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Hilfsmittelfreier Teil 1

Aufgaben
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Teil 1 - Analysis

a)
Gib je eine reelle Zahl für die Parameter $a$, $b$ und $c$ an, sodass die Funktionen $F_a$, $G_b$ und $H_c$ Stammfunktionen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ sind.
$f:f(x)=2x^3+4x-1$ $F_a:F_a(x)=0,5x^4+ax²-x+3$
$g:g(x)=\sqrt{x-4}$ $G_b:G_b(x)=\frac{2}{b}(x-4)^\frac{3}{2}$
$h:h(x)=4e^-2x+1 +e$ $H_c:H_c(x)=c\cdot e^{-2x+1}+ex-e$
$f:f(x)=2x^3+4x-1$
$g:g(x)=\sqrt{x-4}$
$h:h(x)=4e^-2x+1 +e$
Bestimme diejenige Stammfunktion von $f$, deren Graph die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid-1)$ schneidet.
(5P)
#stammfunktion
b)
Von einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist folgendes bekannt:
  • $x_N=1$ ist die Nullstelle der Funktion.
  • $S_y(0\mid1)$ ist Sattelpunkt des Graphen
Gib ein lineares Gleichungssystem an, mit dem man die Koeffizienten dieser ganzrationalen Funktion dritten Grades ermitteln kann.
Hinweis: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, in dem eine zur $x$-Achse parallele Tangente existiert.
(5P)
#nullstelle#lgs#wendepunkt#ganzrationalefunktion

Teil 2 - Analytische Geometrie

a)
Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $P(1\mid1\mid1)$ und $Q(2\mid2\mid2)$.
Gib eine Gleichung der Geraden $g$ an.
Ermittle eine Gleichung einer Geraden $h$, die die Gerade $g$ im Mittelpunkt der Strecke $PQ$ orthogonal schneidet.
(5P)
#geradengleichung#orthogonal
b)
In einer Ebene $E$ liegen die Punkte $P(4\mid-6\mid3)$ und $Q(9\mid12\mid4)$ sowie das Dreieck $ABC$ mit dem Punkt $A(0\mid0\mid1)$.
Ermittle eine Parametergleichung der Ebene $E$.
Mit der Gleichung $cos(\angle BAC)=\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}}{\,\bigg \vert \,\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\,\bigg \vert \,\cdot \,\bigg \vert \,\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}\,\bigg \vert \,}$ hat ein Schüler den Innenwinkel des Dreicks $ABC$ mit dem Scheitelpunkt $A$ korrekt berechnet.
Gib für die Punkte $B$ und $C$ mögliche Koordinaten an.
(5P)
#ebenengleichung

Teil 3 - Stochastik

a)
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
(5P)
#baumdiagramm
b)
An der Vorbereitung einer Abiturfeier sind insgesamt 30 Mädchen und 25 Jungen beteiligt
Man betrachtet das Ereignis
$T:$ Auf dem Titelbild für die Einladung sind genau $a$ Jungen und $b$ Mädchen abgebildet.
Gib $a$ und $b$ an, wenn $P(T)$ mithilfe des Terms $\frac{\begin{pmatrix}30\\3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}25\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}55\\5\end{pmatrix}}$ korrekt brechnet werden kann.
Auf dem Titelbild sollen die ausgewählten $a$ Jungen und $b$ Mädchen so in einer Reihe angeordnet werden, dass ein Junge stets zwischen zwei Mädchen steht.
Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten für die Anordnung auf dem Titelbild.
(5P)

(30P)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Teil 1-Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Stammfunktion bestimmen
Du sollst eine reelle Zahl für die Parameter $a$, $b$ und $c$ angeben, sodass die Funktionen $F_a$, $G_b$ und $H_c$ Stammfunktionen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ sind. Stelle dazu jeweils eine Stammfunktion der Funktionen auf und lese die Parameter ab.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Ableitung bestimmen
Du sollst eine reelle Zahl für die Parameter $a$, $b$ und $c$ angeben, sodass die Funktionen $F_a$, $G_b$ und $H_c$ Stammfunktionen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ sind. Berechne dazu jeweils die Ableitung der Funktion und bestimme den Parameter.
