Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BB, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Analytische Geometrie 3.1

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Haus

a)
Gib die Koordinaten der Punkte $K$ und $E$ an.
Bestimme eine Gleichung der Ebene $E*$, in der die Dachfläche $FGKJ$liegt, in Koordinatenform.
[Kontrollergebnis: $E*:3y+4z=40$]
Berechne den Neigungswinkel der Dachfläche $FGKJ$ gegenüber einer horizontalen Ebene.
(9P)
#neigungswinkel#koordinatenform
b)
Paralleles Licht fällt in Richtung $\overrightarrow{v}= \begin{pmatrix}-\sqrt{39}\\[2pt]y\\[2pt]-5\end{pmatrix}$ auf das Hausdach.
Bestimme einen möglichen Wert für $y$ so, dass der Winkel zwischen der Richtung der Lichtstrahlen und der Dachfläche $FGKJ$ $30^{\circ}$ beträgt.
(3P)
#ebenengleichung#vektoren#winkel
c)
Ein Drittel der Dachfläche $FGKJ$ wird mit Solarzellen bestückt.
Ermittle die Größe dieser Fläche.
Die Solarzellen können sowohl in der Dachfläche montiert werden als auch in Ebenen $F_a$ , die parallel zur Dachfläche liegen. Dabei darf der Abstand der Ebenen $F_a$ zur Dachfläche maximal $20\,\text{cm}$ betragen.
Entwickle unter Verwendung des Parameters $a$ eine Gleichung für die Ebenen $F_a$ und gib ein Intervall für die Einschränkung des Parameters $a$ an.
(7P)
#ebenengleichung#intervall
d)
Im Innern des Hauses ist auf dem Fußboden $EFGH$ des Dachraumes im Punkt $P(1\mid 5\mid 4)$ ein $4\,\text{m}$ langer, senkrecht stehender Mast für eine Satellitenantenne montiert. Dieser Mast ragt durch das Dach ins Freie.
Ermittle die Länge des Teiles dieses Mastes, der sich außerhalb des Hauses befindet sowie den Abstand der Mastspitze zur Ebene $E*$.
(6P)
#ebenengleichung#orthogonal
e)
Durch Teile der Geraden $g_1$ und $g_2$ mit den Gleichungen $g_1:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-25\\[2pt]5\\[2pt]6,25\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}8\\[2pt]-4\\[2pt]3\end{pmatrix}$; $r\in \mathbb{R}$ und $g_2:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]6\\[2pt]5,5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}8\\[2pt]-4\\[2pt]3\end{pmatrix}$; $s\in \mathbb{R}$ können zwei Dachbalken modelliert werden, die in der Ebene $E*$ liegen. Begründe, dass $g_1$ und $g_2$ parallel zueinander verlaufen und berechne den Abstand der beiden Dachbalken.
(5P)
#parallel#ebenengleichung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
In dieser Aufgabe ist ein Haus mit rechteckiger Grundfläche gegeben, sowie die Punkte $D (0\mid0\mid0)$, $F (10\mid8\mid4)$, $G (0\mid8\mid4)$ und $J (10\mid4\mid7)$.
Du sollst nun die unbekannten Koordinaten der Punkte $K$ und $E$ bestimmen. Ersetze dazu identische Vektoren (parallel und gleich lang), wie zum Beispiel $\overrightarrow{GK}$ durch $ \overrightarrow{FJ} $. Dazu nutzt du, dass der Punkt $D$ im Urpsrung liegt und damit gilt
$\overrightarrow{DG}+ \overrightarrow{GK} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{FJ} = \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{OK}$
und
$\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{KJ} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE}$
$\blacktriangleright$  Gleichung in Koordinatenform der Dachfläche bestimmen
Du sollst die Koordinatenform der Ebene $E^*$ bestimmen, auf der die Punkte $F,G,K,J$ liegen. Dazu berechnest du zuerst die Parameterform der Ebene.
Wähle zum Beispiel als Stützvektor $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{DF} =\overrightarrow{OF} = \pmatrix{10 \\ 8 \\ 4}$
und als Richtungsvektoren
$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{p} = \pmatrix{-10\\0\\0}$
$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{OJ} - \overrightarrow{p} = \pmatrix{0\\-4\\3}$.
Die Koordinatenform $a\cdot x + b \cdot y + c\cdot z = C$ erhältst du aus einem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene. Diesen kannst du als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen. Die Parameter $a,b,c$ entsprechen dann den Komponenten $n_x,n_y,n_z$.
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel des Daches bestimmen
Du sollst den Neigungswinkel $\alpha$ des Daches bestimmen. Dieser entspricht gerade dem Winkel zwischen der Dachebene und der $xy-$ Ebene. Für den Winkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1} $ und $\overrightarrow{n_2}$ gilt
$\mathrm{cos}( \alpha) = \dfrac{ \left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_2} \right|}$
$\mathrm{cos}( \alpha) = \dfrac{ \left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_2} \right|}$
Dabei ist $\left| \overrightarrow{v} \right|$ die Länge des Vektors $\overrightarrow{v}$.
b)
$\blacktriangleright$  Richtung des Lichteinfalls bestimmen
Du hast die Einfallsrichtung $\overrightarrow{v}$ von parallelem Licht mit einem noch unbestimmten Wert $y$ gegeben. Nun musst du den Wert für $y$ so berechnen, dass der Winkel zwischen der Richtung der Lichtstrahlen und der Dachfläche $E^*$ $30 ^\circ$ beträgt.
