Funktionen und Gleichungen
Aufgabe 1
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Parabel 
mit der Funktionsgleichung 
geht durch den Punkt 
- Berechne die Funktionsgleichung von
Die Parabel 
ist eine verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel mit den beiden Punkten 
und 
Sie hat den Scheitelpunkt 
- Berechne die Funktionsgleichung von
Die Parabel 
mit dem Scheitelpunkt 
hat die Funktionsgleichung 
Die Punkte 
, und 
bilden das Dreieck 
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Der Punkt bewegt sich auf der Parabel
Dadurch entsteht der Punkt 
und somit das Dreieck 
- Für welchen Punkt hat das Dreieck
den kleinsten Flächeninhalt?
Gib die Koordinaten von an. Begründe.
(5 P)
Aufgabe 2
a)
Die Abbildung zeigt die verschobene Normalparabel und die Gerade 
Die Gerade 
schneidet die Parabel in den Punkten 
und 
- Bestimme die Funktionsgleichungen von und Entnimm geeignete Werte aus dem Schaubild.
Die Parabel hat die Funktionsgleichung 
und geht durch den Punkt 
- Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts von
Die Gerade 
ist senkrecht zu und geht durch den Scheitelpunkt von
- Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
Die Gerade schneidet die Gerade im Punkt 
- Berechne die Entfernung von zu
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 3
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Parabeln und sind zwei nach oben geöffnete verschobene Normalparabeln.
Die Parabel hat den Scheitelpunkt 
Die Parabel schneidet die 
-Achse in den Punkten 
und 
verläuft durch den Scheitelpunkt 
und den Punkt 
ist der Scheitelpunkt der Parabel
und sowie die Gerade schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt.“
Abschlussprüfung 2024
und sind zwei nach oben geöffnete verschobene Normalparabeln.
Die Parabel
hat den Scheitelpunkt
Die Parabel
schneidet die -Achse in den Punkten und
- Bestimme die Funktionsgleichungen von und .
verläuft durch den Scheitelpunkt und den Punkt
- Berechne die Funktionsgleichung von
ist der Scheitelpunkt der Parabel
- Berechne die Entfernung zwischen und
und sowie die Gerade schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt.“
- Überprüfe diese Behauptung. Begründe deine Antwort rechnerisch.
(5 P)
Aufgabe 4
a)
Die Gerade hat die Funktionsgleichung 
Sie schneidet die-Achse im Punkt und die 
-Achse im Punkt
und 
verläuft die nach oben geöffnete verschobene Normalparabel 
und 
liegen auf der Parabel
Sie bilden zusammen mit dem Scheitelpunkt
das Dreieck 
hat die Funktionsgleichung
Sie schneidet die
-Achse im Punkt und die -Achse im Punkt
- Bestimme die Koordinaten der Punkte und .
und verläuft die nach oben geöffnete verschobene Normalparabel
- Berechne die Funktionsgleichung der Parabel
und die Koordinaten ihres Scheitelpunktes 
und liegen auf der Parabel
Sie bilden zusammen mit dem Scheitelpunkt
das Dreieck
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2024
Aufgabe 5
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit der Form 
geht durch den Punkt 
.
geht auch durch den Punkt 
.
Sie schneidet die-Achse im Punkt .
und bilden das Dreieck ABC.
geht durch den Punkt und hat die Steigung 
.
halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks 
"
mit der Form geht durch den Punkt .
- Berechne die Funktionsgleichung der Parabel
geht auch durch den Punkt .
Sie schneidet die
-Achse im Punkt .
- Bestimme die Koordinaten der Punkte und
und bilden das Dreieck ABC.
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
geht durch den Punkt und hat die Steigung .
- Gib die Funktionsgleichung von an.
halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks "
- Überprüfe diese Aussage und begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
(5 P)
Aufgabe 6
a)
Zu einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel gehört die unvollständige Wertetabelle.
hat die Funktionsgleichung 
und geht durch den Punkt 
.
gehört die unvollständige Wertetabelle.
 |
 |
|---|---|
 |
|
 |
 |
|
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
- Bestimme die Funktionsgleichung von
- Vervollständige die Wertetabelle.
hat die Funktionsgleichung und geht durch den Punkt .
- Berechne die Funktionsgleichung von
- Zeige rechnerisch, dass keinen Schnittpunkt mit hat.
- Gib die Funktionsgleichung einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel an, die keinen Schnittpunkt mit und hat.
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 7
a)
Das Schaubild zeigt Ausschnitte der Parabel und der Geraden
schneidet die -Achse in den Punkten 
und 
.
hat die Funktionsgleichung 
.
bildet mit und 
das Dreieck 
. Ebenso bildet mit und 
das Dreieck 
.
und der Geraden
- Bestimme die Funktionsgleichungen von und .
Entnimm dazu geeignete Werte aus dem Schaubild.
schneidet die -Achse in den Punkten und .
- Gib die Koordinaten von
an.
hat die Funktionsgleichung .
- Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes von
bildet mit und das Dreieck . Ebenso bildet mit und das Dreieck .
- Um wie viele Flächeneinheiten (FE) unterscheiden sich die Flächeninhalte dieser beiden Dreiecke?
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 8
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Gerade hat die Funktionsgleichung 
Die Parabel
hat die Funktionsgleichung 
Die Parabel schneidet die Gerade in den Punkten 
und 
und 
verläuft die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel 
und 
ist rechtwinklig.“
Abschlussprüfung 2022
hat die Funktionsgleichung
Die Parabel
hat die Funktionsgleichung
Die Parabel
schneidet die Gerade in den Punkten und
- Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte und
und verläuft die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel
- Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts von
und ist rechtwinklig.“
- Hat Robin Recht? Begründe deine Antwort rechnerisch.
(5 P)
Aufgabe 9
a)
Das Schaubild zeigt Ausschnitte der verschobenen Normalparabel und der nach unten geöffneten Parabel
verläuft durch die beiden Scheitelpunkte und
verläuft senkrecht zu und geht durch den Punkt 
und der nach unten geöffneten Parabel
- Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln. Entnimm dazu geeignete Werte aus dem Schaubild.
verläuft durch die beiden Scheitelpunkte und
- Berechne die Funktionsgleichung von .
verläuft senkrecht zu und geht durch den Punkt
- Berechne die Funktionsgleichung von
- Gib die Funktionsgleichung einer weiteren verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel an, die keine Punkte mit und gemeinsam hat.
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 10
a)
Die Parabel hat die Funktionsgleichung 
Die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
schneidet die -Achse in den Punkten 
und 
und 
bilden ein Dreieck.
bewegt sich auf der Parabel 
unterhalb der -Achse. Dadurch entsteht der Punkt 
und somit das Dreieck 
hat die Funktionsgleichung
Die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel
hat den Scheitelpunkt
- Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Parabeln und
schneidet die -Achse in den Punkten und
- Berechne die Koordinaten von und
und bilden ein Dreieck.
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
bewegt sich auf der Parabel unterhalb der -Achse. Dadurch entsteht der Punkt und somit das Dreieck
- Für welche Lage von
wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten? - Berechne diesen maximalen Flächeninhalt.
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
Aufgabe 11
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Punkte 
und 
liegen auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel
mit der -Achse und die Punkte und bilden ein Viereck.
und verlaufen jeweils auf den Diagonalen des Vierecks.
Sie schneiden sich im Punkt
und liegen auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel
- Gib die Funktionsgleichung der Parabel in der Normalform
an.
mit der -Achse und die Punkte und bilden ein Viereck.
- Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks.
und verlaufen jeweils auf den Diagonalen des Vierecks.
Sie schneiden sich im Punkt
- Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes
Aufgabe 12
a)
Der Punkt 
liegt auf der Parabel mit der Funktionsgleichung 
Die Gerade schneidet die Parabel im Punkt und im Scheitelpunkt 
an der -Achse entsteht der Punkt ist der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel
mit der -Achse ist der Scheitelpunkt der Parabel 
Die Parabel der Form 
geht außerdem durch die Scheitelpunkte und
liegt auf der Parabel mit der Funktionsgleichung Die Gerade schneidet die Parabel im Punkt und im Scheitelpunkt
- Berechne die Funktionsgleichungen der Parabel und der Geraden
an der -Achse entsteht der Punkt ist der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel
- Gib die Funktionsgleichung von in der Form an.
mit der -Achse ist der Scheitelpunkt der Parabel Die Parabel der Form geht außerdem durch die Scheitelpunkte und
- Berechne die Funktionsgleichung der Parabel
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 13
a)
Die Gerade und die verschobene Normalparabel gehen durch die beiden Punkte 
und 
Der Punkt
liegt auf der Parabel
Die Gerade steht senkrecht auf und geht durch
Die Gerade schneidet die beiden Koordinatenachsen in den Punkten und
Berechne die Koordinaten von und
und die verschobene Normalparabel gehen durch die beiden Punkte und
Der Punkt
liegt auf der Parabel
Die Gerade
steht senkrecht auf und geht durch
Die Gerade
schneidet die beiden Koordinatenachsen in den Punkten und
Berechne die Koordinaten von und
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
Aufgabe 14
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Funktionsgleichung einer Parabel lautet 
Eine weitere Parabel ist gegeben mit 
Durch die beiden Scheitelpunkte der Parabeln und verläuft eine Gerade .
lautet Eine weitere Parabel ist gegeben mit
Durch die beiden Scheitelpunkte der Parabeln und verläuft eine Gerade .
- Bestimme die Gleichung dieser Geraden .
- Bestimme die Gleichung der zur Geraden senkrechten Gerade durch den Punkt
und gib deren Schnittpunkt mit der -Achse an.
(5 P)
Aufgabe 15
a)
Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung 
Außerdem ist die Gerade mit der Gleichung 
gegeben.
Eine zweite Gerade verläuft parallel zu und durch den Scheitelpunkt der Parabel
ist gegeben durch die Gleichung Außerdem ist die Gerade mit der Gleichung gegeben.
Eine zweite Gerade
verläuft parallel zu und durch den Scheitelpunkt der Parabel
- Gib die Gleichung der Parabel in Scheitelpunktform an.
- Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden mit der -Achse.
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Wahrscheinlichkeiten" eingeordnet.
Aufgabe 16
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
b)
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung 
Diese Parabel wird um zwei Einheiten nach links und um vier Einheiten nach oben verschoben. Dabei entsteht die Parabel
mit der Gleichung Diese Parabel wird um zwei Einheiten nach links und um vier Einheiten nach oben verschoben. Dabei entsteht die Parabel
- Durch den Schnittpunkt der Parabeln verläuft eine zur -Achse parallele Gerade
Gib deren Gleichung an. - Berechne den Abstand von zum Scheitelpunkt der Parabel
(5 P)
Aufgabe 17
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Wahrscheinlichkeiten" eingeordnet.
b)
Gegeben sind die Gerade mit 
und die Parabel mit 
mit und die Parabel mit
- Berechne die Koordinaten der gemeinsamen Punkte
und 
der Geraden und der Parabel. - Der Punkt
liegt auf der Parabel und bildet zusammen mit den Punkten und ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
(5 P)
Aufgabe 18
a)
Die nach oben geöffnete Normalparabel hat mit der -Achse die Schnittpunkte 
und 
Sie schneidet die -Achse im Punkt 
Die Parabel hat die Funktionsgleichung 
und schneidet die -Achse im Punkt
Durch die Scheitelpunkte und der beiden Parabeln verläuft die Gerade
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke 
Die Gerade mit der Steigung 
geht durch
Unter welchen Winkeln schneiden sich die Geraden und ?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
hat mit der -Achse die Schnittpunkte und Sie schneidet die -Achse im Punkt
Die Parabel hat die Funktionsgleichung und schneidet die -Achse im Punkt
Durch die Scheitelpunkte und der beiden Parabeln verläuft die Gerade
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke
Die Gerade
mit der Steigung geht durch
Unter welchen Winkeln schneiden sich die Geraden
und ?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
(5,5 P)
b)
Die Parabel mit der Funktionsgleichung 
schneidet die -Achse in den Punkten und
Die Gerade mit der Funktionsgleichung 
schneidet die Parabel in den Punkten und
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Die Gerade mit der Funktionsgleichung 
schneidet die Parabel in den Punkten und
Peter behauptet: „Die Steigung der Geraden ist nur halb so groß wie die der Geraden Daher ist der Flächeninhalt des Dreiecks 
auch nur halb so groß wie der des Dreiecks 
Hat Peter Recht? Begründe rechnerisch.
mit der Funktionsgleichung schneidet die -Achse in den Punkten und
Die Gerade
mit der Funktionsgleichung schneidet die Parabel in den Punkten und
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Die Gerade mit der Funktionsgleichung schneidet die Parabel in den Punkten und
Peter behauptet: „Die Steigung der Geraden ist nur halb so groß wie die der Geraden Daher ist der Flächeninhalt des Dreiecks auch nur halb so groß wie der des Dreiecks
Hat Peter Recht? Begründe rechnerisch.
(4,5 P )
Aufgabe 19
a)
Die nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
Die nach unten geöffnete Normalparabel hat mit der -Achse die Schnittpunkte 
und 
.
Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes
der beiden Parabeln.
Die Gerade mit der Steigung 
schneidet beide Parabeln ebenfalls im Punkt .
Berechne die Gleichung von.
Berechne die Winkel, unter denen sich die Gerade und die -Achse schneiden.
Gib die Gleichung einer Parabel 
an, die weder mit noch mit einen gemeinsamen Punkt hat.
hat den Scheitelpunkt Die nach unten geöffnete Normalparabel hat mit der -Achse die Schnittpunkte und .
Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes
der beiden Parabeln.
Die Gerade mit der Steigung schneidet beide Parabeln ebenfalls im Punkt .
Berechne die Gleichung von
.
Berechne die Winkel, unter denen sich die Gerade
und die -Achse schneiden.
Gib die Gleichung einer Parabel an, die weder mit noch mit einen gemeinsamen Punkt hat.
(5,5 P)
b)
Eine Parabel mit der Gleichung 
hat den Scheitelpunkt 
Eine zweite Parabel hat die Gleichung 
Der Punkt
ist einer der beiden Schnittpunkte von und
Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts der beiden Parabeln.
Zeige rechnerisch, dass die Punkte und 
auf einer Geraden liegen.
mit der Gleichung hat den Scheitelpunkt
Eine zweite Parabel
hat die Gleichung
Der Punkt
ist einer der beiden Schnittpunkte von und
Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts der beiden Parabeln.
