Stochastik 3.2 - Fitnessarmband

Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben $59\,\%$ Datenschutzbedenken. Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen $23\,\%$ ein Fitnessarmband. $19\,\%$ aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Datenschutzbedenken hat.

(3 BE)

Es gilt $0,23\neq0,59\cdot 0,23+0,19$ . Begründe damit, dass die Ereignisse „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person hat Datenschutzbedenken.“ und „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband.“ stochastisch abhängig sind.

(3 BE)

100 Kunden des Unternehmens werden zufällig ausgewählt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $50\,\%$ der ausgewählten Kunden Datenschutzbedenken haben.

(2 BE)

Ersetzt man die Platzhalter $a$ und $b$ in geeigneter Weise, so kann mit dem Term

Term anzeigen

die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden.
Gib an, wodurch die Platzhalter zu ersetzen sind, und beschreibe das zugehörige Ereignis.

(3 BE)

Untersuche, ob es einen Wert von $n$ mit $n\gt0$ gibt, für den die folgende Aussage richtig ist:

Werden $2n$ Kunden des Unternehmens zufällig ausgewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen niemand Datenschutzbedenken hat, halb so groß wie bei $n$ Kunden.

(3 BE)

Ein Händler vermutet, dass die Fitnessarmbänder eines bestimmten Herstellers besonders häufig Fehler aufweisen. Um einen Anhaltspunkt für den Anteil der fehlerhaften Armbänder unter allen Fitnessarmbändern dieses Herstellers zu gewinnen, führt er einen Signifikanztest mit der Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Armbänder beträgt mindestens $7\,\%$ .“ durch.

Für diesen Test gilt:

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens vier Armbänder fehlerhaft sind.
Der Abbildung kann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art in Abhängigkeit vom Anteil $p$ fehlerhafter Armbänder entnommen werden.

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Begründe, dass der Umfang der Stichprobe sicher größer als 100 ist.

(4 BE)

Gib an, welche Überlegung den Händler dazu veranlasst haben könnte, die gewählte Nullhypothese der Alternative „Der Anteil der fehlerhaften Armbänder beträgt höchstens $7\,\%$ .“ vorzuziehen. Begründe deine Angabe.

(3 BE)

Bei einer Werbeveranstaltung eines Elektrofachmarktes wird für die Kunden ein Gewinnspiel angeboten. Für einen Ersatz darf ein Kunde ein Glücksrad, das nur aus den Symbolen Sonne (S) oder Mond (M) besteht, siebenmal drehen. So entstehen Anordnungen aus sieben Symbolen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Sonne erscheint, ist $0,7$ , die für einen Mond $0,3$ .

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erzeugte Anordnung mit $SSS$ endet.

(2 BE)

Interpretiere den folgenden Term im Sachzusammenhang $0,7^3\cdot \pmatrix{4\\2}\cdot 0,7^2\cdot 0,3^2$ .

(2 BE)

Eine Anordnung erzielt einen Gewinn (Einkaufsgutschein), wenn sie mehr als dreimal „Mond“ enthält.
Ermittle die Wahscheinlichkeit für den Erhalt eines Gewinns.

(2 BE)

Für Gewinne sind folgende Einkaufsgutscheine vorgesehen:

Anzahl der Monde	Einkaufsgutschein in Euro
4	2
5	10
6	100
7	1000

Je Gewinnspiel möchte der Elektronikfachmarkt durchschnittlich mindestens 20 Cent gewinnen. Ermittle den dafür nötigen Mindesteinsatz.

(5 BE)

Eine Anordnung mit genau zwei Sonnen an den vorderen fünf Stellen gewinnt einen Extrapreis. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man mit einer Anordnung zugleich einen Gewinn und einen Extrapreis erhält.

(5 BE)

(40 BE)

Summierte Binomialverteilung für $n=100$

Gerundet auf vier Nachkommastellen,
alle freien Plätze und alle nicht dargestellten Zeilen enthalten $1,0000.$
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen $(p\gt0,5),$ ist der richtige Wert $1-$ (abgelesener Wert).

