Hilfsmittelfreier Teil 1

1.1 Analysis

Gegeben ist eine Funktion \(f\) mit \(f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1;\) \(x\in \mathbb{R}.\)
a)
Ermittle die Nullstelle der Funktion \(f\).
(2 BE)
b)
Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0\mid 1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)

1.2 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Ebene \(E:\; 2x+y-2z = -18.\)
a)
Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x\)-Achse und der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(y\)-Achse sowie der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene \(E\) ist.
(3 BE)

1.3 Stochastik

Grüne und orange Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:
a)
Aus Urne \(A\) wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(B\) gelegt. Anschließend wird aus Urne \(B\) eine Kugel zufällig entnommen und in Urne \(C\) gelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne \(C\) zwei grüne und eine orange Kugel befinden.
(2 BE)
b)
Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:
Es wird zunächst ein Einsatz von \(1\,\,€\) eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel orange ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.
Ermittle, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.
(3 BE)

(15 BE)
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