Zeige rechnerisch, dass die Punkte und auf einer Geraden liegen.
(4,5 P)
Aufgabe 20
a)
Das Schaubild zeigt Ausschnitte einer verschobenen Normalparabel und einer Geraden
Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabel und der Geraden
Die verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
Prüfe rechnerisch, ob der Schnittpunkt der beiden Parabeln auf der Geraden liegt.
Die Gerade verläuft durch die beiden Scheitelpunkte und
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
und einer Geraden
Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabel
und der Geraden
Die verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel
hat den Scheitelpunkt
Prüfe rechnerisch, ob der Schnittpunkt
der beiden Parabeln auf der Geraden liegt.
Die Gerade
verläuft durch die beiden Scheitelpunkte und
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
(5,5 P)
b)
Die Parabel der Form 
hat den Scheitel 
Sie geht durch den Punkt 
Die Gerade mit der Steigung 
geht durch den Punkt 
Sie schneidet die Parabel in den Punkten und
Die Punkte und sind Eckpunkte des Rechtecks 
Zudem sind die Punkte und Anfangs- und Endpunkt einer Diagonalen dieses Rechtecks.
Die Seiten des Rechtecks verlaufen parallel zur- bzw. -Achse.
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
der Form hat den Scheitel Sie geht durch den Punkt
Die Gerade
mit der Steigung geht durch den Punkt Sie schneidet die Parabel in den Punkten und
Die Punkte
und sind Eckpunkte des Rechtecks Zudem sind die Punkte und Anfangs- und Endpunkt einer Diagonalen dieses Rechtecks.
Die Seiten des Rechtecks verlaufen parallel zur
- bzw. -Achse.
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
(4,5 P)
Aufgabe 21
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{(A) } y&=&ax^2-1 \\[5pt]
\text{(B) } y&=&x^2-6x+5 \\[5pt]
\text{(C) } y&=&x^2+4x+c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/20e41e99b42a946348d6a279a863607b7d90dcc5fadff533a68e56f7e9adaded_light.svg)
Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung?
Begründe deine Entscheidung. Vervollständige die Funktionsgleichungen von
und 
.
Die Gerade geht durch die Scheitelpunkte von und .
Berechne die Funktionsgleichung von
.
Weise rechnerisch nach, dass der Scheitelpunkt von ebenfalls auf liegt.
(5 P)
b)
Die Parabel mit 
und die nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel 
haben einen gemeinsamen Punkt 
.
Die Gerade geht durch den Ursprung 
und den Punkt .
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden
Die Schnittpunkte der Parabel mit der -Achse und der Punkt bilden ein Dreieck.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Bastian behauptet:
„Die Gerade halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks.“
Hat Bastian recht?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
Abschlussprüfung 2017
mit und die nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel haben einen gemeinsamen Punkt .
Die Gerade
geht durch den Ursprung und den Punkt .
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden
Die Schnittpunkte der Parabel mit der -Achse und der Punkt bilden ein Dreieck.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Bastian behauptet:
„Die Gerade
halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks.“
Hat Bastian recht?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
(5 P)
Aufgabe 22
a)
Das Schaubild zeigt einen Ausschnitt der verschobenen Normalparabel .
Die Punkte 
und 
liegen auf .
Bestimme die Gleichung der Parabel.
Die nach unten geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
.
Durch die beiden Scheitelpunkte verläuft eine Gerade .
Berechne die Gleichung der Geraden .
Eine Gerade verläuft parallel zu und geht durch einen der beiden Schnittpunkte von und .
Berechne eine mögliche Gleichung der Geraden
.
und liegen auf .
Bestimme die Gleichung der Parabel
.
Die nach unten geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt .
Durch die beiden Scheitelpunkte verläuft eine Gerade .
Berechne die Gleichung der Geraden .
Eine Gerade verläuft parallel zu und geht durch einen der beiden Schnittpunkte von und .
Berechne eine mögliche Gleichung der Geraden
(5,5 P)
b)
Eine Parabel hat die Gleichung 
und geht durch den Punkt 
.
Eine nach unten geöffnete Normalparabel hat die Gleichung 
.
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte und von und .
Die Scheitelpunkte und sowie die Schnittpunkte und der beiden Parabeln bilden das Viereck 
.
Mia behauptet: „Das Viereck hat zwei rechte Winkel.“
Hat Mia recht? Begründe deine Antwort durch Rechnung.
hat die Gleichung und geht durch den Punkt .
Eine nach unten geöffnete Normalparabel hat die Gleichung .
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte und von und .
Die Scheitelpunkte und sowie die Schnittpunkte und der beiden Parabeln bilden das Viereck .
Mia behauptet: „Das Viereck hat zwei rechte Winkel.“
Hat Mia recht? Begründe deine Antwort durch Rechnung.
(4,5 P)
Aufgabe 23
a)
Zu einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel gehört die unvollständig ausgefüllte Wertetabelle.
Gib die Gleichung der Parabel an.
Vervollständige die Wertetabelle.
Eine Gerade hat die Steigung und geht durch den Punkt 
.
Weise rechnerisch nach, dass und keine gemeinsamen Punkte haben.
Eine Gerade verläuft parallel zur Geraden und geht durch den Scheitelpunkt von .
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit der -Achse.
gehört die unvollständig ausgefüllte Wertetabelle.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
11 | 6 | 3 |
an.
Vervollständige die Wertetabelle.
Eine Gerade
hat die Steigung und geht durch den Punkt .
Weise rechnerisch nach, dass
und keine gemeinsamen Punkte haben.
Eine Gerade
verläuft parallel zur Geraden und geht durch den Scheitelpunkt von .
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes
der Geraden mit der -Achse.
(5,5 P)
b)
Eine Parabel der Form mit dem Scheitelpunkt 
schneidet die -Achse in den Punkten 
und 
.
Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
.
Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt.
Berechne die Koordinaten von.
Die Punkte, und bilden ein Dreieck.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
.
Der Punkt bewegt sich auf der Parabel oberhalb der -Achse.
Für welche Lage von wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?
Begründe deine Aussage rechnerisch oder durch Argumentation.
der Form mit dem Scheitelpunkt schneidet die -Achse in den Punkten und .
Eine nach oben geöffnete Normalparabel
hat den Scheitelpunkt .
Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt
.
Berechne die Koordinaten von
.
Die Punkte
, und bilden ein Dreieck.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
.
Der Punkt
bewegt sich auf der Parabel oberhalb der -Achse.
Für welche Lage von
wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?
Begründe deine Aussage rechnerisch oder durch Argumentation.
(4,5 P)
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Lösung 1
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Punkt 
in einsetzen und nach 
auflösen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
7&=&0,25\cdot 2^2+c \\[5pt]
7&=&1+c \\[5pt]
c&=&6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/132335bbfc5a5d7c680cf24e78bab189327b5b51f383091c6b584c2327495fbb_light.svg)
Somit lautet die Funktionsgleichung der Parabel 
Zur Berechnung von wird die Scheitelpunktform 
benötigt. Dabei ist 
der Scheitelpunkt.
und 
einsetzen.
Punkt einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-1&=&(0-p)^2+q \\[5pt]
-1&=&p^2+q \\[5pt]
q&=&-1-p^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c260b0ff2d32412dfafdbcafb8511ff83dd470472881f034c6a54b5146088089_light.svg)
Gleichung 
: 
Punkt einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
2&=&(-1-p)^2+q \\[5pt]
2&=&(1+p)^2+q
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/62cc96d0064d67dbe92049180d3924631a41e9c2cf6c2c9357729324f9979734_light.svg)
Gleichung 
Gleichung in 
einsetzen:
Vereinfachen mit Binomischer Formel :
![\(\begin{array}[t]{rlll}
2&=&(p^2+2p+1)-1-p^2 \\[5pt]
2&=&2p \\[5pt]
p&=&1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6cc2d0420519f5fedae0ebde92451c45c6500fd75db00feffded3b2cf95a722e_light.svg)
in Gleichung einsetzen um 
zu erhalten:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
q&=&-1-(1)^2 \\[5pt]
q&=&-1-1 \\[5pt]
q&=&-2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/306baf24d8f215ec1f27526e79d86c9b7a96f6db4631e1d3f159de79751a501e_light.svg)
Damit lautet die Parabel 
bzw. 
mit dem Scheitelpunkt 
Aus 
ergibt sich der Scheitelpunkt 
Damit liegen 
, 
und 
vor.
Die Strecke 
liegt waagerecht, da beide -Koordinaten gleich sind.
Länge der Strecke:
Diese Strecke nehmen wir als Grundseite an.
Die Höhe ergibt sich als senkrechter Abstand des Punktes zur Grundseite.
Da unsere Grundseite bei 
liegt und der Punkt den Wert 
hat, lässt sich die Höhe wie folgt bestimmen:
Flächeninhalt eines Dreiecks:
Grundseite und Höhe einsetzen:
Die Grundseite bleibt gleich. Die dazugehörige Höhe nimmt für 
den kleinsten Wert an.
Mögliche Begründung:
Nur der Punkt liegt auf
Die Grundseite 
bleibt dieselbe, waagerecht auf 
mit der Länge .
Da 
nach oben geöffnet und über der Grundseite liegt, tritt das Minimum im Scheitelpunkt auf.
Also muss der Scheitelpunkt bestimmt werden, indem die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform gebracht wird:
Hieraus folgt:
Somit ist der Flächeninhalt von 
am kleinsten wenn 
der Scheitelpunkt von ist.
Lösung 2
a)
Eine veschobene Normalparabel hat die Form 
Punkt 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
6&=&(0-p)^2+q \\[5pt]
6&=&p^2+q \\[5pt]
q&=&6-p^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/00a1b5fff470d472677631ac04debe92259d19f9816b34f333bb8f41b48713f9_light.svg)
Punkt 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-2&=&(4-p)^2+q \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bc09da5d65cdd73aaf52890351716f977f88c596b58bb9fee2f67d718c852005_light.svg)
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-2&=&(4-p)^2+6-p^2 \\[5pt]
-8&=&(4-p)^2-p^2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bfee402e8950097b22f94a858cfea0ef051edf71f6611b65d0fb6ff08d723dfc_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
-8&=&(p^2-8p+16) -p^2\\[5pt]
-8&=&16-8p \\[5pt]
p&=&3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3d32a2ec712744a7aa869f3ac9003c061cbae72d81f1f0623a872c9a8884c2b7_light.svg)
einsetzen, um zu erhalten:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
q&=&6-p^2 \\[5pt]
q&=&6-3^2 \\[5pt]
q&=&-3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e94ebaba40f6ebbd05eaad4c60dd48898750fe5745728ccfb64ec73d7a73b0b7_light.svg)
bzw. 
Gerade durch und aufstellen.
Steigung 
berechnen:
oder in Punktsteigungsformel einsetzen. (Hier wurde der Punkt gewählt.)
Somit ergibt sich folgende Funktionsgleichung für 
Koordinaten des Scheitelpunkts von 
berechnen.
Punkt einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
2,5&=&5^2+5b +37,5 \\[5pt]
2,5&=&5b+ 62,5\\[5pt]
5b&=&-60 \\[5pt]
b&=&-12
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e15575f98a1d88bdb1e88788256531bbeb5551f5760b0cb790ab94563c1aa389_light.svg)
Die Funktionsgleichung liegt in quadtratischer Form (
) vor, dementsprechend können die Koordinaten des Scheitelpunkts wie folgt errechnet werden:
und einsetzen:
Als nächstes soll die Funktionsgleichung einer Gerade gefunden werden, die senkrecht zu verläuft und durch geht.
Für senkrechte Geraden gilt: 
![\(\begin{array}[t]{rlll}
(-2)\cdot m_h&=&-1 \\[5pt]
m_h&=&\dfrac{1}{2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4bc1bcff81fdaf23b2b708b7f517bdc279d95fcdb31120a6a9da6f8ae8ea2bcd_light.svg)
und in die Punktsteigungsform 
mit 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
y-1,5&=&\dfrac{1}{2}(x-6) \\[5pt]
y-1,5&=&\dfrac{1}{2}x-3 &\mid\; +1,5\\[5pt]
y&=&\dfrac{1}{2}x-1,5 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dd84ca124efd2a155a9dac4e598e4154cd3ddad6387353e1add49885c7e9aec3_light.svg)
Daraus folgt:
Entfernung zwischen den Punkten und 
bestimmen. Da der Schnittpunkt von und ist, wird er durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen berechnet.
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\dfrac{1}{2}x-1,5&=&-2x+6 \\[5pt]
2,5x&=&7,5 \\[5pt]
x&=&3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f349e56e4400b1535b7e00b77f51875d65931cbdd701d4c225254baf59421c58_light.svg)
-Koordinate in oder einsetzen um die -Koordinate zu erhalten.
Daraus folgt:
Abstand zwischen zwei Punkten:
Zahlenwerte einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
d &=&\sqrt{(6-3)^2+(1,5-0)^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{3^2+1,5^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{11,25}\\[5pt]
&=& \dfrac{3}{2}\sqrt{5} \\[5pt]
&\approx&3,35
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fb9d223caae2ffd58a6b7824f2e6dcee87c9853bb41f962080691463673fdf60_light.svg)
Die Entfernung zwischen dem Punkt und beträgt ca. 
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Lösung 3
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Funktionsgleichungen von 
und 
bestimmen
Funktionsgleichung von 
berechnen
Steigung berechnen:
Die allgemeine Geradengleichung hat die Form 
Einsetzen von und der Koordinaten des Punktes 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1&=& -2\cdot 1+c \quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt]
3&=& c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/86d14af6d2d0b6af49c8bc905583dbc53e9ddcd6ec561d4befdbaf4e51797134_light.svg)
Daraus folgt 
Entfernung zwischen 
und 
berechnen
Zunächst müssen die Koordinaten von bestimmt werden. Dazu wird die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform gebracht:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+8x+12 \\[5pt]
&=& x^2+8x+16-16+12 \\[5pt]
&=& (x+4)^2-4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/283f2ffdcba3c28a4e5b16c9119f3aa007da9e8471ce30f0839dda689e8c8f25_light.svg)
Es lässt sich direkt der Scheitelpunkt 
ablesen.