Tabelle für n=100 und p= 0,07, p=0,10 , p=1/6 , p=0,20

	A	B	C	D	E	F	G	H
1			p
2	n	k	0,07	0,10	1/6	0,20		n
3	100	0	0,0007	0,0000	0,0000	0,0000	99	100
4		1	0,0060	0,0003	0,0000	0,0000	98
5		2	0,0258	0,0019	0,0000	0,0000	97
6		3	0,0744	0,0078	0,0000	0,0000	96
7		4	0,1632	0,0237	0,0001	0,0000	95
8		5	0,2914	0,0576	0,0004	0,0000	94
9		6	0,8380	0,1172	0,0013	0,0001	93
10		7	0,5988	0,2061	0,0038	0,0003	92
11		8	0,7340	0,3209	0,0095	0,0009	91
12		9	0,8380	0,4513	0,0213	0,0023	90
13		10	0,9092	0,5832	0,0427	0,0057	89
14		11	0,9531	0,7030	0,0777	0,0126	88
15		12	0,9776	0,8018	0,1297	0,0253	87
16		13	0,9901	0,8761	0,2000	0,0469	86
17		14	0,9959	0,9274	0,2874	0,0804	85
18		15	0,9984	0,9601	0,3877	0,1285	84
19		16	0,9994	0,9794	0,4942	0,1923	83
20		17	0,9998	0,9900	0,5994	0,2712	82
21		18	0,9999	0,9954	0,6965	0,3621	81
22		19		0,9980	0,7803	0,4602	80
23		20		0,9992	0,8481	0,5595	79
24		21		0,9997	0,8998	0,6540	78
25		22		0,9999	0,9370	0,7389	77
26		23			0,9621	0,8109	76
27		24			0,9783	0,8687	75
28		25			0,9881	0,9125	74
29		26			0,9938	0,9442	73
30		27			0,9969	0,9659	72
31		28			0,9985	0,9800	71
32		29			0,9993	0,9888	70
33		30			0,9997	0,9939	69
34		31			0,9999	0,9969	68
35		32				0,9985	67
36		33				0,9993	66
37		34				0,9997	65
38		35				0,9999	64
39			0,93	0,90	0,83	0,80	k
40			p

Tabelle für n=100 und p=0,25 , p=0,30 , p=1/3

	A	B	C	D	E	F	G
1			p
2	n	k	0,25	0,30	1/3		n
3	100	0	0,0000	0,0000	0,0000	99	100
4		1	0,0000	0,0000	0,0000	98
5		2	0,0000	0,0000	0,0000	97
6		3	0,0000	0,0000	0,0000	96
7		4	0,0000	0,0000	0,0000	95
8		5	0,0000	0,0000	0,0000	94
9		6	0,0000	0,0000	0,0000	93
10		7	0,0000	0,0000	0,0000	92
11		8	0,0000	0,0000	0,0000	91
12		9	0,0000	0,0000	0,0000	90
13		10	0,0001	0,0000	0,0000	89
14		11	0,0004	0,0000	0,0000	88
15		12	0,0010	0,0000	0,0000	87
16		13	0,0025	0,0001	0,0000	86
17		14	0,0054	0,0002	0,0000	85
18		15	0,0111	0,0004	0,0000	84
19		16	0,0211	0,0010	0,0001	83
20		17	0,0376	0,0022	0,0002	82
21		18	0,0630	0,0045	0,0005	81
22		19	0,0995	0,0089	0,0011	80
23		20	0,1488	0,0165	0,0024	79
24		21	0,2114	0,0288	0,0048	78
25		22	0,2864	0,0479	0,0091	77
26		23	0,3711	0,0755	0,0164	76
27		24	0,4617	0,1136	0,0281	75
28		25	0,5535	0,1631	0,0458	74
29		26	0,6417	0,2244	0,0715	73
30		27	0,7224	0,2964	0,1066	72
31		28	0,7925	0,3768	0,1524	71
32		29	0,8505	0,4623	0,2093	70
33		30	0,8962	0,5491	0,2766	69
34		31	0,9307	0,6331	0,3525	68
35		32	0,9554	0,7107	0,4344	67
36		33	0,9724	0,7793	0,5188	66
37		34	0,9836	0,8371	0,6020	65
38		35	0,9906	0,8839	0,6803	64
39		36	0,9948	0,9201	0,7511	63
40		37	0,9973	0,9470	0,8123	62
41		38	0,9986	0,9660	0,8631	61
42		39	0,9993	0,9790	0,9034	60
43		40	0,9997	0,9875	0,9341	59
44		41	0,9999	0,9928	0,9566	58
45		42	0,9999	0,9960	0,9724	57
46		43		0,9979	0,9831	56
47		44		0,9989	0,9900	55
48		45		0,9995	0,9943	54
49		46		0,9997	0,9969	53
50		47		0,9999	0,9983	52
51		48		1,0000	0,9992	51
52		49			0,9996	50
53		50			0,9998	49
54		51			0,9999	48
55			0,75	0,70	0,67	k
56