$\blacktriangleright$  Stammfunktion, deren Graph die $\boldsymbol{y}$-Achse im Punkt $\boldsymbol{S_y(0\;|\;-1)}$ schneidet, bestimmen
Um die Stammfunktion von $f$ zu bestimmen, deren Graph die $y-$Achse im Punkt $S_y(0\;|\;-1)$ schneidet, setzt du die $x$- und $y$-Koordinate in die bereits bestimmte, allgemeine Stammfunktion ein.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem zur Berechnung einer ganzrationalen Funktion aufstellen
Es ist bekannt, dass $x_N=1$ eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist. Außerdem weißt du, dass $S_y(0\;|\;1)$ ein Sattelpunkt ist. Du sollst nun ein Gleichungssystem angeben, mit dem man die Koeffizienten bestimmen kann, um die Funktion aufzustellen. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades, diese wird durch die Gleichung
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
beschrieben. Du benötigst diese Gleichung und ebenfalls die erste und zweite Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax^3+bx^2+cx+d &\quad \scriptsize \\[5pt] f(x)'&=& 3ax^2+2bx+c &\quad \scriptsize \\[5pt] f(x)''&=& 6ax+2b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)'&=& 3ax^2+2bx+c \\[5pt] f(x)''&=& 6ax+2b \\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du dir überlegen, welche Informationen du aus den Bedingungen, dass $x_N=1$ eine Nullstelle und $S_y(0\;|\;1)$ ein Sattelpunkt ist, ablesen kannst.
  1. Wenn $x_N=1$ eine Nullstelle ist, dann liegt der Graph der Funktion auf dem Punkt $N(1\;|\;0)$.
  2. Dir ist der Punkt $S_y(0\;|\;1)$ als Sattelpunkt gegeben.
  3. Die Bedingung für einen Sattelpunkt ist, dass die zweite Ableitung an der Sattelstelle Null sein muss. Deswegen weißt du, dass $f''(0)=0$ ist.
  4. In der Aufgabenstellung ist dir ein Hinweis gegeben, dass ein Sattelpunkt ein Wendepunkt ist, in dem eine zur $x-$Achse parallele Tangente existiert. Daraus ergibt sich eine weitere Bedingung: $f'(0)=0$.
Du kannst diese Bedingungen nun in die allgemeine Funktionsgleichung und ihre Ableitungen einsetzen.

Teil 2-Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ aufstellen
Es ist eine Gerade $g$ gesucht, die durch die Punkte $P(1\;|\;1\;|\;1)$ und $Q(2\;|\;2\;|\;2)$ geht. Um die Geradengleichung aufstellen zu können, benötigst du einen Stützvektor, zum Beispiel $\overrightarrow{OP}$ und einen Richtungsvektor $\overrightarrow{PQ}$. Der Stützvekor ist der Ortsvektor eines Punkts auf der Geraden, der Richtungsvektor ein Verbindungsvektor zweier Punkte auf der Geraden.
$\blacktriangleright$  Geradengleichung $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Du sollst eine Gleichung einer Geraden $h$ ermitteln, die die Gerade $g$ im Mittelpunkt der Strecke $\overline{PQ}$ orthogonal schneidet. Gehe dazu in folgenden Schritten vor:
  1. Mittelpunkt der Strecke $\overline{PQ}$ berechnen. Diesen kannst du als Stützvektor der Geraden $g$ verwenden. Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts lautet $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$.
  2. Richtungsvektor von $h$ aufstellen, sodass der der Richtungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor von $g$ ist. Damit das gilt, muss das Skalarprodukt der beiden Null sein. Du kannst eine Gleichung mit drei Unbekannten aufstellen, zwei davon wählst du beliebig.
  3. Geradengleichung von $h$ aufstellen.
b)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Du hast die Punkte $P(4\; |\;-6\;|\;3)$, $Q(9\; |\;12\;|\;4)$ und $A(0\; |\;0\;|\;1)$ gegeben und sollst eine Gleichung der Ebene in Parameterform aufstellen, in der diese drei Punkte liegen.
Die Gleichung dieser Ebene in Parameterform kannst du wie folgt angegeben:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AP} + s \cdot \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
$E: \overrightarrow{x} $$=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AP} + s \cdot \overrightarrow{AQ} $=$ \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
Hierbei versteht man unter
  • $\overrightarrow{u}$ den Stützvektor der Ebene $E$, der die Verschiebung im Raum angibt
  • $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ die Spannvektoren der Ebene $E$, die die Ebene aufspannen
  • $t$, $s$ reelle Zahlen, für die die Spannvektoren beliebig lang bzw. kurz werden können und somit alle Punkte auf der Ebene erreicht werden können.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Punkte $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ eines Dreiecks sollen bestimmt werden. Den Scheitelpunkt $A(0\; |\;0\;|\;1)$ hast du gegeben. Außerdem ist eine Gleichung angegeben, mit der ein Innenwinkel des Dreiecks bereits korrekt berechnet wurde:
$\cos(BAC)=\frac{\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}\cdot\pmatrix{3 \\ 4 \\ 1}}{\left|\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}\right|\circ\left|\pmatrix{3 \\ 4 \\ 1}\right|} $
Der Winkel, der mit dieser Formel berechnet wird, ist der Winkel beim Punkt $A$. Dies erkennst du daran, dass das $A$ bei der Cosinus-Formel in der Mitte steht.
