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Parameterwert ermitteln
1. Schritt: Koordinaten des Mittelpunkts bestimmen
Der Mittelpunkt eines Quadrates ist auch der Mittelpunkt der beiden Diagonalen, also insbesondere der Diagonalen $AC.$ Mit der Formel für den Mittelpunkt einer Strecke folgt:
$\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{-2\\2\\-1}+\pmatrix{2\\-2\\1} \right) \\[5pt]
&=& \pmatrix{0\\0\\0} \\[5pt]
\end{array}$
$ \overrightarrow{OM}= \pmatrix{0\\0\\0} $
$\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{-2\\2\\-1}+\pmatrix{2\\-2\\1} \right) \\[5pt]
&=& \pmatrix{0\\0\\0} \\[5pt]
\end{array}$
2. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Gerade, entlang derer der Laserstrahl verläuft, kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll}
g_a:\quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OR_a} +t\cdot \overrightarrow{v} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1}
\end{array}$
$ g_a: … $
$\begin{array}[t]{rll}
g_a:\quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OR_a} +t\cdot \overrightarrow{v} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1}
\end{array}$
3. Schritt: Parameterwert bestimmen
$a$ muss so gewählt werden, dass $M$ auf der Geraden $g_a$ liegt:
$\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1} \\[5pt]
\pmatrix{0\\0\\0}&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1}
\end{array}$
$ \pmatrix{0\\0\\0}= … $
$\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1} \\[5pt]
\pmatrix{0\\0\\0}&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1}
\end{array}$
Aus der ersten und dritten Zeile folgt, dass $t=6$ gelten muss. Für die zweite Zeile der Gleichung gilt damit:
$\begin{array}[t]{rll}
0&=& 2a-4+6\cdot 3 \\[5pt]
0&=& 2a+14 &\quad \scriptsize\mid \; -14 \\[5pt]
-14 &=& 2a &\quad \scriptsize\mid \; :2\\[5pt]
-7 &=& a
\end{array}$
$ a= -7 $
$\begin{array}[t]{rll}
0&=& 2a-4+6\cdot 3 \\[5pt]
0&=& 2a+14 &\quad \scriptsize\mid \; -14 \\[5pt]
-14 &=& 2a &\quad \scriptsize\mid \; :2\\[5pt]
-7 &=& a
\end{array}$
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Winkelgröße bestimmen
Ein Richtungsvektor des Laserstrahls ist $\overrightarrow{v}.$ Ein Richtungsvektor der Diagonale $AC$ ist $\overrightarrow{AC}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll}
\cos \phi&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{AC} \right|}{\left|\overrightarrow{v} \right| \cdot \left| \overrightarrow{AC}\right|} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{\left|\pmatrix{1\\3\\-1}\circ\pmatrix{4\\-4\\2} \right|}{\left|\pmatrix{1\\3\\-1}\right| \cdot \left| \pmatrix{4\\-4\\2}\right|} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{\left|1\cdot 4 +3\cdot (-4) -1\cdot 2\right|}{\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{10}{\sqrt{11} \cdot 6}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\phi&\approx& 59,83^{\circ} \\[5pt]
\end{array}$
$ \phi\approx 59,83^{\circ} $
$\begin{array}[t]{rll}
\cos \phi&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{AC} \right|}{\left|\overrightarrow{v} \right| \cdot \left| \overrightarrow{AC}\right|} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{\left|\pmatrix{1\\3\\-1}\circ\pmatrix{4\\-4\\2} \right|}{\left|\pmatrix{1\\3\\-1}\right| \cdot \left| \pmatrix{4\\-4\\2}\right|} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{\left|1\cdot 4 +3\cdot (-4) -1\cdot 2\right|}{\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{10}{\sqrt{11} \cdot 6}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\phi&\approx& 59,83^{\circ} \\[5pt]
\end{array}$
Der Winkel, den der Laserstrahl und die Diagonale $AC$ einschließen, ist ca. $59,83^{\circ}$ groß.
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