Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BB, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (WTR...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur GK bis 2013 (WTR)
Abitur GK bis 2013 (CAS)
Prüfung am Ende der 10
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken

Analysis 2.1

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Stadtwappen

Gegeben sind die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=x^4-2ax²+a²$ ; $a \in \mathbb{R},a \neq 0$ und die Funktion $g$ mit $g(x)=2x²-2$. Die Graphen der Schar $f_a$ sind $G_a$ und der Graph von $g$ ist $K$.
a)
Weise nach, dass alle Graphen $G_a$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse verlaufen. Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen.
(9P)
#achsensymmetrie
b)
Bestimme die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$.
Für jeden Parameter $a$ mit $a>0$ sind die drei lokalen Extrempunkte Eckpunkte eines Dreiecks. Wenn der Parameterwert $a$ verdoppelt wird, vervielfacht sich der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks $A_\Delta $.
Das neue Dreieck hat den Flächeninhalt $A_{neu}=v \cdot A_\Delta$.
Ermittle den Faktor $v$.
(12P)
#extrempunkt
c)
Abb. 1 Skizze
Abb. 1 Skizze
(5P)
#intervall
d)
Der Punkt $P$ liegt im I. Quadranten $G_1$ (siehe Abbildung). $P$ ist Eckpunkt eines Rechtecks, dessen Seiten achsenparallel verlaufen und dessen weitere Eckpunkte auf den Begrenzungslinien des Wappens liegen. Innerhalb dieses Rechtecks soll das Wappentier abgebildet werden.
Zeige, dass der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks mit der Gleichung $A(x)=2x^5-8x^3+6x$ berechnet werden kann und ermittle den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks. Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.
(9P)
e)
Die untere Begrenzung des Stadtwappens soll statt durch die quadratische Parabel $K$ mithilfe einer anderen quadratischen Parabel modelliert werden. Dabei sollen die Symmetrie des Wappens sowie die Schnittpunkte $S_1(-1\mid0)$ und $S_2(1\mid0)$ mit $G_1$ zwar erhalten bleiben, sich aber die Fläche des Wappens um 2 FE vergrößern.
Ermittle eine Funktionsgleichung der neuen Parabel.
(5P)

(40P)
#parabel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$ Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse zeigen
Tipp:
Ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, so gilt $f(x)=f(-x)$.
Tipp:
Ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, so gilt $f(x)=f(-x)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit Koordinatenachsen berechnen
Um die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$-Achse zu berechnen, berechnest du den Funktionswert an der Stelle $x=0$. Damit du den Schnittpunkt mit der $x$-Achse berechnen kannst, setzt du den Funktionsterm der Funktionenschar gleich Null.
b)
$\blacktriangleright$ Lokale Extrempunkte bestimmen
Du sollst nun die lokalen Extrempunkte der Funktionenschar in Abhängigkeit von $a$ bestimmen. Dafür leitest du die Funktion zwei Mal ab. Die erste Ableitung setzt du gleich Null und ermittelst damit die Stelle der Extrempunkte und mithilfe der zweiten Ableitung überprüfst du, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Ist der Funktionswert der zweiten Ableitung an der Stelle größer Null, so handelt es sich um ein lokales Minimum, ist er kleiner Null, handelt es sich um ein lokales Maximum.
$\blacktriangleright$ Flächeninhaltsverhältnis berechnen
Abb. 1: Dreieck
Abb. 1: Dreieck
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Wappens berechnen
Um den Flächeninhalt des Wappens zu berechnen, musst du das Integral zwischen den Funktionen $G_1$ und $K$ im Intervall $[-1;1]$ berechnen. Dafür berechnest du das Integral von $G_1-K$ im angegebenen Intervall.
d)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Rechtecks berechnen
Um den Flächeninhalt des Rechtecks bestimmen zu können, brauchst du dessen Breite und Höhe. Die Breite ergibt sich aus der $x$-Koordinaten von $P$. Da $G_1$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist, ist die Breite des Rechtecks das Doppelte der $x$-Koordinate von $P$. Die Höhe berechnest du als Differenz der Funktionswerte von $G_1$ und $K$. Da $P$ auf $G_1$ liegt, lauten die Koordinaten von $P(x\mid x^4-2x^2+1)$.