Die Vektoren $\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}$ und $\pmatrix{3 \\ 4 \\ 1}$ sind Verbindungsvektoren vom Punkt $A$ zu einem anderen Eckpunkt. Da du mögliche Koordinaten bestimmen sollst, kannst du auswählen, welcher dieser Vektoren ein Verbindungsvektor von $A$ zu $B$ oder von $A$ zu $C$ ist.
Wähle zum Beispiel $\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}$ als Verbindungsvektor von $A$ zu $B$:
Du weißt, dass gilt:
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$.

Teil 3-Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm einzeichnen
Du kannst die Wahrscheinlichkeiten ergänzen, indem du davon ausgehst, dass die gesamte Wahrscheinlichkeit bei jedem Würfeln $100\%$ sein muss.
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{P_{\overline{A}}(\overline{B})}$ und $\boldsymbol{P(B)}$ angeben
Wenn du die Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{P_{\overline{A}}(\overline{B})}$ berechnen willst, musst du beachten, dass es sich hier um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, das heißt die Berechnung beginnt ab der Bedingung. Die Bedinung wird immer im Index angegeben. Die Berechnung beginnt also hier bei $\overline{A}$ für das Ereignis $\overline{B}$. Es wird nur einmal gewürfelt.
Die Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{P(B)}$ berechnest du, indem du alle Pfade, die zu $B$ führen verfolgst und nach der Pfadmultiplikationsregel die Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines Pfades multiplizierst. Die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden dann noch nach der Pfadadditionsregel addiert.
$\blacktriangleright$  Ereignisse für $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ formulieren
Du sollst dir mögliche Ereignisse $A$ und $B$ überlegen. Dabei musst du darauf achten, dass die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse den auf dem Baumdiagramm eingetragenen Wahrscheinlichkeiten entsprechen. Es ist beschrieben, dass es sich um ein Würfel-Zufallsexperiment handelt.
b)
$\blacktriangleright$  Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ angeben
Das Ereignis $T$ lautet: Auf dem Titelbild für die Einladung sind genau $a$ Jungen und $b$ Mädchen abgebildet. Du weißt, dass insgesammt $30$ Mädchen und $25$ Jungen beteiligt sind. Du sollst nun mithilfe des Terms:
$P(t)=\frac{\pmatrix{30 \\ 3}\cdot\pmatrix{25 \\ 2 }}{\pmatrix{55 \\ 5}} $
$a$ und $b$ angeben.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten auf dem Titelbild ermitteln
Du sollst die Schüler nun so anordnen, dass ein Junge stets zwischen zwei Mädchen steht. Da $3$ Mädchen und nur $2$ Jungen auf dem Titelbild abgebildet werden, müssen die äußersten Positionen von Mädchen eingenommen werden:
$M$$J$$M$$J$$M$
Du sollst nun die Anzahl der Möglichkeiten für die Aufstellung bestimmen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Ausprobieren
Überlege dir dazu, an welchen Stellen die Jungen und Mädchen jeweils stehen können.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Rechnerische Lösung
Du hast die Anzahl der Mädchen gegeben, die auf dem Titelbild abgebildet werden, mit $b=3$ und die Anzahl der Jungen mit $a=2$. Um die Anzahl $N$ der möglichen Anordnungen zu bestimmen, kannst du folgende Formel verwenden:
$N=a! \cdot b!$
$a! \cdot b!$
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Lösungen
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Teil 1-Analysis

a)
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ bestimmen
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Stammfunktion bestimmen
Du sollst eine reelle Zahl für die Parameter $a$, $b$ und $c$ angeben, sodass die Funktionen $F_a$, $G_b$ und $H_c$ Stammfunktionen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ sind. Stelle dazu jeweils eine Stammfunktion der Funktionen auf und lese die Parameter ab.
