Analysis 2.1 - Exponentialfunktionen

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=\left(a x^2+x-5\right) \cdot \mathrm e^{a x} ;$ $a \in \mathbb{R}.$ Die Graphen von $f_a$ werden mit $G_a$ bezeichnet.

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f_a$ für $x \rightarrow+\infty$ in Abhängigkeit von $a$ an.

(3 BE)

Ermittle die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$

(5 BE)

Die Abbildung stellt die Graphen $G_{-0,2}$ und $G_{0,4}$ dar. Ordne den Graphen I und II ihren jeweiligen Parameter zu und begründe deine Entscheidung.
Berechne den gemeinsamen Schnittpunkt aller Graphen $G_a$ mit der $y$ -Achse.

(3 BE)

Zeige, dass $\(f$ $=0,04(x-5)(x-10) \mathrm e^{-0,2 x}$ gilt.
Gib ohne weitere Rechnung die möglichen lokalen Extremstellen von $f_{-0,2}$ an.

(4 BE)

Die Gerade durch die Punkte $(5 \mid f_{-0,2}(5))$ und $(10 \mid f_{-0,2}(10))$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S.$
Bestimme die Koordinaten von $S$ näherungsweise.

(zur Kontrolle: $S(0 \mid-1,65)$ )

(4 BE)

Durch Spiegelung der Graphen von $f_a$ an der $x$ -Achse entstehen die Graphen einer Funktionsschar $k_a.$
Es gibt zwei Werte für $a,$ so dass gilt:
Die Tangente an den Graphen von $f_a$ an der Stelle $0,$ die Tangente an den Graphen von $k_a$ an der Stelle $0$ und die $y$ -Achse begrenzen ein Dreieck, das gleichseitig ist. Bestimme einen solchen Wert von $a.$

(4 BE)

Gegeben ist zusätzlich die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x)=\mathrm e^{a-x}+x-a ;$ $a \in \mathbb{R}.$
Für die erste Ableitungsfunktion von $h_a$ gilt $\(h$

Im Zusammenhang mit $h_{-0,2}$ wurde folgende Rechnung durchgeführt:

$t(x)=m x-1,65$
$\(m=h$
$h_{-0,2}\left(x_Q\right)=t\left(x_Q\right)$ $\Rightarrow x_Q \approx-1,503 ;\,y_Q \approx 2,38$ $\Rightarrow Q(-1,5 \mid 2,38)$

Erläutere die einzelnen Schritte und formuliere eine passende Aufgabenstellung.

(5 BE)

Bestimme den Wert für $a,$ für den der Graph von $h_a$ die $y$ -Achse im Winkel von $45^\circ$ schneidet.

(2 BE)

Beurteile die folgende Aussage:

$\,$

Aus einer Untersuchung der Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $h_a$ lässt sich schlussfolgern, dass keine Funktion der Schar $h_a$ eine Nullstelle besitzt.

(4 BE)

Weise nach, dass gilt $\displaystyle\int_{-2}^{6}h_{-0,2}(x)\;\mathrm dx\lt24.$

(3 BE)

Betrachtet wird der Inhalt der Fläche, den der Graph II (siehe Abbildung) mit der $x$ -Achse im selben Intervall wie in Teilaufgabe j begrenzt.
Beurteile mithilfe der Abbildung, ob der Inhalt dieser Fläche größer oder kleiner als der in Teilaufgabe j berechnete Wert ist.

(3 BE)

(40 BE)

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1. Fall: $\boldsymbol{a=0}$

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)&=&\lim\limits_{x\to+\infty}((x-5) \cdot 1) \\[5pt] &=&+\infty \end{array}$

2. Fall: $\boldsymbol{a\gt0}$

Rechenweg anzeigen

$\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x) = +\infty$

3. Fall: $\boldsymbol{a\lt0}$

Da für $\lim\limits_{x\to+\infty}$ der Term $x^2$ schneller steigt bzw. fällt als $x,$ geht der erste Faktor von $f_a(x)$ gegen $-\infty.$ Der zweite Faktor $\mathrm e^{ax}$ geht in diesem Fall für $\lim\limits_{x\to+\infty}$ gegen $0.$ Da die $\mathrm e$ -Funktion schneller steigt bzw. fällt als der erste Faktor, folgt somit $\lim\limits_{x\to+\infty}f_a(x)=0.$