Nun lässt sich der Abstand der beiden Scheitelpunkte berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{S_1S_2}&=& \sqrt{(1-(-4))^2+(1-(-4))^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{50} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{7,07\,\text{[LE]}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/081b41c18208eacb8578fa540e17fee2646aefd3876eef47260eda5d00dd8d10_light.svg)
Behauptung überprüfen
Schnittpunkt der Parabeln berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-2x+2&=& x^2+8x+12 \quad \scriptsize \mid\; -x^2 \\[5pt]
-2x+2&=& 8x+12 \quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt]
2&=& 10x+12 \quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt]
-10&=& 10x \quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt]
-1&=& x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/25f1ace2f484df9b66d8d7dfbad3eaee1331af3c84f6e9bc6498406dfc0ebe40_light.svg)
Zugehörigen -Wert berechnen:
Die beiden Parabeln schneiden sich im Punkt 
Mit der Punktprobe kann überprüft werden, ob dieser Punkt auch auf der Geraden liegt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
5&=& -2\cdot (-1)+3 \\[5pt]
5&=& 5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/31604c3fb8d8958dfaa0bc2e44915bf2faf86be2d21953e0cddc12c9c3b402b8_light.svg)
Die Aussage ist wahr. Somit schneiden sich die drei Graphen in einem gemeinsamen Punkt, die Behauptung stimmt also.
Abschlussprüfung 2024
und bestimmen
Funktionsgleichung von berechnen
Steigung berechnen:
Die allgemeine Geradengleichung hat die Form Einsetzen von und der Koordinaten des Punktes liefert:
Daraus folgt
Entfernung zwischen und berechnen
Zunächst müssen die Koordinaten von bestimmt werden. Dazu wird die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform gebracht:
Es lässt sich direkt der Scheitelpunkt ablesen.
Nun lässt sich der Abstand der beiden Scheitelpunkte berechnen:
Behauptung überprüfen
Schnittpunkt der Parabeln berechnen:
Zugehörigen -Wert berechnen:
Die beiden Parabeln schneiden sich im Punkt Mit der Punktprobe kann überprüft werden, ob dieser Punkt auch auf der Geraden liegt:
Die Aussage ist wahr. Somit schneiden sich die drei Graphen in einem gemeinsamen Punkt, die Behauptung stimmt also.
Lösung 4
a)
Koordinaten bestimmen
Schnittpunkt mit -Achse bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& -x-3 \quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt]
x&=& -3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/005c798afeaebc6bde2b370fcd279cd6d725f28705070592b46424c55582a0e8_light.svg)
Schnittpunkt mit -Achse bestimmen:
Funktionsgleichung und Scheitelpunkt berechnen
Die verschobene Normalparabel ist von der Form 
Einsetzen der Koordinaten des Punktes 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-3&=& 0^2+a\cdot 0+c \\[5pt]
-3&=& c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/51e5df57ce4769f355b7ce7c4d246032ba8ae33ec6c0d37ce3b6359af200fe86_light.svg)
Es gilt also 
Einsetzen der Koordinaten des Punktes 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& (-3)^2+a\cdot (-3)-3 \\[5pt]
0&=& 6-3a \quad \scriptsize \mid\; +3a \\[5pt]
3a&=& 6 \quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt]
a&=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/722d48a42e26e4fc6e6ea1cb3b35e6653fde97a1b89ccaf607d6f2f86a6435ca_light.svg)
Insgesamt gilt also 
Umformen in die Scheitelpunktform liefert schließlich den Scheitelpunkt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+2x-3 \\[5pt]
&=& x^2+2x+1-1-3 \\[5pt]
&=& (x+1)^2-4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c5f438180e727f8e7c2e46b0e04e0fea6af16d1435fae8534fa471ae6eb544e4_light.svg)
Nun lässt sich der Scheitelpunkt 
ablesen.
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
12&=& x_{P/Q}^2+2x_{P/Q}-3 \quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt]
0&=& x_{P/Q}^2+2x_{P/Q}-15
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a637a29926633b2fc3d6d977893da03d2375009ddc1a09fa56e6afdea110d4d6_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{P/Q}&=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
&=& -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-15)} \\[5pt]
&=& -1\pm 4 \\[5pt]
x_P&=& 3 \\[5pt]
x_Q&=& -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/05978069329617537f7cf3e19da24fa4c8f5954937fc9e99a59798285132a34d_light.svg)
Mithilfe der Skizze lässt sich die Länge der Grundseite 
und die Höhe 
des Dreiecks ablesen. Damit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{1}{2}\cdot 16\cdot 8 \\[5pt]
&=& \underline{\underline{64\,\text{[FE]}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ae467464818b680a2b36de8bb8cd7f2fd317d7547c5c7c6efe34f7235f74dfca_light.svg)
-Achse bestimmen:
Schnittpunkt mit -Achse bestimmen:
Funktionsgleichung und Scheitelpunkt berechnen
Die verschobene Normalparabel ist von der Form Einsetzen der Koordinaten des Punktes liefert:
Es gilt also Einsetzen der Koordinaten des Punktes liefert:
Insgesamt gilt also
Umformen in die Scheitelpunktform liefert schließlich den Scheitelpunkt:
Nun lässt sich der Scheitelpunkt ablesen.
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
und die Höhe des Dreiecks ablesen. Damit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks:
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2024
Lösung 5
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Funktionsgleichung berechnen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1^2+b\cdot 1-2&=& 1 \\[5pt]
-1+b&=& 1 \quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt]
b&=& 2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a4c8902a2fda1513fcb5e59fb9b39e446bff0fcc4d6dbf21317dd83b8dfbd0ef_light.svg)
Koordinaten bestimmen
Flächeninhalt berechnen
Funktionsgleichung angeben
in
also 
Aussage überprüfen
Julius hat Recht.
Mögliche Begründungen:
rechnerisch:
Schnittpunkt der Geraden mit der Geraden durch und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
-3x-2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt]
-3x&=&3&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt]
x&=&-1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/962c8cc4943dd7e635fb1c66d216f5413aa07ddf93c63d25ce5e0ca85bc32a79_light.svg)
Flächeninhalte der Teildreiecke vergleichen:
argumentativ:
Die Gerade schneidet die Gerade 
(durch und ) im Punkt 
Dieser Punkt liegt genau zwischen und Da die Gerade zudem durch den Punkt verläuft, halbiert sie also das Dreieck.
in einsetzen:
Koordinaten bestimmen
Flächeninhalt berechnen
Funktionsgleichung angeben
in
also
Aussage überprüfen
Julius hat Recht.
Mögliche Begründungen:
rechnerisch:
Schnittpunkt der Geraden mit der Geraden durch und
Flächeninhalte der Teildreiecke vergleichen:
argumentativ:
Die Gerade schneidet die Gerade (durch und ) im Punkt Dieser Punkt liegt genau zwischen und Da die Gerade zudem durch den Punkt verläuft, halbiert sie also das Dreieck.
Lösung 6
a)
Funktionsgleichung von bestimmen
Punkt 
in einsetzen:
also 
Punkt 
und in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1&=&4^2+b\cdot 4+1 \\[5pt]
1&=&17+4b &\quad \scriptsize \mid\;-17 \\[5pt]
-16&=&4b &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt]
-4&=&b
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/50d8df5c78d1ef2bd330094dfe79a0324798056de419a13b782c9c876c53be41_light.svg)
Wertetabelle vervollständigen
Funktionsgleichung von bestimmen
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-5&=&m\cdot 3-2 \quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt]
-3&=&m\cdot 3 \quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt]
-1&=&m
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8125a6db0dc3d3e04e351e911e95ff66011243b4b66dbfc573cf6bed5167f06e_light.svg)
Rechnerisch zeigen, dass kein Schnittpunkt vorliegt
Gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-4x+1&=&-x-2 \quad \scriptsize \mid\;+x+2 \\[5pt]
x^2-3x+3&=&0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1b59d3e6777f0780f9818531e543a134a136c209a3110ffcc3618b3889b8381a_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
&=& -\dfrac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-3} \\[5pt]
x_{1,2}&=& \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a274bf0e85dd973e2a4bd6e2abc501cbaf122144bc52712b0ad889380ff78816_light.svg)
Für die Diskriminante gilt 
also gibt es keine Lösung.
Funktionsgleichung angeben
in Scheitelpunktform:
Der Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabel muss oberhalb dem Scheitelpunkt von liegen. Liegt dieser oberhalb der -Achse, so kann auch nicht die Gerade schneiden.
Mögliche Funktionsgleichung:
mit 
bestimmen
Punkt in einsetzen:
also
Punkt und in einsetzen:
Wertetabelle vervollständigen
|
|
|---|---|
|
 |
|
|
|
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
bestimmen
einsetzen:
Rechnerisch zeigen, dass kein Schnittpunkt vorliegt
Gleichsetzen:
Für die Diskriminante gilt also gibt es keine Lösung.
Funktionsgleichung angeben
in Scheitelpunktform:
Der Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabel muss oberhalb dem Scheitelpunkt von liegen. Liegt dieser oberhalb der -Achse, so kann auch nicht die Gerade schneiden.
Mögliche Funktionsgleichung:
mit
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Lösung 7
a)
Funktionsgleichung von bestimmen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& a\cdot (-4)^2+4 \\[5pt]
0&=& 16a+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt]
-4&=& 16a &\quad \scriptsize \mid\; :16\\[5pt]
-\dfrac{1}{4}&=& a\\[5pt]
a&=& -\dfrac{1}{4}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d0ac0aaf21b7119ec5553d0e94ed80b5d45b711a4fc9bfd4e1ab5e8f359e6eb7_light.svg)
Funktionsgleichung von bestimmen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& m\cdot (-4)+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt]
-4&=& -4m &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt]
1 &=& m \\[5pt]
m&=& 1\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b66c57bce7a3f52aa2cc7e21a7ba8db84e2777a93991d697b496d159d3f28a9b_light.svg)
Koordinaten angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
-\dfrac{1}{4}x^2+4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt]
-\dfrac{1}{4}x^2&=& -4 &\quad \scriptsize \mid\;:\left(-\dfrac{1}{4}\right) \\[5pt]
x^2&=& 16\\[5pt]
x_1&=& -4\\[5pt]
x_2&=& 4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6bf6c2048676455c03c5af965211432e9cc51dd09dba3bc7b21c2f05cffe18fd_light.svg)
Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen
Flächeneinheiten angeben
Unterschied: 
bestimmen
in einsetzen:
Funktionsgleichung von bestimmen
in einsetzen:
Koordinaten angeben
Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen
Flächeneinheiten angeben
Unterschied:
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Lösung 8
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+2&=&-x^2+8\quad \scriptsize \mid\;+x^2-8 \\[5pt]
x^2+x-6&=&0\\[5pt]
x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
x_{1,2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6}
\\[5pt]
&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\\[5pt]
x_{1,2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0787473713a17cba72770530a6cedef69022d129468577f75db1595cf679df96_light.svg)
in eingesetzt ergibt 
also 
in eingesetzt ergibt 
also 
Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel aufstellen
Allgemeine Funktionsgleichung der Normalparabel: 
und in ergibt ein LGS:
in 
eingesetzt ergibt:
2. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen und ablesen
Quadratische Ergänzung:
Beurteilen, ob Robin Recht hat und Antwort rechnerisch begründen
Robin hat nicht Recht. Begründung:
Berechnet man den Abstand zwischen den einzelnen Punkten, so kann widerlegt werden, dass der Satz des Pythagoras gilt und damit das Dreieck nicht rechtwinklig ist.
Abstandsformel: 
Abstand zwischen und
Abstand zwischen und
Abstand zwischen und
Eingesetzt in die Formel des Satz des Pythagoras ergibt sich:
das ist nicht richtig, daher ist begründet, dass es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Abschlussprüfung 2022
in eingesetzt ergibt also
in eingesetzt ergibt also
Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel aufstellen
Allgemeine Funktionsgleichung der Normalparabel:
und in ergibt ein LGS:
in eingesetzt ergibt:
2. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen und ablesen
Quadratische Ergänzung:
Beurteilen, ob Robin Recht hat und Antwort rechnerisch begründen
Robin hat nicht Recht. Begründung:
Berechnet man den Abstand zwischen den einzelnen Punkten, so kann widerlegt werden, dass der Satz des Pythagoras gilt und damit das Dreieck nicht rechtwinklig ist.
Abstandsformel:
Abstand zwischen und
Abstand zwischen und
Abstand zwischen und
Eingesetzt in die Formel des Satz des Pythagoras ergibt sich:
das ist nicht richtig, daher ist begründet, dass es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Lösung 9
a)
Funktionsgleichungen bestimmen
Funktionsgleichungen von bestimmen
und in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt ergibt ein LGS:
in 
eingesetzt ergibt:
also 
Funktionsgleichung von bestimmen
Ablesen des Scheitelpunkts 
Daraus lässt sich die Scheitelpunktsform aufstellen:
in eingesetzt ergibt: 
Umgeformt ergibt sich:
Funktionsgleichung von berechnen
1. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
Quadratische Ergänzung:
2. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden berechnen
in ergibt 
in ergibt:
Funktionsgleichungen berechnen und angeben
Funktionsgleichung von berechnen
Die Steigung von beträgt 
in eingesetzt ergibt:
Funktionsgleichung von angeben
Die Parabel kann dazu einfach z.B. um elf Einheiten nach oben verschoben werden, denn dann liegt der Scheitelpunkt von oberhalb von
bestimmen
und in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt ergibt ein LGS:
in eingesetzt ergibt:
also
Funktionsgleichung von bestimmen
Ablesen des Scheitelpunkts Daraus lässt sich die Scheitelpunktsform aufstellen:
in eingesetzt ergibt:
Umgeformt ergibt sich:
Funktionsgleichung von berechnen
1. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
Quadratische Ergänzung:
2. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden berechnen
in ergibt
in ergibt:
Funktionsgleichungen berechnen und angeben
Funktionsgleichung von berechnen
Die Steigung von beträgt
in eingesetzt ergibt:
Funktionsgleichung von angeben
Die Parabel kann dazu einfach z.B. um elf Einheiten nach oben verschoben werden, denn dann liegt der Scheitelpunkt von oberhalb von
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2022
Lösung 10
a)
Koordinaten von 
berechnen
Gleichsetzen von und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-8x+12&=&x^2-2x-6\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt]
-8x+12&=&-2x-6\quad \scriptsize \mid\;+8x \\[5pt]
12&=&6x-6\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt]
18&=&6x\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt]
3&=&x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fefcec0965e5d95d731b828f060c4abf0597b80cd3b84b7932495cc6983b4203_light.svg)
in
Koordinaten von 
und 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
&=& -\dfrac{-8}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-12)} \\[5pt]
x_{1,2}&=& 4 \pm 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c2a7953652e5eef6f3632cc57b41765fdc7a45aa6b841b361159c55bccec5934_light.svg)
Flächeninhalt berechnen
Der Abstand zwischen den zwei Nullpunkten und beträgt 
Die Strecke zwischen den beiden Nullpunkten entspricht der Grundseite des Dreiecks.