Um den maximalen Flächeninhalt bestimmen zu können, leitest du die Funktion zwei mal ab, setzt die erste Ableitung gleich Null um Extremstellen zu ermitteln und mithilfe der zweiten Ableitung kannst du überprüfen, ob es sich um ein Maximum handelt. Abschließend berechnest du noch den Funktionswert an dieser Stelle und erhältst damit den maximalen Flächeninhalt.
e)
$\blacktriangleright$ Parabelgleichung aufstellen
Du sollst nun die Parabelgleichung für die neue Parabel aufstellen. Hierfür hast du zwei Punkte $S_1$ und $S_2$ der Parabel gegeben und weißt, dass sie symmetrisch zur $y$-Achse sein soll. Weiterhin ist gegeben, dass der Inhalt des Wappens um 2 FE größer werden soll. Da die obere Grenze weiterhin $G_1$ ist, muss gelten, dass das Integral im Intervall [-1;1] der neuen Parabel um 2 größer sein muss als das Integral von $K$. Die allgemeine Parabelgleichung lautet: $y=ax^2+bx+c$. Mithilfe dieser Gleichung und den Bedingungen kann ein Gleichungssystem aufgestellt werden, welches du nach $a$, $b$ und $c$ löst.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
a)
$\blacktriangleright$ Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse zeigen
Tipp:
Ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, so gilt $f(x)=f(-x)$.
Tipp:
Ist ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, so gilt $f(x)=f(-x)$.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& f_a(-x) \\[5pt] x^4-2ax^2+a^2&=&(-x)^4-2a(-x)^2+a^2 \\[5pt] x^4-2ax^2+a^2&=& x^4-2ax^2+a^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& f_a(-x)\\[5pt] x^4-2ax^2+a^2&=& x^4-2ax^2+a^2 \end{array}$
Damit ist die Äquivalenz gezeigt und die Graphen der Funktionenschar sind somit achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte mit Koordinatenachsen berechnen
Um die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$-Achse zu berechnen, berechnest du den Funktionswert an der Stelle $x=0$. Damit du den Schnittpunkt mit der $x$-Achse berechnen kannst, setzt du den Funktionsterm der Funktionenschar gleich Null.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& 0^4-2a\cdot 0^2+a^2 \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$
Für die Schnittpunkte mit der $x$-Achse folgt mithilfe der Substitution:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& f_a(x) \\[5pt] 0 &=& x^4-2ax^2+a^2 &\quad \scriptsize \text{Substitution } z=x^2 \\[5pt] 0 &=& z^2-2az+a^2 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] z_{1/2} &=& -\frac{-2a}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-2a}{2} \right)^2-a^2} \\[5pt] &=& a\pm \sqrt{a^2-a^2}\\[5pt] &=&a\pm 0 \\[5pt] &=& a &\quad \scriptsize \text{Resubstitution } \\[5pt] x_{1/2}&=& \pm \sqrt{a} \end{array}$
Diese Gleichung hat nur für $a>0$ eine Lösung. Das bedeutet $G_a$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid a^2).$ Die $x$-Achse schneidet $G_a$ für $a< 0$ nicht, für $a>0$ in den Punkten $S_{x_1}(-\sqrt{a}\mid 0)$ und $S_{x_2}(\sqrt{a}\mid 0).$
#symmetrie#schnittpunkt
b)
$\blacktriangleright$ Lokale Extrempunkte bestimmen
Du hast die Funktionenschar $f_a$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^4-2ax^2+a^2\\[10pt] f'(x)&=& 4x^3-4ax\\[10pt] f''(x)&=& 12x^2-4a \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 \\[5pt] 4x^3-4ax&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x^3-ax&=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(x^2-a\right) &=& 0 \end{array}$
Damit das Produkt Null ist, muss einer der Faktoren Null sein. So erhältst du als eine erste Lösung $x_1=0$.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-a&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +a\\[5pt] x^2 &=& a &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] x &=& \pm\sqrt{a} \end{array}$
Mögliche Extremstellen sind also:
  • Für alle $a:\quad$ $x_1=0$
  • Für $a>0:\quad $ $x_2=-\sqrt{a}$ und $x_3=\sqrt{a}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Es reicht lediglich $\sqrt{a}$ oder $-\sqrt{a}$ einzusetzen, da die Graphen von $f_a''$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind.