Stammfunktion von $f$ berechnen
Die Funktionsterme $f(x)=2x^3+4x-1$ und $F_a(x)=0,5x^4+ax^2-x+3$ sind dir gegeben. Um den Parameter $a$ zu bestimmen, kannst du eine Stammfunktion von $f$ bestimmen und mit dem Funkionsterm $F_a$ vergleichen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^3+4x-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] F(x)&=&\frac{2}{4}x^4+\frac{4}{2}x^2-1x +C &\quad \scriptsize \\[5pt] F(x)&=& 0,5x^4+2x^2-x +C&\quad \scriptsize \\[5pt] F_a(x)&=& 0,5x^4+ax^2-x+3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} F_a(x)&=& … \end{array}$
Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter $a$ ein Wert von $a=2$.
Stammfunkton von $g$ berechnen
Dir ist der Term $g(x)=\sqrt{x-4}$ und eine Stammfunktion $G_b(x)=\frac{2}{b}(x-4)^{\frac{3}{2}}$ gegeben. Berechne eine Stammfunktion von $g$:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\sqrt{x-4} = (x-4)^{\frac{1}{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] G(x)&=&\frac{2}{3}(x-4)^{\frac{3}{2}}+C&\quad \scriptsize \\[5pt] G_b(x)&=&\frac{2}{b}(x-4)^{\frac{3}{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G_b(x)&=&\frac{2}{b}(x-4)^{\frac{3}{2}} \\[5pt] \end{array}$
Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter $b$ ein Wert von $b=3$.
Stammfunktion von $h$ berechnen
Der Funktionsterm $h(x)=4e^{-2x+1}+e$ und eine Stammfunktion $H_c(x)=c\cdot e^{-2x+1}+ex-e$ ist dir gegeben. Du kannst eine Stammfunktion von $h$ mit Hilfe der linearen Substitution berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 4e^{-2x+1}+e &\quad \scriptsize \\[5pt] H(x)&=& \frac{4}{-2}\cdot e^{-2x+1}+e\cdot x +C&\quad \scriptsize \\[5pt] H(x)&=& -2\cdot e^{-2x+1}+e x +C&\quad \scriptsize \\[5pt] H_c(x)&=& c\cdot e^{-2x+1}+ex-e&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 4e^{-2x+1}+e \end{array}$
Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter $c$ ein Wert von $c=-2$.
Der Wert für $C$ kann einen beliebigen Wert annehmen, da $C$ eine Konstante ist und beim Ableiten wieder wegfällt.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Ableitung bestimmen
Du sollst eine reelle Zahl für die Parameter $a$, $b$ und $c$ angeben, sodass die Funktionen $F_a$, $G_b$ und $H_c$ Stammfunktionen der Funktionen $f$, $g$ und $h$ sind. Berechne dazu jeweils die Ableitung der Funktion und bestimme den Parameter.
Ableitung von $f$ berechnen
Die Funktionsterme $f(x)=2x^3+4x-1$ und $F_a(x)=0,5x^4+ax^2-x+3$ sind dir gegeben. Um den Parameter $a$ zu bestimmen, kannst du die Ableitung von $F_a$ bestimmen und mit dem Funkionsterm $f$ .
$\begin{array}[t]{rll} F_a(x)&=& 0,5x^4+ax^2-x+3&\quad \scriptsize \\[5pt] f_a(x)&=& 2x^3+2\cdot a x-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] f(x)&=& 2x^3+4 x-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2x^3+4 x-1 \\[5pt] \end{array}$
Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter $a$ ein Wert von $a=2$.
Ableitung von $g$ berechnen
Dir ist der Term $g(x)=\sqrt{x-4}$ und eine Stammfunktion $G_b(x)=\frac{2}{b}(x-4)^{\frac{3}{2}}$ gegeben. Berechne die Ableitung von $G_a$:
$\begin{array}[t]{rll} G(x)&=&\frac{2}{3}(x-4)^{\frac{3}{2}}+C&\quad \scriptsize \\[5pt] g_b(x)&=&\frac{3}{b}(x-4)^{\frac{1}{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] g(x)&=&\sqrt{x-4} = (x-4)^{\frac{1}{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (x-4)^{\frac{1}{2}}\\[5pt] \end{array}$
Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter $b$ ein Wert von $b=3$.