Die Höhe beträgt 
da diese dem Betrag des -Werts von 
entspricht.
Lage bestimmen
Wenn 
dem Scheitelpunkt entspricht, ist der Flächeninhalt maximal. Dies ist also für 
der Fall.
Maximalen Flächeninhalt berechnen
berechnen
Gleichsetzen von und
in
Koordinaten von und berechnen
Flächeninhalt berechnen
Der Abstand zwischen den zwei Nullpunkten und beträgt Die Strecke zwischen den beiden Nullpunkten entspricht der Grundseite des Dreiecks.
Die Höhe beträgt da diese dem Betrag des -Werts von entspricht.
Lage bestimmen
Wenn dem Scheitelpunkt entspricht, ist der Flächeninhalt maximal. Dies ist also für der Fall.
Maximalen Flächeninhalt berechnen
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2022
Lösung 11
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Funktionsgleichung der Parabel angeben
und in eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
8&=& -1-(-4)-c \quad \scriptsize \\[5pt]
8&=& 3-c \quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt]
5&=& -c \quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt]
-5&=& c \quad \scriptsize \\[5pt]
c&=& -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e25e00006da1f0069561568721086c5c96a28e05888aaf508d07b922338ff5ea_light.svg)
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet 
Es handelt sich um ein Trapez mit folgendem Flächeninhalt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{a+c}{2}\cdot h \\[5pt]
&=& \dfrac{6\,\text{LE}+2\,\text{LE}}{2}\cdot 8\,\text{LE} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 32\,\text{FE}}} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4517b34e2f9b17b0fe33d83f536faec3683faf07a5604f717b621ade10829611_light.svg)
Gerade aufstellen:
Die Steigung von ist durch die Symmetrie gegeben: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
h:y&=& -2x+c_h\quad \scriptsize \mid\;S_1(-1|0)\\[5pt]
0&=& -2 \cdot (-1)+c_h \\[5pt]
0&=& 2+c_h \quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt]
-2&=& c_h \\[5pt]
c_h&=& -2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d417a214577dd1170f7884ad3e3e98fb4d357a9545dacf539038796fdb282f4c_light.svg)
Daraus folgt: 
und gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2x-10&=&-2x-2 \quad \scriptsize\mid +10 \\[5pt]
2x&=&-2x+8 \quad \scriptsize \mid\;+2x \\[5pt]
4x&=&8\quad\scriptsize\mid :4\\[5pt]
x&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c6f647bb0b6e50f1f08ff033eb4aca8974c2ab15a2288b14e1d50c75e1bde6e1_light.svg)
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 2 \cdot 2 -10 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& -6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/be4de4e2ad95baa8e0557d2852e19986c2951c98310a2bedce5b86b35204be8c_light.svg)
Daraus folgt: 
und in eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in einsetzen:
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-4x-5&=&0 \\[5pt]
x_{1/2} &=& -\dfrac{(-4)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-4)}{2}\right)^2+5} \\[5pt]
x_{1/2} &=& 2\pm \sqrt{(-2)^2+5} \\[5pt]
x_{1/2} &=& 2\pm \sqrt{9} \\[5pt]
x_1 &=& 2-3=-1 \\[5pt]
x_2 &=& 2+3=5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/43168ebf1fc9254a01f6ca3e4aae61126c692aa92bb5dd80e15223b76b81eb89_light.svg)
,
Koordinaten des Schnittpunkts 
berechnen
Gerade aufstellen:
und 
in eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-8&=& 2+c_g \quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt]
-10 &=& c_g\\
c_g&=& -10
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b9029ce3d04afd1ba3ae59291279957b7bb3e3cf96ebd2affae3408ec9e9d71e_light.svg)
Daraus folgt: 
berechnen
Gerade aufstellen:
und in eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in einsetzen:
Daraus folgt:
aufstellen:
Die Steigung von ist durch die Symmetrie gegeben:
Daraus folgt:
und gleichsetzen:
in einsetzen:
Daraus folgt:
Lösung 12
a)
Funktionsgleichungen berechnen
Funktionsgleichung von aufstellen:
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+ bx+7 \quad \mid\scriptsize A(-4\mid -1) \\[5pt]
-1&=& (-4)^2+b\cdot (-4)+7\quad \\[5pt]
-1&=& 23-4b\scriptsize \quad \mid\;-23 \\[5pt]
-24 &=& -4b \quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt]
6&=&b \\
b&=&6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/53de005596f68842b6cf5ff93fd55597f1dac6330403acb4b882005d8c384359_light.svg)
Daraus folgt: 
Funktionsgleichung von aufstellen
Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+6x+7 \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 3\cdot x+7 \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 3\cdot x+3^2-3^2+7 \\[5pt]
&=& (x+3)^2-9+7 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& (x+3)^2-2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b31ba58f01de870f16907343bbd5ace6858e52b7b3044e79d9d90cf0c88e9ef6_light.svg)
Somit gilt: 
und in die allgemeine Geradengleichung 
eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-1&=& -1\cdot (-4)+c &\quad \scriptsize \\[5pt]
-1&=& 4+c \quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt]
-5 &=& c\\
c &=& -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4cc3785e364197a50812b4f27dcf7895eb62aa195735d23a551719d7a5877892_light.svg)
Daraus folgt: 
Funktionsgleichung von angeben
Durch Spiegelung von an der -Achse gilt: 
Mit Hilfe der Scheitelpunktform lässt sich aufstellen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& (x-3)^2-2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& x^2-6x+9-2 \\[5pt]
&=& x^2-6x+7
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/18a98b263880abd5e12c30a0f6b157b7dcd396bd87c6200760cf9f4f27c49a98_light.svg)
Es gilt also 
Funktionsgleichung von 
berechnen
Schnittpunkt der Geraden mit der -Achse berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& -x-5 \quad \scriptsize \mid\;x=0 \\[5pt]
y&=& 0-5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a412ec2ec5117044056574fef944586deefb55575cc90e8f9eae4bcd5ce7fe85_light.svg)
Daraus folgt: 
und 
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& ax^2+c \quad \scriptsize \mid\; S_2(3\mid -2) \\[5pt]
-2&=& a\cdot 3^2-5 \quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt]
3&=& a\cdot 9 \quad \scriptsize \mid\; :9\\[5pt]
\dfrac{3}{9}&=& a \\[5pt]
\dfrac{1}{3}&=& a \\[5pt]
a&=& \dfrac{1}{3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0de4bade24edbca9ece9c75cdeb6d65313e9cf3dd7c10d173d3a7281912fe32f_light.svg)
Daraus folgt: 
aufstellen:
in einsetzen:
Daraus folgt:
Funktionsgleichung von aufstellen
Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung bestimmen:
Somit gilt:
und in die allgemeine Geradengleichung eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in einsetzen:
Daraus folgt:
Funktionsgleichung von angeben
Durch Spiegelung von an der -Achse gilt:
Mit Hilfe der Scheitelpunktform lässt sich aufstellen:
Es gilt also
Funktionsgleichung von berechnen
Schnittpunkt der Geraden mit der -Achse berechnen:
Daraus folgt: und
in einsetzen:
Daraus folgt:
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Lösung 13
a)
Parabelgleichung 
ermitteln
und 
in die allgemeine Parabelform eingesetzt ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
3&=& 4+2\cdot (-6)+c \quad \scriptsize \\[5pt]
3&=& -8+c \quad \scriptsize \mid\;+8\\[5pt]
11&=& c \\[5pt]
c&=& 11
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/394944367cb6346c272fae0a49701e8e5d15b630378e53585f14a2f588057223_light.svg)
Somit gilt: 
-Koordinate von Punkt 
bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x^2-6x+11 \quad \scriptsize \mid\;C(4\mid y_c) \\[5pt]
y_c &=&4^2-6\cdot 4+11 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_c &=& 16-24+11 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_c&=& 3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e22ba2f83f4d21c61cf762a6ba7d902721ebb4b9f24480fd89055b90e5ff9b5f_light.svg)
Somit gilt: 
Geradengleichung 
ermitteln
1. Schritt: Steigungsfaktor 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_g&=& \dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}&\quad \scriptsize \\[5pt]
m_g&=& \dfrac{3-11}{2-6}&\quad \scriptsize \\[5pt]
m_g&=& \dfrac{-8}{-4}&\quad \scriptsize \\[5pt]
m_g&=& \underline{ 2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7b2c02242fd7823ccd150925ee8ccc6f0857c3593ef90fe075589c8a9e88d4f9_light.svg)
2. Schritt: Steigungsfaktor 
berechnen
Da senkrecht zu liegt, gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_h\cdot m_g&=& -1 \quad \scriptsize \mid\; :m_g \\[5pt]
m_h&=&\dfrac{-1}{m_g} \quad \scriptsize \mid\; m_g=2 \\[5pt]
m_h &=& \underline{ -\dfrac{1}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/25c54a968857dad4a6cd4190c6cf7255e0b9408f5aa7eb6d142a89c704294e14_light.svg)
3. Schritt: -Achsenabschnitt 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& m_h\cdot x+c_h \quad \scriptsize \mid\; m_h=-\dfrac{1}{2}\\[5pt]
y&=& -\dfrac{1}{2}\cdot x+c_h \quad \scriptsize \mid \, C (4\mid 3)\\[5pt]
3&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 4+c_h \\[5pt]
3&=& -2+c_h \quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt]
5&=& c_h\\
c_h&=&\underline{ 5}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/55de3d9fa8cf6ec3a79c6f43fdafee5a2bcff1e081115a0e073c472d80d7db86_light.svg)
Somit gilt: 
Skizze
Koordinaten von Punkt 
berechnen
Da auf der -Achse liegt, gilt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; y=0 \\[5pt]
0&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{2}x\\[5pt]
\dfrac{1}{2}x&=& 5 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt]
x&=& 10
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aa21ae2837c24e88141bf0301a99be8ad045f793911e21a0a201ae52b3fd2293_light.svg)
Somit gilt: 
Koordinaten von Punkt berechnen
Da auf der -Achse liegt, gilt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; x=0\\[5pt]
y &=&-\dfrac{1}{2}\cdot 0+5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& 5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/74ada4b736bf54723dcfce402dfc1fa8fea754000894408880838c4ea3ed1150_light.svg)
Somit gilt: 
ermitteln
und in die allgemeine Parabelform eingesetzt ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in einsetzen:
Somit gilt:
-Koordinate von Punkt bestimmen
Somit gilt:
Geradengleichung ermitteln
1. Schritt: Steigungsfaktor berechnen
2. Schritt: Steigungsfaktor berechnen
Da senkrecht zu liegt, gilt:
3. Schritt: -Achsenabschnitt berechnen
Somit gilt:
Skizze
berechnen
Da auf der -Achse liegt, gilt
Somit gilt:
Koordinaten von Punkt berechnen
Da auf der -Achse liegt, gilt
Somit gilt:
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
Lösung 14
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Gleichung von bestimmen
Scheitelpunkt von bestimmen
erhält man durch Ablesen
Scheitelpunkt von berechnen
Umformen der Funktionsgleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2-4x+6 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& x^2-2\cdot 2x+(-2)^2+6-(-2)^2&\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& (x-2)^2+2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d8ac6cd93f71101fc54eb2eec85df766e92f9952fd6305c81592c450dff64be6_light.svg)
und in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und ein lineares Gleichungssystem erstellen
Allgemeine Geradengleichung: 
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2&=&2\cdot (-3)+c \\[5pt]
2&=&-6+c &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt]
c&=& 8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bc6b565f5d318b6a2ff0d9a7ddf94e81fcf531bee009d5a5f8a3a945bec878a8_light.svg)
Die Geradengleichung lautet also 
Gleichung von bestimmen
Steigung der Gerade bestimmen
bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&\dfrac{1}{3}x+c &\quad \scriptsize \mid\; P(1\mid 1)\\[5pt]
1&=&\dfrac{1}{3}\cdot 1+c \\[5pt]
1&=&\dfrac{1}{3}+c &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{3}\\[5pt]
c&=&\dfrac{2}{3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/60d4d6151ea68fe4d996f6a4b4c888d10980956f21eb2480b378264115931389_light.svg)
Die Geradengleichung lautet also 
Schnittpunkt mit -Achse angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{2}{3} \\[5pt]
\dfrac{1}{3}x&=&-\dfrac{2}{3}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt]
x&=&-2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f18e353258a33408b3a4c3371b15ee627fb71032e62a14b0bb4063b248587551_light.svg)
Daraus folgt der Schnittpunkt 
Musterprüfung 1
bestimmen
Scheitelpunkt von bestimmen
erhält man durch Ablesen
Scheitelpunkt von berechnen
Umformen der Funktionsgleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:
und in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und ein lineares Gleichungssystem erstellen
Allgemeine Geradengleichung:
in einsetzen:
Die Geradengleichung lautet also
Gleichung von bestimmen
Steigung der Gerade bestimmen
bestimmen
Die Geradengleichung lautet also
Schnittpunkt mit -Achse angeben
Daraus folgt der Schnittpunkt
Lösung 15
a)
Scheitelpunktform mit der quadratischen Ergänzung angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2-6x+10 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& x^2-2\cdot 3x+ 10\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt]
y &=& x^2 -2\cdot 3x+3^2-3^2+10&\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& (x-3)^2-3^2+10&\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& (x-3)^2-9+10 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=&(x-3)^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/610fc9a4f9e2b02eeafeb21445ed082b4eaba56ca692b0060915fadaff85d069_light.svg)
Also gilt 
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Scheitelpunkt der Parabel bestimmen
(kann mithilfe der Scheitelpunktform abgelesen werden)
Parabel berechnen
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Wenn der Schnittpunkt mit der -Achse berechnet werden soll, gilt: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& -4x+13 &\quad \scriptsize \\[5pt]
0&=& -4x+13 &\quad \scriptsize \mid\; -13 \\[5pt]
-13&=& -4x &\quad \scriptsize \mid\; : (-4)\\[5pt]
x&=& 3,25
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/869f48f927342dcee8dd3822120d6cb08617119cce8607c1ab88df36bd10ce3e_light.svg)
Also gilt
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Scheitelpunkt der Parabel bestimmen
(kann mithilfe der Scheitelpunktform abgelesen werden)
Parabel berechnen
- Allgemeine Geradengleichung:
- Da die Geraden und parallel sind, gilt für den Steigungsfaktor:
- Also gilt für
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&mx+c &\quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt]
c&=&y-mx &\quad \scriptsize \mid\;S(3\mid 1),\,m=-4 \\[5pt]
c&=&1-(-4)\cdot 3\\[5pt]
c&=&13 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6eb66ac70d9f0ac5c9bbb8b498d3a08ceff2a02c641a842e503c6fba55eabb84_light.svg)
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Wenn der Schnittpunkt mit der -Achse berechnet werden soll, gilt:
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Wahrscheinlichkeiten" eingeordnet.