Tabelle für n=100 und p=0,40 , p=0,41 , p=0,50

	A	B	C	D	E	F	G
1			p
2	n	k	0,40	0,41	0,50		n
3	100	0	0,0000	0,0000	0,0000	99	100
4		1	0,0000	0,0000	0,0000	98
5		2	0,0000	0,0000	0,0000	97
6		3	0,0000	0,0000	0,0000	96
7		4	0,0000	0,0000	0,0000	95
8		5	0,0000	0,0000	0,0000	94
9		6	0,0000	0,0000	0,0000	93
10		7	0,0000	0,0000	0,0000	92
11		8	0,0000	0,0000	0,0000	91
12		9	0,0000	0,0000	0,0000	90
13		10	0,0000	0,0000	0,0000	89
14		11	0,0000	0,0000	0,0000	88
15		12	0,0000	0,0000	0,0000	87
16		13	0,0000	0,0000	0,0000	86
17		14	0,0000	0,0000	0,0000	85
18		15	0,0000	0,0000	0,0000	84
19		16	0,0000	0,0000	0,0000	83
20		17	0,0000	0,0000	0,0000	82
21		18	0,0000	0,0000	0,0000	81
22		19	0,0000	0,0000	0,0000	80
23		20	0,0000	0,0000	0,0000	79
24		21	0,0000	0,0000	0,0000	78
25		22	0,0001	0,0001	0,0000	77
26		23	0,0003	0,0001	0,0000	76
27		24	0,0006	0,0003	0,0000	75
28		25	0,0012	0,0006	0,0000	74
29		26	0,0024	0,0013	0,0000	73
30		27	0,0046	0,0025	0,0000	72
31		28	0,0084	0,0048	0,0000	71
32		29	0,0148	0,0087	0,0000	70
33		30	0,0248	0,0152	0,0000	69
34		31	0,0399	0,0254	0,0001	68
35		32	0,0615	0,0406	0,0002	67
36		33	0,0913	0,0624	0,0004	66
37		34	0,1303	0,0922	0,0009	65
38		35	0,1795	0,1313	0,0018	64
39		36	0,2386	0,1804	0,0033	63
40		37	0,3068	0,2394	0,0060	62
41		38	0,3822	0,3073	0,0105	61
42		39	0,4621	0,3824	0,0176	60
43		40	0,5433	0,4620	0,0284	59
44		41	0,6225	0,5429	0,0443	58
45		42	0,6967	0,6218	0,0666	57
46		43	0,7635	0,6959	0,0967	56
47		44	0,8211	0,7625	0,1356	55
48		45	0,8689	0,8201	0,1841	54
49		46	0,9070	0,8680	0,2421	53
50		47	0,9362	0,9062	0,3087	52
51		48	0,9577	0,9356	0,3822	51
52		49	0,9729	0,9572	0,4602	50
53		50	0,9832	0,9725	0,5398	49
54		51	0,9900	0,9830	0,6178	48
55		52	0,9942	0,9898	0,6914	47
56		53	0,9968	0,9941	0,7579	46
57		54	0,9983	0,9967	0,8159	45
58		55	0,9991	0,9983	0,8644	44
59		56	0,9996	0,9991	0,9033	43
60		57	0,9998	0,9996	0,9334	42
61		58	0,9999	0,9998	0,9557	41
62		59		0,9999	0,9716	40
63		60			0,9824	39
64		61			0,9895	38
65		62			0,9940	37
66		63			0,9967	36
67	64			0,9982	35
68	65			0,9991	34
69	66			0,9996	33
70	67			0,9998	32
71	68			0,9999	31
72			0,60	0,59	0,50	k
73