Ableitung von $h$ berechnen
Der Funktionsterm $h(x)=4e^{-2x+1}+e$ und eine Stammfunktion $H_c(x)=c\cdot e^{-2x+1}+ex-e$ ist dir gegeben. Du kannst die Ableitung von $H_c$ mit Hilfe der Kettenregel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} H_c(x)&=& c\cdot e^{-2x+1}+ex-e&\quad \scriptsize \\[5pt] h_c(x)&=& -2\cdot c\cdot e^{-2x+1}+e&\quad \scriptsize \\[5pt] h(x)&=& 4e^{-2x+1}+e &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 4e^{-2x+1}+e \\[5pt] \end{array}$
Wenn du die beiden Funktionsterme vergleichst, ergibt sich für den Parameter $c$ ein Wert von $c=-2$.
$\blacktriangleright$  Stammfunktion, deren Graph die $\boldsymbol{y}$-Achse im Punkt $\boldsymbol{S_y(0\;|\;-1)}$ schneidet, bestimmen
Um die Stammfunktion von $f$ zu bestimmen, deren Graph die $y-$Achse im Punkt $S_y(0\;|\;-1)$ schneidet, setzt du die $x$- und $y$-Koordinate in die bereits bestimmte, allgemeine Stammfunktion ein.
$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=&\frac{2}{4}x^4+\frac{4}{2}x^2-1x +C&\quad \scriptsize \\[5pt] -1&=&\frac{1}{2}\cdot0^4+2\cdot0^2-0 +C&\quad \scriptsize \\[5pt] -1&=& C&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -1&=& C \\[5pt] \end{array}$
Du hast die Konstante $C=-1$ bestimmt. Die gesuchte Stammfunktion ist also $F(x)=0,5x^4+2x^2-x-1$.
#integral#ableitung
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem zur Berechnung einer ganzrationalen Funktion aufstellen
Es ist bekannt, dass $x_N=1$ eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist. Außerdem weißt du, dass $S_y(0\;|\;1)$ ein Sattelpunkt ist. Du sollst nun ein Gleichungssystem angeben, mit dem man die Koeffizienten bestimmen kann, um die Funktion aufzustellen. Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades, diese wird durch die Gleichung
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
beschrieben. Du benötigst diese Gleichung und ebenfalls die erste und zweite Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax^3+bx^2+cx+d &\quad \scriptsize \\[5pt] f'(x)&=& 3ax^2+2bx+c &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(x)&=& 6ax+2b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 6ax+2b \\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du dir überlegen, welche Informationen du aus den Bedingungen, dass $x_N=1$ eine Nullstelle und $S_y(0\;|\;1)$ ein Sattelpunkt ist, ablesen kannst.
  1. Wenn $x_N=1$ eine Nullstelle ist, dann liegt der Graph der Funktion auf dem Punkt $N(1\;|\;0)$.
  2. Dir ist der Punkt $S_y(0\;|\;1)$ als Sattelpunkt gegeben.
  3. Die Bedingung für einen Sattelpunkt ist, dass die zweite Ableitung an der Sattelstelle Null sein muss. Deswegen weißt du, dass $f''(0)=0$ ist.
  4. In der Aufgabenstellung ist dir ein Hinweis gegeben, dass ein Sattelpunkt ein Wendepunkt ist, in dem eine zur $x-$Achse parallele Tangente existiert. Daraus ergibt sich eine weitere Bedingung: $f'(0)=0$.
Du kannst diese Bedingungen nun in die allgemeine Funktionsgleichung und ihre Ableitungen einsetzen und erhältst:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a\cdot1^3&+b\cdot1^2&+c\cdot1&+d&=& 0\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&a\cdot0^3&+b\cdot0^2&+c\cdot0&+d&=& 1\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&3a\cdot0^2&+2b\cdot0&+c&&=& 0\quad \scriptsize\\ \text{IV}\quad&6a\cdot0&+2b&&&=& 0\quad \scriptsize\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{IV}… \\ \end{array}$
Du kannst das Gleichungssystem noch vereinfachen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a&+b&+c&+d&=& 0\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&&&&d&=& 1\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&&&c&&=& 0\quad \scriptsize\\ \text{IV}\quad&&2b&&&=& 0\quad \scriptsize\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad… \\ \text{II}\quad… \\ \text{II}\quad… \\ \text{IV}\quad… \\ \end{array}$
#lgs#ganzrationalefunktion

Teil 2-Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ aufstellen
Es ist eine Gerade $g$ gesucht, die durch die Punkte $P(1\;|\;1\;|\;1)$ und $Q(2\;|\;2\;|\;2)$ geht. Um die Geradengleichung aufstellen zu können, benötigst du einen Stützvektor, zum Beispiel $\overrightarrow{OP}$ und einen Richtungsvektor $\overrightarrow{PQ}$. Der Stützvekor ist der Ortsvektor eines Punkts auf der Geraden, der Richtungsvektor ein Verbindungsvektor zweier Punkte auf der Geraden.
