Wahlaufgaben

1.5 Analysis

Gegeben sind die in $\mathbb{R}_0^+$ definierten Funktionen $f$ und $g,$ wobei $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist.

Die Abbildung zeigt die Graphen $G_f$ von $f$ und $G_g$ von $g.$

$G_f$ und $G_g$ schneiden sich nur im Koordinatenursprung und im Punkt $(x_S\mid f(x_S)).$

Grafik mit zwei Kurven Gf und Gg in einem Koordinatensystem. Achsen sind beschriftet.

Beurteile die folgende Aussage: $\displaystyle\int_0^{x_S}(g(x)-f(x)) \;\text{d} x=2 \cdot \displaystyle\int_0^{x_S}(x-f(x)) \;\text{d} x$

(5 BE)

1.6 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \sqrt{x-2}$ mit $x \in[2 ;+\infty[.$

Die Abbildung zeigt den Graphen $G$ von $f$ sowie den Punkt $P(3\mid1).$

Die Gerade mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$ ist die Tangente an $G$ im Punkt $P$ und hat mit $G$ nur den Punkt $P$ gemeinsam.

Graf mit einer Kurve und den Punkten P und G im Koordinatensystem. Achsen beschriftet mit x und y.

Zeichne die Tangente in die Abbildung ein.

(1 BE)

Betrachtet werden alle Geraden, die mit $G$ sowohl den Punkt $P$ als auch einen weiteren Punkt gemeinsam haben.

Gib die Steigungen dieser Geraden an.

(4 BE)

1.7 Analytische Geometrie

Für jede reelle Zahl $k$ wird die Gerade $g_k: \overrightarrow{x}=\pmatrix{5-6k\\3k\\4-9k}+r \cdot\pmatrix{2\\-1\\3}$ mit $r \in \mathbb{R}$ betrachtet.

Zeige, dass für keinen Wert von $k$ der Punkt $(0\mid 0\mid 0)$ auf $g_k$ liegt.

(2 BE)

Beurteile die folgende Aussage:

Alle Geraden $g_k$ sind identisch.

(3 BE)

1.8 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_k: k \cdot x+(2-k) \cdot y=k$ mit $k \in \mathbb{R}.$

Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen.
Gib diese an.

(1 BE)

Zeige, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind.

(4 BE)

1.9 Stochastik

Betrachtet wird ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von $1$ bis $6$ durchnummeriert sind.

Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an.

Begründe, dass $P(X=10)=P(X=15)$ ist.

(2 BE)

Nun wird der Würfel $n$ -mal geworfen, wobei $n$ größer als 2 ist.

Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist $2, 3$ oder $5.$ "

(3 BE)

1.10 Stochastik

Zu einem Zufallsexperiment werden zwei stochastisch unabhängige Ereignisse $A$ und $B$ betrachtet. Es gilt $P(B)=P(A)+0,6$ sowie $P(A \cap \overline{B})=0,04.$

Bestimme $P(A).$

(5 BE)

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1.5 Analysis

Die linke Seite der Gleichung gibt den Flächeninhalt der Fläche an, die $G_g$ und $G_f$ miteinander einschließen. Die rechte Seite der Gleichung gibt den doppelten Inhalt der Fläche an, die die Graphen der Gerade $y=x$ und $f$ miteinander einschließen.

Da $g$ die Umkehrfunktion von $f$ ist und somit durch Spiegelung von $f$ an der Gerade $y=x$ hervorgeht, hat die von $G_g$ und $G_f$ eingeschlossene Fläche den doppelten Inhalt wie die Fläche, die von der Graphen von $y=x$ und $f$ eingeschlossen wird. Damit ist die Aussage korrekt.

1.6 Analysis

Diagramm mit zwei Kurven, einer grünen und einer grauen, im Koordinatensystem dargestellt. Punkt P ist markiert.

