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Punkt - Ebene

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Um den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $E$ zu berechnen, musst du als erstes die Hessesche Normalform der Ebene $E$ bilden.
1. Schritt: HNF bilden
Die HNF der Ebene $E: n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=c$ mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ lautet:

HNF:
$\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c} {\left|\vec{n}\right|}=0$

HNF: $\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c} {\left|\vec{n}\right|}$=$0$
2. Schritt: Punkt in HNF einsetzen
Die Koordinaten des Punktes $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ setzt du in die linke Seite der HNF ein. Da ein Abstand aber nicht negativ sein kann, musst du den Betrag nehmen:
$d=\dfrac{\left|n_1\cdot p_1+n_2\cdot p_2+n_3\cdot p_3-c\right|}{\left|\vec{n}\right|}$

Beispiel

$E: 2x_1-x_2-2x_3=5$, $P(3 \mid 2 \mid -5)$
1. Schritt: Normalenvektor berechnen
$\left|\vec{n}\right|= \sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2} =$ $\sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$
2. Schritt: HNF bilden
HNF: $\dfrac{2x_1-x_2-2x_3-5}{3} = 0$
3. Schritt: Punkt einsetzen
$d=\dfrac{\left|2\cdot 3-1\cdot 2-2\cdot (-5)-5\right|}{3} =$ $\dfrac{9}{3} = 3$
Der Abstand zwischen der Ebene $E$ und dem Punkt $P$ beträgt $3$LE.
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