Das ist gerade der Fall, wenn der Winkel zwischen dem normierten Normalenvektor der Ebene und der normierten Einfallsrichtung des Lichts $90 ^\circ - 30 ^\circ$ beträgt.
Für den Winkel zwischen $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{n}$ gilt mit $\mathrm{cos(90 ^\circ - \alpha)} = \mathrm{sin(\alpha)}$ und der Formel aus a)
$\dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} \vert}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n} \vert } = \mathrm{sin}(\alpha) $.
c)
$\blacktriangleright$  Größe der Dachfläche ermitteln
Nun wird ein Drittel der Dachfläche, die von den Punkten $F,G,K,J$ begrenzt wird, mit Solarzellen bestückt. Um die Größe dieser Fläche zu ermitteln, berechnest du die Beträge der Vektoren $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{FJ}$ und $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{FG}$.
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ebenenschar entwickeln
Diese Solarzellen können sowohl auf dem Dach als auch auf Ebenen montiert werden, die parallel zur Dachfläche mit einem Maximalabstand von $20 \, \text{cm}$ liegen. Nun sollst du eine Gleichung für diese Ebenen entwickeln, in denen du den Parameter $a$ verwendest.
Dazu gehst du so vor: die Gleichung einer zur Dachfläche $E^*$ parallelen Ebene $F_a$ kann durch eine Koordinatenform von $E^*$ beschrieben werden, die um $a$ von der Gleichung der Ebene $E^*$ in Koordinatenform verschoben ist.
$\blacktriangleright$  Parameterintervall bestimmen
Den Abstand zweier paralleler Ebenen berechnest du, indem du die Koordinaten eines Punktes auf der einen Ebene in die linke Seite der Hesse - Normalform der anderen Ebene einsetzt.
d)
$\blacktriangleright$  Ermittlung der Länge des freien Satellitenmastes
In diesem Aufgabenteil musst du die Länge eines geraden Satellitenmastes, der senkrecht auf der $xy-$ Ebene steht, außerhalb des Hauses berechnen. Den Verlauf des Mastes kannst du mit einer Geradengleichung modellieren. Bestimme zunächst die Geradengleichung durch den Punkt $P$. Wähle als Stützvektor dazu den Ortsvektor des Punkes $P$ und als Richtungsvektor den Einheitsvektor in $z$- Richtung.
Bestimme den Schnittpunkt dieser Gerade mit der Dachebene. Setze dazu die Geradengleichung in die Koordinatenform der Gleichung der Ebene $E^*$ ein und löse diese Gleichung nach $t$ auf.
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen Dachebene und Mastspitze berechnen
Um den Abstand der Mastspitze $S$ zur Ebene $E^*$ zu berechnen, musst du erst die Koordinaten der Mastspitze berechnen.
Weil der Mast ausschließlich in $z$- Richtung zeigt und insgesamt $4 \, \text{m}$ lang ist, befindet sich $S$ gerade bei $(1 \mid 5 \mid 8)$. Den Abstand ermittelst du, indem du den Punkt $S$ in die linke Seite der Hesseschen Normalform der Gleichung der Ebene $E^*$ einsetzt.
e)
$\blacktriangleright$  Begründung der Parallelität
Du sollst begründen, ob die Geraden $g_1$ und $g_2$ zueinander parallel verlaufen. Wenn du die Richtungsvektoren der beiden Geraden betrachtest, siehst du, dass diese identisch sind. Du weißt, dass Geraden mit linear abhängigen Richtungsvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ parallel zueinander verlaufen.
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Du sollst den Abstand der parallelen Geraden $g_1$ und $g_2$ berechnen, die zwei Dachbalken innerhalb der Ebene $E^*$ modellieren.
$g_1 = \overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{2,5\\5\\6,25} + r \cdot \pmatrix{8\\-4\\3} $
$g_2 = \overrightarrow{q} + s \cdot \overrightarrow{v} = \pmatrix{5\\6\\5,5} + s \cdot \pmatrix{8\\-4\\3}$
mit $s,r \in \mathbb{R}$. Dazu nutzt du die Formel
$d(g_1,g_2) = \dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}) \vert}{\vert \overrightarrow{w} \vert}$
$d(g_1,g_2) = \dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}) \vert}{\vert \overrightarrow{w} \vert}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
In dieser Aufgabe ist ein Haus mit rechteckiger Grundfläche gegeben, sowie die Punkte $D (0\mid0\mid0)$, $F (10\mid8\mid4)$, $G (0\mid8\mid4)$ und $J (10\mid4\mid7)$.