$\begin{array}[t]{rll} f''\left(\sqrt{a}\right)&=& 12\cdot \left(\sqrt{a}\right)^2-4a \\[5pt] &=& 12a-4a \\[5pt] &=& 8a >0 \text{ für } a>0\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& 12\cdot 0^2-4a \\[5pt] &=& -4a \; < 0 \text{ für } a> 0 \quad \text{ bzw.} > 0 \text{ für } a< 0\\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\sqrt{a}\right)&=& \left(\sqrt{a}\right)^4-2a\left(\sqrt{a}\right)^2+a^2 \\[5pt] &=& a^2-2a^2+a^2 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0^4-2a\cdot0^2+a^2 \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$
Insgesamt ergibt sich also:
  • Für $a>0$ besitzt der Graph von $f_a$ drei lokale Extrempunkte: Zwei lokale Tiefpunkte mit den Koordinaten $P_2\left(\sqrt{a} \mid 0\right)$ und $P_3\left(-\sqrt{a} \mid 0\right)$ und einen lokalen Hochpunkt mit den Koordinaten $P_1\left(0\mid a^2\right).$
  • Für $a< 0$ besitzt der Graph von $f_a$ einen lokalen Extrempunkt: Einen lokalen Tiefpunkt mit den Koordinaten $P_1\left(0\mid a^2\right).$
$a=0$ ist laut Aufgabenstellung ausgeschlossen.
$\blacktriangleright$ Flächeninhaltsverhältnis berechnen
Abb. 1: Dreieck
Abb. 1: Dreieck
$\begin{array}[t]{rll} A_\Delta&=& \dfrac{2\sqrt{a}\cdot a^2}{2} \\[5pt] &=&\sqrt{a}\cdot a^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{neu}&=& \dfrac{2\sqrt{2a}\cdot (2a)^2}{2} \\[5pt] &=&\sqrt{2a} \cdot 4a^2 \\[5pt] &=& 4\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{a}\cdot a^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{A_{neu}} {A_\Delta} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{a}\cdot a^2}{\sqrt{a}\cdot a^2} \\[5pt] &=& 4\sqrt{2} \end{array}$
Das bedeutet, dass der Flächeninhalt von $A$ sich bei einer Verdopplung von $a$ um den Faktor $v=4\sqrt{2}$ vervielfacht.
#extrempunkt
c)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Wappens berechnen
Um den Flächeninhalt des Wappens zu berechnen, musst du das Integral zwischen den Funktionen $G_1$ und $K$ im Intervall $[-1;1]$ berechnen. Dafür berechnest du das Integral von $G_1-K$ im angegebenen Intervall.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(\left(x^4-2x^2+1\right)-\left(2x^2-2\right)\right)\;\mathrm dx&=&\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(x^4-4x^2+3\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \left[\frac{1}{5}x^5-\frac{4}{3}x^3+3x\right]_{-1}^1 \\[5pt] &=& \frac{1}{5}\cdot 1^5-\frac{4}{3}\cdot 1^3+3\cdot1 \\ & & - \left(\frac{1}{5}\cdot (-1)^5-\frac{4}{3}\cdot (-1)^3+3\cdot(-1)\right) \\[5pt] &=& \frac{28}{15}-\left(-\frac{28}{15}\right)\\[5pt] &=& \frac{56}{15} \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(\left(x^4-2x^2+1\right)-\left(2x^2-2\right)\right)\;\mathrm dx \end{array} $
Der Flächeninhalt des Wappens beträgt damit $A=\frac{56}{15}\text{[FE]}$.
#integral
d)
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Rechtecks berechnen
$\begin{array}[t]{rll} b(x) &=& 2\cdot x \\[5pt] &=& 2x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& f_1(x)-g(x) \\[5pt] &=& x^4-2x^2+1 - \left(2x^2-2\right) \\[5pt] &=& x^4-2x^2+1 - 2x^2+2 \\[5pt] &=& x^4-4x^2 +3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& h(x) \cdot b(x)\\[5pt] &=& \left(x^4-4x^2 +3\right)\cdot\left(2x\right) \\[5pt] &=& 2x^5-8x^3+6x \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Gleichung $A(x)=2x^5-8x^3+6x$ berechnet werden kann. Nun sollst du noch dessen Maximum berechnen. Dafür leitest du $A$ ab und berechnest den Extremwert.
Du hast die Funktion $A(x)$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, A'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $A''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $A''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $A'$ und $A''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $A'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Das hinreichende Kriterium brauchst du laut Aufgabenstellung nicht überprüfen.
  4. Berechne die Funktionswerte von $A(x)$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=& 2x^5-8x^3+6x \\[10pt] A'(x)&=& 10x^4-24x^2+6 \\[10pt] A''(x)&=& 40x^3-48x \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $A'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen. Um das in diesem Fall lösen zu können, substituierst du $x^2=u$, berechnest mithilfe der PQ-Formel die Nullstellen und resubstituierst dann wieder.
