Analysis 2.1

Stadtwappen

Gegeben sind die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=x^4-2ax^2+a^2$ ; $a \in \mathbb{R},a \neq 0$ und die Funktion $g$ mit $g(x)=2x^2-2$ . Die Graphen der Schar $f_a$ sind $G_a$ und der Graph von $g$ ist $K$ .

Weise nach, dass alle Graphen $G_a$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse verlaufen. Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen.

(9P)

Bestimme die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$ .
Für jeden Parameter $a$ mit $a\gt 0$ sind die drei lokalen Extrempunkte Eckpunkte eines Dreiecks. Wenn der Parameterwert $a$ verdoppelt wird, vervielfacht sich der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks $A_\Delta$ .
Das neue Dreieck hat den Flächeninhalt $A_{neu}=v \cdot A_\Delta$ .
Ermittle den Faktor $v$ .

(12P)

Die Graphen $G_1$ und $K$ schließen im Intervall $[-1;1]$ eine Fläche ein, die als Schablone für das Wappen einer Stadt genutzt werden soll.

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt.

Abb. 1 Skizze

(5P)

Der Punkt $P$ liegt im I. Quadranten $G_1$ (siehe Abbildung). $P$ ist Eckpunkt eines Rechtecks, dessen Seiten achsenparallel verlaufen und dessen weitere Eckpunkte auf den Begrenzungslinien des Wappens liegen. Innerhalb dieses Rechtecks soll das Wappentier abgebildet werden.

Zeige, dass der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks mit der Gleichung $A(x)=2x^5-8x^3+6x$ berechnet werden kann und ermittle den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks. Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.

(9P)

Die untere Begrenzung des Stadtwappens soll statt durch die quadratische Parabel $K$ mithilfe einer anderen quadratischen Parabel modelliert werden. Dabei sollen die Symmetrie des Wappens sowie die Schnittpunkte $S_1(-1\mid0)$ und $S_2(1\mid0)$ mit $G_1$ zwar erhalten bleiben, sich aber die Fläche des Wappens um 2 FE vergrößern.

Ermittle eine Funktionsgleichung der neuen Parabel.

(5P)

(40P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]