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Hilfsmittelfreier Teil 1

Aufgaben
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1.1 Analysis

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1;$ $x\in \mathbb{R}.$
a)
Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$.
(2 BE)
b)
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.
(3 BE)
#gleichschenkligesdreieck#zentraleraufgabenpool#nullstelle

1.2 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x+y-2z = -18.$
a)
Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x$-Achse und der Schnittpunkt von $E$ mit der $y$-Achse sowie der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene $E$ ist.
(3 BE)
#dreieck#normalenvektor#zentraleraufgabenpool

1.3 Stochastik

Grüne und orange Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:
a)
Aus Urne $A$ wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $B$ gelegt. Anschließend wird aus Urne $B$ eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $C$ gelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne $C$ zwei grüne und eine orange Kugel befinden.
(2 BE)
b)
Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:
Es wird zunächst ein Einsatz von $1\,\,€$ eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel orange ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.
Ermittle, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.
(3 BE)

(15 BE)
#zentraleraufgabenpool
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1 Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Nullstelle ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1}{2}x}&=& \frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \frac{1}{2}x&=& \ln\left(\frac{1}{2}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x&=& 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)\\[5pt] \end{array}$
$ x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$
Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit nachweisen
1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen
Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$, also $m = f'(0)$.
  • $t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f'(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$
Also gilt für die Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& f'(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Einsetzen von $m$ und $S$ in die Tangentengleichung liefert eine Gleichung in Abhängigkeit von $b:$
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$
Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$.
2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$. Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$-Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse.
$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$
3. Schritt: Seitenlängen berechnen
Es gilt $\overline{OS} = 1 $, $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$. Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$, $S$ und $S_x$ gleichschenklig.

1.2 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen
Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x$-Achse. Für alle Punkte auf der $x$-Achse gilt $(x\mid 0 \mid 0).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x +y -2z &\quad \scriptsize \mid\; y = z =0 \\[5pt] -18&=&2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -9&=&x \end{array}$
$ -9=x $
Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Für den dritten Eckpunkt folgt analog:
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x +y -2z &\quad \scriptsize \mid\; x =z =0\\[5pt] -18&=&y \end{array}$
$ -18 = y $
Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Mit dem Betrag des Kreuzprodukts kann der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-9\\0\\0}\times \pmatrix{0\\-18\\0} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\162} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+162^2}\\[5pt] &=& 81 \end{array}$
$A = 81 $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Aus der Ebenengleichung lässt sich ein Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:
$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$.
Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert das $t,$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} -18&=& 2x +y -2z &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{v} = \pmatrix{2t\\ t\\ -2t} \\[5pt] -18&=& 2\cdot 2t + t -2\cdot (-2t) \\[5pt] -18&=&9t &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] -2&=& t \end{array}$
$ -2 = t $
$\overrightarrow{v} = -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} = \pmatrix{-4\\-2\\4}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$
Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$
#kreuzprodukt

1.3 Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Hilfsmittelfreier Teil 1
Abb. 1: Baumdiagramm
Hilfsmittelfreier Teil 1
Abb. 1: Baumdiagramm
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37,5\,\%$ befinden sich zum Schluss zwei grüne und eine orange Kugel in der Urne.
b)
$\blacktriangleright$  Geldbetrag ermitteln
Betrachtet wird das Spiel aus der Sicht des Spielers. Dieser zahlt zu Beginn $1\,€ $ ein. Auf lange Sicht sollen Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sein. Die erwartete Auszahlung muss also ebenfalls $1\,€$ betragen.
Die Wahrscheinlichkeiten für eine orange und für eine grüne Kugel kann mit Hilfe eines Baumdiagramms und den Pfadregeln bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Gewinn})&=& P(\text{orange}) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\cdot 0 \\[5pt] &=& \frac{5}{18} \\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{Gewinn}) = \frac{5}{18}$
Einsetzen in die Gleichung $E(\text{Auszahlung}) = 1$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E(\text{Auszahlung})&=& P(\text{Gewinn})\cdot x + P(\overline{\text{Gewinn}})\cdot 0\\[5pt] &=& P(\text{Gewinn})\cdot x \\[5pt] 1&=& \frac{5}{18} \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \frac{18}{5}\\[5pt] \frac{18}{5}&=& x \\[5pt] 3,6&=& x \end{array}$
$ 3,6 = x $
Damit sich bei einem Einsatz von $1\,€ $ Auszahlungen und Einsätze langfristig ausgleichen, muss der Geldbetrag, der ausgezahlt wird, $3,60 \, €$ betragen.
#pfadregeln#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
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