Du sollst nun die unbekannten Koordinaten der Punkte $K$ und $E$ bestimmen. Ersetze dazu identische Vektoren (parallel und gleich lang), wie zum Beispiel $\overrightarrow{GK}$ durch $ \overrightarrow{FJ} $. Dazu nutzt du, dass der Punkt $D$ im Urpsrung liegt und damit gilt
$\overrightarrow{DG}+ \overrightarrow{GK} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{FJ} = \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{OK}$
und
$\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{KJ} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE}$
Damit rechnest du
$\overrightarrow{OK} = \pmatrix{0 \\ 8 \\ 4} + \pmatrix{0 \\ -4 \\ 3}= \pmatrix{0 \\ 4 \\ 7}$
Um den Vektor $\overrightarrow{AE}$ zu berechnen, nutzt du, dass die $z$ - Komponente von $\overrightarrow{AG}$ gerade $\overrightarrow{AE}$ entspricht.
$\overrightarrow{DG} = \pmatrix{0 \\ 8 \\ 4}$
Die $z$ - Komponente dieses Vektors ist $ 4$.
$\overrightarrow{OE} = \pmatrix{10\\0\\4}$
Somit sind die Koordinaten der Punkte $E (10 \mid 0 \mid 4)$ und $K (0 \mid 4 \mid 7)$.
$\blacktriangleright$  Gleichung in Koordinatenform der Dachfläche bestimmen
Du sollst die Koordinatenform der Ebene $E^*$ bestimmen, auf der die Punkte $F,G,K,J$ liegen. Dazu berechnest du zuerst die Parameterform der Ebene.
Wähle zum Beispiel als Stützvektor $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{DF} =\overrightarrow{OF} = \pmatrix{10 \\ 8 \\ 4}$
und als Richtungsvektoren
$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{p} = \pmatrix{-10\\0\\0}$
$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{OJ} - \overrightarrow{p} = \pmatrix{0\\-4\\3}$.
Du erhältst die Parameterform
$E^*: \overrightarrow{x} = \pmatrix{10 \\ 8 \\ 4} + r \cdot \pmatrix{-10\\0\\0} + s \cdot \pmatrix{0\\-4\\3} $
$ E^*: \overrightarrow{x} = … $
Die Koordinatenform $a\cdot x + b \cdot y + c\cdot z = C$ erhältst du aus einem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene. Diesen kannst du als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen. Die Parameter $a,b,c$ entsprechen dann den Komponenten $n_x,n_y,n_z$.
Das Kreuzprodukt kannst du mit deinem CAS berechnen über den Befehl $\text{crossP}$ berechnen. Diesen findest du unter
$\text{Action} \longrightarrow \text{Vector} \longrightarrow \text{crossP}$
$\text{Action} \longrightarrow \text{Vector} \longrightarrow \text{crossP}$
Die Konstante entspricht dem Skalarprodukt $\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{n}$.
Es ergibt sich:
$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \pmatrix{0 \\ 30\\ 40}$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 1: Kreuzprodukt
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 1: Kreuzprodukt
Nach Division durch $10$ erhältst du als Komponenten des Normalenvektors
$\pmatrix{n_x = a = 0 \\ n_y = b = 3 \\n_z = c= 4}$
Die Konstante ist also
$C=\pmatrix{0 \\ 3 \\ 4}\cdot \pmatrix{10 \\ 8 \\ 4} = 40$
Als Koordinatenform erhältst du somit: $E^*: 3\cdot y +4 \cdot z = 40$.
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel des Daches bestimmen
Du sollst den Neigungswinkel $\alpha$ des Daches bestimmen. Dieser entspricht gerade dem Winkel zwischen der Dachebene und der $xy-$ Ebene. Für den Winkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1} $ und $\overrightarrow{n_2}$ gilt
$\mathrm{cos}( \alpha) = \dfrac{ \left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_2} \right|}$
$\mathrm{cos}( \alpha) = \dfrac{ \left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_2} \right|}$
Dabei ist $\left| \overrightarrow{v} \right|$ die Länge des Vektors $\overrightarrow{v}$. Diese kannst du mit dem Befehl $\text{norm}$ berechnen, den du folgendermaßen findest
$\text{Action} \longrightarrow \text{Vector} \longrightarrow \text{norm} $
$\text{Action} \longrightarrow \text{Vector} \longrightarrow \text{norm} $
Um das Skalarpodukt zweier Vektoren zu berechnen, verwendest du den Befehl $\text{dotP}$ unter
$\text{Action} \longrightarrow \text{Vector} \longrightarrow \text{dotP} $
$\text{Action} \longrightarrow \text{Vector} \longrightarrow \text{dotP} $
Wähle für $\overrightarrow{n_1}$ den mit deinem CAS normierten Normalenvektor aus dem vorangegangenen Aufgabenteil.