Musterprüfung 1
Lösung 16
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
b)
Gleichung von angeben
1. Schritt: in Scheitelpunktform umrechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x^2-4x+ 2\\[5pt]
&=&x^2 -4x+4-4+2\\[5pt]
&=&(x-2)^2-4+2 \\[5pt]
y&=&(x-2)^2-2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/90640d5129d07156e2a92f052616a9dae8ffcc2e2ae00628d3784bda9bc76b2d_light.svg)
2. Schritt: verschieben, um zu bestimmen
um zwei Einheiten nach links verschieben: 
um vier Einheiten nach oben verschieben: 
Es folgt 
3. Schritt: Schnittpunkt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=& p_2 \\[5pt]
x^2-4x+2&=& x^2+2\quad \scriptsize \mid\; -x^2\\[5pt]
-4x +2 &=& 2 \quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt]
-4x &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt]
x &=& 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8486ee2440214da4dd8ba0b0004b926576355597a9ddc2a31df2e6d3ebb2740b_light.svg)
in eine Gleichung einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 0^2+2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/40b3ff5203f428898d25288fed16f7a74f7f880f0774d21c2b69b0a898fcd3e4_light.svg)
Es folgt 
4. Schritt: Gleichung von aufstellen
Da die Gerade parallel zur -Achse ist, lautet die Gleichung 
Abstand von zum Scheitelpunkt der Parabel berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{PS_1} &=& \sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \sqrt{(2-0)^2+(-2-2)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 4,5 \,\text{LE}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aaa4d98be3d6107f1c165213f9f24f0be94c1401e123e3ad3da3ad48d81efeb3_light.svg)
angeben
1. Schritt: in Scheitelpunktform umrechnen
2. Schritt: verschieben, um zu bestimmen
um zwei Einheiten nach links verschieben:
um vier Einheiten nach oben verschieben:
Es folgt
3. Schritt: Schnittpunkt berechnen
in eine Gleichung einsetzen:
Es folgt
4. Schritt: Gleichung von aufstellen
Da die Gerade parallel zur -Achse ist, lautet die Gleichung
Abstand von zum Scheitelpunkt der Parabel berechnen
Lösung 17
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Wahrscheinlichkeiten" eingeordnet.
b)
Koordinaten der gemeinsamen Punkte und berechnen
Schnittpunkte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-9x+14&=& -2x+4\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt]
x^2-9x+10 &=& -2x\quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt]
x^2-7x+10 &=& 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c2581b4de98ebd6885e888b78a92f0fa20245c3d9d49b5b0b1f13a06792298ef_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1,2} &=& \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-7}{2}\right)^2-10} &\quad \scriptsize \\[5pt]
x_{1,2} &=& \dfrac{7}{2}\pm \dfrac{3}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
x_1 &=& 5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
x_2 &=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ffbf38d52682f73e4f470b43458249b22a40586bfc3ad5eb31967867fe304119_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
y_1&=& -2\cdot 5+4 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_1&=& -10 +4 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_1&=& -6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c62210b04cffba1e149dc230805665d7b3a79c72112ced92d646538f1aa09e4b_light.svg)
Es folgt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y_2&=& -2\cdot 2+4 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_2&=& -4+4 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_2 &=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a3bcba59f3e724fdccb6864ab5e00f595fa87488bac7a6ef875330d041bee336_light.svg)
Es folgt 
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
1. Schritt: -Koordinate von Punkt berechnen
einsetzen in Parabelgleichung 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 4^2-9\cdot 4+14 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& 16-36+14 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& -6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bf8a535e222ff4bbf64823b852ade10a089163828de1be608ccef24ebc09e20f_light.svg)
Es gilt 
2. Schritt: Flächheninhalt bestimmen
Grundseite Durch Ablesen ergibt sich 
Höhe
Durch Ablesen ergibt sich für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{Dreieck}}&=& \frac{1}{2}\cdot 1\,\text{LE}\cdot 6\,\text{LE} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 3 \,\text{FE}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/50c9d94bc79834bd348c70817abb0078e1911c0ce0d667456d917e7d1350066f_light.svg)
und berechnen
Schnittpunkte berechnen
Es folgt
Es folgt
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
1. Schritt: -Koordinate von Punkt berechnen
einsetzen in Parabelgleichung
Es gilt
2. Schritt: Flächheninhalt bestimmen
Grundseite Durch Ablesen ergibt sich
Höhe
Durch Ablesen ergibt sich für
Lösung 18
a)
Funktionsgleichung der Geraden berechnen
1. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
Durch Einsetzen der Koordinaten von 
und 
ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
Einsetzen von in 
![\(\begin{array}[t]{rll}
0 &=& 1-b +c &\quad \scriptsize \mid\;b=6 \\[5pt]
0 &=& 1-6 +c \\[5pt]
0&=& -5 +c &\quad \scriptsize \mid\; +5 \\[5pt]
5 &=& c \\[5pt]
c &=& 5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f5913d9dce408fed291204bac39f6ab453c78ae6a365e9cc3e29ff52661844c2_light.svg)
Durch quadratische Ergänzung kann die Funktionsgleichung von in die Scheitelpunktform gebracht werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1:\; y&=& x^2+6x+5 \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 3x+5\\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 3x +3^2 -3^2+5\\[5pt]
&=& (x+3)^2-3^2 + 5\\[5pt]
y&=& (x+3)^2-4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5b401252e8d7536e0900ebbfea3de1e0b3e6a32545fc4e54b27342de12de5240_light.svg)
2. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_2:\; y&=&x^2-6x+11 \\[5pt]
&=&x^2-2\cdot 3x+11\\[5pt]
&=&x^2-2\cdot 3x +3^2 -3^2+11\\[5pt]
&=&(x-3)^2-3^2+11\\[5pt]
y&=&(x-3)^2+2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/36b4808ee50280146fa32b8f7d38880e8460fcba1062ee125bfe159231fd862d_light.svg)
3. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
g: \; y &=& m \cdot x + c \\[5pt]
y &=& 1 \cdot x +c &\quad \scriptsize \mid\; S_2(3\mid2) \\[5pt]
2 &=& 1 \cdot 3 + c &\quad \scriptsize \mid\;-3\\[5pt]
-1 &=& c \\[5pt]
c &=& -1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1ec61f7f57864bc81c42b1081e00522fc305c899e9ae17bac9fc01fe6c74768d_light.svg)
Schnittwinkel von und bestimmen
Zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen ergibt.
Steigung 
Steigung 
Die beiden Geraden stehen senkrecht zueinander. Daher ist jeder der vier Schnittwinkel 
groß.
berechnen
1. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
Durch Einsetzen der Koordinaten von und ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
Einsetzen von in
Durch quadratische Ergänzung kann die Funktionsgleichung von in die Scheitelpunktform gebracht werden:
2. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
3. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden berechnen
Schnittwinkel von und bestimmen
Zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen ergibt.
Steigung
Steigung
Die beiden Geraden stehen senkrecht zueinander. Daher ist jeder der vier Schnittwinkel groß.
b)
und berechnen
und liegen auf der -Achse. Für beide gilt also
![\(\begin{array}[t]{rll}
p:\; y &=& x^2 +6x &\quad \scriptsize \mid\; y = 0\\[5pt]
0 &=& x^2 +6x &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt]
x_{1/2}&=& -\frac{6}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{6}{2}\right)^2 -0} \\[5pt]
&=& -3 \pm 3 \\[5pt]
x_1 &=& -3+3 =0 \\[5pt]
x_2 &=& -3 -3 = -6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bcd575e67751574c8ddd090c9d88e6bca5b2aae94d23a393e4da5b524b2bed56_light.svg)
2. Schritt: Koordinaten von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p &=& g \\[5pt]
x^2+6x &=& x \quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt]
x^2+5x &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt]
x_{1/2}&=& -\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 - 0} \\[5pt]
x_{1/2}&=& -\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{5}{2} \\[5pt]
x_1&=& -\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2} = 0 \\[5pt]
x_2&=& -\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2} = -\dfrac{10}{2} = -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/13d735f51e05756774e6b1fdf7caa2c19ca3d684f8a80fbe43a690e7453079f6_light.svg)
in einsetzen:
3. Schritt: Grundseite und Höhe des Dreiecks bestimmen
kann als Grundseite des Dreiecks betrachtet werden. Diese liegt auf der -Achse.
Die Länge der Grundseite ergibt sich deshalb aus den
-Koordinaten von und 
Die Höhe des Dreiecks entspricht dann dem Abstand von zur -Achse:
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{N_1N_2C}&=&\dfrac{1}{2} \cdot \overline{N_1N_2} \cdot \,\text{h} \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2} \cdot 6\,\text{LE} \cdot 5\,\text{LE} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 15\,\text{FE}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9378006f070fb2bb9b92dd746c3bd4e83826be0a242167d7951b5a6dbc65d9b2_light.svg)
Peters Behauptung überprüfen
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p &=& h \\[5pt]
x^2+6x&=& \dfrac{1}{2}x \quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{2}x \\[5pt]
x^2+5,5x &=& 0 \quad \scriptsize\mid\; pq\text{-Formel}\\[5pt]
x_{1/2}&=& -\dfrac{5,5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{5,5}{2}\right)^2-0}\\[5pt]
x_{1/2}&=& -\dfrac{5,5}{2}\pm\dfrac{5,5}{2}\\[5pt]
x_1&=& -\dfrac{5,5}{2}+\dfrac{5,5}{2} = 0 \\[5pt]
x_2&=& -\dfrac{5,5}{2}-\dfrac{5,5}{2} = -5,5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fc44f0dcdc5eddde6c10560670128987c668b821d2a5260fd64bfec8b50016c6_light.svg)
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y_D&=& \dfrac{1}{2} \cdot (-5,5) \\[5pt]
y_D&=& -2,75
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/75f1e52ad5774e2a5562480c23eaac944189289ad8e94f21510a957e3d9eb7dc_light.svg)
2. Schritt: Neue Höhe berechnen
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{N_1N_2D}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{LE} \cdot 2,75\,\text{LE} \\[5pt]
&=& \underline{ 8,25\,\text{FE}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/68876782e6925626beb590cc0348eeb2ced86fe849472c8650cf5eba59fa6d47_light.svg)
Der Flächeninhalt des Dreiecks 
ist nicht halb so groß, wie der Flächeninhalt des Dreiecks 
Peter hat also nicht recht.