$\overrightarrow{OP}$=$\pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}$
$\overrightarrow{PQ}$=$\pmatrix{2-1 \\ 2-1 \\ 2-1}$=$\pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}$
Du kannst nun die Geradengleichung aufstellen und erhältst:
$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}+ r\cdot \pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}$.
Eine Gleichung der Geraden $g$ lautet $g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}+ r\cdot \pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}$.
$\blacktriangleright$  Geradengleichung $\boldsymbol{h}$ aufstellen
Du sollst eine Gleichung einer Geraden $h$ ermitteln, die die Gerade $g$ im Mittelpunkt der Strecke $\overline{PQ}$ orthogonal schneidet. Gehe dazu in folgenden Schritten vor:
  1. Mittelpunkt der Strecke $\overline{PQ}$ berechnen. Diesen kannst du als Stützvektor der Geraden $g$ verwenden. Die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts lautet $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$.
  2. Richtungsvektor von $h$ aufstellen, sodass der der Richtungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor von $g$ ist. Damit das gilt, muss das Skalarprodukt der beiden Null sein. Du kannst eine Gleichung mit drei Unbekannten aufstellen, zwei davon wählst du beliebig.
  3. Geradengleichung von $h$ aufstellen.
1. Schritt: Mittelpunkt der Strecke $\overline{PQ}$ berechnen
Du kannst die Ortsvektoren $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OQ}$ in die Formel zur Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke einsetzen:
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$
$\begin{array}[t]{rll} OM&=&\frac{1}{2} \cdot \left(\pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}+\pmatrix{2 \\ 2 \\ 2}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] OM&=&\pmatrix{\frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} OM&=&\pmatrix{\frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2}} \\[5pt] \end{array}$
Der Mittelpunkt der Strecke ist also $M\left(\frac{3}{2}\;\left|\;\frac{3}{2}\;\right|\;\frac{3}{2}\right)$. Der Ortsvekor des Mittelpunkts ist eine Möglichkeit für den Stützvektor der gesuchten Geraden $h$.
2. Schritt: Richtungsvektor von $h$ aufstellen
Der Richtungsvektor der zu bestimmenden Geraden $h$ muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden $g$ stehen. Zwei Vektoren heißen orthogonal , wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Du kannst für den einen Vektor den Richtungsvektor der Geraden $g$ einsetzen, den anderen bestimmst du für den Fall, dass das Skalarprodukt Null wird. Es gibt dafür unendlich viele Lösungen, bestimme eine davon.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}&=0& \quad \scriptsize \\[5pt] 1 \cdot b_1+1 \cdot b_2+1 \cdot b_3&=0&\quad \scriptsize \\[5pt] 1 \cdot -1+1 \cdot 1+1 \cdot 0&=0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}&=0 \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst für die Gerade $h$ als möglichen Richtungsvektor $\overrightarrow{k}$=$\pmatrix{-1 \\ 1 \\ 0}$.
3. Schritt: Geradengleichung von $h$ aufstellen
Du hast nun den Stützvektor und den Richtungsvektor der Geraden $h$ berechnet und kannst nun die Geradengleichung aufstellen.
Es ergibt sich die Gleichung $h:\overrightarrow{x}= \pmatrix{\frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2}}+\overrightarrow{t}\cdot \pmatrix{-1 \\ 1 \\ 0}$.
#orthogonal#geradengleichung#richtungsvektor
b)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Du hast die Punkte $P(4\; |\;-6\;|\;3)$, $Q(9\; |\;12\;|\;4)$ und $A(0\; |\;0\;|\;1)$ gegeben und sollst eine Gleichung der Ebene in Parameterform aufstellen, in der diese drei Punkte liegen.
Die Gleichung dieser Ebene in Parameterform kannst du wie folgt angegeben:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AP} + s \cdot \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
$E: \overrightarrow{x} $$=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AP} $$+ s \cdot \overrightarrow{AQ} $=$ \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
Hierbei versteht man unter
  • $\overrightarrow{u}$ den Stützvektor der Ebene $E$, der die Verschiebung im Raum angibt
  • $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ die Spannvektoren der Ebene $E$, die die Ebene aufspannen
  • $t$, $s$ reelle Zahlen, für die die Spannvektoren beliebig lang bzw. kurz werden können und somit alle Punkte auf der Ebene erreicht werden können.