$\overrightarrow{n_1}= \dfrac{1}{5} \cdot \pmatrix{ 0 \\ 3 \\ 4}$
Durch Anwenden der obigen Formel erhältst du eine Gleichung für die Größe des Winkels $\alpha$, die du mit deinem CAS lösen kannst
$\begin{array}[t]{rll} &\mathrm{cos}(\alpha) &=& \left| \pmatrix{0\\0\\1} \cdot \pmatrix{0\\3\\4} \right | \cdot \dfrac{1}{5} &\quad \\ &\alpha &= &\mathrm{arccos}\left(\left| \pmatrix{0\\0\\1} \cdot \pmatrix{0\\3\\4} \right | \cdot \dfrac{1}{5} \right )& \\ \end{array}$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 2: Die Größe des Neigungswinkels $\alpha$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 2: Die Größe des Neigungswinkels $\alpha$
Dadurch erhältst du die Größe des Neigungswinkels $\alpha$ zu ungefähr $ 36,9 ^\circ$.
b)
$\blacktriangleright$  Richtung des Lichteinfalls bestimmen
Du hast die Einfallsrichtung $\overrightarrow{v}$ von parallelem Licht mit einem noch unbestimmten Wert $y$ gegeben. Nun musst du den Wert für $y$ so berechnen, dass der Winkel zwischen der Richtung der Lichtstrahlen und der Dachfläche $E^*$ $30 ^\circ$ beträgt.
Das ist gerade der Fall, wenn der Winkel zwischen dem normierten Normalenvektor der Ebene und der normierten Einfallsrichtung des Lichts $90 ^\circ - 30 ^\circ$ beträgt.
Für den Winkel zwischen $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{n}$ gilt mit $\mathrm{cos(90 ^\circ - \alpha)} = \mathrm{sin(\alpha)}$ und der Formel aus a)
$\dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} \vert}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n} \vert } = \mathrm{sin}(\alpha) $.
Einen normierten Normalenvektor hast du bereits mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\3\\4} \cdot \dfrac{1}{5}$ vorher berechnet.
Einsetzen liefert eine Gleichung für $y$
$\left| \pmatrix{0\\3\\4} \cdot \pmatrix{- \sqrt{39}\\y\\-5} \right| \cdot \dfrac{1}{5 \cdot \sqrt{39 + y^2 + 25}} =\mathrm{sin(30 ^\circ)}$
Diese kannst du mit deinem CAS lösen. Verwende dazu den $\text{solve}$-Befehl. Diesen findest du unter
$\text{Action} \longrightarrow \text{Vector} \longrightarrow \text{solve} $
$\text{Action} \longrightarrow \text{Vector} \longrightarrow \text{solve} $
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 3: Die zulässigen $y-$ Werte für die Lösung der Gleichung
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 3: Die zulässigen $y-$ Werte für die Lösung der Gleichung
Die möglichen Lösungen dieser Gleichung sind $y_1 = 0$ und $y_2 = \dfrac{480}{11}$.
$y_1 = 0$ und $y_2 = \dfrac{480}{11}$
c)
$\blacktriangleright$  Größe der Dachfläche ermitteln
Nun wird ein Drittel der Dachfläche, die von den Punkten $F,G,K,J$ begrenzt wird, mit Solarzellen bestückt. Um die Größe dieser Fläche zu ermitteln, berechnest du die Beträge der Vektoren $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{FJ}$ und $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{FG}$. Der Flächeninhalt ist dann gerade $\, A= \dfrac{1}{3} \cdot \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert$.
$A = \dfrac{1}{3} \cdot (10 \, \text{m} \cdot 5\, \text{m}) \approx 16,67 \, \text{m}^2$
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ebenenschar entwickeln
Diese Solarzellen können sowohl auf dem Dach als auch auf Ebenen montiert werden, die parallel zur Dachfläche mit einem Maximalabstand von $20 \, \text{cm}$ liegen. Nun sollst du eine Gleichung für diese Ebenen entwickeln, in denen du den Parameter $a$ verwendest.
Dazu gehst du so vor: die Gleichung einer zur Dachfläche $E^*$ parallelen Ebene $F_a$ kann durch eine Koordinatenform von $E^*$ beschrieben werden, die um $a$ von der Gleichung der Ebene $E^*$ in Koordinatenform verschoben ist.
$F_a: 3y + 4z = 40 + a$
$\blacktriangleright$  Parameterintervall bestimmen
Den Abstand zweier paralleler Ebenen berechnest du, indem du die Koordinaten eines Punktes auf der einen Ebene in die linke Seite der Hesse - Normalform der anderen Ebene einsetzt. Die Hesse-Normalform der Ebene $F_a$ lautet:
$F_a: \dfrac{3y + 4z - 40 - a}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 0$
Setze also die Koordinaten eines Punktes auf $E^*$ in die Hessesche Normalform der Ebene $F_a$ ein, setze den Abstand $\leq 0,2$ und löse diese Ungleichung nach $a$ auf. Der Befehl zum Lösen einer (Un)gleichung ist ebenfalls der $\text{solve}$-Befehl.
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 4: Das Lösungsintervall der Ungleichung für $a$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 4: Das Lösungsintervall der Ungleichung für $a$
Damit erhältst du, dass für $a$ gelten muss
$ -1 \leq a \leq 1$.
d)
$\blacktriangleright$  Ermittlung der Länge des freien Satellitenmastes
In diesem Aufgabenteil musst du die Länge eines geraden Satellitenmastes, der senkrecht auf der $xy-$ Ebene steht, außerhalb des Hauses berechnen. Den Verlauf des Mastes kannst du mit einer Geradengleichung modellieren. Bestimme zunächst die Geradengleichung durch den Punkt $P$. Wähle als Stützvektor dazu den Ortsvektor des Punkes $P$ und als Richtungsvektor den Einheitsvektor in $z$- Richtung.