Lösung 19
a)
Koordinaten des gemeinsamen Punktes 
berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1:& y&=&(x-d)^2+e &\quad \scriptsize \mid\; S_1(2\mid2) \\[5pt]
&&=&(x-2)^2+2 \\[5pt]
&&=&x^2-4x+4+2 \\[5pt]
p_1: &y&=&x^2-4x+6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f2588f50a4307b383f0fab70a2b0ce713dff5c2e02a3bc0de82a31f8454e247b_light.svg)
2. Schritt: Funktionsgleichung von berechnen
und 
in die allgemeine Funktionsgleichung 
eingesetzt, ergibt ein LGS:
in 
eingesetzt, ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&0&=& -4+2b+4 \\[5pt]
&2b&=& 0& \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
&b&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/360b09545df9e328623122968021a0c3c6c1c6531d023de8344fe7687134b48d_light.svg)
Daraus folgt: 
3. Schritt: Koordinaten des gemeinsamen Punktes berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=&p_2 & \\[5pt]
x^2-4x+6&=&-x^2+4 &\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt]
2x ^2-4x+2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
x^2-2x+1&=&0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/63efd512ba589764342c9f97bd2b3cca3d68434027a47d8ac2bd319a9cdf700a_light.svg)
Weiter mit der 
-Formel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1/2}&=&-\dfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-1} \\[5pt]
x_{1/2}&=&1\pm \sqrt{1-1} \\[5pt]
x_{1/2}&=&1\pm \sqrt{0} \\[5pt]
x&=&1+0=1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/11a6a9adb1c15fffa641a5056b29ccb8295427e25229b503a2be0c7e4228ae86_light.svg)
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-1^2+4 \\[5pt]
y&=&3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/899f9da905c38b51ee7b7dcbef338fed9f2a7622979d16db23216ebe2c0aee0c_light.svg)
Somit gilt: 
Gleichung von berechnen
Die allgemeine Geradengleichung lautet: 
Aus folgt: 
eingesetzt, ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&2x+c_{g} \\[5pt]
3&=&2\cdot 1+c_{g} \\[5pt]
3&=&2+c_{g} &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt]
c_{g}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/628290a51b620fa1d6540ead29e3be26dbb68252474fab47e32c6f1a8d01680a_light.svg)
Somit gilt: 
Winkel berechnen, unter denen sich die Gerade und die -Achse schneiden
Es gibt vier Winkel:
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha_1)&=&\dfrac{\overline{TA}}{\overline{AH}} & \\[5pt]
\tan(\alpha_1)&=&\dfrac{1}{2} \\[5pt]
\alpha_1&=& 26,57^{\circ}\\[5pt]
\alpha_1&=&\underline{\underline{ 26,6^{\circ}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4ac10f922ee0ae9c88887e7202ed6df9a605efe408475d9092f4097b77aad283_light.svg)
Größe des Winkels 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha_2&=&180^{\circ} -\alpha_1\\[5pt]
&=&180^{\circ} -26,57^{\circ} \\[5pt]
&=& 153,43^{\circ} \\[5pt]
\alpha_2&=&\underline{\underline{ 153,4^{\circ}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6e901c46ca1958347b5f0718c65ef15a37f9735d241cc046d65e3df317027ed9_light.svg)
Gleichung einer Parabel 
angeben, die weder mit 
noch mit 
einen gemeinsamen Punkt hat
Lösungsvorschlag am Besipiel der Parabel , die „innerhalb“ von eingebettet ist:
Scheitelpunkt
Skizze zur Veranschaulichung
berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung von berechnen
2. Schritt: Funktionsgleichung von berechnen
und in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt, ergibt ein LGS:
in eingesetzt, ergibt:
Daraus folgt:
3. Schritt: Koordinaten des gemeinsamen Punktes berechnen
Weiter mit der -Formel:
in einsetzen:
Somit gilt:
Gleichung von berechnen
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
Aus folgt:
eingesetzt, ergibt:
Somit gilt:
Winkel berechnen, unter denen sich die Gerade und die -Achse schneiden
| Scheitelwinkel zu 
| Scheitelwinkel zu 
berechnen
Größe des Winkels berechnen
Gleichung einer Parabel angeben, die weder mit noch mit einen gemeinsamen Punkt hat
Lösungsvorschlag am Besipiel der Parabel , die „innerhalb“ von eingebettet ist:
Scheitelpunkt
- Liegt unterhalb von
auf der -Achse - Scheitelpunkt
mit 
- Form der Gleichung:
- Nach unten geöffnet
- Also gilt:
- Gleich gestreckt oder gestreckter als
- Also gilt:
- Aus und folgt:
Skizze zur Veranschaulichung
b)
Koordinaten des zweiten Schnittpunkts 
berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung von ermitteln
Es gilt:
Somit gilt für den Vorfaktor 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&ax^2+c &\quad \scriptsize \mid\;-\,c \\[5pt]
ax^2&=&y-c &\quad \scriptsize \mid\;:x^2 \\[5pt]
a&=&\dfrac{y-c}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; c=6, \, B(2|4)\\[5pt]
a&=&\dfrac{4-6}{2^2} \\[5pt]
a&=&\dfrac{-2}{4} \\[5pt]
a&=&-0,5 \\[10pt]
\underline{ p_1:y=-0,5x^2+6 }\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/893bce4a30d4a8ad627902421968ce8c6f1419d5a286c2ec01535dcd4970a49e_light.svg)
2. Schritt: Funktionsgleichung von ermitteln
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x^2+3x+q &\quad \scriptsize \mid\;B(2\mid 4) \\[5pt]
4&=&2^2+3\cdot 2+q \\[5pt]
4&=&4+6+q \\[5pt]
4&=&10+q &\quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt]
q&=&-6 \\[10pt]
\underline{ p_2:y=x^2+3x-6}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1230587837a12981013c44f65aaa1d29817f575f07c8f17c5bcc948f36a4df79_light.svg)
3. Schritt: Koordinaten des zweiten Schnittpunkts berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=&p_2 \\[5pt]
-0,5x^2+6&=&x^2+3x-6 & \scriptsize \mid\;+0,5x^2\\[5pt]
6&=&1,5x^2+3x-6 & \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt]
0&=&1,5x^2+3x-12 &\scriptsize \mid\;:1,5 \\[5pt]
0&=&x^2+2x-8 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ec469ea7d35b75598fb250a7923acc6ef097f93b015648e857e35e01e0f8ce84_light.svg)
Weiter mit der -Formel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1/2}&=&-\dfrac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-8)} \\[5pt]
x_{1/2}&=&-1\pm \sqrt{1+8} \\[5pt]
x_{1/2}&=&-1\pm \sqrt{9} \\[5pt]
x_1&=&-1+3=2 \\[5pt]
x_2&=&-1-3=-4 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/efd7d3d6174f1c15e42e3c1cd3addb1b31ac58b14945559411b5ef67bd870174_light.svg)
ist die -Koordinate des bekannten Schnittpunkts 
Deswegen wird 
in eingesetzt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-0,5x^2+6 & \\[5pt]
y&=&-0,5\cdot (-4)^2 +6 \\[5pt]
y&=&-8+6 \\[5pt]
y&=&-2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5e9a4e743f909ef5146ef8e3112260219c4d3ce40b2fa96449722454bda13804_light.svg)
Somit gilt: 
Rechnerisch zeigen, dass , 
und auf einer Geraden liegen
1. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden ermitteln, die von den Punkten und festgelegt wird
2. Schritt: Zeigen, dass auch auf der Gerade liegt
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x+2 &\quad \scriptsize \mid\;C(0\mid 2)\, \,\text{einsetzen} \\[5pt]
2&=&0+2 \\[5pt]
2&=&2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1d9e88f622a6b085a03ea71625ec4487e37f4a0682699c5ec1ca466a17a48237_light.svg)
Damit ist gezeigt, dass die Punkte und auf einer Geraden liegen.
Abschlussprüfung 2019
berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung von ermitteln
Es gilt:
- Scheitelpunkt
Somit gilt für den Vorfaktor
2. Schritt: Funktionsgleichung von ermitteln
3. Schritt: Koordinaten des zweiten Schnittpunkts berechnen
Weiter mit der -Formel:
ist die -Koordinate des bekannten Schnittpunkts Deswegen wird in eingesetzt:
Somit gilt:
Rechnerisch zeigen, dass , und auf einer Geraden liegen
1. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden ermitteln, die von den Punkten und festgelegt wird
- Allgemeine Geradengleichung:
- Für den Steigungsfaktor gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m&=&\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} & \scriptsize \mid\; A(x_A\mid y_A),\,B(x_B\mid y_B) \\[5pt]
m&=&\dfrac{4-(-2)}{2-(-4)} \\[5pt]
m&=&\dfrac{6}{6}=1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bc972307fabf2e04bff5c6f630b1cde355ad82a9689b46f5ce8b6ce55fce18ac_light.svg)
- Also gilt für
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&mx+c &\quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt]
c&=&y-mx &\quad \scriptsize \mid\;B(2\mid 4),\,m=1 \\[5pt]
c&=&4-1\cdot 2 \\[5pt]
c&=&2 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9992c6cc51cb3ebf4e3136fa3937137ccb5694bfe0f4bd0f4aa53cea2f8351f9_light.svg)
2. Schritt: Zeigen, dass auch auf der Gerade liegt
Damit ist gezeigt, dass die Punkte und auf einer Geraden liegen.
Lösung 19
a)
Funktionsgleichung der Parabel ermitteln
Da eine verschobene Normalparabel ist, hat ihre Funktionsgleichung folgende Form:
Dabei sind 
die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Die Abbildung zeigt, dass die -Achse in den Punkten 
und 
schneidet.
Wegen der Symmetrie, muss die-Koordinate des Scheitelpunkts genau mittig dazwischen liegen, also ist 
durch Einsetzen berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1: y&=& (x-(-2))^2 +y_S \quad \scriptsize \mid\; P_2(1\mid 0) \\[5pt]
0 &=& (1+2)^2 +y_S \\[5pt]
0&=& 9 +y_S \quad \scriptsize \mid\;-9 \\[5pt]
-9&=& y_S
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dc98f2a82a530f0dd574a4e009206e7b743dadf20042e00d55bedf0fad84a3b6_light.svg)
Eine Funktionsgleichung von lautet also:
Funktionsgleichung der Gerade bestimmen
Ein Steigungsdreieck in der Abbildung zeigt, dass die Gerade die Steigung 
hat und die 
Achse im Punkt schneidet.
Daher lautet die Geradengleichung:
Lage des Schnittpunkts prüfen
1. Schritt: Funktionsgleichung von aufstellen
Mit der Scheitelpunktform ergibt sich:
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Die beiden Parabeln schneiden sich an der Stelle 
Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B. in
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& (2+2)^2 -9 \\[5pt]
&=& 16 -9 \\[5pt]
&=& 7
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8abf213a357e854c2a0ee3205a9f1df014f3c0bb31b3b828dd97e720d43d679f_light.svg)
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten 
3. Schritt: Einsetzen in die Gerade
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 3\cdot 2+1 \\[5pt]
&=& 7
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/69161f29e6ee149ba3d5b604eda65a17aeee4f0125dfb214e20ccfb935173b22_light.svg)
Die Gerade verläuft also ebenfalls durch den Punkt 
Der Schnittpunkt der beiden Parabeln liegt also auf der Geraden
Funktionsgleichung der Geraden berechnen
Die beiden Scheitelpunkte sind 
und
1. Schritt: Steigung berechnen
Mit dem Differenzquotient ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_h &=& \dfrac{y_2 - y_1}{ x_2-x_1} \\[5pt]
&=& \dfrac{-2-(-9)}{5-(-2)} \\[5pt]
&=& \dfrac{7}{7}\\[5pt]
m_h&=& 1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cecce01e18fb34603c454154004643afc26245a7f489b5833ae90a70b275d65a_light.svg)
2. Schritt: -Achsenabschnitt berechnen
Durch eine Punktprobe kannst du nun den -Achsenabschnitt berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& m\cdot x + c \\[5pt]
y&=& 1\cdot x + c&\quad \scriptsize \mid\; S_1(-2\mid -9) \\[5pt]
-9&=& 1\cdot (-2) + c &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt]
-7 &=& c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/18c728584fc1da30e84012eaae14a7e1f945988f958972b9d0cc9392fed6dcad_light.svg)
Eine Funktionsgleichung von ist also
ermitteln
Da eine verschobene Normalparabel ist, hat ihre Funktionsgleichung folgende Form:
Dabei sind die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Die Abbildung zeigt, dass
die -Achse in den Punkten und schneidet.
Wegen der Symmetrie, muss die
-Koordinate des Scheitelpunkts genau mittig dazwischen liegen, also ist
durch Einsetzen berechnen:
Eine Funktionsgleichung von lautet also:
Funktionsgleichung der Gerade bestimmen
Ein Steigungsdreieck in der Abbildung zeigt, dass die Gerade die Steigung hat und die Achse im Punkt schneidet.
Daher lautet die Geradengleichung:
Lage des Schnittpunkts prüfen
1. Schritt: Funktionsgleichung von aufstellen
Mit der Scheitelpunktform ergibt sich:
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Die beiden Parabeln schneiden sich an der Stelle 
![\(\begin{array}[t]{rll}
(x+2)^2 -9 &=& (x-5)^2-2 \\[5pt]
x^2 +4x +4 -9 &=& x^2 -10x +25 -2 \\[5pt]
x^2 +4x -5 &=& x^2 -10x +23 \quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt]
4x-5 &=& -10x +23 \quad \scriptsize \mid\;+10x \\[5pt]
14x-5 &=& 23 \quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt]
14x &=& 28 \quad \scriptsize \mid\; :14\\[5pt]
x&=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/37021cee2fe50c46468f6df87295942d3b98539f05168659926cc8abb96a7a87_light.svg)
Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B. in
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten
3. Schritt: Einsetzen in die Gerade
Die Gerade verläuft also ebenfalls durch den Punkt Der Schnittpunkt der beiden Parabeln liegt also auf der Geraden
Funktionsgleichung der Geraden berechnen
Die beiden Scheitelpunkte sind und
1. Schritt: Steigung berechnen
Mit dem Differenzquotient ergibt sich:
2. Schritt: -Achsenabschnitt berechnen
Durch eine Punktprobe kannst du nun den -Achsenabschnitt berechnen:
Eine Funktionsgleichung von ist also
b)
1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel bestimmen
Die Punktprobe in zeigt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y &=& a\cdot x^2 +c& \\[5pt]
-4,5 &=& a\cdot 0^2 +c \\[5pt]
-4,5 &=& c
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/efd7cf65d4313f265927992da887dcbbdac5624b72dfec46ae1740308bfe4d48_light.svg)
Mit einer Punktprobe von 
kann 
berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p:y &=& ax^2 +c \quad \scriptsize \mid\;c = -4,5 \\[5pt]
p:y&=& ax^2 -4,5 \quad \scriptsize \mid\; P(-3\mid 0)\\[5pt]
0&=& a\cdot (-3)^2 -4,5 \quad \scriptsize \mid\;+4,5 \\[5pt]
4,5 &=& 9a \quad \scriptsize \mid\; :9\\[5pt]
0,5 &=& a
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7ffa8d200a3027d045a2cfb5639e620ed511b9afc9210bda39458071142073ff_light.svg)
Eine Gleichung der Parabel lautet also 
2. Schritt: Geradengleichung angeben
Mit den Informationen aus der Aufgabe kann eine Geradengleichung aufgestellt werden:
3. Schritt: Schnittpunkte von mit berechnen
Einsetzen in die Geradengleichung liefert die zugehörigen -Koordinaten.
![\(\begin{array}[t]{rll}
y_1 &=& 1,5\cdot (-2) +0,5 \\[5pt]
&=& -2,5 \\[10pt]
y_2 &=& 1,5\cdot 5 +0,5 \\[5pt]
&=& 8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a41cf49071872d65372bd44c88dfc16e7ef25476c7e4a3e3051e45109ba90ca5_light.svg)
Die Punkte und haben also die Koordinaten 
und 
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Da die Seiten des Rechtecks parallel zur - bzw. -Achse verlaufen, ergeben sich die Seitenlängen aus den Differenzen der - und -Koordinaten von und
![\(\begin{array}[t]{rll}
a&=& y_C -y_A \\[5pt]
&=& 8-(-2,5) \\[5pt]
&=& 10,5 \\[10pt]
b&=& x_C-x_A \\[5pt]
&=& 5-(-2) \\[5pt]
&=&7
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6ffc323acfd85f39a88169c8bee6c9178496f6429de57b45a29cd351da696dc1_light.svg)
Der Flächeninhalt ergibt sich daher wie folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A &=& a\cdot b \\[5pt]
&=& 10,5\cdot 7 \\[5pt]
&=& 73,5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e1b349ca8a700630a37ab9e81db42b834d8f53b5053041b8665833c593ccf01e_light.svg)
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt ca. 
Abschlussprüfung 2018
zeigt:
Mit einer Punktprobe von kann berechnet werden:
Eine Gleichung der Parabel lautet also
2. Schritt: Geradengleichung angeben
Mit den Informationen aus der Aufgabe kann eine Geradengleichung aufgestellt werden:
3. Schritt: Schnittpunkte von mit berechnen
Einsetzen in die Geradengleichung liefert die zugehörigen 
![\(\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -2,5\\[5pt]
x_2&=& 5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e92f549d6d098922a63f0ee078eee7a0905160ed9dea5bbadbaddaf0439d6daf_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
p&=&g \\[5pt]
0,5x^2-4,5&=& 1,5x+0,5 \quad \scriptsize \mid\;-0,5 \\[5pt]
0,5x^2 -5 &=& 1,5x \quad \scriptsize \mid\;-1,5x \\[5pt]
0,5x^2 -1,5x -5 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt]
x^2 -3x-10 &=&0 \quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt]
x_{1/2}&=& -\frac{-3}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-3}{2}\right)^2 -(-10)} \\[5pt]
&=& 1,5\pm 3,5 \\[5pt]
x_1&=& 1,5- 3,5 \\[5pt]
&=& -2 \\[10pt]
x_2&=& 1,5+ 3,5 \\[5pt]
&=& 5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b849a0e57e916bc59896af76ee83f740868d8206a4a98e3c8f063f0566cdf4f7_light.svg)
-Koordinaten.
