Analysis 2.1 - Eingangstor

Analysis: Eingangstor

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit der Gleichung $f_a(x)=-ax^4+x^2+\dfrac{a}{2}$ ; $x\in\mathbb{R},a\in\mathbb{R}.$
Die zugehörigen Graphen sind $G_a$ .

Zeige, dass alle Graphen $G_a$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse verlaufen.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch für den Graphen der Funktion $f_{0,5}$ die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte.

(8 BE)

Weise nach, dass der Schnittpunkt $S_y$ aller Graphen $G_a$ mit der $y$ -Achse stets lokaler Tiefpunkt ist.

(4 BE)

Für $a \gt 0$ hat $f_a$ genau zwei Nullstellen (Nachweis nicht erforderlich).

Berechne den Paramter $a,$ für den der Abstand dieser Nullstellen auf der $x$ -Achse zehn Längeneinheiten beträgt.
Skizziere einen Graphen $G_a$ für $a \lt 0$ und begründe unter Verwendung dieser Skizze ohne zu rechnen, dass $f_a$ auch für $a \lt 0$ nur zwei Nullstellen haben kann.

In der Abbildung 1 ist der Graph $G_{0,5}$ dargestellt.

Graph einer Funktion mit einer Welle, die die x- und y-Achse schneidet.

Abb. 1

(5 BE)

Der Graph $G_{0,5}$ soll um $0,25 \,\text{LE}$ entlang der $y$ -Achse nach unten verschoben und an der $x$ -Achse gespiegelt werden. Der dadurch entstandene Graph heißt $K.$
Ermittle eine Funktionsgleichung für den Graphen $K.$
Gib die Anzahl der Schnittpunkte von $K$ mit der $x$ -Achse an und begründe deine Angabe ohne Rechnung.

(3 BE)

Begründe unter Zuhilfenahme der Abbildung 1, dass es ein zur $y$ -Achse symmetrisches Quadrat geben muss, von dem zwei Eckpunkte auf der $x$ -Achse und zwei Eckpunkte auf $G_{0,5}$ liegen.

(3 BE)

Ein Punkt auf dem Graphen $G_{0,5}$ im ersten Quadranten und der Koordinatenursprung sind die diagonal gegenüberliegenden Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks.
Eine Rechteckseite ist $0,8\,\text{LE}$ lang.
Der Graph $G_{0,5}$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilflächen.

Ermittle das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Teilflächen.

(4 BE)

Eine Parallele zur $x$ -Achse wird durch den Graphen $G_{0,5}$ viermal geschnitten, so dass durch aufeinander folgende Schnittpunkte Strecken entstehen.
Skizziere den Sachverhalt und bestimme eine Gleichung für diese Parallele so, dass alle Strecken gleich lang sind.

(5 BE)

Die Tangente $t$ im Punkt $U(1 \mid f_a(1))$ an den Graphen $G_a$ und die Senkrechte zur Tangente $t$ im Punkt $U$ schließen mit der $x$ -Achse ein Dreieck ein.
Ermittle einen Parameterwert $a$ so, dass das Dreieck gleichschenklig ist und die Basis auf der $x$ -Achse liegt.

Für die folgende Teilaufgabe wird die Funktion $f_2$ mit

$f_2(x)=-2x^4+x^2+1$ ; $x\in\mathbb{R}$

betrachtet. Der Graph $G_2$ beschreibt im Inervall $[-1;1]$ die Profillinie für das Eingangstor eines Vergnügungsparks (siehe Abbildung 2). Die $x$ -Achse stellt im Profil die untere Begrenzung dar.
Es gilt: $1\;\text{LE}=3\,\text{m}.$

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einer grünen Kurve.

Abb. 2

(4 BE)

Ermittle, welche Breite ein Fahrzeug mit einem quaderförmigen Aufbau unterschreiten muss, damit es bei Ausnutzung der maximalen Durchfahrtshöhe gerade noch mittig das Eingangstor passieren kann.