$\overrightarrow{g} = \pmatrix{1\\5\\4} + l \cdot \pmatrix{0\\0\\1}$
Bestimme nun den Schnittpunkt dieser Gerade mit der Dachebene. Setze dazu die Geradengleichung in die Koordinatenform der Gleichung der Ebene $E^*$ ein und löse diese Gleichung nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} &3 \cdot 5 + 4\cdot(4+t)=& 40 &\quad \scriptsize \\[5pt] &t = \dfrac{9}{4}& \end{array}$
Als Schnittpunkt erhältst du $M(1 \mid 5 \mid 6,25)$. Vom Punkt $P$ bis zum Punkt $M$ befindet sich der Mast also im Inneren des Hauses. Die Länge dieses Mastteils ergibt sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} l_{\text{innen}}&=&\left| \overrightarrow{PM}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2+(6,25-4)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2,25^2} \\[5pt] &=& 2,25 \\[5pt] \end{array}$
$ l_{\text{innen}} = 2,25\,\text{m} $
Da der Mast insgesamt $4\,\text{m}$ lang ist, befinden sich $1,75\,\text{m}$ des Mastes außerhalb des Hauses.
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen Dachebene und Mastspitze berechnen
Um den Abstand der Mastspitze $S$ zur Ebene $E^*$ zu berechnen, musst du erst die Koordinaten der Mastspitze berechnen.
Weil der Mast ausschließlich in $z$- Richtung zeigt und insgesamt $4 \, \text{m}$ lang ist, befindet sich $S$ gerade bei $(1 \mid 5 \mid 8)$. Den Abstand ermitteltst du, indem du die Koordinaten des Punkts $S$ in die linke Seite der Hesseschen Normalform der Gleichung der Ebene $E^*$ einetzt:
$\begin{array}[t]{rll} d(E^*,S)&=& \dfrac{3y+4z-40}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 5 +4\cdot 8 -40}{5} \\[5pt] &=& \frac{7}{5} = 1,4 \end{array}$
Also beträgt der Abstand $1,4 \, \text{m}$.
e)
$\blacktriangleright$  Begründung der Parallelität
Du sollst begründen, ob die Geraden $g_1$ und $g_2$ zueinander parallel verlaufen. Wenn du die Richtungsvektoren der beiden Geraden betrachtest, siehst du, dass diese identisch sind. Du weißt, dass Geraden mit linear abhängigen Richtungsvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ parallel zueinander verlaufen.
Sind zwei Vektoren linear abhängig, so gibt es es eine reele Zahl $r$, für die gilt
$\overrightarrow{v} = r \cdot \overrightarrow{w}$
Identische Richtungsvektoren sind also ebenfalls voneinander linear abhängig, da gilt
$\overrightarrow{v} = 1 \cdot \overrightarrow{w}$.
Somit sind die beiden Geraden zueinander parallel.
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Du sollst den Abstand der parallelen Geraden $g_1$ und $g_2$ berechnen, die zwei Dachbalken innerhalb der Ebene $E^*$ modellieren.
$g_1 = \overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{2,5\\5\\6,25} + r \cdot \pmatrix{8\\-4\\3} $
$g_2 = \overrightarrow{q} + s \cdot \overrightarrow{v} = \pmatrix{5\\6\\5,5} + s \cdot \pmatrix{8\\-4\\3}$
mit $s,r \in \mathbb{R}$. Dazu nutzt du die Formel
$d(g_1,g_2) = \dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}) \vert}{\vert \overrightarrow{w} \vert}$
$d(g_1,g_2) = \dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}) \vert}{\vert \overrightarrow{w} \vert}$
Berechne also mit deinem CAS unter Verwendung der Befehle $\text{norm}$ und $\text{dotP}$
$d(g_1,g_2) = \dfrac{ \left \vert \pmatrix{8 \\ -4 \\ 3} \cdot \left ( \pmatrix{5 \\ 6 \\ 5,5} - \pmatrix{2,5 \\ 5 \\ 6,25} \right \vert \right )}{\left \vert \pmatrix{8\\-4\\3} \right \vert}$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 5: Der Abstand der Dachbalken
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 5: Der Abstand der Dachbalken
Damit ergibt sich der Abstand der Dachbalken $g_1$ und $g_2$ zu $1,4575 \, \text{LE} = 1,4575 \, \text{m}$.
Bildnachweise [nach oben]
[1-5]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
In dieser Aufgabe ist ein Haus mit rechteckiger Grundfläche gegeben, sowie die Punkte $D (0\mid0\mid0)$, $F (10\mid8\mid4)$, $G (0\mid8\mid4)$ und $J (10\mid4\mid7)$.