Die Punkte und haben also die Koordinaten und
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Da die Seiten des Rechtecks parallel zur - bzw. -Achse verlaufen, ergeben sich die Seitenlängen aus den Differenzen der - und -Koordinaten von und
Der Flächeninhalt ergibt sich daher wie folgt:
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt ca.
Lösung 20
a)
Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung?
Gleichung 
Da der Graph im Vergleich zu einer Normalparabel entlang der -Achse gestaucht ist, kann er nur zur Gleichung gehören. Die Parabel wird durch den Parameter gestaucht.
Gleichung 
Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2-6x+5 \\[5pt]
&=& x^2-2\cdot 3x+5 \\[5pt]
&=& x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+5 \\[5pt]
y&=&(x-3)^2-4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6008834bd92b5ca8ad3d7e4e8208e253e1ea9793ad3d52bc022d9df9696bc144_light.svg)
Da bereits Gleichung (A) zugeordnet ist und der Scheitelpunkt von nicht den Koordinaten von 
entspricht, muss zu Gleichung gehören.
Gleichung 
Da als einziger Graph übrig bleibt, kann dieser per Ausschlussverfahren der Gleichung zugeordnet werden.
Funktionsgleichung von vervollständigen
Einen Punkt des Graphen ablesen und in die Gleichung einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& ax^2-1 \quad \scriptsize (2\mid 0)\\[5pt]
0&=& a\cdot 2^2-1 \\[5pt]
0&=& 4a-1 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
1&=& 4a \quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt]
\dfrac{1}{4}&=& a \\[5pt]
a&=&\underline{ \dfrac{1}{4}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f2a64e7d629816a0089f6e676976c01424a8440985c2ab74e5a88deb01bdaaa5_light.svg)
Funktionsgleichung von vervollständigen
Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y &=& x^2+4x+q \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 2x+q \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 2x + 2^2-2^2+q\\[5pt]
y&=&\underline{ (x+2)^2-4+q}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/05d0fd7206acb0c5fff7e55ffb608e879f91ba7faa449d5773854211d668ad73_light.svg)
Aus dem Schaubild von lässt sich der Scheitelpunkt 
ablesen.
![\(\begin{array}[t]{rll}
-4+q&=& 1 \quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt]
q&=&\underline{ 5}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bcc48507a33b7c876bc7fe9c6aeb4a9fd7142aca76721162ea4c9c06156669c1_light.svg)
Funktionsgleichung von berechnen
Die Gerade geht durch die Scheitelpunkte 
und 
und wird durch die Gleichung 
bestimmt.
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-1&=& m\cdot 0 +b \\[5pt]
b&=& -1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7a084fcdac90360977a6b8266b989dab81f6f857f3ab170629df1298c553e8d4_light.svg)
und 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-4&=& m\cdot 3-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
-3&=& 3m &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt]
-1&=& m \\[5pt]
m&=& -1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ed10c4e95bd9c7bfb59c785c41c1d2e8bd59b2500b2a7bcfbaa45f145c85c1bf_light.svg)
Rechnerisch nachweisen, dass der Scheitelpunkt 
auf liegt
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1&=&-(-2)-1 \\[5pt]
1&=&1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cc3fac6e45e4e428065703dd9cde38b5584eb38a78bc271094f210b408ec264b_light.svg)
Der Scheitelpunkt 
von liegt somit auf
Da der Graph
im Vergleich zu einer Normalparabel entlang der -Achse gestaucht ist, kann er nur zur Gleichung gehören. Die Parabel wird durch den Parameter gestaucht.
Gleichung
Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:
Da bereits Gleichung (A) zugeordnet ist und der Scheitelpunkt von nicht den Koordinaten von entspricht, muss zu Gleichung gehören.
Gleichung
Da
als einziger Graph übrig bleibt, kann dieser per Ausschlussverfahren der Gleichung zugeordnet werden.
Funktionsgleichung von vervollständigen
Einen Punkt des Graphen ablesen und in die Gleichung einsetzen:
Funktionsgleichung von vervollständigen
Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:
Aus dem Schaubild von lässt sich der Scheitelpunkt ablesen.
Funktionsgleichung von berechnen
Die Gerade geht durch die Scheitelpunkte und und wird durch die Gleichung bestimmt.
einsetzen:
und einsetzen:
Rechnerisch nachweisen, dass der Scheitelpunkt auf liegt
in einsetzen:
Der Scheitelpunkt von liegt somit auf
b)
1. Schritt: Gleichung der Parabel bestimmen
Durch die Angabe des Scheitelpunkts von lässt sich die Scheitelpunktform bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_2:\; y&=&(x-1,5)^2-3,25 \\[5pt]
&=& x^2-3x+2,25-3,25 \\[5pt]
&=& x^2-3x-1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5c7070d086d4149d2ff67a38c67acdf7e0260425c12e00176bb1c283b9b3ddb1_light.svg)
2. Schritt: Koordinaten des Punkts 
berechnen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&\dfrac{1}{4}\cdot2^2-4 \\[5pt]
&=& -3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/116edb45cdf321aaf39c35bd124b9507da78bd9ff936afb72400dc114c4a0053_light.svg)
3. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden bestimmen
verläuft durch den Ursprung 
sowie 
und ist durch die Gleichung 
definiert.
Koordinaten von 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h:\; y&=& m\cdot x+b \\[5pt]
0&=& m\cdot 0+b \\[5pt]
0&=& b \\[5pt]
b &=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/411f1b2e127083b8894d6f0867a3e5d474d1a0bb38ce38b5084517102ecaba74_light.svg)
und 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h:\; y&=& m\cdot x+b \\[5pt]
-3&=& m\cdot 2+0 \\[5pt]
-3&=& 2m &\scriptsize \mid \; :2 \\[5pt]
-\dfrac{3}{2} &=& m \\[5pt]
m &=& -\dfrac{3}{2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a2f7adb509d5ab621cebceac57ca6e73c1aab454eea8bb83cc1dd6c7442a5424_light.svg)
Flächeninhalt des Dreiecks 
bestimmen
1. Schritt: Eckpunkte und bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{1}{4}x^2-4 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2 &=& 4 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt]
x^2&=& 16 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
x&=&\underline{ \pm 4}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d798931e8afcb27138d279b4e8bf81189ba4b003aaf0eaebeb855bad4bc9b2da_light.svg)
Die Eckpunkte des Dreiecks 
sind 
und 
2. Schritt: Flächeninhalt bestimmen
kann als Grundseite des Dreiecks gewählt werden.
Da und auf der -Achse liegen, gilt:
Die zugehörige Höhe entspricht dem Abstand von zur -Achse, also dem Betrag von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 8\,\text{LE}\cdot 3\,\text{LE}\\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 12 \,\text{FE}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/15ef9904ea62e7bf2d06ba064601c7087b22c466a5ef70cb465322038ce9cc22_light.svg)
Der Flächeninhalt des Dreiecks 
enstpricht 
Bastians Aussage prüfen
Rechnerische Begründung
Um Bastians Aussage zu prüfen, muss der Flächeninhalt eines der Teildreiecke berechnet werden.
geht durch den Ursprung und den Punkt 
Somit gilt für die Grundseite des Teildreiecks
Die Höhe bleibt gleich.
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{N_1UR}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{LE}\cdot 3\,\text{LE}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 6 \,\text{FE}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fd077a67d8a03517644ad5bb5ea1f423aee51b95f2dabc9d8e072deed095b31f_light.svg)
Der Flächeninhalt des Teildreiecks 
enstpricht genau der Hälfte des Flächeninhaltes des Dreiecks 
Somit ist Bastians Behauptung richtig. Argumentative Begründung Die Höhe beider Teildreiecke entspricht weiterhin dem Abstand von zur -Achse. Diese bleibt für beide Teildreiecke also unverändert.
Die Gerade verläuft durch den Ursprung und halbiert damit die Grundseite des Dreiecks 
Dadurch, dass die Höhe gleich bleibt und die Grundseite halbiert wird, wird insgesamt auch der Flächeninhalt halbiert.
Bastian hat also recht.
Abschlussprüfung 2017
bestimmen
Durch die Angabe des Scheitelpunkts von lässt sich die Scheitelpunktform bestimmen:
2. Schritt: Koordinaten des Punkts berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1 &=& p_2 \\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2-4&=& x^2-3x-1 \quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2&=&x^2-3x+3 \quad \scriptsize \mid\; - \dfrac{1}{4}x^2\\[5pt]
0&=&\dfrac{3}{4}x^2-3x+3 \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{4}{3} \\[5pt]
0&=& x^2-4x+4 \quad \scriptsize \mid\; p,q-\,\text{Formel} \\[5pt]
x_{1/2}&=& -\dfrac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2} \right)^2-4}\\[5pt]
x &=& 2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ea0c4aa753c98e4433c2e7368f618872a1940ce6fc6279b6ea03351e942f0eb9_light.svg)
in einsetzen:
3. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden bestimmen
verläuft durch den Ursprung sowie und ist durch die Gleichung definiert.
Koordinaten von einsetzen:
und einsetzen:
Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen
1. Schritt: Eckpunkte und bestimmen
Die Eckpunkte des Dreiecks sind und
kann als Grundseite des Dreiecks gewählt werden.
Da
und auf der -Achse liegen, gilt:
Die zugehörige Höhe entspricht dem Abstand von zur -Achse, also dem Betrag von
Der Flächeninhalt des Dreiecks enstpricht
Bastians Aussage prüfen
geht durch den Ursprung und den Punkt
Somit gilt für die Grundseite des Teildreiecks
Die Höhe bleibt gleich.
Der Flächeninhalt des Teildreiecks enstpricht genau der Hälfte des Flächeninhaltes des Dreiecks
Somit ist Bastians Behauptung richtig. Argumentative Begründung Die Höhe beider Teildreiecke entspricht weiterhin dem Abstand von
zur -Achse. Diese bleibt für beide Teildreiecke also unverändert.
Die Gerade
verläuft durch den Ursprung und halbiert damit die Grundseite des Dreiecks
Dadurch, dass die Höhe gleich bleibt und die Grundseite halbiert wird, wird insgesamt auch der Flächeninhalt halbiert.
Bastian hat also recht.
Lösung 21
a)
Gleichung der Parabel bestimmen
und 
in die allgemeine Form einer Normalparabel 
einsetzen und ein lineares Gleichungssystem erstellen
in 
einsetzen
![\(\begin{array}[t]{rll}
-1&=&1+2+c & \\[5pt]
-1&=&3+c &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt]
c&=&-4 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6104bccb838790a296816f057de9935d3d3dbb9cd107cef27ace21a43f5685fc_light.svg)
Somit gilt: 
Gleichung der Geraden berechnen
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x^2+2x-4 &\\[5pt]
&=&x^2+2x+1^2-1^2-4 &\\[5pt]
&=&(x+1)^2-1-4 &\\[5pt]
y&=&(x+1)^2-5 &
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c6ee1212f3cbed52a602952537db10a8f9419e4b7992fa5bf8ba59988d5dd6e2_light.svg)
Daraus folgt für den Scheitelpunkt: 
Gleichung der Geraden ermitteln, die von den Punkten und festgelegt wird
Eine mögliche Gleichung der Geraden berechnen
Gleichung der Parabel ermitteln
Schnittpunkte von und berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=& p_2&\\[5pt]
x^2+2x-4&=& -x^2+8&\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \,\mid\,-8 \\[5pt]
2x^2+2x-12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
x^2+x-6&=& 0 &\quad \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c4a2446b5654cd8ee2cb39558aa058520e0cca6cf7551e07521e4187d7c4eeb4_light.svg)
Weiter mit der -Formel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1/2}&=& -\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6} \\[5pt]
x_{1/2}&=& -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{5}{2}& \\[5pt]
x_1&=& -\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}=2 \\[5pt]
x_2&=&-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}=-3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4f4a889505587e6579ca0e09d64c4eae88d5f83dfc7370749d46c6589f0b2577_light.svg)
Lösungsvorschlag 1: verläuft durch den Punkt mit der -Koordinate
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-x^2+8 \\[5pt]
y&=&-2^2+8\\[5pt]
y&=&4\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/38db1b42534d0eb0abad0503868ceb8c38371023d592a94b79417a981c16bdd7_light.svg)
Daraus folgt für diesen Schnittpunkt: 
Gleichung der Gerade berechnen:
Lösungsvorschlag 2: verläuft durch den Punkt mit der -Koordinate 
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-x^2+8 \\[5pt]
y&=&-(-3)^2+8\\[5pt]
y&=&-1\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a1fa7e51d8d25bb1b4e7599016a925f227b20760d8f841c6cdb39999f6fb8c09_light.svg)
Daraus folgt für diesen Schnittpunkt: 
Gleichung der Gerade berechnen:
bestimmen
und in die allgemeine Form einer Normalparabel einsetzen und ein lineares Gleichungssystem erstellen
in einsetzen
Somit gilt:
Gleichung der Geraden berechnen
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel berechnen
Daraus folgt für den Scheitelpunkt:
Gleichung der Geraden ermitteln, die von den Punkten und festgelegt wird
- Allgemeine Geradengleichung:
- Für den Steigungsfaktor gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} & \scriptsize \mid\; S_1(x_1\mid y_1),\,S_2(x_2\mid y_2) \\[5pt]
m&=&\dfrac{8-(-5)}{0-(-1)} \\[5pt]
m&=&\dfrac{13}{1}=13
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ede152d0091fa5266525d32fe85f7267a47775e88e57ded6cc62c54ac879bee1_light.svg)
- Da durch
verläuft und auf der -Achse liegt, gilt: 
Eine mögliche Gleichung der Geraden berechnen
Gleichung der Parabel ermitteln
- Da eine nach unten geöffnete Normalparabel ist und ihr Scheitelpunkt auf der -Achse liegt, gilt:
- Da der Scheitelpunkt auf der -Achse liegt, gilt auch:
Schnittpunkte von und berechnen
Weiter mit der -Formel:
Lösungsvorschlag 1: verläuft durch den Punkt mit der -Koordinate
in einsetzen:
Daraus folgt für diesen Schnittpunkt:
Gleichung der Gerade berechnen:
- Allgemeine Geradengleichung:
- Da und parallel verlaufen, gilt für den Steigungsfaktor:
- Daraus folgt für
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&mx+c \quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt]
c&=&y-mx \quad \scriptsize \mid\;T(2\mid 4),\,m=13 \\[5pt]
c&=&4-13\cdot 2 \\[5pt]
c&=&-22 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/396f2854d6f236f21d724eb947bb36723571f5c5cfb03603febff92136dc0bc3_light.svg)
Lösungsvorschlag 2: verläuft durch den Punkt mit der -Koordinate
in einsetzen:
Daraus folgt für diesen Schnittpunkt:
Gleichung der Gerade berechnen:
- Allgemeine Geradengleichung:
- Da und parallel verlaufen, gilt für den Steigungsfaktor:
- Daraus folgt für
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&mx+c &\quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt]
c&=&y-mx &\quad \scriptsize \mid\;R(-3\mid -1),\,m=13 \\[5pt]
c&=&-1-13\cdot (-3) \\[5pt]
c&=&38 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bc04dde779d20e76f73288777ac78cb0e2dfe0830ee8b305fb19512c5839bdca_light.svg)
b)
Koordinaten der Schnittpunkte und von und berechnen
Gleichung der Parabel berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& \dfrac{1}{4}\cdot x^2+c\quad \scriptsize \mid\; R\,(4\mid0) \\[5pt]
0 &=&\dfrac{1}{4} \cdot 4^2+c \\[5pt]
0 &=&4+c \quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt]
c&=& -4\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/684a81c8b9143d6397c08f9b0c40530e39365043b4177b33ec4ed0c4c737cdc8_light.svg)
-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=& p_2 \\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2-4&=& -x^2+1 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2&=& -x^2+5 &\quad \scriptsize \,\mid\, +x^2 \\[5pt]
\dfrac{5}{4}x^2&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{5}{4} \\[5pt]
x^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
x_1&=& \underline{ 2} \\[5pt]
x_2&=& \underline{ -2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fb13176281bb6df41ac7f7a965deae94f6d794fa4cac3e44a68718fa5eb2b310_light.svg)
-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-x^2+1 \\[5pt]
y&=& - 2^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& -4+1 \\[5pt]
y&=& -3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2f1ffd16797bc1a0568df89f2b1e4f442d515182e8acdb5c12e77a6d6c102e88_light.svg)
Schnittpunkt 1: 
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-x^2+1 \\[5pt]
y&=& - (-2)^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& -4+1 \\[5pt]
y&=& -3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7744b3293025f5bb316381a27e33aad61645cefde1a09ce60b9e7036f126b811_light.svg)
Schnittpunkt 2: 
Hat Mia recht?
