Aufgabe 3.2
Die Punkte 
und 
sind in dieser Reihenfolge Eckpunkte eines Quadrates, das in der Ebene 
liegt.
und sind in dieser Reihenfolge Eckpunkte eines Quadrates, das in der Ebene liegt.
a)
Gib eine Parametergleichung der Ebene an.
an.
(2 BE)
b)
Ein vom Punkt 
in Richtung des Vektors 
verlaufender geradliniger Laserstrahl trifft genau im Mittelpunkt 
des Quadrates 
auf die Ebene 
Ermittle 
Bestimme die Größe des Winkels, den der Laserstrahl und die Diagonale
des Quadrates einschließen.
in Richtung des Vektors verlaufender geradliniger Laserstrahl trifft genau im Mittelpunkt des Quadrates auf die Ebene Ermittle
Bestimme die Größe des Winkels, den der Laserstrahl und die Diagonale
des Quadrates einschließen.
(6 BE)
c)
Beschreibe die Lagebeziehung des Punktes 
zum Quadrat 
dessen Ortsvektor durch die Gleichung 
dargestellt wird.
zum Quadrat dessen Ortsvektor durch die Gleichung dargestellt wird.
(2 BE)
(10 BE)
a)
Vollständige Lösung anzeigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
E:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AB} +s\cdot \overrightarrow{AC} \\[5pt]
&=&\pmatrix{-2\\2\\-1} + r\cdot \pmatrix{3\\0\\3}+s\cdot \pmatrix{4\\-4\\2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3d8bbc0b8e436c6598205b4e8a8b1cc6b7b774b69509766383f731108d3da7c1_light.svg)
b)
Parameterwert ermitteln
1. Schritt: Koordinaten des Mittelpunkts bestimmen
Der Mittelpunkt eines Quadrates ist auch der Mittelpunkt der beiden Diagonalen, also insbesondere der Diagonalen 
Mit der Formel für den Mittelpunkt einer Strecke folgt:
2. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Gerade, entlang derer der Laserstrahl verläuft, kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
3. Schritt: Parameterwert bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{-2\\2\\-1}+\pmatrix{2\\-2\\1} \right) \\[5pt]
&=& \pmatrix{0\\0\\0} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/87252df6b414ef8b591be0e46b8753484ae177edfd6936dd49af5d4751ba447f_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
g_a:\quad \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OR_a} +t\cdot \overrightarrow{v} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/daa77117644eac2297d0ef2fb8ff208c76e0429437e0bb11e048257582bc16a2_light.svg)
muss so gewählt werden, dass auf der Geraden 
liegt:
Aus der ersten und dritten Zeile folgt, dass 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1} \\[5pt]
\pmatrix{0\\0\\0}&=& \pmatrix{-6\\2a-4\\6} +t\cdot \pmatrix{1\\3\\-1}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4172baf59ff035337f88b9b03ae6f47d635f55d5ce4e43b5a4a8c3797de5df39_light.svg)
gelten muss. Für die zweite Zeile der Gleichung gilt damit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& 2a-4+6\cdot 3 \\[5pt]
0&=& 2a+14 &\quad \scriptsize\mid \; -14 \\[5pt]
-14 &=& 2a &\quad \scriptsize\mid \; :2\\[5pt]
-7 &=& a
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b68791101f4548d42801a6a0bb001698158ca3d0e5ad3600e057212e48aa3ed7_light.svg)
Winkelgröße bestimmen
Ein Richtungsvektor des Laserstrahls ist 
Ein Richtungsvektor der Diagonale ist 
Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Geraden folgt daher:
Der Winkel, den der Laserstrahl und die Diagonale 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \phi&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{AC} \right|}{\left|\overrightarrow{v} \right| \cdot \left| \overrightarrow{AC}\right|} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{\left|\pmatrix{1\\3\\-1}\circ\pmatrix{4\\-4\\2} \right|}{\left|\pmatrix{1\\3\\-1}\right| \cdot \left| \pmatrix{4\\-4\\2}\right|} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{\left|1\cdot 4 +3\cdot (-4) -1\cdot 2\right|}{\sqrt{1^2+3^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{4^2+(-4)^2+2^2}} \\[5pt]
\cos \phi&=& \dfrac{10}{\sqrt{11} \cdot 6}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\phi&\approx& 59,83^{\circ} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0d490774c0e97bfc49acabf445caa0953fce0f1ced82b037822f3dd5cb1a44c4_light.svg)
einschließen, ist ca. 
groß.
c)
Lagebeziehung beschreiben
Abb. 1: Skizze
Der Weg zum Punkt startet im Punkt 
Der Faktor 
normiert den Vektor 
auf die Länge 
Der Punkt entsteht also aufgrund des Faktors 
durch Verschiebung des Punktes 
um drei Längeneinheiten entlang des Vektors und anschließender Verschiebung entlang des Vektors 
liegt also auf der Seite 
des Quadrats, da 
ist, und ist dabei Längeneinheiten von 
entfernt.
startet im Punkt Der Faktor normiert den Vektor auf die Länge Der Punkt entsteht also aufgrund des Faktors durch Verschiebung des Punktes um drei Längeneinheiten entlang des Vektors und anschließender Verschiebung entlang des Vektors liegt also auf der Seite des Quadrats, da ist, und ist dabei Längeneinheiten von entfernt.
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