Summierte Binomialverteilung für $n=7$

Gerundet auf vier Nachkommastellen.

Tabelle für n=7 und p=0,05 , p=0,10 , p=1/6

	A	B	C	D	E	F
1			p
2	n	k	0,05	0,10	1/6
3	7	0	0,6983	0,4783	0,2791	7
4		1	0,9556	0,8503	0,6698	6
5		2	0,9962	0,9743	0,9042	5
6		3	0,9998	0,9973	0,9824	4
7		4	1,0000	0,9998	0,9980	3
8		5		1,0000	0,9999	2
9		6			1,0000	1
10			0,95	0,90	5/6	k
11			p

Tabelle für n=7 und p=0,20 , p=0,25 , p=0,30

	A	B	C	D	E	F
1					p
2	n	k	0,20	0,25	0,30
3	7	0	0,1335	0,0824	0,0824	7
4		1	0,4450	0,3294	0,3294	6
5		2	0,7564	0,6471	0,6471	5
6		3	0,9294	0,8740	0,8740	4
7		4	0,9871	0,9712	0,9712	3
8		5	0,9987	0,9962	0,9962	2
9		6	0,9999	0,9998	0,9998	1
10		7	1,0000	1,0000	1,0000	0
11			0,80	0,75	0,70	k
12					p

Tabelle für n=7 und p=1/3 , p= 0,40, p=0,50

	A	B	C	D	E	F
1			p
2	n	k	1/3	0,40	0,50
3	7	0	0,0585	0,2791	0,0078	7
4		1	0,2634	0,6698	0,0625	6
5		2	0,5706	0,9042	0,2266	5
6		3	0,8267	0,9824	0,5000	4
7		4	0,9547	0,9980	0,7734	3
8		5	0,9931	0,9999	0,9375	2
9		6	0,9995	1,0000	0,9922	1
10		7	1,0000	1,0000	1,0000	0
11			2/3	0,60	0,50	k
12

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$D:$ „Eine Person hat Datenschutzbedenken."
$F:$ „Eine Person nutzt ein Fitnessarmband."

$\begin{array}[t]{rll} P_F(D)&=& \dfrac{P(D \cap F)}{P(D \cap F) + P(\overline{D} \cap F)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,59 \cdot 0,23}{0,59 \cdot 0,23 + 0,41 \cdot 0,46} \\[5pt] &\approx& 0,42 \\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person, die ein Fitnessarmband trägt, Datenschutzbedenken hat.

$P_D(F) = 0,23$

$P(F) = 0,59 \cdot 0,23 + 0,41 \cdot 0,46$ $=0,32$

Da $P_D(F) \neq P(F)$ gilt, sind die Ereignisse D und F stochastisch abhängig.