Berechne zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren:
$\overrightarrow{OA}$=$\pmatrix{0-0 \\ 0-0 \\ 1-0}$=$\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$
$\overrightarrow{AP}$=$\pmatrix{4-0 \\ -6-0 \\ 3-1}$=$\pmatrix{4 \\ -6 \\ 2}$
$\overrightarrow{AQ}$=$\pmatrix{9-0 \\ 12-0 \\ 4-1}$=$\pmatrix{9 \\ 12 \\ 3}$
Wenn du diese Vektoren nun in die Gleichung einsetzt, erhältst du folgende Ebenengleichung:
$E: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}+ t \cdot \pmatrix{4 \\ -6 \\ 2} + s \cdot \pmatrix{9 \\ 12 \\ 3}$
$E: $
.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Punkte $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$ eines Dreiecks sollen bestimmt werden. Den Scheitelpunkt $A(0\; |\;0\;|\;1)$ hast du gegeben. Außerdem ist eine Gleichung angegeben, mit der ein Innenwinkel des Dreiecks bereits korrekt berechnet wurde:
$\cos(BAC)=\frac{\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}\cdot\pmatrix{3 \\ 4 \\ 1}}{\left|\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}\right|\circ\left|\pmatrix{3 \\ 4 \\ 1}\right|} $
Der Winkel, der mit dieser Formel berechnet wird, ist der Winkel beim Punkt $A$. Dies erkennst du daran, dass das $A$ bei der Cosinus-Formel in der Mitte steht.
Die Vektoren $\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}$ und $\pmatrix{3 \\ 4 \\ 1}$ sind Verbindungsvektoren vom Punkt $A$ zu einem anderen Eckpunkt. Da du mögliche Koordinaten bestimmen sollst, kannst du auswählen, welcher dieser Vektoren ein Verbindungsvektor von $A$ zu $B$ oder von $A$ zu $C$ ist.
Wähle zum Beispiel $\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}$ als Verbindungsvektor von $A$ zu $B$:
Du weißt, dass gilt:
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$.
Da du $\overrightarrow{OB}$ bestimmen willst, musst du danach auflösen:
$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OA}$
Setze den bekannten Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ und den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ in die Formel ein:
$\overrightarrow{OB}=\pmatrix{2 \\ -3 \\ 1}+\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}=\pmatrix{2 \\ -3 \\ 2}$
$\overrightarrow{OB}=\pmatrix{2 \\ -3 \\ 2}$
Du hast somit mögliche Koordinaten für $B$ bestimmt mit $B(2\;|\;-3\;|\;2)$.
Du kannst für die Bestimmung von $C$ nach dem gleichen Prinzip vorgehen. Betrachte nun den anderen Vektor $\pmatrix{3 \\ 4 \\ 1}$. Dieser ist nun Verbindungsvektor vom Punkt $A$ zum anderen Eckpunkt $C$. Du weißt, dass zur Berechnung eines Verbindungsvekotrs gilt:
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0C}$-$\overrightarrow{OA}$.
Da du $\overrightarrow{OC}$ suchst, musst du danach umstellen:
$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{OA}$
Durch Einsetzen ergibt sich:
$\overrightarrow{OC}=\pmatrix{3 \\ 4 \\ 1}+\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}=\pmatrix{3 \\ 4 \\ 2}$
Du erhältst als mögliche Koordinaten des Punktes $C(3\;|\;4\;|\;2)$.
#ebenengleichung

Teil 3-Stochastik

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm einzeichnen
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{P_{\overline{A}}(\overline{B})}$ und $\boldsymbol{P(B)}$ angeben
Wenn du die Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{P_{\overline{A}}(\overline{B})}$ berechnen willst, musst du beachten, dass es sich hier um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, das heißt die Berechnung beginnt ab der Bedingung. Die Bedinung wird immer im Index angegeben. Die Berechnung beginnt also hier bei $\overline{A}$ für das Ereignis $\overline{B}$. Es wird nur einmal gewürfelt, du kannst die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{3}$ direkt ablesen.
Die Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{P(B)}$ berechnest du, indem du alle Pfade, die zu $B$ führen verfolgst und nach der Pfadmultiplikationsregel die Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines Pfades multiplizierst. Die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden dann noch nach der Pfadadditionsregel addiert:
$\boldsymbol{P(B)}$=$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$
Die Wahrscheinlichkeit $\boldsymbol{P(B)}$ beträgt also $\frac{1}{3}$.