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen
Gilt der Satz des Pythagoras im Dreieck 
?
berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{S_2Q}^2&=& \overline{S_2M} ^2+ \overline{MQ}^2 \\[5pt]
\overline{S_2Q}^2&=& (4\,\text{LE})^2+(2\,\text{LE})^2 \\[5pt]
\overline{S_2Q}^2&=&\underline{ 20\,\text{LE}^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c45d2c6fcaf5f5b74b8b5f6b7a6d1720b70e8f8a8510736ed10b691b1ba0263c_light.svg)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{S_1Q}^2&=& \overline{S_1M} ^2+ \overline{MQ}^2 \\[5pt]
\overline{S_1Q}^2&=& (1\,\text{LE})^2+(2\,\text{LE})^2 &\\[5pt]
\overline{S_1Q}^2&=&\underline{ 5\,\text{LE}^2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5735a87699247645561572bef69448477fe31783085bbe267178d6366fc1ef38_light.svg)
Satz des Pythagoras anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{S_1S_2}^2&=& \overline{S_1Q}^2+\overline{S_2Q}^2\\[5pt]
\overline{S_1S_2}^2&=& 5\,\text{LE}^2 + 20\,\text{LE}^2 \\[5pt]
\overline{S_1S_2}^2&=& 25\,\text{LE}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt]
\overline{S_1S_2}&=& \underline{ 5\,\text{LE}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f08a61947ab49c6aef613c366020a3ec57a77643a6b1230546d871bb543b3b44_light.svg)
An der Abbildung kann man ablesen, dass die Länge der Strecke 
tatsächlich 
beträgt. Der Satz des Pythagoras gilt hier also. Somit ist 
ein rechter Winkel. Gleiches gilt für den Winkel 
Mia hat also recht.
und von und berechnen
Gleichung der Parabel berechnen
-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
in einsetzen:
Schnittpunkt 1:
in einsetzen:
Schnittpunkt 2:
Hat Mia recht?
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen
?
- Falls ja
Winkel ist ein rechter Winkel - Falls nein Winkel ist kein rechter Winkel
berechnen:
Länge der Strecke berechnen
Satz des Pythagoras anwenden
An der Abbildung kann man ablesen, dass die Länge der Strecke tatsächlich beträgt. Der Satz des Pythagoras gilt hier also. Somit ist ein rechter Winkel. Gleiches gilt für den Winkel
Mia hat also recht.
Lösung 22
a)
Parabelgleichung angeben
Scheitelpunktform einer verschobenen und nach oben geöffneten Normalparabel:
Mit dem Einsetzungsverfahren können die Werte berechnet werden:
1. Schritt: Zwei Punkte einsetzen
auflösen
![\(\begin{array}[t]{rll}
11&=& (-b)^2+c&\quad \scriptsize \mid\; -b^2\\[5pt]
c&=& \underline{ 11-b^2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/86d6e7ef42b3cda4c6232b5f530a95124001f019825c95b698c92202d842daba_light.svg)
3. Schritt: in 2) einsetzen, um 
zu berechnen
4. Schritt: in 1) einsetzen, um zu berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
11&=&b^2+c \quad \scriptsize \mid\; b=3 \\[5pt]
11&=&3^2+c \quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt]
c&=&\underline{ 2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2a248de26d170890fc316ccf04afb6f9eb35711577222adaaa58bd21faaca90d_light.svg)
Die Parabelgleichung lautet also 
Wertetabelle vervollständigen
Durch Einsetzen der -Werte in die Parabelgleichung ergibt sich:
Nachweisen, dass keine gemeinsamen Punkte vorliegen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Durch Einsetzen der Informationen in die allgemeine Geradengleichung ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
6&=&(-1)\cdot (-2,5)+c &\quad \scriptsize \mid\; -2,5\\[5pt]
c&=& \underline{ 3,5}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f5598117cd410bb8e48cb4c6c9fa11a2b9a16434aa47572e4b3117143e3e3e41_light.svg)
Die Geradengleichung lautet also 
2. Schritt: und gleichsetzen
Da die Diskriminante 
ist, gibt es keine Lösung und und haben keine gemeinsamen Punkte.
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Der Scheitelpunkt der Parabel 
ist 
Die Steigung ist gleich zu 
also 
Durch Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&m\cdot x +c &\quad \scriptsize\mid\; m=-1 ;\,S (3\mid 2) \\[5pt]
2&=&(-1)\cdot 3 +c &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt]
c&=&5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d3d58c3d446edd5c6013d5d98e58d19dd059ad6dd867e58ee5d8f29402c5ecc3_light.svg)
Die Geradengleichung lautet also: 
2. Schritt: Schnittpunkt mit 
-Achse berechnen
Der Schnittpunkt mit der -Achse entspricht der Nullstelle der Gerade. Sie wird also mit 0 gleichgesetzt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-x+5&=& 0& \quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt]
- x&=& -5& \quad \scriptsize \mid\;:(-1)\\[5pt]
x&=& 5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ede4db3da32ecada94f3994adb55a32f4ebf2b52316b0d4cba1047ef9ccbfa9b_light.svg)
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten 
angeben
Scheitelpunktform einer verschobenen und nach oben geöffneten Normalparabel:
Mit dem Einsetzungsverfahren können die Werte berechnet werden:
1. Schritt: Zwei Punkte einsetzen
1) 
2) 
2. Schritt: 1) nach
auflösen
3. Schritt: in 2) einsetzen, um zu berechnen
4. Schritt: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
6&=&(1-b)^2+c \quad \scriptsize \mid\; c=11-b^2 \\[5pt]
6&=&(1-b)^2+11-b^2 \quad \scriptsize \mid\;-11 \\[5pt]
-5&=&(1-b)^2-b^2 \\[5pt]
-5&=&1-2b+b^2-b^2 \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt]
-6&=&-2b \quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt]
b&=&\underline{ 3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8bbf562fec8c15acc9f284a5d0b7d20cbc30539b8d65448af8da94b9b352b263_light.svg)
in 1) einsetzen, um zu berechnen
Die Parabelgleichung lautet also
Wertetabelle vervollständigen
Durch Einsetzen der -Werte in die Parabelgleichung ergibt sich:
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 |
aufstellen
Durch Einsetzen der Informationen in die allgemeine Geradengleichung ergibt sich:
Die Geradengleichung lautet also
2. Schritt: und gleichsetzen
Da die Diskriminante 
![\(\begin{array}[t]{rll}
(x-3)^2+2 &=& -x+3,5 \quad \scriptsize \\[5pt]
x^2-6x+9+2 &=& -x+3,5 \quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt]
x^2-5x+11 &=& 3,5 \quad \scriptsize \mid\; -3,5 \\[5pt]
x^2-5x+7,5 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel} \\[5pt]
x_{1,2}&=&-\dfrac{-5}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-7,5} \quad \scriptsize \\[5pt]
x_{1,2}&=&\dfrac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{30}{4} } \\[5pt]
x_{1,2}&=&\dfrac{5}{2}\pm \sqrt{-\frac{5}{4}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aa51e24f491f2fe1856f15bd38f36e35770c34df9b17d3eaa4a7a92e47c5cb52_light.svg)
ist, gibt es keine Lösung und und haben keine gemeinsamen Punkte.
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Der Scheitelpunkt der Parabel ist
Die Steigung ist gleich zu also
Durch Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung ergibt sich:
Die Geradengleichung lautet also:
2. Schritt: Schnittpunkt mit -Achse berechnen
Der Schnittpunkt mit der -Achse entspricht der Nullstelle der Gerade. Sie wird also mit 0 gleichgesetzt:
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten
b)
Koordinaten von Punkt berechnen
1. Schritt: Parabelgleichung aufstellen
Durch den Scheitelpunkt 
gilt, dass die Parabel um 
nach oben verschoben ist, also 
Die Punktprobe mit zeigt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&a\cdot x^2+c \quad \scriptsize \mid\; c=4,5 ; N_2(3\mid 0) \\[5pt]
0&=&a\cdot 3^2+4,5 \quad \scriptsize \mid\;-4,5 \\[5pt]
-4,5&=& 9\cdot a \quad \scriptsize \mid\;:9 \\[5pt]
a&=&-\dfrac{1}{2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9be7f0767f1686b0fa4bf00da4e66cb36c5e145617d4fcbf6e7f9ae6d2491917_light.svg)
Die Parabelgleichung lautet also 
2. Schritt: Parabelgleichung aufstellen
Bei einer Normalparabel gilt 
Mit dem Scheitelpunkt lässt sich die Scheitelpunktform aufstellen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&a\cdot (x-b)^2+c \quad \scriptsize a=1 ; S_2(3\mid1,5) \\[5pt]
y&=&1\cdot(x-3)^2+1,5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/be6d58da90bc9a7e8f199aae634bc98c2ccb193af8f9021e677367cedbcd4810_light.svg)
Die Parabelgleichung lautet also 
3. Schritt: Schnittpunkt berechnen
in eine Parabelgleichung einsetzen, um zu berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&(x-3)^2+1,5 \quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt]
&=&(2-3)^2+1,5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 1+1,5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& 2,5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7d8898529e5dfb4454bb2ec8402ffae798e7af7d55651ebe105b87e5df2a216b_light.svg)
Die Koordinaten des gemeinsamen Punkts sind also 
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{Dreieck}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt]
A_{N_1N_2T}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{N_1N_2}\cdot h&\quad \scriptsize \\[5pt]
A_{N_1N_2T}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{LE} \cdot 2,5\,\text{LE}&\quad \scriptsize \\[5pt]
A_{N_1N_2T}&=& \underline{\underline{ 7,5 \,\text{FE}}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6e6f94c1a12edb08a303c2273de781d992ddbf6e17cc55f23b3bad1c246da209_light.svg)
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 
Maximalen Flächeninhalt begründen
Da sich nur auf oberhalb der -Achse bewegt und die -Koordinate von die Höhe des Dreiecks beschreibt, wird diese im Scheitelpunkt von maximal sein. Das heißt: 
Abschlussprüfung 2015
berechnen
1. Schritt: Parabelgleichung aufstellen
Durch den Scheitelpunkt gilt, dass die Parabel um nach oben verschoben ist, also
Die Punktprobe mit zeigt:
Die Parabelgleichung lautet also
2. Schritt: Parabelgleichung aufstellen
Bei einer Normalparabel gilt
Mit dem Scheitelpunkt lässt sich die Scheitelpunktform aufstellen:
Die Parabelgleichung lautet also
3. Schritt: Schnittpunkt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
(x-3)^2+1,5&=&-\dfrac{1}{2}x^2+4,5 \quad \scriptsize \\[5pt]
x^2-6x+9+1,5&=& -\dfrac{1}{2}x^2+4,5 \quad \scriptsize \mid\; -4,5 \\[5pt]
x^2-6x+6&=& -\dfrac{1}{2}x^2 \quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{1}{2}x^2 \\[5pt]
\dfrac{3}{2}x^2-6x+6&=&0 \quad \scriptsize \mid\;\cdot\dfrac{2}{3} \\[5pt]
x^2-4x+4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \,\text{p,q-Formel} \\[5pt]
x_{1,2}&=&- \dfrac{-4}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-4}{2}} \right)^2 - 4} \quad \scriptsize \\[5pt]
x_{1,2}&=& 2 \pm\sqrt{4-4}\\[5pt]
x_{1,2}&=& 2 \pm\sqrt{0}\\[5pt]
x_1&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/63aca8429edd280ad887e6a35ed93a1eb4cfb02a58b84fe0238ce2fdf3740686_light.svg)
in eine Parabelgleichung einsetzen, um zu berechnen:
Die Koordinaten des gemeinsamen Punkts sind also
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
beträgt
Maximalen Flächeninhalt begründen
Da sich nur auf oberhalb der -Achse bewegt und die -Koordinate von die Höhe des Dreiecks beschreibt, wird diese im Scheitelpunkt von maximal sein. Das heißt: