Aufgabe 3.1
Das Gebäude eines Museums kann modellhaft durch den abgebildeten Körper 
dargestellt werden.
Die obere Etage des Museums entspricht dabei der Pyramide
die untere Etage dem Körper 
der Teil der Pyramide 
ist.
Das Dreieck
liegt in der 
-Ebene. Das Dreieck 
liegt parallel zu dieser Ebene.
In einem kartesischen Koordinatensystem gilt für die Lage einiger der genannten Punkte:
und 
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 
in der Realität.
dargestellt werden.
Die obere Etage des Museums entspricht dabei der Pyramide
die untere Etage dem Körper der Teil der Pyramide ist.
Das Dreieck
liegt in der -Ebene. Das Dreieck liegt parallel zu dieser Ebene.
In einem kartesischen Koordinatensystem gilt für die Lage einiger der genannten Punkte:
und
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht in der Realität.
a)
Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von 
d.h. 
Erläutere das dargestellte Vorgehen.
d.h. 
Rechnung anzeigen
Erläutere das dargestellte Vorgehen.
(4 BE)
b)
Weise nach, dass die Bodenfläche der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.
der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.
(3 BE)
c)
Berechne für das Dreieck die Größe des Innenwinkels bei 
sowie die Länge der Höhe auf der Seite 
[Zur Kontrolle:
]
die Größe des Innenwinkels bei sowie die Länge der Höhe auf der Seite
[Zur Kontrolle:
]
(5 BE)
d)
Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die für 
Rauminhalt eine elektrische Leistung von 
Kilowatt benötigt.
Weise nach, dass für den Betrieb der Anlage eine Leistung von
Kilowatt ausreichend ist.
Rauminhalt eine elektrische Leistung von Kilowatt benötigt.
Weise nach, dass für den Betrieb der Anlage eine Leistung von
Kilowatt ausreichend ist.
(4 BE)
e)
Weise nach, dass die Gerade durch die Punkte 
und 
und die Ebene, in der das Dreieck liegt, sich im Punkt 
schneiden.
und und die Ebene, in der das Dreieck liegt, sich im Punkt schneiden.
(3 BE)
f)
An einer Metallstange, die durch die Strecke 
dargestellt wird, ist ein Scheinwerfer befestigt, der sich entlang der Stange verschieben lässt. Die Größe des Scheinwerfers soll vernachlässigt werden.
Der Scheinwerfer soll aus einer Entfernung von
diejenige Wand beleuchten, die im Modell durch das Dreieck 
dargestellt wird.
Das Dreieck liegt in der Ebene mit der Gleichung: 
Berechne die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.
Bildnachweise [nach oben]
dargestellt wird, ist ein Scheinwerfer befestigt, der sich entlang der Stange verschieben lässt. Die Größe des Scheinwerfers soll vernachlässigt werden.
Der Scheinwerfer soll aus einer Entfernung von
diejenige Wand beleuchten, die im Modell durch das Dreieck dargestellt wird.
Das Dreieck
liegt in der Ebene mit der Gleichung:
Berechne die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.
(6 BE)
(25 BE)
© - SchulLV.
a)
Vorgehen beschreiben
Der Punkt 
ist der Schnittpunkt der drei Geraden durch die Punkte 
und 
und 
und 
Es genügt den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. In der dargestellten Rechnung werden die beiden Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte und mit dem Geradenparameter 
und durch die Punkte und 
mit dem Geradenparameter 
gleichgesetzt.
Diese Gleichung liefert eine Lösung für
und 
Der Wert für wird in die Geradengleichung durch die Punkte und eingesetzt und liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts.
Daraus erhält man die Koordinaten des Punkts
b)
Nachweisen, dass die Bodenfläche nicht rechtwinklig ist
Die Bodenfläche ist rechtwinklig, wenn es zwei Verbindungsvektoren der Eckpunkte gibt, die senkrecht aufeinander stehen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Die Bodenfläche ![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}& \neq 0 \\[10pt]
\overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{EF}&\neq 0 \\[10pt]
\overrightarrow{DF}\circ \overrightarrow{EF}& \neq 0 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/77fdf8f828bd11dc04465eeed6943a8c21b11c72d94ddd3d2379639c616895d1_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{DF}&=& \pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\5\\0} \\[5pt]
&=& 0\cdot (-25) + 30\cdot 5 + 0\cdot 0 \\[5pt]
&=& 150 \neq 0 \\[10pt]
\overrightarrow{DE}\circ \overrightarrow{EF}&=& \pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \\[5pt]
&=& 0\cdot (-25) + 30\cdot (-25) + 0\cdot 0 \\[5pt]
&=& -750 \neq 0 \\[10pt]
\overrightarrow{DF}\circ \overrightarrow{EF}&=& \pmatrix{-25\\5\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \\[5pt]
&=&
(-25)\cdot (-25) + 5\cdot (-25) + 0\cdot 0 \\[5pt]
&=& 500 \neq 0 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bdf9b6d98ae68e7dce01453ef666a8953a9038b2cccf7e445cc425070fb58109_light.svg)
ist also nicht rechtwinklig.
c)
Größe des Innenwinkels berechnen
Der Innenwinkel des Dreiecks entspricht dem Schnittwinkel der beiden Geraden durch die Punkte und und durch und 
Zugehörige Richtungsvektoren sind 
und 
Mit der entsprechenden Formel folgt:
Der Innenwinkel des Dreiecks 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \epsilon &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{DE} \circ \overrightarrow{EF} \right|}{\left| \overrightarrow{DE}\right| \cdot \left|\overrightarrow{EF}\right|} \\[5pt]
\cos \epsilon &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\30\\0} \circ \pmatrix{-25\\-25\\0} \right|}{\left| \pmatrix{0\\30\\0}\right| \cdot \left|\pmatrix{-25\\-25\\0} \right|} \\[5pt]
\cos \epsilon &=& \dfrac{750}{\sqrt{0^2 +30^2 +0^2 }\cdot \sqrt{(-25)^2 +(-25)^2 +0^2} } \\[5pt]
\cos \epsilon&=& \dfrac{750}{30\cdot \sqrt{1.250}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt]
\epsilon&=& 45^{\circ} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/924c3498b6ac1349fb19b81d3fcdba3cdf83085f8e196e12853a76d6f7d9bcb5_light.svg)
bei ist 
groß.
Länge der Höhe bestimmen
Bezeichne mit 
den Punkt, in dem die Höhe 
auf die Seite 
trifft.
Zwei der Innenwinkel des Dreiecks
sind bekannt:
- Der Winkel
bei hat die Größe 
- Der Innenwinkel bei beträgt aufgrund der Eigenschaften der Höhe
bei muss also aufgrund der Winkelsumme 
eines Dreiecks folgende Größe haben:
Die beiden Innenwinkel bei und sind also gleichgroß, sodass es sich bei um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. Dadurch sind auch die beiden Seiten 
und 
gleich lang: 
Die Länge der Hypotenuse
kannst du mit dem Vektorbetrag des zugehörigen Vebindungsvektors berechnen:
Mit dem Satz des Pythagoras folgt dann aufgrund der Gleichschenkligkeit:
Die Höhe 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DE}&=& \left| \overrightarrow{DE}\right| \\[5pt]
&=& \left| \pmatrix{ \pmatrix{0\\30\\0}}\right| \\[5pt]
&=& \sqrt{0^2+30^2 +0^2} \\[5pt]
&=& 30
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8724367ecbcb676b734a0b5886aa36a2d74f512397d2cb531eaac38ee55fe790_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{DE}&=& h^2+h^2 \\[5pt]
30^2&=& 2\cdot h^2&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
450&=& h^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt]
15\sqrt{2}&=& h
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7848e8a1b393ca6e8030a9b963ee9b706677b04644d61bf9fa398f576e168b3e_light.svg)
ist 
Längeneinheiten lang.
d)
Ausreichende Leistung nachweisen
Die obere Etage hat die Form einer Pyramide. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Abstand von zur Ebene durch 
welchen du eben berechnet hast:
1. Schritt: Inhalt der Bodenfläche berechnen
Die Bodenfläche der oberen Etage ist das Dreieck dessen Höhe zur Seite du bereits berechnet hast:
Die Länge der Seite kannst du wieder über den Vektorbetrag berechnen.
Für den Flächeninhalt der Bodenfläche gilt daher:
2. Schritt: Volumen berechnen
Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide folgt:
Das Volumen der oberen Etage beträgt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{EF}&=& \left|\overrightarrow{EF} \right| \\[5pt]
&=& \left|\pmatrix{-25\\-25\\0} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{(-25)^2 +(-25)^2 + 0^2} \\[5pt]
&=& 25\sqrt{2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6d51ded1cc7b79d0edbad9ab9a390bad9e33783322acef9c165cc61fb88b9ead_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
A &=& \frac{1}{2}\cdot 15\sqrt{2}\,\text{m} \cdot 25\sqrt{2}\,\text{m} \\[5pt]
&=& 375\,\text{m}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e4b796cbc060b95339e0f6cf10e7be0d6831b65b9f6c75ac75987798574a740b_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=& \frac{1}{3}\cdot h_{\text{Pyramide}} \cdot A \\[5pt]
&=& \frac{1}{3}\cdot 20\,\text{m} \cdot 375\,\text{m}^2 \\[5pt]
&=& 2.500\,\text{m}^3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/17863819f729a330af69f9f5b858ccb0df1c79785771c756115e4b2f8ecdff7b_light.svg)
Es werden demnach 
Kilowatt benötigt. Kilowatt reichen also aus.
e)
Schnittpunkt nachweisen
Die Gerade 
kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
Da das Dreieck 
![\(\begin{array}[t]{rll}
AG:\quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AG} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-5\\5\\0} + r\cdot \pmatrix{-5\\5\\35}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/99eb8efaa239e344bbb36ccf41efc98b4eb96c02567083b9d02f089462fe13fb_light.svg)
in einer zur -Ebene parallelen Ebene liegt und die Punkte 
und alle die 
-Koordinate 
haben, kann die Ebene 
in der das Dreieck liegt, durch folgende Gleichung beschrieben werden:
Die -Koordinate der Punkte auf der Geraden ist 
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts 
![\(\begin{array}[t]{rll}
z&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;z = 35r \\[5pt]
35r&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;:35 \\[5pt]
r&=& \frac{3}{7}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c5578a8b772f77980473ad43c4b61f3b749af5dc29622e8575a5f1f4cad28974_light.svg)
Die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OR}&=& \pmatrix{-5\\5\\0} + \frac{3}{7}\cdot \pmatrix{-5\\5\\35} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-\frac{50}{7}\\ \frac{50}{7}\\ 15} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b556cdb5baf7872a5274734ffd2dada03081d1f48dbdeebbcfa535f8239143d9_light.svg)
und der Ebene, in der das Dreieck liegt, lauten 
f)
Koordinaten des Scheinwerfers berechnen
Die Metallstange liegt im Modell auf der Geraden 
durch die Punkte und 
Gesucht ist ein Punkt auf dieser Geraden, der von der Ebene , in der die Punkte und liegen, den Abstand 
hat.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Punkte auf 
![\(\begin{array}[t]{rll}
g: \quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OG} + r\cdot \overrightarrow{GR} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-10\\10\\35} +r\cdot \pmatrix{\frac{20}{7}\\-\frac{20}{7}\\-20} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d99c87d20ab26fd3587eb38d152ea284a16bc956c47c108683e1a4b68b73707d_light.svg)
haben also die Koordinaten 
2. Schritt: Hessesche Normalenform der Ebene aufstellen
Das Dreieck liegt laut dem Aufgabenblatt in der Ebene mit der Gleichung
Mithilfe der Hesseschen Normalenform lässt sich eine Gleichung für den Abstand aufstellen. Für die Hessesche Normalenform wird der Betrag des Normalenvektors
benötigt.
Eine mögliche Darstellung von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{n} \right|&=& \left| \pmatrix{2\\-2\\-1}\right| \\[5pt]
&=& \sqrt{2^2+(-2)^2 + (-1)^2}\\[5pt]
&=& 3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d38f58a60d67fb7a1f869088f7e70da51f9d11631983cd80fd34bfc7675457d6_light.svg)
in der Hesseschen Normalenform lautet also:
Der Abstand zwischen einem Punkt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
F:\quad \dfrac{2x-2y-z +75}{3}&=& 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ec7bfd96fb905b8e3e178038eea3ae8731467656fddff06d0948dd481d3fb4f1_light.svg)
zur Ebene ist dann:
3. Schritt: Gleichung für den Abstand aufstellen und lösen
Einsetzen der Koordinaten der Punkte 
auf der Geraden in die Abstandsfunktion und Gleichsetzen mit liefert:
Für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\left|2x-2y-z +75\right|}{3}&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt]
\left|2x-2y-z +75 \right|&=& 15 &\quad \scriptsize \mid\;P_r \\[5pt]
\left|2\cdot (-10+\frac{20}{7}r)-2\cdot (10-\frac{20}{7}r)-(35-20r) + 75 \right| &=&15 \\[5pt]
\left|-20 +\frac{40}{7}r -20 +\frac{40}{7}r -35 +20r +75 \right|&=& 15 \\[5pt]
\left|\frac{220}{7}r\right| &=& 15 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{220}{7}\\[5pt]
r &=& \pm \frac{21}{44}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3b20e445c7f565427133ecc5d12d1d4cadc419327112622a331f1aa0c786439c_light.svg)
läge der Punkt nicht zwischen und Damit ergibt sich der Ortsvektor des Punkts, in dem sich der Scheinwerfer befindet:
Die Position des Scheinwerfers wird im Modell durch den Punkt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OP}&=& \pmatrix{-10\\10\\35} +\frac{21}{44}\cdot \pmatrix{\frac{20}{7}\\-\frac{20}{7}\\-20} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-\frac{95}{11}\\\frac{95}{11}\\\frac{280}{11}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c3a0c313d5c0026fa2cf0461791df4ce1ccf2e43188eeb5daedb7556340c2722_light.svg)
beschrieben.