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&0 \\[5pt] (a x^2+x-5) \cdot \mathrm e^{a x}&=&0 \\[5pt] \end{array}$

Da stets $\mathrm e^{a x}\neq0$ gilt, folgt mit dem Satz des Nullprodukts weiter:

$ax^2+x-5 =0$

Für $a=0$ folgt $x-5=0$ und damit $x=5$ als einzige Nullstelle. Für $a\neq0$ liefert Dividieren durch $a$ die Gleichung $x^2+\frac{1}{a}x-\frac{5}{a}=0$ und somit folgt mit der $pq$ -Formel:

$x_{1;2}=-\dfrac{1}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2a}\right)^2+\dfrac{5}{a}}$

Nullsetzen des Ausdrucks unter der Wurzel liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{1}{2a}\right)^2+\dfrac{5}{a}&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{4a^2}+\dfrac{5}{a}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a\\[5pt] \dfrac{1}{4a}+5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] \dfrac{1}{4a}&=&-5 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4a \\[5pt] 1&=&-20a &\quad \scriptsize \mid\;:(-20) \\[5pt] -\dfrac{1}{20}&=&a \end{array}$

Für kleineres $a$ wird der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als null. Somit besitzt $f_a$ im Fall $a\neq0$ genau eine Nullstelle wenn $a=-\frac{1}{20}$ gilt, keine Nullstelle für $a\lt-\frac{1}{20}$ und zwei Nullstellen für $a\gt-\frac{1}{20}.$

Graphen zuordnen und begründen

Mit $-\frac{1}{20}=-0,05$ folgt $-0,2\lt-0,05$ und $0,4\gt-0,05.$ Somit besitzt nach Aufgabenteil b) der Graph $G_{-0,2}$ keine Nullstelle und der Graph $G_{0,4}$ zwei Nullstellen. Da die Abbildung zwei Nullstellen von Graph I zeigt, gehört Graph I zu $G_{0,4}$ und Graph II zu $G_{-0,2}.$

Schnittpunkt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=&(a\cdot0^2+0-5) \cdot \mathrm e^{a\cdot0} \\[5pt] &=&(-5)\cdot1 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$

Der gemeinsame Schnittpunkt $S$ aller Graphen $G_a$ mit der $y$ -Achse besitzt somit die Koordinaten $S_y(0\mid-5).$

Mit $f_{-0,2}(x)$ $=(-0,2 x^2+x-5) \cdot \mathrm e^{-0,2 x}$ folgt für die Ableitung von $f_{-0,2}$ mit der Produktregel:

Rechenweg anzeigen

$\( f_{-0,2}$

Da stets $\mathrm e^{-0,2x}\neq 0$ gilt, folgt mit dem Satz des Nullprodukts, dass $x_1=5$ und $x_2=10$ die möglichen Extremstellen von $f_{0,2}$ sind.

Für die $y$ -Werte der angegebenen Punkte folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_{-0,2}(5)&=&(-0,2\cdot5^2+5-5) \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot5} \\[5pt] &=& -5\mathrm e^{-1} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_{-0,2}(10)&=&(-0,2\cdot10^2+10-5) \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot10} \\[5pt] &=&(-20+10-5) \cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] &=&-15\mathrm e^{-2} \end{array}$

Für die Steigung $m$ der Geraden, die durch diese beiden Punkte verläuft, folgt somit:

$m=\dfrac{-5\mathrm e^{-1}-(-15\mathrm e^{-2})}{5-10}$ $=\dfrac{-5\mathrm e^{-1}+15\mathrm e^{-2}}{-5}\approx-0,038$

Einsetzen der Koordinaten $(5\mid-5\mathrm e^{-1})$ in die Geradengleichung $y=mx+n$ liefert für den $y$ -Achsenabschnitt $n:$

$\begin{array}[t]{rll} -5\mathrm e^{-1}&=&-0,038\cdot5+n \\[5pt] -5\mathrm e^{-1}&=&-0,19+n \quad \scriptsize \mid\;+0,19\\[5pt] -5\mathrm e^{-1}+0,19&=&n \\[5pt] -1,65&\approx&n \end{array}$