$X:$ Anzahl der Kunden mit Datenschutzbedenken. $X$ ist binomialverteilt mit $p=0,59$ und $n=100.$

$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq 50)&\approx& 0,04 \end{array}$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $50\,\%$ der Kunden Datenschutzbedenken haben ca. $4\,\%.$

Bei $a$ handelt es sich um die Gegenwahrscheinlichkeit $a=1-0,59=0,41$ und $b$ wird gegeben durch $b=100-51=49.$

Das Ereignis ist: "Höchstens $50$ der ausgewählten Kunden haben Datenschutzbedenken."

Nach Aufgabenstellung soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 0,41^{2n}&=& 0,5 \cdot 0,41^n \\[5pt] 0,41^n \cdot 0,41^n&=& 0,5 \cdot 0,41^n &\quad \scriptsize \mid\; :0,41^n \\[5pt] 0,41^n&=& 0,5 \end{array}$

Da $n$ nach Aufgabenstellung eine natrürliche Zahl ist, gilt für jedes $n$ , dass $0,41^n \lt 0,5$ ist. Folglich gibt es keine natürliche Zahl $n$ , für die die Aussage richtig ist.

Die Abbildung liefert für $p=0,07$ einen Wert von ca. $0,095.$ Berechnung mit dem Taschenrechner und den Werten $n=100, p=0,07$ liefert, dass der Wert für $k=4$ etwa $0,1632$ beträgt. Damit der Wert für $k$ geringer wird, muss der Umfang der Stichprobe größer werden, da das Maximum der Verteilung sich dann nach rechts verschiebt. Der Umfang der Stichprobe ist in diesem Fall somit sicher größer als $100.$

Der Händler möchte vermeiden, irrtümlich von einem zu geringen Anteil fehlerhafter Armbänder auszugehen, denn das könnte z.B. zu vielen Reklamationen durch Kunden führen.
Bei der gewählten Nullhypothese beträgt das Risiko für diesen Irrtum maximal $9,7\,\%$ und ist damit nicht sehr hoch. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler, irrtümlich von einem zu großen Anteil auszugehen, kann dagegen wesentlich größer sein.

$0,7^3=0,343$

Bei den ersten drei Drehungen wird jedes Mal die Sonne gedreht und in den letzten vier Drehungen kommt die Sonne zudem noch zweimal vor.

Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der gedrehten Monde an und ist binomialverteilt mit den Parametern $n=7$ und $p=0,3.$ Mit dem Taschenrechner folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} P(X\geq4)&=&P(X\leq3) \\[5pt] &\approx&0,126 \\[5pt] &=&12,6\,\% \end{array}$

Die Variable $a$ gibt den Einsatz für das Gewinnspiel an. Für die Wahrscheinlichkeiten, die relevanten Anzahlen an Monden zu erzielen, folgt mit dem Taschenrechner:

$P(X=4)=0,0972$
$P(X=5)=0,0250$
$P(X=6)=0,0036$
$P(X=7)=0,0002$
$P(X\leq3)=0,874$

Damit lässt sich der Erwartungswert des Gewinns des Elektronikfachmarktes bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$a-1,0044$

Damit folgt für den gesuchten Mindesteinsatz:

$\begin{array}[t]{rlll} a-1,0044&\geq&0,2 &\mid\;+1,0044 \\[5pt] a&\geq&1,2044 \end{array}$

Da es keine kleinere Währung als einen Cent gibt, beträgt der Mindesteinsatz somit $1,21\,\text{€}.$

$G:$

„Ein Gewinn wird erzielt.“

$E:$

„Ein Extrapreis wird erzielt.“

Die Zufallsvariable $S$ gibt die Anzahl der Sonnen unter den ersten fünf Drehungen an und ist binomialverteilt mit $n=5$ und $p=0,7.$ Damit folgt:

$P(E)=P(S=2)\approx0,1323$

Damit zusätzlich ein Gewinn erzielt wird, darf unter den letzten beiden Drehungen höchstens eine Sonne sein. Damit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Rechenweg anzeigen

$P(E\cap G)\approx 6,75\,\%$

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