Für die Steigungen $m$ der Geraden mit der Eigenschaft aus der Aufgabenstellung gilt $\frac{1}{2}\lt m \leq 1$ oder $0\lt m\lt\frac{1}{2}.$

1.7 Analytische Geometrie

Nullsetzen der Geradengleichung liefert folgendes lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5-6k+2r&=&0 \\ \text{II}\quad&3k-r&=&0 \\ \text{II}\quad&4-9k+3r&=&0 \end{array}$

Aus Gleichung $\text{II}$ folgt direkt $r=3k.$ Einsetzen in z.B. Gleichung $\text{I}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 5-6k+2\cdot3k&=&0 \\[5pt] 5&=&0 \end{array}$

Da das unabhängig von $k$ falsch ist, gibt es keinen Wert von $k$ sodass $(0\mid0\mid0)$ auf $g_k$ liegt.

Aufteilen des Stützvektors von $g_k$ in Werte unabhängig von $k$ und abhängig von $k$ liefert:

$\pmatrix{5\\0\\4}+k\cdot\pmatrix{-6\\3\\-9}$

Da der zweite Vektor das $(-3)$ -fache des Richtungsvektors von $g_k$ ist, wird jede Gerade $g_k$ mit $s=r-3k$ durch folgende Geradengleichung beschrieben:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{5\\0\\4}+s\cdot\pmatrix{2\\-1\\3}$

Damit sind alle Geraden $g_k$ identisch.

1.8 Analytische Geometrie

Alle Ebenengleichungen der Schar enthalten $z$ nicht. Somit stehen die Ebenen der Schar senkrecht zur $xy$ -Ebene.

Zwei Ebenen $E_{k_1}$ und $E_{k_2}$ der Schar sind parallel genau dann, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind:

$\pmatrix{k_1\\2-k_1\\0}=a\cdot\pmatrix{k_2\\2-k_2\\0}$

Aus den ersten beiden Zeilen folgt:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&k_1&=& a\cdot k_2 \\ \text{II}\quad&2-k_1&=&a\cdot(2-k_2) \\ \end{array}$

Addieren von $\text{I}$ und $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 2&=&2a &\mid\;:2\\[5pt] 1&=&a \end{array}$

Der einzige mögliche Wert ist somit $a=1.$ Für diesen Wert sind die beiden Vektoren allerdings keine Vielfachen voneinander, sondern der gleiche Vektor und gehören somit zur gleichen Ebene. Zwei verschiedene Ebenen der Schar sind damit nicht parallel zueinander.

1.9 Stochastik

Sowohl $10$ als auch $15$ können jeweils nur durch genau ein Produkt von zwei Zahlen erhalten werden, nämlich das Produkt von $2$ und $5$ bzw. das Produkt von $3$ und $5.$ Hierbei ist egal, in welcher Reihenfolge die beiden Zahlen gewürfelt werden, d.h. es gibt jeweils zwei Ergebnisse, die $X=10$ bzw. $X=15$ liefern. Da jede zahl auf dem Würfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt wird, gilt damit $P(X=10)=P(X=15).$

Die Zahlen $2,3$ und $5$ sind Primzahlen. Somit ist die einzige Möglichkeit, dass das Produkt der $n$ erzielten Zahlen $2,3$ oder $5$ ist, dass $(n-1)$ -mal die Zahl $1$ gewürfelt wird, und einmal $2,3$ bzw. $5.$ Da es $n$ mögliche Würfe gibt, in denen die Zahl ungleich $1$ gewürfelt werden kann, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ somit:

$p=3\cdot n\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n-1}$

1.10 Stochastik

Da die Ereignisse stochastisch unabhängig sind, gilt $P(A)\cdot P\left(\overline{B}\right)=P\left(A\cap\overline{B}\right).$ Wenn $P(A)=x$ gesetzt wird, ergibt sich somit:

Rechenweg anzeigen

$x^2-0,4x+0,04=0$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{0,4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{0,4}{2}\right)^2-0,04} \\[5pt] &=&0,2\pm\sqrt{0} \\[5pt] &=&0,2 \end{array}$

Somit gilt $P(A)=x=0,2.$

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