Für die gesuchten Koordinaten des Punkts $S$ folgt somit näherungsweise $S(0\mid-1,65).$

Aufgrund der Spiegelung sind die Winkel, die die betrachteten Tangenten an $f_a$ bzw. $k_a$ mit der $y$ -Achse und mit der $x$ -Achse einschließen, jeweils gleich groß. Damit das Dreieck gleichseitig ist, müssen alle Innenwinkel $60^\circ$ betragen, was genau dann der Fall ist, wenn sich die Schnittwinkel der Tangenten mit der $x$ -Achse zu $60^\circ$ aufaddieren, das heißt beide $30^\circ$ betragen. Für die Ableitung von $f_a$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\( f_a$ $\cdot \mathrm e^{a x}$

Für die Steigung $m$ der Tangente an $f_a$ folgt somit:

$\(m= f_a$ $=(a^2\cdot0^2+3 a\cdot0-5 a+1) \cdot \mathrm e^{a\cdot0}$ $= -5a+1$

Gleichsetzen mit $\tan(30^\circ)$ liefert als einen möglichen Wert für $a:$

$\begin{array}[t]{rll} -5a+1&=&\tan(30^\circ) &\quad \scriptsize \mid\;-1\\[5pt] -5a&=&\tan(30^\circ)-1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-5)\\[5pt] a&=&\dfrac{3-\sqrt{3}}{15} \end{array}$

Schritte erläutern

Eine Tangentengleichung mit $y$ -Achsenabschnitt $n=-1,65$ wird aufgestellt, das heißt $t$ schneidet die $y$ -Achse im bekannten Punkt $S_y.$
Die Steigung $m$ der Tangente ist durch die Steigung der Funktion $h_{-0,2}$ an der Stelle $x_Q$ gegeben
Auflösen der Gleichung $h_{-0,2}(x_Q)=t(x_Q)$ liefert den Wert von $x_Q.$ Einsetzen in $t(x)$ ergibt dann $y_Q$ und damit die Koordinaten des Punktes $Q.$

Aufgabenstellung formulieren

Es existiert eine Tangente $t$ an den Graphen von $h_{-0,2},$ die zusätzlich durch den Punkt $S_y$ verläuft. Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q,$ in dem $t$ an den Graph von $h_{-0,2}$ anliegt.

Genau dann, wenn $\(h_a$ gilt, schneidet der Graph von $h_a$ die $y$ -Achse in einem Winkel von $45^\circ.$ Da die $\mathrm e$ -Funktion nie null wird, kann $\(h_a$ für kein $a$ gelten. Somit folgt für den gesuchten Wert von $a:$

$\(\begin{array}[t]{rll} h_a$

Für die zweite Ableitung von $h_a$ ergibt sich:

$\(h_a$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} h_a$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} h_a$

Somit besitzt der Graph von $h_a$ an der Stelle $x=a$ einen Tiefpunkt.

3. Schritt: Koordinaten bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} h_a(a)&=&\mathrm e^{a-a}+a-a \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Der einzige Extrempunkt jedes Graphen der Funktionenschar ist somit ein Tiefpunkt, der oberhalb der $x$ -Achse liegt. Daher kann keiner der Graphen der Funktionenschar eine Nullstelle besitzen, die Aussage ist also korrekt.

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{-2}^{6}h_{-0,2}(x)\;\mathrm dx \approx 23,65\lt24$

Eine mögliche Vorgehensweise ist das Zählen der Kästchen, die der Graph II zwischen $-2$ und $6$ mit der $x$ -Achse einschließt. Dabei erhält man jeweils etwas mehr als $3,5$ Kästchen auf beiden Seiten der $y$ -Achse.
Da aufgrund der Achsenbeschriftung jedes Kästchen $2\cdot2=4\;[\text{FE}]$ entspricht, ist der Inhalt der eingeschlossenen Fläche auf jeden Fall größer als $2\cdot3,5\cdot4=28\;[\text{FE}]$ und damit größer als der in Teilaufgabe j) berechnete Wert.

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