Du sollst nun die unbekannten Koordinaten der Punkte $K$ und $E$ bestimmen. Ersetze dazu identische Vektoren (parallel und gleich lang), wie zum Beispiel $\overrightarrow{GK}$ durch $ \overrightarrow{FJ} $. Dazu nutzt du, dass der Punkt $D$ im Urpsrung liegt und damit gilt
$\overrightarrow{DG}+ \overrightarrow{GK} = \overrightarrow{DG} + \overrightarrow{FJ} = \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{OK}$
und
$\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{KJ} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{OE}$
Damit rechnest du
$\overrightarrow{OK} = \pmatrix{0 \\ 8 \\ 4} + \pmatrix{0 \\ -4 \\ 3}= \pmatrix{0 \\ 4 \\ 7}$
Um den Vektor $\overrightarrow{AE}$ zu berechnen, nutzt du, dass die $z$ - Komponente von $\overrightarrow{AG}$ gerade $\overrightarrow{AE}$ entspricht.
$\overrightarrow{DG} = \pmatrix{0 \\ 8 \\ 4}$
Die $z$ - Komponente dieses Vektors ist $ 4$.
Damit erhältst du
$\overrightarrow{OE} = \pmatrix{10\\0\\4}$
Somit sind die Koordinaten der Punkte $E(10 \mid 0 \mid 4) $ und $K (0 \mid 4 \mid 7)$.
$\blacktriangleright$  Gleichung in Koordinatenform der Dachfläche bestimmen
Du sollst die Koordinatenform der Ebene $E^*$ bestimmen, auf der die Punkte $F,G,K,J$ liegen. Dazu berechnest du zuerst die Parameterform der Ebene.
Wähle zum Beispiel als Stützvektor $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{DF} =\overrightarrow{OF} = \pmatrix{10 \\ 8 \\ 4}$
und als Richtungsvektoren
$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{p} = \pmatrix{-10\\0\\0}$
$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{OJ} - \overrightarrow{p} = \pmatrix{0\\-4\\3}$.
Du erhältst die Parameterform
$E^*: \overrightarrow{x} = \pmatrix{10 \\ 8 \\ 4} + r \cdot \pmatrix{-10\\0\\0} + s \cdot \pmatrix{0\\-4\\3} $
$ E^*: \overrightarrow{x} = … $
Die Koordinatenform $a\cdot x + b \cdot y + c\cdot z = C$ erhältst du aus einem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene. Diesen kannst du als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren berechnen. Die Parameter $a,b,c$ entsprechen dann den Komponenten $n_x,n_y,n_z$.
Das Kreuzprodukt kannst du mit deinem CAS berechnen über den Befehl $\text{crossP}$ berechnen. Diesen findest du unter
$\text{menu} \longrightarrow 7 \longrightarrow \text{C} \longrightarrow $ 2
$\text{menu} \longrightarrow 7 \longrightarrow \text{C} \longrightarrow $ 2
Die Konstante entspricht dem Skalarprodukt $\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{n}$.
Es ergibt sich:
$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = \pmatrix{0 \\ 30\\ 40}$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 1: Kreuzprodukt
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 1: Kreuzprodukt
Nach Division durch $10$ erhältst du als Komponenten des Normalenvektors
$\pmatrix{n_x = a = 0 \\ n_y = b = 3 \\n_z = c= 4}$
Die Konstante ist also
$C=\pmatrix{0 \\ 3 \\ 4}\cdot \pmatrix{10 \\ 8 \\ 4} = 40$
Als Koordinatenform erhältst du somit: $E^*: 3\cdot y +4 \cdot z = 40$.
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel des Daches bestimmen
Du sollst den Neigungswinkel $\alpha$ des Daches bestimmen. Dieser entspricht gerade dem Winkel zwischen der Dachebene und der $xy-$ Ebene. Für den Winkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n_1} $ und $\overrightarrow{n_2}$ gilt
$\mathrm{cos}( \alpha) = \dfrac{ \left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_2} \right|}$
$\mathrm{cos}( \alpha) = \dfrac{ \left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_2} \right|}$
Dabei ist $\left| \overrightarrow{v} \right|$ die Länge des Vektors $\overrightarrow{v}$. Diese kannst du mit dem Befehl $\text{Norm}$ berechnen, den du folgendermaßen findest
$ \text{menu} \longrightarrow 7 \longrightarrow \text{C} \longrightarrow 7 \longrightarrow 1$
$ \text{menu} \longrightarrow 7 \longrightarrow \text{C} \longrightarrow 7 \longrightarrow 1$
Um das Skalarpodukt zweier Vektoren zu berechnen, verwendest du den Befehl $\text{dotP}$ unter
menu $\longrightarrow 7 \longrightarrow C \longrightarrow 3$
menu $\longrightarrow 7 \longrightarrow C \longrightarrow 3$
Wähle für $\overrightarrow{n_1}$ den mit deinem CAS normierten Normalenvektor aus dem vorangegangenen Aufgabenteil.