(3 BE)

(40 BE)

Analysis: Eingangstor

Graphen $G_a$ auf Achsensymmetrie zur $y$ -Achse überprüfen:

Achsensymmetrisch zur $y$ -Achse bedeutet: $f_a(-x)=f_a(x)$

$\begin{array}[t]{rll} f_a(-x)&=&-a(-x)^4+(-x)^2+\dfrac{a}{2} &\quad \\[5pt] &=&-ax^4+x^2+\dfrac{a}{2} &\quad \\[5pt] &=&f_a(x) \end{array}$

Dadurch ist gezeigt, dass die Graphen $G_a$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse verlaufen.

Koordinaten und Art der lokalen Extrempunkte bestimmen:

$f_{0,5}(x)=-0,5x^4+x^2+\dfrac{1}{4}$

$\(f_{0,5}$

Notwendiges Kriterium: $\(f_{0,5}$

$\begin{array}[t]{rll} -2x^3+2x&=&0 &\quad \\[5pt] 2x\cdot (-x^2+1)&=&0\quad \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt:

$2x=0$ oder $-x^2+1=0$

Daraus folgt: $x_1=0$ oder $x_{2/3}=\pm1$

Hinreichendes Kriterium:

$\(f$ , daraus folgt, dass $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Maximum besitzt.
$\(f$ , daraus folgt, dass $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Minimum besitzt.

$\(f_{0,5}$ , daraus folgt, dass $f_{0,5}$ an der Stelle $x=0$ ein lokales Minimum besitzt.
$\(f_{0,5}$ , daraus folgt, dass $f_{0,5}$ an der Stelle $x=1$ ein lokales Maximum besitzt.
$\(f_{0,5}$ , daraus folgt, dass $f_{0,5}$ an der Stelle $x=-1$ ein lokales Maximum besitzt.

Koordinaten der Extremstellen bestimmen:

$T\left(0\,\bigg \vert \,\dfrac{1}{4}\right)$ , $H_{1}\left(1\,\bigg \vert \,\dfrac{3}{4}\right)$ und $H_{2}\left(-1\,\bigg \vert \,\dfrac{3}{4}\right)$

Nachweisen, dass $S_y$ stets ein lokaler Tiefpunkt ist:

$f_a(0)=-a\cdot 0^4+0^2+\dfrac{a}{2}$

Koordinaten des Schnittpunktes mit der $y$ -Achse: $S_y\left(0\,\bigg \vert \, \dfrac{a}{2}\right)$
$\(f_{a}$
$\(f_{a}$

Notwendiges Kriterium: $\(f_{a}$

für $x=0$ gilt: $\(f_a$

Hinreichendes Kriterium:

$\(f_{a}$ , daraus folgt, dass $f_a$ an der Stelle $x=0$ stets ein lokales Minimum besitzt.

Damit ist nachgewiesen, dass der Schnittpunkt $S_y$ aller Graphen $G_a$ mit der $y$ -Achse stets ein lokaler Tiefpunkt ist.

Wert für den Parameter $a$ berechnen:

Aufgrund der Symmetrie zur $y$ -Achse müssen sich die Nullstellen bei $x=5$ und $x=-5$ befinden.

Es muss also gelten: $f_a(5)=0$ und $f_a(-5)=0$

$\begin{array}[t]{rll} f_a(5)&=&0 &\quad \\[5pt] -a\cdot5^4+5^2+\dfrac{a}{2}&=&0& \quad \scriptsize (\text{CAS}) \\[5pt] a&=&\dfrac{50}{1249} \end{array}$

Damit die Nullstellen $10\,\text{LE}$ voneinander entfernt sind, muss $a=\dfrac{50}{1249}$ sein.

Skizze und Begründung für zwei Nullstellen, wenn $a\lt0$ :

Für $a=-2$ gilt:

Mathematische Grafik einer Parabel mit Achsenbeschriftungen und einem Punkt G₋₂.

