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Aufgabe 4.1

Aufgaben
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Vereinsjubiläum

Ein Sportverein begeht sein 30-jähriges Bestehen mit einem großen Fest. Unter anderem findet ein Fußballspiel zwischen der eigenen Männermannschaft und einem Zweitligaverein statt, an das sich eine Autogrammstunde anschließt.
Während der Autogrammstunde beantworten die Spieler des Zweitligavereins Fragen, die vorher von den Besuchern eingereicht werden konnten. $30$ Frauen und $50$ Männer haben je eine Frage eingereicht. Die eingereichten Fragen beziehen sich zu $75$ Prozent auf den Fußball. Die übrigen Fragen sind eher allgemeiner Natur. Frauen stellten zu gleichen Teilen Fragen rein fußballerischer und allgemeiner Natur.
a)
Ermittle die Anzahl der von Männern gestellten Fragen, die eher allgemeine Dinge betreffen.
(2 BE)
b)
Unter denjenigen, die eine Frage eingereicht haben, wird eine Person per Losentscheid ermittelt, die eine Jahreskarte für die Heimspiele des Zweitligavereins gewinnt. Um die Spannung zu erhöhen, beginnt der Vereinsvorsitzende die Bekanntgabe des Gewinners damit, dass dieser eine eher allgemeine Frage gestellt hat.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Jahreskarte von einem Mann gewonnen wird.
(4 BE)
c)
An einem Imbissstand kann man eine Bratwurst zum Preis von $1,50 \,€$ kaufen. Bei diesem Preis erzielt der Betreiber einen Gewinn von $0,30\, €$ pro verkaufter Wurst. Da der Imbissstandbetreiber zu den Unterstützern des Vereins gehört, hat er ein Glücksrad aufgestellt, das aus schwarzen und weißen Sektoren besteht. Die weißen Sektoren nehmen zusammen einen Winkel von $36^{\circ}$ ein. Erdreht ein potentieller Käufer weiß, so erhält er die Wurst kostenlos.
Ermittle, auf wie viel Euro sich der Gewinn pro abgegebener Bratwurst durch die Aktion verringert.
(4 BE)

(10 BE)
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a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Fragen ermitteln
Insgesamt wurden $80$ Fragen gestellt. Davon beziehen sich $75\,\%$ auf den Fußball:
$80\cdot 0,75 = 60$
Insgesamt werden also $60$ Fragen bezüglich des Fußballs gestellt und damit $20$ Fragen allgemeiner Natur. Die $30$ Fragen der Frauen beziehen sich zu gleichen Teilen auf den Fußball und Allgemeines. Es werden also $15$ Fragen von Frauen gestellt, die sich nicht auf den Fußball beziehen.
Die übrigen Fragen, die sich nicht auf den Fußball beziehen, müssen also von Männern gestellt werden:
$20-15 = 5 $
Von Männern wurden insgesamt $5$ Fragen gestellt, die eher allgemeine Dinge betreffen.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Insgesamt wurden laut Aufgabenteil a) $20$ allgemeine Fragen gestellt. Davon wurden fünf von Männern gestellt.
$\dfrac{5}{20} = 0,25$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ wurde eine eher allgemeine Frage von einem Mann gestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ gewinnt also ein Mann die Jahreskarte.
c)
$\blacktriangleright$  Verringerten Gewinn berechnen
Die Bratwurst erhält man nur kostenlos, wenn man beim Drehen des Glücksrades einen weißen Sektor trifft. Diese nehmen zusammen von den insgesamt $360^{\circ}$ $36^{\circ}$ ein. Die Wahrscheinlichkeit für eine kostenlose Bratwurst beträgt also:
$\dfrac{36^{\circ}}{360^{\circ}} = 0,1 = 10\,\%$
Bei einer verkauften Bratwurst nimmt der Betreiber $0,30\,€$ Gewinn ein, bei einer kostenlosen macht er also $1,20\,€$ Verlust.
Im Schnitt ergibt sich der Gewinn also zu:
$E(G)= 0,30\,€ \cdot 0,9 -1,20\,€ \cdot 0,1 = 0,15\,€$
$ E(G)= 0,15\,€ $
Pro abgegebener Bratwurst macht der Betreiber nun nur noch $0,15€$ Gewinn.
#erwartungswert
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Insgesamt wurden $80$ Fragen gestellt. Davon beziehen sich $75\,\%$ auf den Fußball:
$80\cdot 0,75 = 60$
Insgesamt werden also $60$ Fragen bezüglich des Fußballs gestellt und damit $20$ Fragen allgemeiner Natur. Die $30$ Fragen der Frauen beziehen sich zu gleichen Teilen auf den Fußball und Allgemeines. Es werden also $15$ Fragen von Frauen gestellt, die sich nicht auf den Fußball beziehen.
Die übrigen Fragen, die sich nicht auf den Fußball beziehen, müssen also von Männern gestellt werden:
$20-15 = 5 $
Von Männern wurden insgesamt $5$ Fragen gestellt, die eher allgemeine Dinge betreffen.
b)
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Insgesamt wurden laut Aufgabenteil a) $20$ allgemeine Fragen gestellt. Davon wurden fünf von Männern gestellt.
$\dfrac{5}{20} = 0,25$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ wurde eine eher allgemeine Frage von einem Mann gestellt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ gewinnt also ein Mann die Jahreskarte.
c)
$\blacktriangleright$  Verringerten Gewinn berechnen
Die Bratwurst erhält man nur kostenlos, wenn man beim Drehen des Glücksrades einen weißen Sektor trifft. Diese nehmen zusammen von den insgesamt $360^{\circ}$ $36^{\circ}$ ein. Die Wahrscheinlichkeit für eine kostenlose Bratwurst beträgt also:
$\dfrac{36^{\circ}}{360^{\circ}} = 0,1 = 10\,\%$
Bei einer verkauften Bratwurst nimmt der Betreiber $0,30\,€$ Gewinn ein, bei einer kostenlosen macht er also $1,20\,€$ Verlust.
Im Schnitt ergibt sich der Gewinn also zu:
$E(G)= 0,30\,€ \cdot 0,9 -1,20\,€ \cdot 0,1 = 0,15\,€$
$ E(G)= 0,15\,€ $
Pro abgegebener Bratwurst macht der Betreiber nun nur noch $0,15€$ Gewinn.
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