\alpha_1)\cdot \overline{AB}&=& \overline{AE} \quad \scriptsize \mid\; : \cos(\alpha_1)\\[5pt] \overline{AB}&=&\dfrac{\overline{AE}}{\cos(\alpha_1)} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{7,8\,\text{cm}}{\cos(34^{\circ})} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{ 9,41\,\text{cm}} \end{array}$

$\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{AD}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{BE}}$ berechnen

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$\underline{ \overline{BE} = 5,26\,\text{cm}}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{EF}}$ berechnen

Die Größe des Winkels $\beta$ kann mit der Winkelsumme $(=180^{\circ})$ im Dreieck $ABE$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 180^{\circ}-90^{\circ}- 34^{\circ} \quad \scriptsize \\[5pt] \beta&=& \underline{ 56^{\circ}} \end{array}$

Für den Winkel $\alpha_2$ gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha_2&=& 90^{\circ}- 56^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha_2&=& \underline{ 34^{\circ}} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha_2)&=& \dfrac{\overline{EF}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BE}\\[5pt] \overline{EF}&=& \sin(\alpha_2)\cdot \overline{BE}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{EF}&=& \sin(34^{\circ})\cdot 5,26\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{EF}&=& \underline{ 2,94\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{BF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha_2)&=& \dfrac{\overline{BF}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{BE}\\[5pt] \overline{BF}&=& \cos(\alpha_2)\cdot \overline{BE}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{BF}&=& \cos(34)\cdot 5,26\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{BF}&=& \underline{ 4,36\,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{CF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CF}&=& \overline{BC}-\overline{BF}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{CF}&=& 9,41\,\text{cm}-4,36\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{CF}&=& 5,05\,\text{cm} \end{array}$

6. Schritt: Länge der Strecke $\overline{\boldsymbol{CE}}$ berechnen

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$\overline{CE}=\underline{ \underline{ 5,84\,\text{cm} }}$