$f_{-2}(x)=2x^4+x^2-1$

Der Tiefpunkt von $G_{a}$ , $a\lt0$ , liegt unterhalb der $x$ -Achse.
Für $x\rightarrow \pm \infty$ streben die Funktionswerte gegen $+\infty$ .
Hochpunkte existieren nicht, da dann das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ , $a\lt0$ , für $x\rightarrow \pm \infty$ anders sein müsste.

Damit ist begründet, dass $f_a$ auch für $a\lt0$ nur zwei Nullstellen haben kann.

Funktionsgleichung für den Graphen $K$ bestimmen:

Funktionsgleichung für den Graphen $G_{0,5}$ :

$f_{0,5}(x)=-0,5x^4+x^2+\dfrac{1}{4}$

Funktionsgleichung für den Graphen $K$ :

$y=(-1)\cdot f_{0,5}(x)-0,25 = 0,5x^4-x^2$

Anzahl der Nullstellen von $K$ angeben und begründen:

Der Graph $K$ besitzt drei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse.
Der Schnittpunkt des Graphen $G_{0,5}$ mit der $y$ -Achse wurde um $0,25\,\text{LE}$ nach unten verschoben, sodass der Graph $K$ durch den Koordinatenursprung verläuft (erster Schnittpunkt mit der $x$ -Achse).
Die beiden Hochpunkte des Graphen $G_{0,5}$ wurden durch die Spiegelung des Graphen an der $x$ -Achse zu zwei Tiefpunkten von $K$ . Die Tiefpunkte des Graphen $K$ liegen unterhalb der $x$ -Achse.
Für $x\longrightarrow \pm\infty$ verläuft $y\longrightarrow \infty$ , das heißt, dass der Graph $K$ noch zwei weitere Male die $x$ -Achse schneidet (zweiter und dritter Schnittpunkt mit der $x$ -Achse).

Quadrat finden:

Gesucht ist ein zur $y$ -Achse symmetrisches Quadrat mit der Seitenlänge $s$ , von dem zwei Eckpunkte auf der $x$ -Achse und zwei Eckpunkte auf dem Graphen $G_{0,5}$ liegen.

Bedingungen, die erfüllt werden müssen:
Für den ersten Eckpunkt auf der $x$ -Achse muss gelten: $A\left(\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, 0\right)$

Für den zweiten Eckpunkt auf der $x$ -Achse muss gelten: $B\left(-\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, 0 \right)$

Für den ersten Eckpunkt auf $G_{0,5}$ muss gelten: $C\left(\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, s\right)$ und $f_{0,5}\left(\dfrac{s}{2}\right)=s$

Für den zweiten Eckpunkt auf $G_{0,5}$ muss gelten: $D\left(-\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, s\right)$ und $f_{0,5}\left(-\dfrac{s}{2}\right)=s$

Der Eckpunkt $C\left(\dfrac{s}{2} \,\bigg \vert \, s\right)$ liegt im $1.$ Quadranten auf dem Graphen der Geraden $y_1=2x$ , welche einen Schnittpunkt mit dem Graphen $G_{0,5}$ besitzt.
Aufgrund der Achsensymmetrie des Graphen $G_{0,5}$ gibt es im $2.$ Quadranten ebenfalls einen Eckpunkt, der auf dem Graphen der Geraden $y_2=-2x$ liegt und einen Schnittpunkt mit dem Graphen $G_{0,5}$ besitzt.

Mit dieser Begründung ist bewiesen, dass es ein zur $y$ -Achse symmetrisches Quadrat geben muss, von dem zwei Eckpunkte auf der $x$ -Achse und zwei Eckpunkte auf $G_{0,5}$ liegen.

Skizze:

Mathematische Grafik mit Kurven und Punkten im Koordinatensystem.

Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Teilflächen ermitteln:

Eckpunkt des Rechtecks:
Der Eckpunkt des Rechtecks, der auf dem Graphen $G_{0,5}$ liegt, hat die Koordinaten $\left(\dfrac{4}{5}\,\bigg \vert \, \dfrac{1713}{2500}\right)$ .

