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Aufgabe 4.1

Aufgaben
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Eine Umfrage ergab, dass zu medizinischen Fragen $73\,\%$ der Bevölkerung das Internet nutzen. $55\,\%$ der Internetnutzer nutzen Medinet, einen beliebten Ratgeber bei medizinischen Fragen, der nur im Internet verfügbar ist.
a)
Stelle den Sachverhalt in einem soweit wie möglich beschriftetem Baumdiagramm dar.
(3 BE)
#baumdiagramm
b)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zwölf zufällig ausgewählten Personen genau zehn befinden, die das Internet nutzen.
(2 BE)
c)
Wieder werden zwölf Personen zufällig ausgewählt. Betrachtet wird nun ein Ereignis $B.$
Die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ wird mit folgender Gleichung berechnet:
$P(B)=1-\binom{12}{12}\cdot 0,73^{12}\cdot (1-0,73)^0-\binom{12}{11}\cdot 0,73^{11}\cdot (1-0,73)^1$
$ P(B)=… $
Beschreibe das Ereignis $B,$ dessen Wert mit dieser Gleichung berechnet werden kann.
(2 BE)
d)
In einer Arztpraxis sitzen $12$ Personen, die das Internet zu medizinischen Fragen nutzen.
Von diesen recherchieren $7$ Personen bei Medinet. $3$ Personen werden aufgerufen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den aufgerufenen höchstens $2$ sind, die bei Medinet recherchieren.
(3 BE)

(10 BE)
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellenAufgabe 4.1
Bezeichne mit $I$ das Ereignis, dass eine Person das Internet für medizinische Fragen nutzt und mit $M$ das Ereignis, dass eine Person Medinet nutzt.
Aufgabe 4.1
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 4.1
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Internetnutzer unter zwölf Personen beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n=12$ und $p= 0,73.$
Mit der entsprechenden Formel folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=10)&=& \binom{12}{10}\cdot 0,73^{10}\cdot (1-0,73)^2 \\[5pt] &\approx& 0,2068 \\[5pt] &=& 20,68\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(X=10)\approx 20,68\,\% $
Unter zwölf zufällig ausgewählten Personen befinden sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $20,68\,\%$ genau zehn, die das Internet nutzen.
#binomialverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Ereignis beschreiben
$P(B)= 1- \underbrace{\binom{12}{12}\cdot 0,73^{12}\cdot (1-0,73)^0}_{=P(X=12)}-\underbrace{\binom{12}{11}\cdot 0,73^{11}\cdot (1-0,73)^1}_{=P(X=11)} = P(X\leq 10)$
$ P(B)=P(X\leq10) $
Mit der Gleichung kann die Wahrscheinlichkeit folgenden Ereignisses berechnet werden:
$B:\quad$ Unter zwölf zufällig ausgewählten Personen befinden sich höchstens zehn, die das Internet nutzen.
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Medinetnutzer unter den drei zufällig aufgerufenen Internetnutzern beschreibt. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit $N=12,$ $M=7$ und $n=3.$
Mit der entsprechenden Formel ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\leq 2)&=& 1-P(Y=3) \\[5pt] &=& 1-\dfrac{\binom{7}{3}\cdot \binom{12-7}{3-3}}{\binom{12}{3}} \\[5pt] &=& 1-\dfrac{\binom{7}{3}\cdot \binom{5}{0}}{\binom{12}{3}} \\[5pt] &\approx& 0,8409 \\[5pt] &=& 84,09\,\% \end{array}$
$ P(Y\leq 2)\approx 84,09\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $84,09\,\%$ befinden sich unter den drei aufgerufenen Personen höchstens zwei, die Medinet nutzen.
#hypergeometrischeverteilung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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