$\overrightarrow{n_1}= \dfrac{1}{5} \cdot \pmatrix{ 0 \\ 3 \\ 4}$
Durch Anwenden der obigen Formel erhältst du eine Gleichung für die Größe des Winkels $\alpha$, die du mit deinem CAS lösen kannst
$\begin{array}[t]{rll} &\mathrm{cos}(\alpha) &=& \left| \pmatrix{0\\0\\1} \cdot \pmatrix{0\\3\\4} \right | \cdot 0,2 &\quad \\ &\alpha &= &\mathrm{arccos}\left(\left| \pmatrix{0\\0\\1} \cdot \pmatrix{0\\3\\4} \right | \cdot 0,2\right)& \\ \end{array}$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 2: Die Größe des Neigungswinkels $\alpha$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 2: Die Größe des Neigungswinkels $\alpha$
Dadurch erhältst du die Größe des Neigungswinkels $\alpha$ zu ungefähr $ 36,9 ^\circ$.
b)
$\blacktriangleright$  Richtung des Lichteinfalls bestimmen
Du hast die Einfallsrichtung $\overrightarrow{v}$ von parallelem Licht mit einem noch unbestimmten Wert $y$ gegeben. Nun musst du den Wert für $y$ so berechnen, dass der Winkel zwischen der Richtung der Lichtstrahlen und der Dachfläche $E^*$ $30 ^\circ$ beträgt.
Das ist gerade der Fall, wenn der Winkel zwischen dem normierten Normalenvektor der Ebene und der normierten Einfallsrichtung des Lichts $90 ^\circ - 30 ^\circ$ beträgt.
Für den Winkel zwischen $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{n}$ gilt mit $\mathrm{cos(90 ^\circ - \alpha)} = \mathrm{sin(\alpha)}$ und der Formel aus a)
$\dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} \vert}{\vert \overrightarrow{v} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n} \vert } = \mathrm{sin}(\alpha) $.
Einen normierten Normalenvektor hast du bereits mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\3\\4} \cdot \dfrac{1}{5}$ vorher berechnet.
Einsetzen liefert eine Gleichung für $y$
$\left| \pmatrix{0\\3\\4} \cdot \pmatrix{- \sqrt{39}\\y\\-5} \right| \cdot \dfrac{1}{5 \cdot \sqrt{39 + y^2 + 25}} =\mathrm{sin(30 ^\circ)}$
Diese kannst du mit deinem CAS lösen. Verwende dazu den $\text{solve}$-Befehl. Diesen findest du unter
$ \text{menu} \longrightarrow 3 \longrightarrow 1$
$ \text{menu} \longrightarrow 3 \longrightarrow 1$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 3: Die zulässigen $y-$ Werte für die Lösung der Gleichung
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 3: Die zulässigen $y-$ Werte für die Lösung der Gleichung
Die möglichen Lösungen dieser Gleichung sind $y_1 = 0$ und $y_2 = \dfrac{480}{11}$.
$y_1 = 0$ und $y_2 = \dfrac{480}{11}$
c)
$\blacktriangleright$  Größe der Dachfläche ermitteln
Nun wird ein Drittel der Dachfläche, die von den Punkten $F,G,K,J$ begrenzt wird, mit Solarzellen bestückt. Um die Größe dieser Fläche zu ermitteln, berechnest du die Beträge der Vektoren $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{FJ}$ und $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{FG}$. Der Flächeninhalt ist dann gerade $\, A= \dfrac{1}{3} \cdot \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert$.
$A = \dfrac{1}{3} \cdot (10 \, \text{m} \cdot 5\, \text{m}) \approx 16,67 \, \text{m}^2$
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ebenenschar entwickeln
Diese Solarzellen können sowohl auf dem Dach als auch auf Ebenen montiert werden, die parallel zur Dachfläche mit einem Maximalabstand von $20 \, \text{cm}$ liegen. Nun sollst du eine Gleichung für diese Ebenen entwickeln, in denen du den Parameter $a$ verwendest.
Dazu gehst du so vor: die Gleichung einer zur Dachfläche $E^*$ parallelen Ebene $F_a$ kann durch eine Koordinatenform von $E^*$ beschrieben werden, die um $a$ von der Gleichung der Ebene $E^*$ in Koordinatenform verschoben ist.
$F_a: 3y + 4z = 40 + a$
$\blacktriangleright$  Parameterintervall bestimmen
Den Abstand zweier paralleler Ebenen berechnest du, indem du die Koordinaten eines Punktes auf der einen Ebene in die linke Seite der Hesse - Normalform der anderen Ebene einsetzt. Die Hesse-Normalform der Ebene $F_a$ lautet:
$F_a: \dfrac{3y + 4z - 40 - a}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 0$
Setze also die Koordinaten eines Punktes auf $E^*$ in die Hessesche Normalform der Ebene $F_a$ ein, setze den Abstand $\leq 0,2$ und löse diese Ungleichung nach $a$ auf. Der Befehl zum Lösen einer (Un)gleichung ist ebenfalls der $\text{solve}$-Befehl.