Flächeninhalt des Rechtecks:

$A_{\text{Rechteck}}=\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{1713}{2500}=\dfrac{1713}{3125}\approx 0,55\,\text{FE}$

Flächeninhalt unterhalb des Graphen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{0,8}\,f_{0,5}(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \dfrac{15839}{46875}\approx 0,34 \,\text{FE}\\[5pt] \end{array}$

Verhältnis der Flächeninhalte dieser Teilflächen:

$:0,55$

$\begin{array}{rrcll} &0,55 &\mathrel{:}& 0,34\\[5pt] & 1&\mathrel{:}& 0,62\\[5pt] \end{array}$

$:0,55$

Der Graph $G_{0,5}$ teilt die Rechteckfläche im Verhältnis $1:0,62$ .

Sachverhalt skizzieren:

Grafik einer mathematischen Funktion mit mehreren Punkten A, B, C und D auf einem Koordinatensystem.

Gleichung für die Paralle zur $x$ -Achse bestimmen:

Es sollen drei gleich lange Strecken zwischen den Schnittpunkten entstehen.

$f_{0,5}(x)=-\dfrac{1}{2}x^4+x^2+\dfrac{1}{4}$

$\begin{array}[t]{rll} f_{0,5}(\frac{1}{3}x)&=& -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}x\right)^4+\left(\dfrac{1}{3}x\right)^2+\dfrac{1}{4}&\\[5pt] &=&-\dfrac{1}{162}x^4+\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{1}{4} \end{array}$

Löse mit Hilfe eines CAS-Taschenrechners folgende Gleichung:

$f_{0,5}(x)=f_{0,5}(\frac{1}{3}x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Lösungen für die obige Gleichung: $x_1=0$ , $x_2=\sqrt{1,8}$ oder $x_3=-\sqrt{1,8}$

Die Lösung $x_1=0$ entfällt.

$f_{0,5}(\sqrt{1,8})=0,43$
$f_{0,5}(-\sqrt{1,8})=0,43$

Daraus folgt, dass die Parallele zur $x$ -Achse die Gleichung $y=0,43$ haben muss, sodass alle Strecken zwischen den Schnittpunkten gleich lang sind.

Wert für den Paramter $a$ ermitteln:

$\(f_a$

Steigung der Tangenten bestimmen:

$\(m_t=f$

Die Tangente und die zugehörige Senkrechte schließen einen rechten Winkel ( $90^{\circ}$ ) ein.
Das beschriebene Dreieck soll gleichschenklig sein, das heißt, dass die Basiswinkel $45^{\circ}$ groß sein müssen.
Damit dies erfüllt ist, müssen die Anstiege der Tangente und der Senkrechte entweder $1$ und $-1$ oder $-1$ und $1$ sein.

Möglichkeit $1$ : $m_t=1$

$\begin{array}[t]{rll} -4a+2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -4a&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] a&=&\dfrac{1}{4} \end{array}$

Möglichkeit $2$ : $m_t=-1$

$\begin{array}[t]{rll} -4a+2&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -4a&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] a&=&\dfrac{3}{4} \end{array}$

Für die Parameterwerte $a=0,25$ oder $a=0,75$ ist das beschriebene Dreieck gleichschenklig.

Zu unterschreitende Breite eines Fahrzeuges ermitteln:

Bestimme mit Hilfe eines CAS-Taschenrechners die Lösung folgender Gleichung:

$f_2(x)=-2x^4+x^2+1=1$

Als Ergebnis bekommt man $x_1=0$ , $x_2=\sqrt{0,5}$ oder $x_3=-\sqrt{0,5}$ .

Die Lösungen $x_1=0$ und $x_3=-\sqrt{0,5}$ entfallen.

Die Breite des Fahrzeuges entspricht $2\cdot \sqrt{0,5}=\sqrt{2} \,\text{LE}$ .

Eine Längeneinheit entspricht $3\,\text{m}$ .

Daraus folgt, dass die Breite des Fahrzeuges den Wert $3\cdot \sqrt{2}\approx 4,24\,\text{m}$ unterschreiten muss.