$\begin{array}[t]{rll} A'(x)&=&0 \\[5pt] 10x^4-24x^2+6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; x^2=u \\[5pt] 10u^2-24u+6&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:10 \\[5pt] u^2-\frac{12}{5}u+\frac{3}{5}&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} u&=& -\left(\frac{-\frac{12}{5}}{2}\right)\pm\sqrt{\left(\frac{\frac{12}{5}}{2}\right)^2-\frac{3}{5}} \\[5pt] &=&\frac{6}{5}\pm\sqrt{\frac{36}{25}-\frac{3}{5}} \\[5pt] &=&\frac{6}{5} \pm \sqrt{\frac{36}{25}-\frac{15}{25}} \\[5pt] &=&\frac{6}{5}\pm\sqrt{\frac{21}{25}} \\[5pt] \end{array}$
Resubstitution ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{u} \\[5pt] x_{1/2}&=& \pm \sqrt{\frac{6}{5}+\sqrt{\frac{21}{25}}}\\[5pt] &\approx& \pm 1,45 \\[5pt] x_{3/4}&=& \pm \sqrt{\frac{6}{5}-\sqrt{\frac{21}{25}}}\\[5pt] &\approx& \pm 0,53 \end{array}$
Da $x$ nur im Intervall [-1;1] liegen kann, sind nur $x_3$ und $x_4$ wichtig. Da es sich um ein Polynom 5. Grades handelt, dessen Graph nicht gespiegelt wurde, muss sich an der Stelle $x_3=0,53$ das Maximum befinden.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Dies musst du laut Aufgabenstellung nicht überprüfen.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A(0,53)&=& 2\cdot 0,53^5-8\cdot0,53^3+6\cdot0,53 \\[5pt] &=& 2,07 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} A(0,53)&=& 2,07 \end{array} $
Der maximale Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $A=2,07\text{[FE]}$.
#extrempunkt
e)
$\blacktriangleright$ Parabelgleichung aufstellen
Du sollst nun die Parabelgleichung für die neue Parabel aufstellen. Hierfür hast du zwei Punkte $S_1$ und $S_2$ der Parabel gegeben und weißt, dass sie symmetrisch zur $y$-Achse sein soll. Weiterhin ist gegeben, dass der Inhalt des Wappens um 2 FE größer werden soll. Da die obere Grenze weiterhin $G_1$ ist, muss gelten, dass das Integral im Intervall [-1;1] der neuen Parabel um 2 größer sein muss als das Integral von $K$. Die allgemeine Parabelgleichung lautet: $y=ax^2+bx+c$. Mithilfe dieser Gleichung und den Bedingungen kann ein Gleichungssystem aufgestellt werden, welches du nach $a$, $b$ und $c$ löst.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(ax^2+bx+c\right)\;\mathrm dx&=&\frac{14}{3} \\[5pt] \left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\right]_{-1}^1&=&\frac{14}{3}\\[5pt] \frac{a}{3}-\frac{b}{2}+c-\left(-\frac{a}{3}+\frac{b}{2}-c\right)&=&\frac{14}{3}\\[5pt] \frac{2}{3}a-b+2c&=& \frac{14}{3}\\[5pt] \end{array}$
Setzt du die Koordinaten der zwei Punkte $S_1$ und $S_2$ in die Parabelgleichung ein, erhältst du folgende zwei Gleichungen:
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c&=& 0\\[5pt] a-b+c&=& 0\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} a\cdot1^2+b\cdot1+c&=& 0\\[5pt] a+b+c&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Aus diesen beiden Gleichungen kannst du herauslesen, dass $b=0$ gelten muss, denn egal ob du $b$ addierst oder subtrahierst, ändert sich der Wert nicht. Addierst du dann die beiden Gleichung, erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 2a+2c&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] a+c&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-c \\[5pt] a&=& -c \end{array}$
Nun setzt du deine Ergebnisse in die Bedingung, welche sich aus dem Flächeninhalt ergeben hat, ein und erhältst so die Werte für die Parameter der Parabelgleichung.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{2}{3}a-0+2\cdot(-a)&=& \frac{14}{3} \\[5pt] -\frac{4}{3}a&=& \frac{14}{3} &\quad \scriptsize \mid\; :\left(-\frac{4}{3}\right)\\[5pt] a&=& -3,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{2}{3}a-0+2\cdot(-a)&=& \frac{14}{3} \\[5pt] a&=& -3,5 \end{array}$
Damit ergibt sich für die neue Parabel die Gleichung $y=-3,5x^2+3,5$.
#parabel
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login