$\blacktriangleright$  Ereignisse für $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ formulieren
Du sollst dir mögliche Ereignisse $A$ und $B$ überlegen. Dabei musst du darauf achten, dass die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse den auf dem Baumdiagramm eingetragenen Wahrscheinlichkeiten entsprechen. Es ist beschrieben, dass es sich um ein Würfel-Zufallsexperiment handelt. Beim ersten Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit für die beiden Ereignisse $A$ und $\overline{A}$ jeweils $\frac{1}{2}$. Es kann hier zum Beispiel zwischen geraden und ungeraden Zahlen unterschieden werden. $A$ steht dann beispielsweise für gerade Zahlen und $\overline{A}$ für ungerade Zahlen. Beim zweiten Würfeln liegt die Wahrscheinlichkeit für $B$ bei $\frac{1}{3}$, für $\overline{B}$ bei $\frac{2}{3}$. Es kann also hier zwischen den Werten der gewürfelten Zahlen unterschieden werden, zum Beispiel Ereignis $B$ steht für die gewürfelten Zahlen $1$ und $2$. $\overline{B}$ steht für $3,4,5$ und $6$.
#bedingtewahrscheinlichkeit#baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ angeben
Das Ereignis $T$ lautet: Auf dem Titelbild für die Einladung sind genau $a$ Jungen und $b$ Mädchen abgebildet. Du weißt, dass insgesamt $30$ Mädchen und $25$ Jungen beteiligt sind. Du sollst nun mithilfe des Terms:
$P(T)=\frac{\pmatrix{30 \\ 3}\cdot\pmatrix{25 \\ 2 }}{\pmatrix{55 \\ 5}} $
$a$ und $b$ angeben. Du kannst ablesen, dass $\pmatrix{30 \\ 3}$ den Mädchen zugeordnet werden kann, da insgesamt $30$ Mädchen beteiligt sind. Der untere Wert gibt an, dass $3$ aus $30$ ausgewählt werden, dies entspricht dann dem gesuchten $b$. Das bedeutet, dass $3$ Mädchen auf dem Titelbild abgebildet werden.
Da $25$ Jungs beteiligt sind, kann ihnen $\pmatrix{25 \\ 2 }$ zugeordnet werden. Das gesuchte $a$ ist also $2$. Es werden also $2$ von $25$ Jungen auf dem Titelbild abgebildet.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten auf dem Titelbild ermitteln
Du sollst die Schüler nun so anordnen, dass ein Junge stets zwischen zwei Mädchen steht. Da $3$ Mädchen und nur $2$ Jungen auf dem Titelbild abgebildet werden, müssen die äußersten Positionen von Mädchen eingenommen werden:
$M$$J$$M$$J$$M$
Du sollst nun die Anzahl der Möglichkeiten für die Aufstellung bestimmen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Ausprobieren
Überlege dir dazu, an welchen Stellen die Jungen und Mädchen jeweils stehen können. Du erhältst folgende Fälle:
$1.$Fall: $M_1$$J_1$$M_2$$J_2$$M_3$
$2.$Fall: $M_2$$J_1$$M_3$$J_2$$M_1$
$3.$Fall: $M_3$$J_1$$M_1$$J_2$$M_2$
$4.$Fall: $M_3$$J_1$$M_2$$J_2$$M_1$
$5.$Fall: $M_2$$J_1$$M_1$$J_2$$M_3$
$6.$Fall: $M_1$$J_1$$M_3$$J_2$$M_2$
$7.$Fall: $M_1$$J_2$$M_2$$J_1$$M_3$
$8.$Fall: $M_2$$J_2$$M_3$$J_1$$M_1$
$9.$Fall: $M_3$$J_2$$M_1$$J_1$$M_2$
$10.$Fall: $M_3$$J_2$$M_2$$J_1$$M_1$
$11.$Fall: $M_2$$J_2$$M_1$$J_1$$M_3$
$12.$Fall: $M_1$$J_2$$M_3$$J_1$$M_2$
Es gibt $12$ Möglichkeiten die Schüler anzuordnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Rechnerische Lösung
Du hast die Anzahl der Mädchen gegeben, die auf dem Titelbild abgebildet werden, mit $b=3$ und die Anzahl der Jungen mit $a=2$. Um die Anzahl $N$ der möglichen Anordnungen zu bestimmen, kannst du folgende Formel verwenden:
$N=a! \cdot b!$
$a! \cdot b!$
$N=3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1=12$
Es gibt $12$ Möglichkeiten die Schüler anzuordnen.
Bildnachweise [nach oben]
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