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Aufgabe 3.2

Aufgaben
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Gartenpavillon

#vektoren
a)
Berechne den Neigungswinkel einer Dachkante gegenüber der Grundflächenebene.
(3 BE)
#neigungswinkel
b)
Ermittle die Gesamthöhe des Pavillons.
(2 BE)
c)
Eine der dreieckigen Teilflächen des Daches liegt in der Ebene $H,$ die die Gerade $g$ und den Punkt $E$ enthält.
Weise nach, dass diese Ebene $H$ durch die Gleichung $3y+4,5z = 13,95$ beschrieben werden kann.
(3 BE)
#ebenengleichung
d)
Im Inneren des Pavillons befindet sich eine Lampe. Sie wird vereinfacht durch den Punkt $L(0\mid 1\mid 2)$ modelliert.
Gib eine Gleichung für die Gerade $k$ an, auf der neben $L$ auch der Punkt der Ebene $H$ liegt, der den kleinsten Abstand zum Punkt $L$ hat.
(2 BE)

(10 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel berechnen
Der gesuchte Neigungswinkel einer Dachkante gegenüber der Grundflächenebene kann mithilfe des Schnittwinkels der Geraden $g,$ in der laut Aufgabenstellung eine der Dachkante liegt, und der $xy$-Ebene, in der die Grundfläche liegt, berechnet werden.
Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist $\overrightarrow{n}_{xy} = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Ein Richtungsvektor der Geraden $g$ lässt sich aus der Geradengleichung ablesen: $\overrightarrow{r}_g =\pmatrix{-1,5\\1,5\\-1}.$
Mit der Formel für den Schnittwinkel einer Gerade und einer Ebene ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_{xy}\circ \overrightarrow{r}_g \right|}{\left|\overrightarrow{n}_{xy} \right| \cdot \left|\overrightarrow{r}_g \right|}\\[5pt] \sin \alpha&=&\dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\circ \pmatrix{-1,5\\1,5\\-1}\right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{-1,5\\1,5\\-1}\right|} \\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{1}{\sqrt{1^2}\cdot \sqrt{ (-1,5)^2 +(1,5)^2 + (-1)^2} } \\[5pt] \sin \alpha&=& \dfrac{1}{\sqrt{5,5} }&\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx& 25,24^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha \approx 25,24^{\circ} $
Der Neigungswinkel der Dachkanten gegenüber der Grundflächenebene beträgt ca. $25,24^{\circ}.$
b)
$\blacktriangleright$  Gesamthöhe ermitteln
Da die Grundfläche des Pavillons in der $xy$-Ebene liegt und die Spitze $S$ des Daches der höchste Punkt ist, ergibt sich die Gesamthöhe des Pavillons aus der $z$-Koordinate von $S.$
$S$ liegt auf der Geraden $g$ und auf der $z$-Achse. Für die $x$- und $y$-Koordinaten von $S$ gilt also $x_S=y_S=0.$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\pmatrix{0\\0\\z_S} = \pmatrix{-1,5\\1,5\\2,1}+ t\cdot \pmatrix{-1,5\\1,5\\-1}$
$ \pmatrix{0\\0\\z_S} = …$
Dadurch ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& -1,5-1,5t &\quad \scriptsize \mid\; +1,5 \\[5pt] & 1,5 &=& -1,5t &\quad \scriptsize \mid\; :(-1,5) \\[5pt] & -1 &=& t \\[10pt] \text{II}\quad&0&=& 1,5+1,5t &\quad \scriptsize \mid\; -1,5 \\[5pt] &-1,5&=&1,5t &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] & -1 &=& t \\[10pt] \text{III}\quad&z_S&=& 2,1-t \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 0&=& … \\[10pt] \text{II}\quad& 0&=&…\\[5pt] \text{III}\quad& z_S&=& … \\ \end{array}$
Damit ergibt sich für die dritte Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} z_S&=& 2,1-t \\[5pt] &=& 2,1- (-1) \\[5pt] &=& 3,1 \end{array}$
Die Gesamthöhe des Pavillons beträgt $3,1\,\text{m}.$
c)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung nachweisen
In der Ebene $H$ soll sowohl die Gerade $g$ als auch der Punkt $E$ liegen. Der Stützpunkt $P(-1,5\mid 1,5\mid 2,1)$ der Geraden muss also ebenfalls in $H$ liegen.
Ein Normalenvektor von $H$ muss also sowohl senkrecht auf dem Richtungsvektor $\overrightarrow{r}_{g}$ von $g$ als auch auf dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{PE}$ stehen. Mit Hilfe des Kreuzprodukts ergibt sich ein solcher Vektor:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_H&=& \overrightarrow{r}_g \times \overrightarrow{PE} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1,5\\1,5\\-1}\times \pmatrix{3\\0\\0}\\[5pt] &=&\pmatrix{1,5\cdot 0- (-1)\cdot 0\\ -1\cdot 3- (-1,5)\cdot 0\\ -1,5\cdot 0-1,5\cdot 3} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\-3\\-4,5} \\[5pt] &=&-1\cdot \pmatrix{0\\3\\4,5} \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_H = -1\cdot \pmatrix{0\\3\\4,5} $
Einsetzen des gekürzten Normalenvektors in die allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung liefert:
$H:\, 3y+4,5z = d$
Eine Punktprobe mit dem Punkt $E$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 3\cdot 1,5 +4,5\cdot 2,1 \\[5pt] &=& 13,95 \end{array}$
Die Ebene $H$ kann also durch die Gleichung $3y+4,5z=13,95$ beschrieben werden.
#koordinatenform#kreuzprodukt
d)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Der Punkt $Q$ in $H$ mit dem kleinsten Abstand zu $L$ ist der Lotfußpunkt des Lotes, das von $L$ auf die Ebene $H$ gefällt wird.
Dieser Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden $k,$ die sowohl senkrecht zu $H$ als auch durch den Punkt $L$ verläuft. Diese Gerade ist die gesuchte Gerade, da sie sowohl $L$ als auch $Q$ enthält. Ein möglicher Richtungsvektor ist ein Normalenvektor von $H.$ Als Stützvektor kann der Ortsvektor von $L$ verwendet werden. Eine Gleichung der gesuchten Gerade ist also:
$k: \, \overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\1\\2}+ t\cdot \pmatrix{0\\3\\4,5}$
$ k: \, \overrightarrow{x}= … $
#normalenvektor
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