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 4: Das Lösungsintervall der Ungleichung für $a$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 4: Das Lösungsintervall der Ungleichung für $a$
Damit erhältst du, dass für $a$ gelten muss
$ -1 \leq a \leq 1$.
d)
$\blacktriangleright$  Ermittlung der Länge des freien Satellitenmastes
In diesem Aufgabenteil musst du die Länge eines geraden Satellitenmastes, der senkrecht auf der $xy-$ Ebene steht, außerhalb des Hauses berechnen. Den Verlauf des Mastes kannst du mit einer Geradengleichung modellieren. Bestimme zunächst die Geradengleichung durch den Punkt $P$. Wähle als Stützvektor dazu den Ortsvektor des Punkes $P$ und als Richtungsvektor den Einheitsvektor in $z$- Richtung.
$\overrightarrow{g} = \pmatrix{1\\5\\4} + l \cdot \pmatrix{0\\0\\1}$
Bestimme nun den Schnittpunkt dieser Gerade mit der Dachebene. Setze dazu die Geradengleichung in die Koordinatenform der Gleichung der Ebene $E^*$ ein und löse diese Gleichung nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} &3 \cdot 5 + 4\cdot(4+t)=& 40 &\quad \scriptsize \\[5pt] &t = \dfrac{9}{4}& \end{array}$
Als Schnittpunkt erhältst du $M(1 \mid 5 \mid 6,25)$. Vom Punkt $P$ bis zum Punkt $M$ befindet sich der Mast also im Inneren des Hauses. Die Länge dieses Mastteils ergibt sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} l_{\text{innen}}&=&\left| \overrightarrow{PM}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2+(6,25-4)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2,25^2} \\[5pt] &=& 2,25 \\[5pt] \end{array}$
$ l_{\text{innen}} = 2,25\,\text{m} $
Da der Mast insgesamt $4\,\text{m}$ lang ist, befinden sich $1,75\,\text{m}$ des Mastes außerhalb des Hauses.
$\blacktriangleright$  Abstand zwischen Dachebene und Mastspitze berechnen
Um den Abstand der Mastspitze $S$ zur Ebene $E^*$ zu berechnen, musst du erst die Koordinaten der Mastspitze berechnen.
Weil der Mast ausschließlich in $z$- Richtung zeigt und insgesamt $4 \, \text{m}$ lang ist, befindet sich $S$ gerade bei $(1 \mid 5 \mid 8)$. Den Abstand ermitteltst du, indem du die Koordinaten des Punkts $S$ in die linke Seite der Hesseschen Normalform der Gleichung der Ebene $E^*$ einetzt:
$\begin{array}[t]{rll} d(E^*,S)&=& \dfrac{3y+4z-40}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{3\cdot 5 +4\cdot 8 -40}{5} \\[5pt] &=& \frac{7}{5} = 1,4 \end{array}$
Also beträgt der Abstand $1,4 \, \text{m}$.
e)
$\blacktriangleright$  Begründung der Parallelität
Du sollst begründen, ob die Geraden $g_1$ und $g_2$ zueinander parallel verlaufen. Wenn du die Richtungsvektoren der beiden Geraden betrachtest, siehst du, dass diese identisch sind. Du weißt, dass Geraden mit linear abhängigen Richtungsvektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ parallel zueinander verlaufen.
Sind zwei Vektoren linear abhängig, so gibt es es eine reele Zahl $r$, für die gilt
$\overrightarrow{v} = r \cdot \overrightarrow{w}$
Identische Richtungsvektoren sind also ebenfalls voneinander linear abhängig, da gilt
$\overrightarrow{v} = 1 \cdot \overrightarrow{w}$.
Somit sind die beiden Geraden zueinander parallel.
$\blacktriangleright$  Abstand berechnen
Du sollst den Abstand der parallelen Geraden $g_1$ und $g_2$ berechnen, die zwei Dachbalken innerhalb der Ebene $E^*$ modellieren.
$g_1 = \overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{w} = \pmatrix{2,5\\5\\6,25} + r \cdot \pmatrix{8\\-4\\3} $
$g_2 = \overrightarrow{q} + s \cdot \overrightarrow{v} = \pmatrix{5\\6\\5,5} + s \cdot \pmatrix{8\\-4\\3}$
mit $s,r \in \mathbb{R}$. Dazu nutzt du die Formel
$d(g_1,g_2) = \dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}) \vert}{\vert \overrightarrow{w} \vert}$
$d(g_1,g_2) = \dfrac{\vert \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}) \vert}{\vert \overrightarrow{w} \vert}$
Berechne also mit deinem CAS unter Verwendung der Befehle $\text{Norm}$ und $\text{dotP}$
$d(g_1,g_2) = \dfrac{ \left \vert \pmatrix{8 \\ -4 \\ 3} \cdot \left ( \pmatrix{5 \\ 6 \\ 5,5} - \pmatrix{2,5 \\ 5 \\ 6,25} \right \vert \right )}{\left \vert \pmatrix{8\\-4\\3} \right \vert}$
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 5: Der Abstand der Dachbalken
Analytische Geometrie 3.1
Abb. 5: Der Abstand der Dachbalken
Damit ergibt sich der Abstand der Dachbalken $g_1$ und $g_2$ zu $1,4575 \, \text{LE} = 1,4575 \, \text{m}$.
Bildnachweise [nach oben]
[1-5]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App